2022-2023學年福建省廈門某中學高二（下）期末數學試卷

2022-2023學年福建省廈門一中高二（下）期末數學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.（5分）定義F^\=ad-be,已知數列｛斯｝為等比數列，且a3=l,g68=0,則w=（）

ica\oa8

A.4B.±4C.8D.±8

2.（5分）已知產為拋物線C：;/=4x的焦點，A為C上的一點，AF中點的橫坐標為2,則|”|=（）

A.3B.4C.5D.6

3.（5分）某市教育局為了給高考生減壓，將師范大學6名心理學教授全部分配到市屬四所重點高中進行

心理輔導，若A高中恰好需要1名心理學教授，B,C,。三所高中各至少需要1名心理學教授，則不

同的分配方案有（）

A.150種B.540種C.900種D.1440種

4.（5分）3月15日是國際消費者權益日.中央電視臺特地推出3.15公益晚會，曝光了食品、醫(yī)美、直播

等多領域亂象，在很大程度上震懾了一些不良商家，也增強了消費者的維權意識.一名市民在某商店買

了一只燈泡，結果用了兩個月就壞了，他撥打了12315投訴電話.通過調查，發(fā)現該商店將一些不合格

燈泡混入一批合格燈泡中以次充好賣給顧客.假設合格燈泡在使用1000小時后損壞的概率為0.004,不

合格燈泡在使用1000小時后損壞的概率為0.4,若混入的不合格燈泡數占燈泡總數的25%,現一顧客在

該商店買一只燈泡，則該燈泡在使用1000小時后不會損壞的概率為（）

A.0.103B.0.301C.0.897D.0.699

5.（5分）我們將服從二項分布的隨機變量稱為二項隨機變量，服從正態(tài)分布的隨機變量稱為正態(tài)隨機變

量.概率論中有一個重要的結論是棣莫弗一拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機變量y?B（“，P）,當

〃充分大時，二項隨機變量y可以由正態(tài)隨機變量x來近似，且正態(tài)隨機變量x的期望和方差與二項隨

機變量y的期望和方差相同.棣莫弗在1733年證明了p=%的特殊情形，1812年，拉普拉斯對一般的p

進行了證明.現拋擲一枚質地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數超過60

次的概率為（）

（附：若X?N卬，O2）,貝！|尸⑺-。WXWu+。）心0.6827,尸⑺-2。WXW（i+2。）20.9545,P

（廠3。WXWu+3o）^0.9973）

A.0.1587B.0.0228C.0.0027D.0.0014

6.（5分）已知菱形ABC。的邊長為3,對角線長為5,將△A3。沿著對角線2。翻折至△A5D,使得

線段AC長為3,則異面直線與。所成角的余弦值為（）

7.（5分）某高二學生在參加物理、歷史反向學考中，成績是否取得A等級相互獨立，記X為“該學生取

得A等級的學考科目數”，其分布列如下表所示，則。（X）的最大值是（）

X012

Pab1

9

8.（5分）若實數無，y滿足4/?%+2/"1三/+4,-4,則（）

A.久y=￥B.x+y=y[2C.x+y=l+V2D.x3y=l

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）總和生育率有時也簡稱生育率，是指一個人口群體的各年齡別婦女生育率的總和.它

反映的是一名婦女在每年都按照該年齡別現有生育率生育的假設下，在育齡期間生育的子女總數.為了

了解中國人均G。1（單位：萬元）和總和生育率y以及女性平均受教育年限z（單位：年）的關系，

采用2012?2022近十年來的數據（方,v，zD（i=l,2,10）繪制了散點圖，并得到經驗回歸方

程z=7.54+0.33x,y=2.88-0.41x,對應的決定系數分別為形，形，則（）

2012年2016年2018年2022年12

1

時

11/

11

10匹

1時

.01

1他

1.8

./6福

職

1

1

0於

07

2t

1般

1

B

1

1.0

68

人均GDP/萬元

A.人均GDP和女性平均受教育年限正相關

B.女性平均受教育年限和總和生育率負相關

C.量V形

D.未來三年總和生育率將繼續(xù)降低

(多選)10.(5分)已知函數/(x)=(?-3)",xER,貝U()

