2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)復(fù)習(xí)

2024年方考破等總復(fù)0方頻考支會(huì)套要R

席真（精華版）

第一部分：函數(shù)

一、考試內(nèi)容及要求

1.集合、簡(jiǎn)易邏輯

考試內(nèi)容：集合：子集、補(bǔ)集、交集、并集；邏輯聯(lián)結(jié)詞，四種

命題，充要條件.

考試要求：⑴理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念，了解

空集和全集的意義，了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義，掌握有關(guān)

的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些簡(jiǎn)單的集合.

⑵理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義，理解四種命題及

其相互關(guān)系，掌握充要條件的意義.

2.函數(shù)

考試內(nèi)容：映射，函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性；反函數(shù)，互為反函數(shù)的

函數(shù)圖像間的關(guān)系；指數(shù)概念的擴(kuò)充，有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，

指數(shù)函數(shù).；對(duì)數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù).函數(shù)的應(yīng)用舉例.

考試要求：⑴了解映射的概念，理解函數(shù)的概念.

⑵了解函數(shù)的單調(diào)性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性的

方法.

⑶了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會(huì)求一

些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù).

⑷理解分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念，掌握有理指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函

數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

⑸理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、

圖像和性質(zhì).

⑹能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)

單的實(shí)際問(wèn)題.

二、重要知識(shí)、技能技巧（省略的部分自己填寫(xiě)）

1.函數(shù)是一種特殊的映射：f：A-B（A、B為非空數(shù)集），

定義域：

‘自然定義域給解析式常涉及分母開(kāi)方,指數(shù)幕，對(duì)數(shù)或三角函數(shù)復(fù)合函數(shù)

'限定定義域:應(yīng)用條件的限制或有附口條件的制約

解決函數(shù)問(wèn)題必須樹(shù)立“定義域優(yōu)先”的觀點(diǎn).

2.函數(shù)值域、最值的常用解法

⑴觀察法；⑵配方法；⑶反表示法；如y=*或尸包q

ax+b2-cosA

⑷△法；適用于經(jīng)過(guò)去分母、平方、換元等變換后得到關(guān)于y的

一元二次方程的一類函數(shù)；⑸基本不等式法；⑹單調(diào)函數(shù)法；⑺

數(shù)形結(jié)合法；⑻換元法；⑼導(dǎo)數(shù)法.

3.關(guān)于反函數(shù)

⑴求一個(gè)函數(shù)y=f(x)(定義域A,值域D)的反函數(shù)步驟；(略)

⑵互為反函數(shù)的兩函數(shù)的定義域、值域、圖象間關(guān)系；

⑶分段函數(shù)的反函數(shù)分段求解；

⑷有關(guān)性質(zhì)：定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)不存在反函數(shù)；單調(diào)

函數(shù)必有反函數(shù)，且兩函數(shù)單調(diào)性相同；奇函數(shù)的反函數(shù)仍為奇

函數(shù)；

周期函數(shù)不存在反函數(shù);fT(a)=bof(b)=a.

4.函數(shù)奇偶性

⑴判斷

’定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

①解析式.尸x)釘(x)=0、

f(x)=/(-X)物(-X)=-F(x)—/(-%)=±+1l,r/(x—)^0n

〔IJ

②圖象(關(guān)于y軸或坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱)

⑵性質(zhì)：如果f(x)是奇函數(shù)且在x=0有定義，則f(0)=0；常數(shù)函

數(shù)f(x)=0定義域(一7,刀既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)；在公共定義域

上，兩個(gè)奇、偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).(略)

5.函數(shù)單調(diào)性

⑴定義的等價(jià)形式如：(x1-^)[f(X1)-f(x2)]>0

X]-x2

⑵判斷：①定義法；②導(dǎo)數(shù)法；③結(jié)論法(慎用).

奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性；互為反函數(shù)的兩函數(shù)單調(diào)性;

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(同增異減)；常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性(如y=x+Ja

X

WR).

6.函數(shù)周期性

⑴f(x)=f(x+a)對(duì)定義域中任意x總成立,則T=a.如果一個(gè)函數(shù)是周期

函數(shù),則其周期有無(wú)數(shù)個(gè).

⑵f(x+a)=f(x—a),則T=2a.(3)f(x+a),則T=2a.

/(x)

⑷f(wàn)(x)圖象關(guān)于x=a及x=b對(duì)稱,aWb,則T=2(b—a).

⑸f(x)圖象關(guān)于x=a及點(diǎn)(b,c)(bWa)對(duì)稱，則T=4(b—a).

7.函數(shù)圖象的對(duì)稱性

⑴若f(a+x)=f(a—x)或[f(x)=f(2a—x)],則f(x)圖象關(guān)于x=a

對(duì)稱，特別地f(x)=f(—x)則關(guān)于x=0對(duì)稱；

⑵若f(a+x)+f(b—x)=2c,則f(x)圖象關(guān)于("2,c)中心對(duì)稱,

2

特別地f(x)+f(—x)=0,則關(guān)于(0,0)對(duì)稱；

⑶若f(a+x)=f(b—x),則y=f(x)關(guān)于x=巴心對(duì)稱；

2

(4)y=f(x)與y=f(2a—x)關(guān)于x=a對(duì)稱；y=f(x)與y=—f(x)+2b關(guān)

于y=b對(duì)稱;y=f(x)與y=-f(2a—x)+2b,關(guān)于(a,b)對(duì)稱.

⑸y=f(a+x)與y=f(b—x),關(guān)于x="^對(duì)稱.

2

8.⑴要熟練掌握和二次函數(shù)有關(guān)的方程不等式等問(wèn)題，并能結(jié)合

二次函數(shù)的圖象進(jìn)行分類討論；結(jié)合圖象探索綜合題的解題

切入點(diǎn)。

⑵抽象函數(shù)未給出函數(shù)解析式，但給出函數(shù)的一些性質(zhì)來(lái)探討

它的其他性質(zhì)，這樣的題目常以具體的函數(shù)為背景，處理時(shí)要用

廣義的定義、性質(zhì)、定理去處理，不能用具體函數(shù)去論證.

9.指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)

⑴對(duì)數(shù)恒等式a10g^=x(a>0且aW1,x>0).

⑵對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(M>0,N>0,peQ)

①logs(MN)=logaM+logaN；②loga—=logaM—logaN；③

N

p

logaN=plogaN.

