湖南省衡陽市某中學2021級高二年級上冊期末數學試題（解析版）

衡陽市八中2021級高二上期期末考試

數學試題

注意事項：本試卷滿分為150分，時量為120分鐘

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

?設集合A={xI—4x+3<0},B={x\2x—3>0}則AB=

A.(-3,-?B.(-3,—)C.(I；)D.(—,3)

【答案】D

【解析】

,j弋產

【詳解】試題分析：集合A={x|(x—l)(x—3)<0}="|1<%<3},集合點,!小,6.，，所以

AnB=|x|-|<x<3|，故選D.

考點：1、一元二次不等式；2、集合的運算.

2.已知復數z的共朝復數彳=二一,則復數z的虛部為().

1+1

A.-iB.iC.1D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】根據復數運算，復數與共軌復數關系解決即可.

22(l-i)

［詳解］z=--7=-7.—~—

l+i(l+i)(l-i)

所以z=l+i，

所以復數z的虛部為1.

故選：C.

3.已知向量a力均為單位向量，且。_1_人貝！1(2；—辦).(a+4/)=(

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】B

【解析】

【分析】根據向量數量積的運算性質及垂直關系的向量表示即可求解.

【詳解】解：因為向量a力均為單位向量，且a，，，

所以a=M=l,a-b=0>

所以（2a—?（a+4。）=2/—47+7a0=2卜1—4=-2,

故選：B.

1,

4.拋物線E:y=—爐的焦點到其準線的距離為（）

4

11

A.—B.—C.2D.4

84

【答案】C

【解析】

【分析】將拋物線方程化為標準式，即可得到再根據。的幾何意義得解；

詳解】解：拋物線=即》2=4>,則2。=4,所以p=2,

所以拋物線的焦點到其準線的距離為P=2.

故選：C

5.沙漏是我國古代的一種計時工具，是用兩個完全相同的圓錐頂對頂疊放在一起組成的（如圖）.在一個

圓錐中裝滿沙子，放在上方，沙子就從頂點處沫到另一個圓錐中，假定沙子漏下來的速度是恒定的（沙

堆的底面是水平的）.已知一個沙漏中沙子全部從一個圓錐漏到另一個圓錐中需用時27分鐘，則經過19

分鐘后，沙漏上方圓錐中的沙子的高度與下方圓錐中的沙子的高度之比是（）

A.1:1B.2:1C.2:3D.3:2

【答案】B

【解析】

設平面\BD的法向量n=(a,b,c),

DB-n=3a+3b=0

則《，令。=1,解得：b=-l,c=-l,..n=(l,-l,-l),

ZMj-n=3a+3c=0

1AAi

二.A與A到平面的距離d=鳳*1

Hn\

XAA'//n>''-x-3=-y=-z,

；.x=l,y=2,z=2，；.A(L2,2),

|,R4|+|PE|=IPA'I+|PE|>\AE\=74+1+4=3(當且僅當4P,后三點共線時取等號)，

即歸A|+|P國的最小值為3.

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查立體幾何中距離之和的最值問題的求解，解題關鍵是能夠求得A關于平

面的對稱點A,從而利用三角形兩邊之和大于第三邊的特點確定當三點共線時取得最小值.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知空間中三點4(0,1,0),6(2,2,0),C(—1,3,1),則下列結論正確的有()

A.ABA.AC

B.與.共線的單位向量是(LL0)

c.與AC夾角的余弦值是15

11

D.平面ABC的一個法向量是〃2=(1,-2,5)

【答案】AD

【解析】

UUUIUUIU

【分析】對于A,通過計算A3?AC來判斷，對于B,利用共線單位向量的定義求解，對于C,利用向量

的夾角公式求解，對于D,利用法向量的定義求解.

【詳解】對于A,因為A(0,1,0),3(2,2,0),C(—1,3,1),所以AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),

所以AB-AC=—2+2=0，所以所以A正確，

探得卜1，。)=

對于B,因為AB=(2,1,0),所以與AB共線的單位向量為

AB1［-乎，-*“，所以B錯誤,

或一網(2,1,0)=

對于C,因為A3=(2,1,0),AC=(—1,2,1),

所以cos("=1=°,所以C錯誤,

所以\\AB\\AC\A/5XV6

對于D,因為〃2=(1,—2,5),AB=(2,1,0),AC-(-1,2,1),

所以m?AB=2—2+0=0,根-AC=—1—4+5=0,

所以根，AC,所以平面ABC的一個法向量是〃z=(l,-2,5),所以D正確,

故選：AD.