A.函數尤）有且只有2個零點

B.函數/（無）的遞減區(qū)間為（-3,1）

C.函數/（尤）存在最大值和最小值

D.若方程/（x）="有三個實數解，則ae（-2e,6e'3）

（多選）H.（5分）已知圓C：（x-a）2+（j-e0）2=1,則（）

A.存在兩個不同的m使得圓C經過坐標原點

B.存在兩個不同的a,使得圓C在x軸和y軸上截得的線段長相等

C.存在唯一的a,使得圓C的面積被直線y=e尤平分

D.存在三個不同的m使得圓C與x軸或y軸相切

（多選）12.（5分）如圖，正方體ABC。-A向C1P中，M為線段CC1上的動點，AA/_L平面a,則（）

A.直線與平面a所成角的正弦值范圍為［字，孝］

MCI-

B.已知N為。。1中點，當AM+MN的和最小時，—=2-V2

C.點M為CQ的中點時，若平面a經過點8,則平面a截正方體所得截面圖形是等腰梯形

D.點〃與點Ci重合時，平面a截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）（1+x）i0-（1-%）9展開式中/的系數為.

14.（5分）從0,1,3,5,7,9這五個數中，每次取出兩個不同的數分別記為A,B,則方程At+2y=0

所表示的不同直線共有條.

x2y2

15.（5分）過雙曲線>-匕=l（a>0,b>0）的右焦點/作其中一條漸近線的垂線，垂足為。，直線

與雙曲線的左、右兩支分別交于點N,若|MQ=3|QW，則雙曲線的離心率是.

16.（5分）正方形A8CO位于平面直角坐標系上，其中A（1,1）,B（-1,1）,C（-1,-1）,D（1,

-1）.考慮對這個正方形執(zhí)行下面三種變換：（DL逆時針旋轉90°.（2）R；順時針旋轉90°.（3）

S：關于原點對稱.上述三種操作可以把正方形變換為自身，但是A,B,C,。四個點所在的位置會發(fā)

生變化.例如，對原正方形作變換R之后，頂點A從（1,1）移動到（1,-1）,然后再作一次變換S

之后，A移動到(-1,1).對原來的正方形按。2,以的順序作人次變換記為4142…延，其中山日工，

R,S｝,i=l,2,k.如果經過上次變換之后，頂點的位置恢復為原來的樣子，那么我們稱這樣的變

換是k-恒等變換.例如，RRS是一個3-恒等變換.則3-恒等變換共種；對于正整數n,n

-恒等變換共種.

四、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

n

17.(10分)數列｛斯｝滿足ai=2,an+i=Xan+2(〃€N*),人為常數.

(1)是否存在實數入，使得數列｛加｝成為等比數列，若存在，找出所有的入，及對應的通項公式；若不

存在，說明理由；

(2)當人=2時,記為=抑求數列｛加｝的前〃項和.

18.(12分)下表是某單位在2023年1?5月份用水量(單位：百噸)的一組數據：

月份X12345

用水量y2.5344.55.2

(1)從這5個月中任取2個月的用水量，求所取2個月的用水量之和不超過7(單位：百噸)的概率；

(2)若由經驗回歸方程得到的預測數據與實際數據的誤差不超過0.05,視為“預測可靠”，那么由該單

位前4個月的數據所得到的經驗回歸方程預測5月份的用水量是否可靠？說明理由.

參考公式：對于一組數據(％1,yi),(及，”)，…，(xn,如)，其回歸直線y=匕％+。的斜率和截距的

口?一斗八一八加外；(x-x)(y-y)x-nxy-_

取小一乘估計公式分別為：b=――---;---------2----i--y---------，a=y-bx.