⑶y=logaX與y=logix；y=ax-^y=(-)x；y=ax-^y=bx(a>b)

?a

y=logaX與y=logbx圖象間關(guān)系：(略)

10.邏輯聯(lián)結(jié)詞，四種命題

⑴且、或、否可理解為與交、并、補(bǔ)對(duì)應(yīng).

⑵非p即「p是對(duì)p的否定，而p的否命題，則是否定條件，否定

結(jié)論.

例：p：如果x=l,那么X?—1=0；則-1p：如果x=l,那么一一1

W0.

而命題P的否命題是：如果xWl,那么x'—lWO.

⑶原命題和它的逆否命題、逆命題與否命題都互為逆否命題，互

為逆否的兩個(gè)命題真假性一致，因此一個(gè)命題的真假性難以判斷

或一個(gè)命題難以證明時(shí)，可以判斷或證明它的逆否命題.

11.充要條件

⑴充分條件，必要條件，充要條件的等價(jià)敘述，如，P是q的充分

條件o若P，則qopoqoq的一個(gè)充分條件是p.

⑵關(guān)于充要條件的幾個(gè)結(jié)論：

①“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”是“函數(shù)為奇或偶函數(shù)”的必要不充

分條件.

②在aABC中，A>Boa>b.

③"曰=|川’是⑤=%”的必要不充分條件

④“{an}既是等差，又是等比數(shù)列”是“{aj是常數(shù)數(shù)列”的充

分不必要條件.

⑤“方程x2+y2+Dx+Ey+F=0"是"該方程表示圓方程”的必要不充

分條件.

⑥『（x）=0是x為極值點(diǎn)的必要不充分條件.

⑶證明充要條件的命題要證明兩個(gè)方面，首先必須找準(zhǔn)一個(gè)命題

的條件和結(jié)論..

12.反證法

反證法就是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，從這個(gè)假定出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理

證出其矛盾，然后推翻假設(shè)肯定原來(lái)命題正確。推出矛盾常見(jiàn)以

下幾種：

⑴與公理、定理、定義矛盾；

⑵與熟知的事實(shí)矛盾；

⑶與已知矛盾；

⑷與不同方向推出的其他結(jié)論矛盾。

以下情形適宜用反證法證明：

⑴難以甚至無(wú)法由已知條件直接證明結(jié)論的；

⑵“至多”、“至少”型問(wèn)題；

⑶唯一性的證明；

⑷問(wèn)題的結(jié)論本身以否定形式給出的；

⑸要證命題的逆命題是正確的。

注意若命題結(jié)論的反面情況有多種，則必須將每一種反面情況都

駁倒。

13.解答函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟為：

⑴審題：審題是解題的基礎(chǔ)，它包括閱讀、理解、翻譯、挖掘等，

通過(guò)閱讀，理解問(wèn)題的類型、內(nèi)涵、實(shí)質(zhì)，以及應(yīng)建立的數(shù)學(xué)模

型；

⑵建模：在細(xì)心閱讀，深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，

將題目中的非數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，然后，根據(jù)題意，列出

數(shù)量關(guān)系一一建立函數(shù)模型，注意字母為取值范圍應(yīng)符合實(shí)際事

實(shí)。

⑶解模：通過(guò)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的運(yùn)用，進(jìn)行推理、運(yùn)算，使問(wèn)題

得到解決；

⑷還原評(píng)價(jià)：應(yīng)用問(wèn)題不是單純的數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)于理論的推導(dǎo)結(jié)

果，要代入原問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)價(jià)，判斷是否符合實(shí)際情況。

分析、解決應(yīng)用問(wèn)題的思維過(guò)程：

還原

（檢驗(yàn)、評(píng)價(jià)）

三.易錯(cuò)點(diǎn)提示

⑴多變量問(wèn)題注意主元與輔助元的轉(zhuǎn)換

如p￡(±4)時(shí)，不等式px+l>2x—p恒成立，可看成關(guān)于p的函

4

數(shù)g(p)=(x+l)p+l—2x>0,在(L4)上恒成立訓(xùn)(等號(hào)不同時(shí)

4

[g⑷20.

取)

⑵單調(diào)函數(shù)要與區(qū)間對(duì)應(yīng).

⑶關(guān)于范圍的結(jié)論的書(shū)寫(xiě)注意端點(diǎn)的“開(kāi)閉”

⑷丫=竺±￡的中心(a,b),漸近線x=a,y=b,單調(diào)區(qū)間(-8,a),(a,+

x-a

8)(ab+cWO)

⑸圖象信息題注意觀察:對(duì)稱性、特殊點(diǎn)、升降情況、圖象位置、變

化率、最高、最低點(diǎn)等.

如：丫=普?qǐng)D象則a>c>b.

X+C

y=ax3+bx2+cx+d則a>0,b>0,c<0.

⑹復(fù)合函數(shù)要注意定義域的作用

2

如求y=log2(X—3x+2)的單調(diào)區(qū)間，已知f(x+U=x2+±,求f(x)

xx

均須考慮定義域.

⑺解決映射的有關(guān)問(wèn)題，注意分類討論.

如乂=1,丫，z},N={1,0,-1},f：M-N滿足f(x)—f(y)=f(z)的映

射個(gè)數(shù)(7).

⑻注意代表元素的不同對(duì)集合意義的影響。如{y|y=x2}>{x|y=x2}>

{(x,y)1y=x2}就表示完全不同的三個(gè)集合，它們分別表示[0,+8

),R兩個(gè)數(shù)集及拋物線y=x2上的點(diǎn)集。避免如下錯(cuò)誤：{y[y=x2}n

{y|y=2x}={(2,2).(4,4)}。

⑼用列舉法表示集合時(shí)，元素既不能遺漏，又不能違反互異性原則,

如方程(x—(x+2)=0的解集表示為{1,1,—2}是錯(cuò)誤的，作為集

合只能表示為“，一2}.另外注意(1,2),{1,2},{(1,2)}的區(qū)別.

⑩一般來(lái)說(shuō)圖象直觀不能代替代數(shù)論證.

四.自我查找

請(qǐng)結(jié)合你自己學(xué)習(xí)函數(shù)這部分內(nèi)容的實(shí)際情況，列舉你自己認(rèn)為

的易錯(cuò)點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn).