10.己知函數/(工)=/+；X2-4x,則()

A.%=1是“力的極小值點B.7(%)有兩個極值點

C.“X)的極小值為1D.“X)在［0,2］上的最大值為2

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用導數分析函數/(尤)的單調性與極值，可判斷ABC選項；利用函數的最值與導數的關系可判

斷D選項.

【詳解】因為/(x)=x3+gf—4x,所以/'(x)=3f+x—4=(X—l)(3x+4),

當xe］_oo,_|J(l,+oo)時，/z(x)>0；當時，ff(x)<0,

故/(%)的單調遞增區(qū)間為1---劣和(1，+8)，單調遞減區(qū)間為,(，"，

則“X)有兩個極值點，B正確；

且當x=l時，〃尤)取得極小值，A正確；

且極小值為/(1)=—g,C錯誤；

又"0)=0，〃2)=2,所以〃力在［0,2］上的最大值為2,D正確.

故選：ABD.

11.設等比數列｛斯｝的公比為q,其前和項和為S”,前"項積為力”且滿足條件。1>1,0202002021>1,

(?2020~1)(G2021-1)<0,則下列選項正確的是()

A.0<^<1B.&020+1<>?2021

C.n020是數列｛〃｝中的最大項D.7W1>1

【答案】AC

【解析】

【分析】由題意，根據。202042021>1,(。2020-1)(42021-1)<0,即可確定4的取值范圍；根據求解出的

q的取值范圍，來判斷生。21的大小，然后判斷選項B；根據己知％和9的取值，判斷數列｛斯｝的單調性，

從而可以確定前“項積的最大值；利用等比中項的性質，將前〃項積轉化成azo2/"，從而進行判斷.

【詳解】由等比數列｛斯｝公比為q,ai>l,。2020。2021>1,(。應2°19)5.2。2。)=(%)2/039>1,

由41>1可得">0,(612020-1)(。2021-1)<0,得

一2。2。1或f^020<l(舍去)，故q=詠<1,

綜上°=詠vi故選項A正確；

。2020

邑020+1>S2O2O+“2021=1^2021,故選項B錯誤；

由己知，o1>a2>a3>>a2020>I>a2021>->0,可知T2020是數列｛△｝中的最大項，故該選項C正

確；

由等比數列的性質可知，。］-。4041=。2?04040==。2020?！?022=。202；，所以

￡)41=%。2a3“4041=。202「°41VL故該選項D錯誤.

故選：AC.

12.公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》是最早有關黃金分割的論著，書中描述：把一

條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值即為“黃金分

割比“，把離心率為“黃金分割比”倒數的雙曲線叫做“黃金雙曲線黃金雙曲線

E:=1(?！?,?！?)的一個頂點為人，與A不在y軸同側的焦點為歹，E的一個虛軸端點為

a~b"

B,尸。為雙曲線任意一條不過原點且斜率存在的弦，/為P。中點.設雙曲線E的離心率為e,則下

列說法中，正確的有（）

2

A.e=B.IOAIIOF|=|OB|

2

C.kOM-kPQ=eD.若OP'OQ,則+1『=e恒成立

【答案】ABC

【解析】

【分析】由黃金分割雙曲線定義求得雙曲線的離心率，判斷A,證明利用射影定理證明

\OA\\OF\=\OB\2,判斷B,利用點差法求Mpo判斷C,聯立方程求出P,Q坐標，計算

11

------T+--------7，判斷D.

1?！?\OQ|2

ac

【詳解】由石為黃金分割雙曲線可得一二——，BPa2+ac=c2（*），對（*）兩邊同除以可得

ca+c

e2_e_1=0,則6=正義，A正確；

2

對（*）繼續(xù)變形得ac=c2-a2=b2,AlAB\2+\BF^a2+b2+c2+b2=a2+c2+2（c2-a2）=3c2-a2,

22

\AF|=(a+c)=

cr+2ac+c~=3c--a?，AB_LBF,

所以NABF=90，又NAO3=90，

所以=ZABO^ZBFO,所以BOF,

品\OA\二\O滴B所以的m=M,，

所以B正確;

設P（西，%），。（工2,%），M（x0,光），將尸，。坐標代入雙曲線方程可得,

二―口二12

f屋,作差后整理可得三二=即三三.九=與

X

%2%*2~\/+%1〃%2一%次0a

U--2---b-2-I

所以即0.自用=匚《=?2-1=與1,故C正確；

設直線OP：y=kx,則直線OQ：y=~x,將，=近代入雙曲線方程廿必一。2y2=162,可得

則丁=4,Mopi+y'喂祟’將攵換成一?即得1。°『=

片62(如+1)11(b2-a2)(k2+1)

----1----=----------=-&與。，〃的值有關，故D錯誤,

b2k2-a2|O尸『IOg|2a2b2(k2+1)abab

故選：ABC.