第1gr)Va_位2

19.(12分)如圖所示，在三棱柱4BC-A1B1C中，底面△A8C是正三角形，側面AA1C1C是菱形，點4

在平面ABC的射影為線段AC的中點。，過點Bi,B,。的平面a與棱4cl交于點E.

(1)證明：四邊形881匹是矩形；

(2)求平面A3B1和平面23匹夾角的余弦值.

20.(12分)已知點(1,5)在橢圓氏—+—=l(a>h>0)±,且E的離心率為二.

(1)求E的方程；

(2)設尸為橢圓E的右焦點，點、P(m,”)是E上的任意一點，直線尸尸與直線3mx+4町=0相交于

點Q求|尸。|的值.

21.(12分)某種疾病可分為I、II兩種類型.為了解該疾病類型與性別的關系，在某地區(qū)隨機抽取了患

該疾病的病人進行調查，其中女性是男性的2倍，男性患I型病的人數占男性病人的女性患I型病

6

的人數占女性病人的土

(1)若依據小概率值a=0.005的獨立性檢驗，認為“所患疾病類型”與“性別”有關，求男性患者至

少有多少人？

(2)某藥品研發(fā)公司欲安排甲乙兩個研發(fā)團隊來研發(fā)此疾病的治療藥物.兩個團隊各至多排2個接種

周期進行試驗.甲團隊研發(fā)的藥物每次接種后產生抗體的概率為p(O<p<l),每人每次接種花費機(加

>0)元，每個周期至多接種3次，第一個周期連續(xù)2次出現抗體測終止本接種周期進入第二個接種周

期，否則需依次接種至第一周期結束，再進入第二周期：第二接種周期連續(xù)2次出現抗體則終止試驗，

否則依次接種至至試驗結束：乙團隊研發(fā)的藥物每次接種后產生抗體概率為q每人每次花

費〃(?>0)元，每個周期接種3次，每個周期必須完成3次接種，若一個周期內至少出現2次抗體，

則該周期結束后終止試驗，否則進入第二個接種周期、假設兩個研發(fā)團隊每次接種后產生抗體與否均相

互獨立.當n=p=q時，從兩個團隊試驗的平均花費考慮，試證明該公司選擇乙團隊進行藥品研

發(fā)的決策是正確的.

參考公式：K2=…圖篇(b+d)(其中〃=a+b+c+d為樣本容量)

參考數據：已知函數

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.89710.828

22.,(12分)已知函數/(x)=x^+klnx(kER),f(x)為/(%)的導函數.

Q

(1)當女=6時，求函數g(%)=/(%)-//(%)+1的單調區(qū)間和極值；

”也、工升/工*的u「1口、.」(巧)+」(第2)、/，1)一/，2)

(2)當左三3時，求證：對任息的％1,X2G[L+8),且有>

2%1-%2

2022-2023學年福建省廈門一中高二（下）期末數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.（5分）定義『h\=ad-bc,已知數列｛斯｝為等比數列，且43=1,器8=0,則°7=（）

lcOCLQ

A.4B.+4C.8D.±8

【解答】解：數列｛斯｝為等比數列，且。3=1,1=0,

|o。8

所以-8X8=0,

所以〃6?〃8=64,

則617=±8,

因為。7與〃3符號一致，

故€17=8.

故選：C.

2.（5分）已知P為拋物線C：y2=4x的焦點，A為c上的一點，A尸中點的橫坐標為2,則|4川=（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：由題意得：F（1,0）,準線方程為尤=-1,

設A（加，〃），則A尸中點的橫坐標為一--,

故"F=2'解得：機=3，

由拋物線的焦半徑可知：|AF|=3+1=4.

故選：B.