第二部分：導(dǎo)數(shù)

一、考試要求：

1、了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景。

2、理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

3、掌握函數(shù)丫=力(n￡N+)的導(dǎo)數(shù)公式，會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

4、理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)求多

項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最

小值。

5、會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求最大值和最小值的方法，解決科技、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)中

的某些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。

二、知識(shí)與方法

1、導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。及其近旁有定義，當(dāng)自變量x在X。處有增量(或

稱改為量)△*,那么函數(shù)y相應(yīng)的有增量(或稱改變量)Ay,

△y=f(xo+Ax)—f(x0)

比值包就叫做函數(shù)y=f(x)在x。到xo+Ax之間的平均變化率.

Ax

Ay+Ax)-/(x。)

AxAx

如果當(dāng)△x-O時(shí)，包有極限，我們就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在x。處可導(dǎo)，

Ax

并把這個(gè)極限值叫做函數(shù)f(x)在X。處的導(dǎo)數(shù)(或稱變化率)，記作金

(Xo)或y'|x=Xo或(x)|x=Xo.即：

f'(X0)=lim'=也必上^2

人—0AxAx

這里須指出：f'(X。)是函數(shù)y=f(x)在x。點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，瞬時(shí)速度也就

z

是位移函數(shù)s(t)在點(diǎn)t。處的導(dǎo)數(shù),即：S(t0)=匕。

2、求函數(shù)y=f(x)在X。點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟

⑴求函數(shù)的增量(xo+Ax)—f(x0)

⑵求平均變化率：包=/(/+?—.

AxAx

⑶取極限，求函數(shù)在X。點(diǎn)的變化率，即導(dǎo)數(shù)：e(X°)=lim包.

Axf08

3、“函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”及“導(dǎo)數(shù)”的概念間的

區(qū)別與聯(lián)系：

⑴函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)增量(xo+Ax)—f(x0)

與自變量的增量之比的極限。它是一個(gè)常數(shù)，不是變量。

⑵如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)處均可導(dǎo)，這時(shí)稱y=f(x)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)于區(qū)間(a,b)內(nèi)一個(gè)確定的值x。，都對(duì)應(yīng)著一

個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f'(X。)，這樣的對(duì)應(yīng)就構(gòu)成了以區(qū)間(a,b)為定義域的

一個(gè)新函數(shù)，稱為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，所以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

是對(duì)某一區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)x而言的。

⑶y=f(x)在x=x()處的導(dǎo)數(shù)f'(xo)就是導(dǎo)函數(shù)f'(x)在x=x()處的函數(shù)

值，

即即(x)|(X。)，值得注意的是:fz(xo)#[f(xo)]/

4、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

⑴函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。處有導(dǎo)數(shù),則函數(shù)f(x)的曲線在該點(diǎn)處必有切線,

且導(dǎo)數(shù)值是該切線的斜率；但函數(shù)f(x)的曲線在點(diǎn)X。處有切線，函

數(shù)f(x)在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo)。如f(x)=正在x=0有切線，但不可導(dǎo)。

⑵函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指：曲線y=f(x)在點(diǎn)

P(xo,f(xo))處切線的斜率，即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x(),f(X。))處的切線

的斜率是f'(xo),切線方程為y—f(x())=f'(x())(x—Xo)

5、常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

(DC7=0(C為常數(shù))⑵(Xy=nxn-1(nGQ)

6、可導(dǎo)函數(shù)四則運(yùn)算法則

設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)都是可導(dǎo)函數(shù),則：

(f(x)土g(x))'=f'(x)±gz(x)

三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并且在該區(qū)間內(nèi)，『(x)>0,則f(x)

在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；若在該區(qū)間內(nèi)，f'(x)〈0,則f(x)在該區(qū)間

內(nèi)為減函數(shù).

指出：若可導(dǎo)函數(shù)只有某區(qū)間的個(gè)別點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零，不影響函數(shù)在

該區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，如y=x3,在(—8,+8)內(nèi),y=3x220(只在x=0

處y'=0)不影響y=x，在(-8,+co)內(nèi)為單調(diào)增加.

2、求可導(dǎo)函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的一般方法和步驟如下：

⑴確定函數(shù)f(x)的定義區(qū)間；

⑵求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)『(x)；

⑶令金(x)>0,所得x的范圍(區(qū)間)為函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

令尹(x)〈0,得單調(diào)減區(qū)間.

3、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

⑴極值的定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。附近有定義，如果對(duì)X。左右近旁

的所有x值，都有

f(x)<f(Xo)

我們就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，記作y(xo),

如果對(duì)x。左右近旁的所有x值，都有f(x)>f(x。)

我們就說(shuō)f(x0)是f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小(Xo)

極大值、極小值統(tǒng)稱為f(x)的極值.

指出：一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間上的極小值不一定小于極大值.(即極小值

可以大于或等于極大值)；極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，它僅與左右近旁

的函數(shù)值進(jìn)行比較；極值點(diǎn)一定是區(qū)間的內(nèi)點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)

為極值點(diǎn)的必要條件，不是充分條件。

⑵極值的判定方法。

當(dāng)函數(shù)f(x)在X。處連續(xù)時(shí)，判別f(x。)是極大(小)值的方法是：

①如果在X。在左側(cè)近旁廣(Xo)>o,右側(cè)近旁廣(x0)<0,那么f(x。)

是極大值；

②如果在X。在左側(cè)近旁*(x0)<0,右側(cè)近旁f'(x°)>0,那么f(x。)

是極小值.

⑶求函數(shù)的極值的步驟：

①求函數(shù)的定義域

②求導(dǎo)數(shù)f'(X)

③求導(dǎo)數(shù)f'(x)=0的根.

④檢查f'(x)在方程#(x)=0的根的左右的符號(hào)，如果左正、右負(fù)，

那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)

根處取得極小值.

4、函數(shù)的最大值與最小值

⑴閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值.(開(kāi)區(qū)間上的連續(xù)函

數(shù)不一定有最大值和最小值).

⑵求閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)f(x)的最大值和最小值的步驟：

①求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；

②將f(x)的各極值與端點(diǎn)函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)

是最大值，最小的一個(gè)是最小值.

⑶如果函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)或(一8,+8)內(nèi)可導(dǎo)且有惟一的極值

點(diǎn)x。,那么當(dāng)f(xo)是極大值時(shí),f(xo)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值；

當(dāng)f(X。)是極小值時(shí)，f(X。)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值.

⑷對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，如果連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使

fz(x)=0,而且實(shí)際問(wèn)題本身又可以知道f(x)在(a,b)內(nèi)必定取得最

大值或最小值，則f(x。)就是所求的最大值或最小值，這時(shí)也就無(wú)須

判斷是極大值還是極小值.