【點睛】點差法是解決中點弦問題的常用的方法.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.甲、乙、丙、丁、戊5名學生進行某種勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次.甲、乙兩名參賽者

去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”，對乙說：“你當然不會是最差的”，從這個

回答分析，5人的名次排列共可能有種不同的情況.（用數字作答）

【答案】54

【解析】

【分析】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同學在三

個位置上全排列，由分步乘法計數原理即可求解.

【詳解】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，

先排乙，有第二、三、四名3種情況，

再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3種情況，

其他三名同學排在三位置全排列有A；種,

由分步乘法計數原理可知共有3x3xA；=54種，

故答案為：54.

14.已知圓。的圓心為且有一條直徑的兩個端點分別在兩坐標軸上，若直線/:4x—2y+2=0

與C交于A,3兩點，ZACB=120，則實數2=

【答案】-1或—11

【解析】

【分析】根據直線與圓相交，圓心到直線的距離與半徑的關系，即可求解.

【詳解】圓C的一條直徑的兩個端點分別在兩坐標軸上，該圓一定過原點，..?半徑為

r=7(2-0)2+(1-0)2=A/5，

又圓心為C(2,l),故圓。的方程為(x—2y+(y—1)2=5.

|C4|=|CB|=底.??圓心C到直線I的距離為d=工廠,即)：2+川=好，解得幾=T

^ACB=120,

11112716+42

或2=—11.

故答案為：T或T1

1?

15.已知。，〃為正實數，直線y=x—2a與曲線y=ln(x+6)相切，則一+—的最小值是

ab

【答案】8

【解析】

【分析】根據題意結合導數的幾何意義分析可得2a+b=l,再結合基本不等式運算求解.

【詳解】由題意可得：y=ln(尤+6)的導數為y'=，

x+b

1

設切點為,切線斜率左=,則在該點的切線方程為

m+b

1生一,

y—ln(m+b)=-—m),即yx+ln(m+/7)----

m+bm+b

-^―=1

m+b

由題意可得《,整理得2。+6=1,

In(m+Z?)----——-2〃

m+b

則_1L+24=(_1L+2*)(2〃+b)=2+2+2b+絲4a24+2、產b?”4a=8,當且僅當2〃=b=—1時取等號,

ababab\ab2

故—H—最小值為8.

ab

故答案為：8.

16.已知函數〃為是定義在R上的偶函數，記/(%)為函數“九)的導函數，且滿足

/(%)+f'(x)=e-ex+2xe、，則不等式/(x)+W<e的解集為.

e

【答案】(-8,1)

【解析】

【分析】利用偶函數的導數必為奇函數，可求得“X),再代入不等式構造函數即可求解.

【詳解】因為了⑺是定義在R上的偶函數，所以/(—%)=/(%),故[/(—x)]'=/'(x)，

又[/(—X)]'=(―x)/(—x)=—八―X)，所以一/'(一幻=f'(x)，即/'(一%)=—/'(%)，

所以/‘(X)是定義在R上的奇函數；

又因為/(%)+f(x)=ex-e~x+2xsx,所以/(-x)+f'(-x)=QX-ex-2xeTx,即

/(x)-/(x)=葭—e，—2xex,

兩式相加，再整理得：f(x)=xex-xex,

所以由/(x)+?<e得北一尤eT+p<e,即xe，<e,

令/z(x)=xe"-e,則h'^x)=ex+xex=(%+l)e",

當XV—1時，〃(x)<0；當x>—1時，”(元)>0,

所以人(力在(—,T)上單調遞減,在(-1,+<?)上單調遞增，

又因為〃⑴=lxe-e=O,所以在(T+oo)上，^/;(%)<0=/?(1),解得％<1；

又當xV-L時，x<O,eY>0,即xe*<0<e,故無e*-e<0，即〃(X)<0,

綜上：/?(%)=雙"-6<0的解集為{乂％<1},

故/(x)+W<e的解集為{x|x<l}.

e

故答案為：{x[x<l}.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知”,仇c分別為《ABC內角45c的對邊，且(2b-a)cosC=c-cosA

(1)求角C；

(2)若,2=2",A3C的面積為迅，求a+b的值.

7T

【答案】(1)-

3

⑵2A5

【解析】

【分析】(1)結合正弦定理，邊化角即可求解角C；

(2)結合三角形面積公式與余弦定理求解(a+92,即可得6的值.