3.（5分）某市教育局為了給高考生減壓，將師范大學6名心理學教授全部分配到市屬四所重點高中進行

心理輔導，若A高中恰好需要1名心理學教授，B,C,。三所高中各至少需要1名心理學教授，則不

同的分配方案有（）

A.150種B.540種C.900種D.1440種

【解答】解：先從6名教授中任選1名教授到A高中，有程=6種不同的方法,

再將其余5名教授分配到2,C,。三所高中，可分兩類:

①8,C,。三所高中有一所高中分1名教授，另外兩所高中各分2名教授，有=90種方

掰

法;

②B,C,。三所高中有一個高中分3名教授，另兩個高中各分1名教授，有?若=60種不同

掰

的方法,

不同的分配方案共有6X（90+60）=900種.

故選：C.

4.（5分）3月15日是國際消費者權益日.中央電視臺特地推出3.15公益晚會，曝光了食品、醫(yī)美、直播

等多領域亂象，在很大程度上震懾了一些不良商家，也增強了消費者的維權意識.一名市民在某商店買

了一只燈泡，結果用了兩個月就壞了，他撥打了12315投訴電話.通過調查，發(fā)現該商店將一些不合格

燈泡混入一批合格燈泡中以次充好賣給顧客.假設合格燈泡在使用1000小時后損壞的概率為0.004,不

合格燈泡在使用1000小時后損壞的概率為04若混入的不合格燈泡數占燈泡總數的25%,現一顧客在

該商店買一只燈泡，則該燈泡在使用1000小時后不會損壞的概率為（）

A.0.103B.0.301C.0.897D.0.699

【解答】解：由全概率公式，可得任取一零件，它是合格品的概率為（1-0.4）X25%+（1-0.004）X

75%=0.897.

故選：C.

5.（5分）我們將服從二項分布的隨機變量稱為二項隨機變量，服從正態(tài)分布的隨機變量稱為正態(tài)隨機變

量.概率論中有一個重要的結論是棣莫弗一拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機變量y?B（小P）,當

〃充分大時，二項隨機變量丫可以由正態(tài)隨機變量x來近似，且正態(tài)隨機變量x的期望和方差與二項隨

機變量Y的期望和方差相同.棣莫弗在1733年證明了p=：的特殊情形，1812年，拉普拉斯對一般的0

進行了證明.現拋擲一枚質地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數超過60

次的概率為（）

（附：若X?N⑺，。2）,貝!|尸（四-。WXWu+。）心0.6827,尸（口-2。WXWR+2。）^0.9545,P

（H-3。WXWp_+3o）^0.9973）

A.0.1587B.0.0228C.0.0027D.0.0014

【解答】解：拋擲一枚質地均勻的硬幣100次，

設硬幣正面向上次數為X,

1

則X?5（100,-）,

2

111

故E（X）=np=100x^=50,D（X）=np（1-7?）=100x*x（1-皮）=25,

由題意可得，X~N（|i,。2）,且|1=石（X）=50,。2=。（X）=25,

'：P（-2。WXWu+2。）勺0.9545,

.,.用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數超過60次的概率為P（X>60）=P（X>50+2X5）=

1-0,9545

-0.0228.

2

故選：B.

6.（5分）已知菱形ABCD的邊長為3,對角線BD長為5,將沿著對角線BD翻折至△48。，使得

線段A'C長為3,則異面直線A'B與CD所成角的余弦值為()

3V548

A.一B.—C.一D.—

4499

【解答】解：如圖，因為A'C=A'D=CD=3,

—TT—>—>—>—>—>—?

所以24c-CD=(A'C+CD?-A'C2-CD2=A'D2-A'C2-CD2=-9,

因為C8=CO=3,BD=5,

—>—>—>—>—>T

所以2cB-CD=CB2+CD2-(CB-CD)2=CB2+CD2-DB2=9+9-25=-7,

所以Z/B,CD={A'C+CB),CD=A(,CD+CB,CD=-尹3=-8,

TT8

Fin/xTLvA'B,CD—8-

即cos〈/B,CD)=—=>----——=Q9

\A'B\ACD\

O

所以異面直線A8與。所成角的余弦值為3

故選：D.

7.（5分）某高二學生在參加物理、歷史反向學考中，成績是否取得A等級相互獨立，記X為“該學生取

得A等級的學考科目數”，其分布列如下表所示，則。（X）的最大值是（）

X012

pab1

9

3241747

A.——B.-C.——D.——

8193681

24

8/

9E(

X9J_-

【解答】解：由已知得a+bJX)9

所以。(X)=E(X2)-[E(X)]2

=的+$一(b+1)2=-32+奈

又因為56(0/各，所以b—.時'D(X)min—

故選：C.

8.(5分)若實數x,y滿足4/〃x+2/〃y，W+4y-4,則()

12

A.xy=B.x+y=V2C.x+y=l+V2D.x3y=l

【解答】解：,.?4/〃x+2/〃y2x2+4y-4(x>0,y>0),

?\2[ln(x2)+/〃y]2/+4y-4,

BPIn(/)+lny>^x2+2y-2,

ln[(—%2)*(2y)]>^x2+2y-2,

設b=2y(?>0,Z?>0),

貝U有l(wèi)nab^a+b-2,

BPlna+lnb^a+b-2,

?.Ina-tz+l+^Inb-b+1)20,

令g(%)=lnx-x+1,

則g'(X)=^-i=F，

???當xW(0,1)時，g'(x)>0,g(x)單調遞增；當xW(L+°°)時，g'(x)<0,g(x)單調遞減；

??g(X)max=§(1)=0，

要使g(。)+g(b)20成立，

只有當〃=/?=1時即g(a)=g(/?)=0時才滿足，

.,.x=V2,y=5,經檢驗選項A符合題意.

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

(多選)9.(5分)總和生育率有時也簡稱生育率，是指一個人口群體的各年齡別婦女生育率的總和.它

反映的是一名婦女在每年都按照該年齡別現有生育率生育的假設下，在育齡期間生育的子女總數.為了

了解中國人均GDPx(單位：萬元)和總和生育率y以及女性平均受教育年限z(單位：年)的關系，

采用2012~2022近十年來的數據(xi,yi,z,')(z=l,2,10)繪制了散點圖，并得到經驗回歸方

程z=7.54+0.33X,y=2.88-0.41x,對應的決定系數分別為或，形，則()

2012年2016年2018年2022年

1

1

.^0

.8

1

1.s/6

1

1s

.2

.0

1

1

1

1

O

68

人均GDP/萬元

A.人均GOP和女性平均受教育年限正相關

B.女性平均受教育年限和總和生育率負相關

C.R1<Rl

D.未來三年總和生育率將繼續(xù)降低

【解答】解：由回歸方程z=7.54+0.33%可知，人均GOP和女性平均受教育年限正相關，故A正確;

因為z=7.54+0.33x,y=2.88-0.4U,所以女性平均受教育年限z和總和生育率y的關系式為y=2.88

八/1z—7.54

-04lx~033~'

所以女性平均受教育年限z和總和生育率y負相關，故8正確;

由散點圖可知，回歸方程z=7.54+0.33%相對y=2.88-0.41尤擬合效果更好，所以故C錯

誤;

根據回歸方程y=2.88-0.45預測，未來總和生育率預測值有可能降低，但實際值不一定會降低，故。

錯誤.

故選：AB.

(多選)10.(5分)已知函數/(x)=(/-3)/,xER,貝U()

A.函數/(x)有且只有2個零點

B.函數/(x)的遞減區(qū)間為(-3,1)

C.函數/(x)存在最大值和最小值

D.若方程/(x)=。有三個實數解，則ae(-Ze,6e3)

【解答】解：對于4由/(無)=0得％=±75,即函數了(無)有且只有2個零點，故A正確；

對于8：f(x)=(x2-3)/,xGR,

則/(x)—(/+2x-3)F,

由7(x)=0得x=-3或尤=1,由/(無)>0得x>l或x<-3,由/(x)<0得-3<x<l,

：.f(x)在(-8,-3)和(1,+co)上單調遞增，在(-3,1)上單調遞減，

故8正確；

對于C：由選項B得/(x)在(-8,-3)和(1,+co)上單調遞增，在(-3,1)上單調遞減,

當x=-3時，f(x)取得極大值/(-3)—6e~3,當x=l時，f(無)取得極小值/(1)=-2e,

由圖象得了(X)min^f(1)=-2e,無最大值，故C錯誤；

對于。：由圖象得若方程/(x)=。有三個實數解，則ae(0,6/3),故。錯誤.

故選：AB.

(多選)11.(5分)已知圓C：(尤-a)2+(y-e")2—1,則()

A.存在兩個不同的。，使得圓C經過坐標原點

B.存在兩個不同的a,使得圓C在x軸和y軸上截得的線段長相等

C.存在唯一的a,使得圓C的面積被直線y=ex平分

D.存在三個不同的°,使得圓C與x軸或y軸相切

【解答】解：圓(尤-a)2+(y-e。)2=1的圓心坐標為(a,e"),半徑為1,

對于A：設圓C過原點(0,0),則/+(e。)2=1,

方程/+建。)2=1的解的個數等價于函數>="的圖象與曲線/+，=1的交點個數,

作函數y=，與圓/+y2=l的圖象可得：

所以函數>="的圖象與曲線/+y2=l的交點個數為2,

所以存在兩個不同的〃，使得圓。經過坐標原點，A正確；

對于5：圓。在x軸和y軸上截得的線段長相等等價于2VT，=2,1-0)2,

即〃2=(e。)2,即e〃±a=O,

方程e"±a=O的解的個數函數g(x)="+%和/z(x)="-x的零點的個數和相等,

因為g，(x)="+1>0,又g(-1)=/1-IVO,g(0)=1-0>0,

所以函數g(x)在區(qū)間(0,1)上存在一個零點，即函數g(x)存在一個零點，

因為hf(x)="-1,

當x>0時，h'(x)>0,函數〃(x)在(0,+8)上單調遞增，

當xVO時，h'(x)<0,函數力(x)在(-8,0)上單調遞減，

又h(0)=1>0,所以用(x)>0,故函數%(%)沒有零點，

所以方程ea±a=O的解的個數為1,

即存在一個。，使得圓。在x軸和y軸上截得的線段長相等，B錯誤;

對于C圓。的面積被直線y=ex平分等價于y=ex過圓心，

所以令/(〃)=ea-ea,

求導可得/(〃)=ea-e,令/(Q)=0,可得〃=1,

當〃>1時，f(〃)>0,函數/(〃)在(1,+8)上單調遞增，

當〃VI時，/(4)<0,函數f(〃)在(-8,1)上單調遞減，

又/(I)=0,所以函數/(〃)=e“-只有一個零點，

即方程ea=ea只有一解，

所以存在唯一的“，使得圓C的面積被直線y=ex平分，C正確；

對于O：圓。與l軸或y軸相切等價于⑷=1或|e"|=l,

則〃=±1或〃=0,共3解，

所以存在三個不同的“，使得圓。與％軸或y軸相切，。正確；

故選：ACD.

（多選）12.（5分）如圖，正方體ABC。-ALBICLDI中，M為線段CCi上的動點，AM，平面a,則)

A.直線與平面a所成角的正弦值范圍為［學，孝］

MCI-

B.已知N為。。1中點，當AM+MN的和最小時，——=2-yl2

DN

C.點M為CG的中點時，若平面a經過點B,則平面a截正方體所得截面圖形是等腰梯形

D.點M與點Ci重合時，平面a截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大

【解答】解：對于A：設正方體的棱長為2,以。為原點，DA,DC,。力所在直線為無，》z軸建立

則A(2,0,0),B(2,2,0),

設M(0,2,a)(0WaW2),

—>—>—>

因為41/_1面。，則為平面a的一個法向量，且AM=（-2,2,a),AB=(0,2,0),

V2

所以|cosV4^,AM>\==4——T1'

\AB\\AM\2Ja2+8C2_LQ3

所以直線A8與平面a所成角的正弦值取值分范圍為［曰，y］,故A正確;

對于2：將矩形ACC1A1與矩形CQQ1D延展為一個平面，如圖所示，

DCA

若AM+MN最短，則A,M,N三點共線，

因為CC\//DD\,

,MCAC2V2「,,.“

所以777=77?==2-魚，故2正確；

DNAD2V2+2

―>

對于C：設平面a交棱ALDI于點E(b,0,2),點M(0,2,1),AM=(-2,2,1),

因為A做_1_面0[,DCu面a,

所以AM±DE,^AM-DE=-2b+2=0,

得b=l,

所以E(1,0,2),

所以點E為棱401的中點，

―>

同理可得，點F為棱A1B1的中點，F(2,1,2),EF=(1,1,0),

又6B=(2,2,0),

T1T

所以=/8,

所以EF//DB且EF^DB,

由空間中兩點的距離公式可得DE=V22+02+I2=V5,BF=J(2—2尸+(1—2尸+(2—0)2=瓜

所以。

所以四邊形2。所為等腰梯形，故C正確；

對于。：當M與CC1重合時，連接ALD,BD,AiB,AC,

在正方體ABC。-A1B1C1D1中，(7。_1面ABCD,

因為BZ)u面ABC。，

所以BZ)_LCCi,

因為四邊形A3C。是正方形,

所以BD±AC,

因為CCiAAC=C,

所以B￡)±?ACCi,

因為ACiu面ACCi,

所以同理可證ACi_L4。，

因為Ai￡)nBO=。，

所以4。1_1面418。，

由題知△42。是邊長為2近的等邊三角形，面積為另4遇°=梟(2V2)2=2后

周長為2ax3=6&,

設E,F,Q,N,G,H為棱ALDI,AiBi,BBi,BC,CD,的中點，

1

所以六邊形即QNGH是邊長為5的正六邊形，且面EFQNGH〃面AiBD,

所以六邊形所QNG8的周長為6企，面積為6x字x(V2)2=3后

所以△489的面積小于正六邊形EFQNGH的面積，它們的周長相等，故D錯誤，

故選：ABC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)(l+x)i°-(1-x)9展開式中/的系數為9.

【解答】解：：(1+x)1°的展開式的通項為〃+i=療)小，

令左=2,可得展開式中小的系數為此。=45,

V(1-X)9的展開式的通項為Tr+l=Cg(―x)r=(—l)rCgXr,

令r=2,可得展開式中尤2的系數為(一1)2竊=36,

故(1+無)1°-(1-%)9展開式中/的系數為45-36=9.

故答案為：9.

14.(5分)從0,1,3,5,7,9這五個數中，每次取出兩個不同的數分別記為A,B,則方程Ax+By=0

所表示的不同直線共有20條.

【解答】解：(1)當A或8中有一個取0時，另一個不論取何值，方程都只能表示2條直線x=0和y

=0,

即選中0時，Ax+2y=0共能表示2條直線；

(2)當A、8從1,3,5,7,9五個數字中取值時，共有照=5x4=20,

但當取值為(1,3)和(3,9)以及(3,1)和(9,3)時表示同一條直線，

當A、B從1,3,5,7,9五個數字中取值時，Ax+By=0共能表示20-2=18條直線.

綜上所述，表示成不同直線的條數是2+18=20條.

故答案為：20.

x2y2

15.(5分)過雙曲線與-￡7=l(a>0,b>0)的右焦點尸作其中一條漸近線的垂線，垂足為Q,直線/Q

與雙曲線的左、右兩支分別交于點N,若|MQ|=3|QW，則雙曲線的離心率是_颶_.

【解答】解：設雙曲線的左焦點為尸，

雙曲線的漸近線方程為歷:土ay=0,\FQ\==b,|。尸|=c,

Ja2+b2

在直角三角形中，cos/如。，①

設|0N|=3則|QM=3t,\FN\^b-t,

由雙曲線的定義可得|N尸|=b-t+2a,\MF\^b+3t-2a,

在三角形FA*中，可得cosNFF="+(燧力”+2爐,②

在三角形尸MF1中，可得cos/M尸尸=4c鷺:2a③

由①②化簡可得f=方&,

—3a

由①③化簡可得U黑，

所以a+b=3b-3a,

即b=2a9

則e=2=1+彳=V1T4=V5.

aqa

故答案為：Vs.

16.(5分)正方形ABC。位于平面直角坐標系上，其中A(1,1),2(-1,1),C(-1,-1),D(1,

-1).考慮對這個正方形執(zhí)行下面三種變換：(DL逆時針旋轉90°.(2)R：順時針旋轉90°.(3)

S：關于原點對稱.上述三種操作可以把正方形變換為自身，但是A,B,C,。四個點所在的位置會發(fā)

生變化.例如，對原正方形作變換R之后，頂點A從(1,1)移動到(1,-1),然后再作一次變換S

之后，A移動到(-1,1).對原來的正方形按ai,。2,at的順序作1次變換記為。142…以,其中。e{3

R,S},i=l,2,k.如果經過％次變換之后，頂點的位置恢復為原來的樣子，那么我們稱這樣的變

換是％-恒等變換.例如，RRS是一個3-恒等變換.則3-恒等變換共6種;對于正整數小n-

3-(-l)n+3n

恒等變換共種.

T

【解答】解：3-恒等變換必定含S,所以一共有US,LSL,SLL,RRS,RSR,SRR這6種3-恒等變

換；

注意到，作用一次S變換相當于兩次L變換；作用一次R變換相當于三次L變換.

我們記L為數字1,S為數字2,R為數字3,作用相應的變化就增加相應的數字.

那么如果作了"次變換。1及…即(其中包含。個L、q個5、廠個R),當p+2q+3廠是4的倍數時，就能得

到一個n-恒等變換.

我們假設作了〃次變換之后得到的相應數字除以4的余數是0,1,2,3的情況數分別為金，bn,cn,

把這n次變換分解成n-1次變換和第n次變換，

假設經過n次變換之后余數為0.如果經過n-1次變換后的余數是0,則第n次變換余數不可能為0；

如果經過w-1次變換后的余數分別是1,2,3,則第九次變換余數必須分別為3,2,1.其他完全類似，

因此Ctn=bn-1+Cn-1+dn-1,

bn—an-1+Cn-1+t/n-1>

Cn=Cln-1+bn-1+dn-1)

dn—Cln-1+bn-1+Cz;-1.

把后三個式子相加可得b"+Cn+d”=3a“-1+2(bn-l+cn-1+dn-l),

代入弟一個式子可得一1,Q<2"+l+<7"=3(Un+Un-1).

所以｛斯+1+念｝是公比為3的等比數列.

已經算出03=6,而2-恒等變換有〃?，RL,SS這三種，故及=3.

n2n-2n

因此，43+。2=9,從而an+i+an=(a3+a2)X3~=9X3=3.

兩邊同乘€-1)n+1,可得(一ly+ian+i-(-1嚴斯=-(-3)n.

根據累加法可得(―l)為n—(-1)2。2=-(一3尸=一型；2)二一生堂

3-(-Dra+3n

于是即=

3-(-l)n+3n

故答案為：6；

四、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

n

17.(10分)數列｛斯｝滿足的=2,an+i=)Mn+2(nGN*),入為常數.

(1)是否存在實數入，使得數列｛斯｝成為等比數列，若存在，找出所有的入，及對應的通項公式；若不

存在，說明理由；