第三部分三角函數(shù)

一、重點(diǎn)突破

1、關(guān)于任意角的概念

角的概念推廣后，任意角包括、正角、負(fù)角、零角；象限角、軸上角、

區(qū)間角及終邊相同的角

2、角的概念推廣后，注意“0°到90°的角”、“第一象限角”、“鈍角”

和“小于90°的角”這四個(gè)概念的區(qū)別

3、兩個(gè)實(shí)用公式：弧度公式：1=\ar,扇形面積公式：S=1ar2

2

4、三角函數(shù)曲線即三角函數(shù)的圖像，與三角函數(shù)線是不同的概念

5、利用任意角的三角函數(shù)及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式

可以解決證明、化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題，而求值有“給角求值”、“給值求值”、

“給值求角”三類。

6、應(yīng)用兩角和與差的三角函數(shù)公式應(yīng)注意：

⑴當(dāng)a,B中有一個(gè)角為王的整數(shù)倍時(shí)，利用誘導(dǎo)公式較為簡(jiǎn)便。

2

⑵善于利用角的變形，如6=(a+6)—a,2a=(a+6)+(a—B),巴

2

+2a=2(a+與等

4

⑶倍角公式的變形一一降幕公式：sin2a=3必，cos2a=3四，

22

sinacosa=1sin2a應(yīng)用十分廣泛.

2

7、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，重點(diǎn)掌握：，

⑴周期性的概念；出丫=人$性（3*+0）的圖像是由y=sinx的圖像經(jīng)過(guò)

怎樣的變換得到

⑶五點(diǎn)法作圖.

8、三角求值問(wèn)題的解題思路：

⑴三種基本變換：角度變換、名稱變換、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的變換

⑵給值求角問(wèn)題的基本思路

①先求出該角的一個(gè)三角函數(shù)值；②再根據(jù)角的范圍與函數(shù)值定角，

要注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響。

9、注意活用數(shù)學(xué)思想方法：方程思想、數(shù)形結(jié)合，整體思想、向量

方法

二、注意點(diǎn)

㈠三角函數(shù)y=Asin（3xW中）（A,。>0）的性質(zhì)

1、奇偶性：當(dāng)（p=k“+'時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)（p=kn時(shí)是奇函數(shù)，當(dāng)廿與

時(shí)是非奇非偶函數(shù)（k￡Z）

1兀

1K71H-------（D

2、對(duì)稱性：關(guān)于點(diǎn)（旦土，0）中心對(duì)稱，關(guān)于直線x=―」（ke

33

Z）軸對(duì)稱.

㈡任意角三角函數(shù)

1、當(dāng)a為第一象限角時(shí)，sina+cosa>1

2、當(dāng)ae(一變+2kn,4+2k”)，kWZ時(shí)，sina—cosa<0(點(diǎn)在

44

X—y=0下方)

當(dāng)ae(4+2kn,羽+2kn),k￡Z時(shí)，sina—cosa>0(點(diǎn)在x

44

—y=0上方)

總之，可歸納為“成上大于0,成下小于0”.

第四部分平面向量

一、知識(shí)方法與技巧

㈠向量的概念及運(yùn)算

1、向量的有關(guān)概念向量一既有大小又有方向的量

向量的長(zhǎng)度(模)一向量的大小

平行向量(共線向量)一方向相同或相反的非零向量,并且規(guī)定零向

量與任何向量均平行.

相等向量一長(zhǎng)度相等且方向相同的向量。

2、向量運(yùn)算

⑴加法運(yùn)算

加法法則：①三角形法則；②平行四邊形法則

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)l=3,yi),b=(x2,y2),貝Fl+各=(x]+x2,yi+y2).

⑵減法運(yùn)算

減法法則，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

設(shè)。=(xi,yj,b-(x2,y2),則a—B=(Xi—X2,yi—y?).

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xi,yj,3,y2),AB=(X2—xby2—yj.

⑶實(shí)數(shù)與向量的積

定義：A,a,其中人>0時(shí)，入a與a同向，|入a|二A.|a|;

當(dāng)人〈0時(shí)，人[與「反方向，|人5|=|人||)].0,?=6

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)J=(x,y),則:入聯(lián)=入(x,y)=(入x,Ay).

3、向量的幾何運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算

向量的幾何運(yùn)算是向量知識(shí)的基礎(chǔ)，本類題是向量加減法、數(shù)乘的運(yùn)

算定義和運(yùn)算法則的基本練習(xí)，以向量運(yùn)算圖或向量運(yùn)算式給出，并

通過(guò)圖解或式解來(lái)完成，設(shè)問(wèn)形式有求解、作圖、化簡(jiǎn)、證明等，解

題方法比較直接。

向量的坐標(biāo)運(yùn)算包括直接利用坐標(biāo)法運(yùn)算法則計(jì)算向量的和、差、數(shù)

乘積。

4、兩個(gè)向量平行的充要條件

a//ba=b；設(shè)a=(xi,yj,b=(x2,yz)>則a〃BoXiy?—x2yi=0.

㈡平面向量的數(shù)量積

1、平面向量的數(shù)量積

定義：a?b=\a\\bcos0(aW6,bW6,0°<9<

幾何表示

180°)6??=0

坐標(biāo)表示

a?b=XiX2+yiy2

a9b-b?a(aa)9b-a?(入Z?);(a+Z?)?c-a?b

運(yùn)算律

+右?c

2、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)

⑴a=yla-a=yj\a\2(2)cos9=f(3)a?ZWa

\a\\b\

幾何表示

b\

(1)|a\=收+y；(2)cos。=+

"G+y；?丘+W

坐標(biāo)表示

⑶|xix2+yiy21<Jx；+y；?h+義

3、兩個(gè)向量垂直的充要條件

a±b<^>a?b=0（a>3均為非零向量）設(shè)屋（Xi,yj,b=（x2,y2）,則

aJ_ZoXiX2+yiy2=0.

4、常用的模的等式和不等式

或％=后;|?-b\^\2\-\b\;\a\2-\b\2=Q+b）Q

—b）

\a+b\=\a2+b2+2\a\-\b\cos0（。為a、b夾角）.\\a\—±

b\^\a\+\b\.

特別是242及其變式應(yīng)用最為廣泛.

㈢線段的定比分點(diǎn)及平移

1、線段的定比分點(diǎn)及平移的基礎(chǔ)知識(shí)

⑴線段的定比分點(diǎn)

當(dāng)+AX2

線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：<1+/[Pl（X1,yi）,P2（x2,y2）,P（X,y）,

、,=%+僅

1+2

P^P=人麗］

X,+x

X=---?,

中點(diǎn)坐標(biāo)公式：,2三角形重心坐標(biāo)公式：設(shè)4ABC的三

2

個(gè)項(xiàng)點(diǎn)為A(xi,%),B(x2>y2),C(x3,y3),則重心G(x,y)的坐標(biāo)為：x=

占+9+W、，—M+%+%

3'y~~3—

⑵圖形變換公式

平移公式：若點(diǎn)P°(x,y)按向量5=(h,k)平移至P(x，,1),則

x'=x+h,

yf=y+k.

2、平移公式的三類運(yùn)用

⑴已知平移前后的解析式，求平移向量；⑵已知平移向量及解析式,

求平移后的解析式;

⑶已知平移向量及平移后的解析式，求平移前的解析式.

說(shuō)明：三類問(wèn)題主要是運(yùn)用平移公式及待定系數(shù)法.

㈣正余弦定理的運(yùn)用

1、關(guān)于三角形邊、角的主要關(guān)系式

⑴三角形內(nèi)角和等于180°

⑵三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

⑶三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角.⑷正弦定理，二=一一=—

sinAsinBsinC

=2R.

⑸勾股定理c2=a?+b2(其中c為直角三角形的斜邊)

⑹余弦定理c2=a?+b2—2abcosC；cosC=fl+b~c-.

2ab

⑺射影定理：a=bcosC+ccosB.

⑻三角形的面積公式：S4=Lah(其中h是a邊上的高).SA=-absinC.

22

⑼由A+B+C="，易推出

①sinA=sin(B+C),cosA=—cos(B+C),tanA=—tan(B+C)

C2jsm—=cos---,cos—=----，tan—=cot----.(10)a〉b=A〉Bo

222222

sinA>sinB.

?銳角4ABC中，A+B>-,A>--B,sinA>cosB,cosA<sinB,a2+b2>c2,

22

同樣可類比銳角AABC中結(jié)論.

2、利用正、余弦定理判斷三角形的形狀

由已知，利用三角形中的主要知識(shí)點(diǎn)，特別是角的關(guān)系和邊角關(guān)系，

推出滿足題設(shè)條件的三角形的形狀。

3、利用正、余弦定理及三角形面積公式等解三角形.

⑴正弦定理反映了三角形的邊角關(guān)系，它可以用來(lái)解決兩類解斜三角

形的問(wèn)題.

①已知兩角和一邊，求其他邊和角.

②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角(可進(jìn)一步求出其他

的邊和角).

⑵余弦定理也反映了三角形的邊角關(guān)系，它是勾股定理的進(jìn)一步推廣,

它可以解決以下三類有關(guān)斜三角形問(wèn)題.

①已知三邊，求三個(gè)角.②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其

他兩個(gè)角.

③已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求第三邊和其他兩個(gè)角，此類問(wèn)題需

要討論.

二、易錯(cuò)點(diǎn)提示

1.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即G%).三屋

2.零向量與任何向量的數(shù)量積等于0,故平行向量不具有傳遞性即

a.ll~b^bll不必〃c.

3.平面向量數(shù)量積的消去律不成立，即若2是非零向量，且黑2=并

不能得到a=b,

只可得到5、B在七上的投影相等.

4.a2=a?a=\a\\a\cos0=a|2.故/是一■個(gè)實(shí)數(shù).

f

5.a>B的夾角為銳角,一a>B的夾角為鈍角

a-b^\a\\b\

a-b<Q

oj一一一一

a-b-\a\\b\

6.向量而、而不共線，OP=mOA+ndB,則A、P、B三點(diǎn)共線的充

要條件是m+n=l.

7.在應(yīng)用正弦定理解決“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求解三角形”

時(shí)應(yīng)注意解的個(gè)數(shù).

8.在應(yīng)用平移公式"時(shí)，一定要分清P(x,y)為平移前的點(diǎn)，

y=y+k

P'(x，)為平移后的點(diǎn)，〉=(h,k)為平移向量，否則會(huì)出現(xiàn)方向

性錯(cuò)誤.

第五部分：數(shù)列

考試要求

⑴理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義。了解遞推公式

是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)。

⑵理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前幾項(xiàng)和

公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

⑶理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和

公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

二、知識(shí)方法與技巧

1.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式時(shí)，其通項(xiàng)公式不唯

n=l

例如：1,2,4,.通項(xiàng)廿2L1或a］；2

n>2

1.數(shù)列通項(xiàng)公式an=f（n）,其圖象是y軸右側(cè)的坐標(biāo)為（n,aj

的一系列孤立點(diǎn).

2.由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以判斷數(shù)列的單調(diào)性與判斷函數(shù)

的單調(diào)性方法基本是相同的，只需比較須與am的大小即可.

①利用遞推公式或者為與Sn的關(guān)系式解題時(shí)，一般要驗(yàn)證初

始值n是否適合所求的式子，即為=［匹〃=1；

-S“_1n>2

②涉及an—或Sn—時(shí)，應(yīng)分n=l和n22兩種情況考慮；

③等比數(shù)列求和時(shí)，要考慮公比q是否為L(zhǎng)

3.若三數(shù)成等差數(shù)列，則可設(shè)三數(shù)為a—d,a,a+d；若三數(shù)成

等比數(shù)列，則可設(shè)Ja,aq.

q

4.證明數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列（等比數(shù)列），必須根據(jù)等差數(shù)列

（等比數(shù)列）的定義加以證明.

證明數(shù)列｛%｝不是等差數(shù)列（等比數(shù)列），只須說(shuō)明aba2,a3

不成等差數(shù)列（等比數(shù)列）即可.

5.數(shù)列｛aj為等差數(shù)列的充要條件的幾種表示（即等差數(shù)列的

=

判定方法）：①an+i—an=d（常數(shù)）;（2）2an+ian+an+2;③aikn+b（k、

b為常數(shù)），其中公差d=k.④S/Ar+Bn.

數(shù)列｛a』為等比數(shù)列的充要條件的幾種表示（即等比數(shù)列的判

=

定方法）：①=q（常數(shù)）；（2）an+ranan+2；③an=aq"（aqW0,且a、

an

q為常數(shù)）

6.當(dāng)公差dWO時(shí)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn方可表示為關(guān)于n

的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)的2倍就是公差.

11.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的方法：⑴可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，

求最值；⑵應(yīng)用以下結(jié)論：①當(dāng)公差d<0時(shí)，Sn最大oanNO

且a.iWO；②當(dāng)公差d>0時(shí)，Sn最小oanWO且an+120.③利用

f（n）=Sn的拋物線特征解小題（dWO）.

12.①等比數(shù)列的任一項(xiàng)及公比都不能為0；②常數(shù)數(shù)列不一

定是等比數(shù)列；③G?=ab是a、G、b成等比數(shù)列的必要條件而非

充分條件.

13.①若｛aj是等差數(shù)列,則｛*｝是等比數(shù)列（aWO的常數(shù)）；

②若②J是等比數(shù)列,且a，0,則｛logaaj是等差數(shù)列（a為

常數(shù)）.

14.求數(shù)列｛aj的最值常見(jiàn)方法：①利用通項(xiàng)公式力的本身特

征求解；②若｛%｝是單調(diào)數(shù)列，則可利用單調(diào)性求解；③若對(duì)一

切n￡N*都有，an>0(an<0),則a0最大為最小o

a“>%

T.

a”<??+i

15.求數(shù)列｛a』前n項(xiàng)和Sn,關(guān)鍵是根據(jù)通項(xiàng)a”的特征，去尋

求求和的方法，常見(jiàn)幾種方法：⑴通項(xiàng)裂項(xiàng)法；⑵錯(cuò)位相差法;

⑶累加(累乘)法；⑷逆項(xiàng)相加法.

16.分期付款中，要弄清商品售價(jià)到貸款全部付清時(shí)增值到多

少；各期所付款額到貸款全部付清時(shí)分別增值到多少；如何利用

分期付款中的有關(guān)規(guī)定列出方程；解方程時(shí)，如何利用等比數(shù)列

的知識(shí)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。

17.an-ai+(&2-ai)+(as-a2)+…+(an—an-i)>an-aiX—x—X???

a】a2

"(aJO)

等比中項(xiàng)

如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列，那么

G叫做a與b的等比中項(xiàng).

如果G是a與b的等比中項(xiàng)，那么9=2,即G?=ab,因此，

aG

G=±4ab

G是a,b的等比中項(xiàng)的充要條件是G2=ab(或G:土猴),其中

ab>0,條件ab>0不能少，如果ab=0,a,b中至少有一個(gè)為0,

那么a,g,b就不為等比數(shù)列，只有同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng),

等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，這一點(diǎn)與等差中項(xiàng)不同.

一個(gè)等比數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等比數(shù)列的末項(xiàng)除外）

是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)。

2.等比數(shù)列性質(zhì)

⑴若首項(xiàng)aDO,公比q>l,或首項(xiàng)aWO,公比0〈q〈l,則數(shù)列

為遞增數(shù)列；若首項(xiàng)ai>0,公比0〈q〈l或首項(xiàng)ai<0,公比q>l,

則數(shù)列為遞減數(shù)列；公比q=l,數(shù)列為常數(shù)列；公比q〈0,數(shù)列

為擺動(dòng)數(shù)列，公比不等于零是一大特色.

⑵有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)積相等，并且等

于首末兩項(xiàng)之積；特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項(xiàng)的平方，

即：

=="=

a，i,an-a2?an-1&3,&n-2**.

⑶若m,n,p,k￡N*,且m+n=p+k,貝（Jam?an=ap,ak,其中am,

an,ap,ak是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)m+n=2p時(shí)，有a9?a-a；

類似于等差數(shù)列，在使用該性質(zhì)時(shí)，不僅應(yīng)注意等式兩邊下標(biāo)

和相等，也應(yīng)要求等式兩邊作積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)是一樣多的.

⑷若數(shù)列｛a』與｛bj均為等比數(shù)列,則｛m?a”?bn｝與|"士|仍為

等比數(shù)列，其中m是不為零的常數(shù).

⑸等比數(shù)列列通項(xiàng)公式an=a「?廣二旦?十,則切可表示為

q

a/c?q",其中C=幺，q為公比.

⑹等比數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和Sn=98=---0(qW1),則

1-q1-q\一q

Sn可表示為Sn=k—k?q、其中q為公比，qWO,qWl,k=-^-.

i-q

等差中項(xiàng)

任意兩個(gè)數(shù)a,b有且只有一個(gè)等差中項(xiàng)，即人="1

2

A=…是a,A,b成等差數(shù)列的充要條件，因此，兩個(gè)數(shù)的等差

2

中項(xiàng)就是這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù).

在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除

外)，都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).

2、等差數(shù)列的性質(zhì)

⑴若公差d>0,則此數(shù)列為遞增數(shù)列；若d〈0,則此數(shù)列為遞

減數(shù)列；若d=0,則此數(shù)列為常數(shù)列.

⑵有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)和相等，并且

等于首末兩項(xiàng)之和；特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項(xiàng)的2

倍，即

ai+aFaz+an-i=a3+an-2=…=2a中

⑶若m,n,p,k￡N*,且m+n=p+k,貝！Jam+an=ap+ak,其中am,an,ap,ak,

是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)m+n=2p時(shí)，有am+an=2ap.

這條性質(zhì)，還可以推廣到有三項(xiàng)、四項(xiàng)……等情形，使用該性

質(zhì)時(shí)，一要注意等式兩邊下標(biāo)和相等，二要注意等式兩邊和的項(xiàng)

數(shù)應(yīng)是一樣多的.

⑷在等差數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)順序排列,

構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列，但剩下的項(xiàng)按原順序構(gòu)成的數(shù)列

不一定是等差數(shù)列.

⑸等差數(shù)列中連續(xù)幾項(xiàng)之和構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列.

⑹若數(shù)列｛a』與｛bj均為等差數(shù)列，則｛man+kbj仍為等差數(shù)列,

其中m,k均為常數(shù).

⑺等差數(shù)列列J通項(xiàng)公式an=ai+(n—1)d=dn+(ai—d),則an可

表示為：an=kn+b,(其中k為等差數(shù)列的公差，它可以是任意實(shí)

數(shù)).

⑻等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S=+^(n-l)d=^n2+(-^),則S,

nnai22ai2

2

表示為：Sn=an+bn,其中a,b也可以是任意實(shí)數(shù)，常數(shù)項(xiàng)為0是

一大特色.

另外，等差數(shù)列中還有以下性質(zhì)須注意：

⑼等差數(shù)列｛aj中，若an=m,am=n,(mWn)則a"。.

⑩等差數(shù)列｛aj中，若Sn=m,Sm=n,貝ljSm+n=—(m+n).

(11)等差數(shù)列列n｝中,若Sn=Sm(mWn),則Sm+n=O.

?若｛an｝與｛b』均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為Sn與S：,則

二加_02加一1

bm

(13)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列｛aj,有S2n=n(ai+a2n)=???

=

二n(an+dn+i)(an與@n+i為中間的兩項(xiàng))；S偶一S奇二nd；?項(xiàng)數(shù)

3偶an+l

為奇數(shù)(2n—1)的等差數(shù)列｛aj,有S2n1=(2n—l)aKan為中間項(xiàng))；

＞Q奇—》Q偶_—Hn；S—奇—=H7.

S偶n-1

S奇、s偶分別為數(shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)的和與所有偶數(shù)項(xiàng)的和.

等差數(shù)列｛為｝的一些性質(zhì)

⑴對(duì)于任意正整數(shù)n,都有am—a0=a2—a]

(2)｛an｝的通項(xiàng)公式：an=(a2—ajn+(2ai—a2)

⑶對(duì)于任意正整數(shù)p、q、r、s,如果p+q=r+s,JU!)ap+aq=ar+as

⑷對(duì)于任意正整數(shù)p、q、r,如果p+r=2q,則有ap+a「=2aq

⑸對(duì)于任意正整數(shù)n〉l,有2an=an—+an+i

⑹對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)b,數(shù)列｛ban｝是等差數(shù)列，則數(shù)列⑶｝是

等差數(shù)列

⑺已知數(shù)列｛0｝是等差數(shù)列，則｛為土酬｝也是等差數(shù)列

⑻人」，｛a2n-i｝>｛a3n-i｝｛a3n-2｝等都是等差數(shù)列

(9)S3m=3(S2m-Sm).

⑩若Sn=Sm(lllWn),則Sm+n=O

QD若Sp=q,Sq=p,則Sp+q=—(p+q)(pWq)

G2)Sn=an2+bn,反之亦成立.

等比數(shù)列

⑴定義：-q(常數(shù)q為公比)(2)通項(xiàng)公式：a/ad-

a?

na｛q=l

n

⑶前n項(xiàng)和公式Sn=<a^-q")⑷通項(xiàng)公式推廣：an=am,q

1-q

等比數(shù)列｛aj的一些性質(zhì)

⑴對(duì)于任意正整數(shù)n,均有，=蟲(chóng)

a??i

⑵對(duì)于任意正整數(shù)p、q、r、s,只要滿足p+q=r+s,則ap?aq=ara

⑶對(duì)于任意正整數(shù)p、q、r,如果p+r=2q,則ap?ar=a；

⑷對(duì)任意正整數(shù)n>l,有*=an-i?a.

⑸對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)b,｛baj也是等比數(shù)列

⑹已知｛bn｝是等比數(shù)列，則｛anbn｝也是等比數(shù)列

第六部分：不等式

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

二、知識(shí)要求

㈠不等式的證明

比較法：作差一一分解因式、配方等一一判斷符號(hào)一一結(jié)論（也

可作商與比較）

綜合法：利用不等式性質(zhì)、定理證明不等式

分析法：從欲證不等式出發(fā)，尋找它成立的充分條件.注意書(shū)寫(xiě)

的規(guī)范性，否則可能不得分。

反證法：反設(shè)一推出矛盾一否定假設(shè)一得出結(jié)論

㈡不等式的解法

重點(diǎn)是一元一次、二次不等式、分式不等式、絕對(duì)值不等式的解

1.一元一次不等式：一般形式ax>b；

若a=0,則當(dāng)b〈0時(shí)，xGR；當(dāng)b20時(shí)，x￡0.

2.一元二次不等式ax2+bx+c>0

若a>0,A<0,則x￡R若a<0,A<0,貝!Jx￡0

注意點(diǎn)：⑴二次項(xiàng)系數(shù)a是否大于0；

⑵若沒(méi)有強(qiáng)調(diào)是二次函數(shù)，則需考慮a=0的情形.

3.分式不等式和高次不等式：^>0^f(x)g(x)>0.

g(x)

注意：/w^o^|f(x)-g(x)-°.

g(x)[g(x)#O

㈢基本不等式

a+b

在用基本不等式求極值時(shí)，注意：⑴“正數(shù)”，二“定值”,

相等”

⑵等號(hào)是否取到，若不能取到，常常應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解；

⑶注意挖掘應(yīng)用問(wèn)題中變量的范圍。

⑷如果連續(xù)運(yùn)用基本不等式時(shí)要注意取等號(hào)時(shí)的情況也就

是所有取到等號(hào)時(shí)，極值點(diǎn)相同.

三、能力要求

1、正確理解和應(yīng)用不等式的性質(zhì)，注意到性質(zhì)中條件減弱和加

強(qiáng)時(shí)，條件和結(jié)論之間的關(guān)系。掌握判斷已給不等式是否成立，比較

大小，判斷不等式中條件和結(jié)論之間充分性的方法。

2、證明不等式要根據(jù)待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活地選用恰當(dāng)

的方法。

3、熟練掌握有理不等式的解法，這是解不等式的基礎(chǔ)。對(duì)含參

數(shù)的不等式的求解，要充分理解為什么要分類，這是探索分類的標(biāo)準(zhǔn)

和正確分類的前提。

4、對(duì)于不等式的應(yīng)用，要掌握把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)式、代數(shù)

式的處理方法，提高實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的能力。這類問(wèn)題大致上可以分

為兩類：一類是建立不等式，解不等式；另一類是建立函數(shù)式求最大

值或最小值。利用平均值不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要特別注意“正數(shù)、

定值和相等”三個(gè)條件缺一不可。

4、本章內(nèi)容較多地體現(xiàn)了四種數(shù)學(xué)思想，即“等價(jià)轉(zhuǎn)化”的思

想；“分類討論”的思想；“數(shù)形結(jié)合”的思想；“函數(shù)與方程”的思

想。

四、易錯(cuò)點(diǎn)提示

1、不等式的解一般都要用解集表示：特別是填空題。

2、在解不等式的過(guò)程中要注意，自變量的約束范圍要準(zhǔn)確表示

區(qū)間的開(kāi)閉。

3、在不等式的傳遞過(guò)程中，要注意的傳遞性。

放縮中：如果是“放"<<<……

如果是“縮”222……

4、在分離變量的變形過(guò)程中，兩邊同乘除以一個(gè)因式要注意被

除因式的符號(hào)

例：

“3._2,_3_2

—M+ax,+x—cix1<?/.\/1

!!999

—------=----—x--XiX2—x；+a（xi+x2）<1

%]-x2

當(dāng)Xi+x2>0時(shí)，a〈+后+1

X]+x2

當(dāng)X1+X2〈O時(shí)，a〉x；+x；+1

xx+x2

用分離變量恒成立是常見(jiàn)的求范圍的方法

第七部分：立體幾何

一.直線與平面

1.空間直線：

⑴判定空間兩直線是異面直線的常用方法是反證法；⑵對(duì)異直線

所成的角的問(wèn)題，要注意：①異面直線所成角的范圍為：（0,卷；②

求異面直線所成的角的大小問(wèn)題通常分為：找角（證角）、求角兩步，

而找角通常是利用直線的平移把角納入平面圖形中，利用平幾及代數(shù)

知識(shí)求解；⑶異面直線間距離是通過(guò)異面直線上兩點(diǎn)間所有線段的長(zhǎng)

度的展個(gè)值.

2.直線與平面平行、垂直

判定定理是由低一級(jí)的位置關(guān)系判定高一級(jí)的位置關(guān)系，而性質(zhì)

定理往往是高一級(jí)的位置關(guān)系推出低一級(jí)的關(guān)系，如對(duì)直線與平面平

行的判定，就可以通過(guò)直線與直線，直線與平面，平面與平面的三個(gè)

不同層次予以考慮.也可以通過(guò)計(jì)算來(lái)證明垂直.

3.三垂線定理

三垂線定理及逆定理實(shí)際上是線面垂直的簡(jiǎn)化模型，主要作用是:

⑴證明異面直線垂直；⑵求二面角的平面角；⑶確定點(diǎn)到面的距離.

4.平面與平面平行

兩平行平面間的距離，除了求夾在平行平面間的垂線段這一方法

外，還可轉(zhuǎn)化為求線面距離、點(diǎn)面距離.

5.平面與平面垂直

⑴利用平面與平面垂直的條件，通常在一個(gè)面內(nèi)作棱的垂線，轉(zhuǎn)

化為線面垂直.進(jìn)而利用解三角形解決空間角、距離、面積、體積的

計(jì)算.⑵兩個(gè)平面互相垂直，3個(gè)平面兩兩互相垂直的常用模型是長(zhǎng)

方體（正方體），因此與3個(gè)平面兩兩垂直有關(guān)的問(wèn)題，可通過(guò)構(gòu)造

長(zhǎng)方體的相交于同一頂點(diǎn)的3個(gè)面來(lái)處理.

6.空間角

⑴求空間角大小的一般步驟是“作、證、求”，三種角都是轉(zhuǎn)化

為相交直線所成的角或所夾的角，計(jì)算過(guò)程中要注意角的范圍.也可

用空間向量來(lái)求.

⑵二面角的大小是通過(guò)其平面角來(lái)度量的，求二面角時(shí)首先搞清

（或作出）棱，求作二面角的平面角常見(jiàn)的方法有：①定義法；②垂

面法：過(guò)棱上一點(diǎn)0作棱的垂面Y，與兩個(gè)半平面的交線為AO、B0,

則NAOB就是二面角的平面角；③利用三垂線定理及逆定理作角；④

利用面積射影法：cos。=二，其中。是二面角的大小，S是在其中一

個(gè)面上圖形的面積，S，是該圖形在另一個(gè)半平面上的射影的面積.

⑤用空間向量來(lái)求.

7.空間距離

常見(jiàn)的求空間距離的方法有：⑴直接法.按“一作、二證、三計(jì)

算”的步驟完成，⑵轉(zhuǎn)化法.在直接法不易求解時(shí)，可考慮以下轉(zhuǎn)化

法：①點(diǎn)面距離、線面距離、面面距離間的互相轉(zhuǎn)化；②利用三棱錐

的等積變換.

點(diǎn)、面線、面面、面

---------------——：----------------?1----------------

?-------?----------

It

8.平面圖形的翻折

⑴在平面圖形翻折中，位于棱的兩側(cè)的同一半平面內(nèi)的元素相對(duì)

位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系在翻折前后不變，尤其是垂直于棱的直線翻折后

仍垂直于棱；⑵不變量一般是結(jié)合原圖形來(lái)求、證；變化了的量應(yīng)在

折后的立體圖形中來(lái)求、證，注意將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題；⑶多

面體表面上兩點(diǎn)間最近距離常轉(zhuǎn)化為表面展開(kāi)圖上距離.

二.簡(jiǎn)單幾何體

1.柱體、錐體

⑴定義及性質(zhì)；⑵特殊的多面體：直棱柱、平行面體、長(zhǎng)方體、

正方體；⑶正方體的體對(duì)角線與不相交的面對(duì)角線互相垂直；⑷長(zhǎng)方

體的體對(duì)角線與棱長(zhǎng)關(guān)系；⑸幾種特殊三棱錐的頂點(diǎn)在底面上的射影;

正棱錐側(cè)=!(^

⑹側(cè)面積：①S直棱柱側(cè)二c?1;②S11/斜棱柱側(cè)=c直

2

/;其中h，為斜高，/為側(cè)棱長(zhǎng)；⑺平行于棱錐的底面的截面積與底

面積之比等于對(duì)應(yīng)高的平方米，對(duì)應(yīng)邊的平方比，對(duì)應(yīng)側(cè)棱的平方比.

2.⑴球既是中心對(duì)稱，又是軸對(duì)稱的幾何體，它的任何截面均為圓,

且過(guò)球心的截面是大圓也是軸截面，因此球的問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為圓的有

關(guān)問(wèn)題來(lái)解決.⑵球的任一截面為圓，圓心與球心的連線垂直于該平

面，且球半徑R,截面半徑r,球心到截面的距離d滿足：；

⑶求球面上兩點(diǎn)A、B間的距離的步驟為：①求線段AB長(zhǎng)；②求A、

B到球心。的張角，即NAOB；③計(jì)算球大圓在A、B兩點(diǎn)間所夾的劣

弧長(zhǎng)；⑷長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是它外接球的直徑.

3.體積

⑴對(duì)三棱錐注意頂點(diǎn)與底面的轉(zhuǎn)換，常用換頂點(diǎn)方法求體積；

⑵體積法可以用來(lái)求點(diǎn)到面的距離，多面體內(nèi)切球半徑；

⑶較復(fù)雜的幾何體的體積可分為一些較簡(jiǎn)單的柱體、錐體求體

積.

第八部分