【小問1詳解】

解：（2Z?-a）cosC=ccosA,

由正弦定理得(2sinB-sinA)cosC=sinCcosA,

所以2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,

由于5￡(0,兀)，所以sinBwO,則cosC=5，又?！?0,兀)，所以C=1；

【小問2詳解】

解：由(1)MsinC=^-,S=—absinC=-abx^-=>/3,ab—4

2222

由余弦定理得/=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=lab,

/.｛a+bY=c2+3ab=5ab=20,

a+b=2^5.

18.數列｛4｝中，q=2，％=2a”+2華，設包=2?

(1)證明：數列｛2｝是等差數列并求數列｛4｝的通項公式；

(2)求數列｛%｝的前〃項和.

【答案】(1)證明過程見詳解；a“=n-2"；(2)7；,=(n-l)-2n+1+2.

【解析】

【分析】(1)根據題意，計算包+1一優(yōu)=1,根據等差數列的定義，即可得出結論成立；進而可求出包=〃，

從而得出｛4｝的通項公式；

(2)先記數列｛a,J的前幾項和為北，根據錯位相減法，即可求出結果.

【詳解】⑴因為。用=2%+2.，6“吟，

所以h-h-""+ia,'-2a”+2"a?_,

所以數列｛bn｝是公差為1的等差數列；

又q=2,所以々=*=1,因此優(yōu)=〃，即a"="2；

(2)記數列｛?！埃那啊椇蜑?；，

貝口=q+0+…+a“=L2+2-22+…+〃-2”①

所以27；=122+2々3+…+刀.2"+i②

p

,；D、石為分別為PC、oc的中點，

/.OP//DE,而OPa平面DEF,DEu平面DEF

；?OP//平面DE尸，又OMcOP=O,OMu平面POM,QPu平面POM,

平面POM//平面。EF,H/u平面POM,

PM//平面DEF；

【小問2詳解】

?：AB=BC,。為AC的中點，

/.OBLAC,

：OP_L平面ABC,故。B,OC,OP兩兩垂直.

分別以08,OC,OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系。一孫z.

不妨設AB=2,由N5AC=30得05=1，OA=5

：PB與平面ABC所成的角為60，而。尸，平面ABC,

/.NPBO=60，，OP=5

.?.p（o,o,⑹,坐，4“岑

易知m=（0,0,1）為平面ABC的法向量，

PE=°,當,—6,M￡=f-1,V3,ol

設5=(x,y,z)為平面AffiP的法向量,

n-PE=—y-j3z=0

n-BM=_gx+6y=0

令y=2,則〃=,6,2,1)為平面ME尸的一個法向量,

/\m-n1y/53

cos(m,n)=-；-n-r=/一=----,

網網lx,48+4+153

、斤

平角ABC與平面MEP的夾角的余弦值為—.

53

20.2022年7月1日是中國共產黨建黨101周年，某黨支部為了了解黨員對黨章黨史的認知程度，針對黨

支部不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“黨章黨史”知識競賽，滿分100分(95分及以上為認知程度高

),結果認知程度高的有優(yōu)人，按年齡分成5組，其中第一組：［20,25),第二組：［25,30),第三組:

得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

(1)根據頻率分布直方圖，估計這根人的平均年齡和第80百分位數;

（2）現從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任“黨章黨史”的宣傳使者.若有甲（年齡

36）,乙（年齡42）兩人已確定入選宣傳使者，現計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2

名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率.

【答案】（1）32.25,37.5

⑵？

5

【解析】

【分析】（1）直接根據頻率分布直方圖求解平均年齡與第80百分位數；

（2）按照分層抽樣確定第四組抽取人數與編號，第五組抽取人數與編號，列舉樣本空間中所有樣本點及事

件“甲、乙兩人至少一人被選上”的所有符合的樣本點，結合古典概型公式計算即可得所求概率.

【小問1詳解】

解：設這根人的平均年齡為元，

貝IJ元=22.5xO.Olx5+27.5x0.07x5+32.5x0.06x5+37.5x0.04x5+42.5x0.02x5=32.25（歲）.

設第80百分位數為a,

由0.05+0.35+0.3+（?-35）x0.04=0.8,解得a==37.5.

【小問2詳解】

解:由題意得，第四組應抽取4人，記為4B,C,甲，第五組抽取2人，記為。，乙.

對應的樣本空間為：Q=｛（AB）,（A,C）,（A,甲），（A,乙）,（A,D）,（B,C）,（3,甲），（5,乙）,

（C,甲），（C,乙），（C,D）,（甲，乙），（【甲，。），（乙，D）］,共15個樣本點.

設事件河="甲、乙兩人至少一人被選上”，

則加=｛（4,甲），（A,乙），（3,甲），（3,乙），（C甲），（C,乙），（甲，乙），（甲，，D）,（乙，

。）｝,共有9個樣本點.

所以，P（M）=XQ=9.

“（Q）5

（5、22

21.己知點為橢圓C：三+*=l（a>b〉，0）上一點，A、3分別為C的左、右頂點，且QAB

的面積為5.

（1）求C的標準方程；

（2）過點P（l,0）的直線/與C相交于點M,N（點〃在x軸上方），AM,BN與y軸分別交于點G,H,

記跖，S?分別為cAOG,AAOH（點。為坐標原點）的面積，證明：今為定值.

22

【答案】（1）土+匕=1

95

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）由的面積為5與點。（2,|

在橢圓C上得到關于。步的方程組，解之即可得到橢圓C

的標準方程;

（2）設出直線/的方程與橢圓標準方程聯立，結合一元二次方程根與系數關系、三角形面積公式進行求解

即可.

【小問1詳解】

因為QAB面積為5,點。（2,才為橢圓c：22

/+5=1上一點'

-x2ax-=5

23a=3

所以《Y,解得v

5b=E

22

----1--

U2b2=1

22

所以橢圓c的標準方程為土+匕=1.

95

【小問2詳解】

由題意可知直線/的斜率不為零，故設方程為x=my+l,

|22

土+匕=1

聯立為《95，消去打得（5療+9）V+10⑺—40=0,

x=my+1

-10m-40

設A/。,%）,N（z,%）（%>°），則%+%=——3，X%=——，故4（弘+為）=根X%，

5m2+95m2+9

-40

又因為％%=一;——<0,所以％<°，

5m+9

又A（—3,0）,5（3,0）,則直線40的方程為V-%=

%+3

令x=0,得〉=必一^^=^^,則,

%+3%1+3IXj+3）

（-3y>

同理可得：H0,-2,

、％-3,

所以Si_504必_屏_3%%-3_3%伍-3）

s?-OA-\yH\欣王+33y23%（玉+3）

=%（吵-2）=7町%-2%=4%+4y2-2%=2%+4y?=J_

%（加%+4）根%為+4%4%+4%+4%4%+8%2

因此■f1■為定值.

【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線位置關系的題目，往往需要聯立兩者方程，利用韋達定理解決相應

關系，其中的計算量往往較大，需要反復練習，做到胸有成竹.

22.己知函數/（x）=21nx-ar2+Z2x（a,beR）.

（1）當z?=o時，討論〃力的單調性；

（2）設占,%為/（%）的兩個不同零點，證明：當xe（0,+8）時，

/（X+/）<4sin（%+々）+2e小+也9.

【答案】（1）答案見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】⑴求導后，分別在aWO和a>0的情況下，根據/'（%）的正負可得外可單調性；

%+1

）=0

（2）由<匚二八可整理得到。（X]+X,『-6（%1+%2）=2111%?3----,將所證不等式化為

了（尤2）=°

%2五_1

x2

土+1

r,+X22

21n(%+%)—21n土?%——<48^(%,+x2)+2e--,采用分析法可知只需證明

*2百__1

五+1

In+x2)-In—'---<e'+"-2-2即可；令g(x)=lnx~—(0<%<1),利用導數可求得

X2A-lx+l

工+1

g(x)<0,得至ijIn土.上一>2；令丸(￡)=爐一(％+1),0(x)=lnx—x+l,利用導數可證得

X2A-1

%

ex-2>x-l>lnx，由取等條件不同可知e*-2>lnx，由此可證得不等式.

【小問1詳解】

2-1

當5=0時，〃x)=21nx-辦2,則/(%)定義域為(0,+8),/'(%)=-2(ax

x

①當aW0時，a/—1<0，.../'(%)>0恒成立，\/(勾在(0,+。)上單調遞增;

②當a>0時，令/''(%)=(),解得：%=--(舍)或％=

Vaa

/

5時，f^x)>0；當

則當xe0,x—,+00時，/'(力<0；

a)

(K,+81上單調遞減;

\八勾在0,-上單調遞增，在

a]a)

綜上所述：當aWO時，/(%)在(0,+。)上單調遞增；當。>0時,上單調遞增，在

0,+ao]上單調遞減.

a)

小問2詳解】

21nxi-*2+如=0

不妨設三>占>0,則°<一且<2，

21nx2-ax2+bx2=0

21n土

兩式作差整理得: