惠州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題含解析

惠州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若一個(gè)三角形，采用斜二測(cè)畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積是原三角形面積的()A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍2．點(diǎn)直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．或C． D．或3．已知兩條直線m，n，兩個(gè)平面α，β，下列命題正確是（）A．m∥n，m∥α?n∥α B．α∥β，m?α，n?β?m∥nC．α⊥β，m?α，n?β?m⊥n D．α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β4．將函數(shù)的圖像先向右平移個(gè)單位，再將所得的圖像上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到的圖像，則的可能取值為（）A． B． C． D．5．甲、乙兩名選手參加歌手大賽時(shí)，5名評(píng)委打的分?jǐn)?shù)用如圖所示的莖葉圖表示，s1，s2分別表示甲、乙選手分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，則s1與s2的關(guān)系是()．A．s1＞s2 B．s1＝s2 C．s1＜s2 D．不確定6．甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次比賽成績(jī)（單位：環(huán)）如莖葉圖所示，若兩位運(yùn)動(dòng)員平均成績(jī)相同，則成績(jī)較穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為A．2 B．4 C．6 D．87．不等式的解集是：A． B．C． D．8．已知四面體中，，分別是，的中點(diǎn)，若，，與所成角的度數(shù)為30°，則與所成角的度數(shù)為（）A．90° B．45° C．60° D．30°9．向量，則（）A． B．C．與的夾角為60° D．與的夾角為30°10．一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的全面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，且，則的值為_(kāi)_____12．已知扇形的面積為，圓心角為，則該扇形半徑為_(kāi)_________．13．的化簡(jiǎn)結(jié)果是_________.14．不論k為何實(shí)數(shù)，直線通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是______.15．若、是方程的兩根，則__________.16．已知a，b，x均為正數(shù)，且a＞b，則____（填“＞”、“＜”或“＝”）．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若，兩點(diǎn)到直線的距離相等，求直線的方程.18．如圖是一景區(qū)的截面圖，是可以行走的斜坡，已知百米，是沒(méi)有人行路（不能攀登）的斜坡，是斜坡上的一段陡峭的山崖.假設(shè)你（看做一點(diǎn)）在斜坡上，身上只攜帶著量角器（可以測(cè)量以你為頂點(diǎn)的角）.（1）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)通過(guò)測(cè)量角可以計(jì)算出斜坡的長(zhǎng)的方案，用字母表示所測(cè)量的角，計(jì)算出的長(zhǎng)，并化簡(jiǎn)；（2）設(shè)百米，百米，，，求山崖的長(zhǎng).（精確到米）19．已知函數(shù)，若，且，，求滿足條件的，.20．已知等差數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.21．已知函數(shù).（I）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（II）若關(guān)于的不等式有且僅有一個(gè)整數(shù)解，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

以三角形的一邊為x軸，高所在的直線為y軸，由斜二測(cè)畫法看三角形底邊長(zhǎng)和高的變化即可．【詳解】以三角形的一邊為x軸，高所在的直線為y軸，由斜二測(cè)畫法知，三角形的底長(zhǎng)度不變，高所在的直線為y′軸，長(zhǎng)度減半，故三家性的高變?yōu)樵瓉?lái)的sin45°=，故直觀圖中三角形面積是原三角形面積的．故選C．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了斜二側(cè)畫法、平面圖形的面積的求解方法等知識(shí)，屬于中檔題．解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解斜二側(cè)畫法的內(nèi)涵，與x軸平行的線段長(zhǎng)度保持不變，與y軸平行的線段的長(zhǎng)度減少為原來(lái)的一半．2、C【解析】

直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，斜率為，數(shù)形結(jié)合利用直線的斜率公式，求得實(shí)數(shù)的取值范圍，得到答案．【詳解】如圖所示，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，斜率為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，則,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，以及直線的斜率公式的應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合法，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

在A中，n∥α或n?α；在B中，m與n平行或異面；在C中，m與n相交、平行或異面；在D中，由線面垂直的判定定理得：α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β．【詳解】由兩條直線m，n，兩個(gè)平面α，β，知：在A中，m∥n，m∥α?n∥α或n?α，故A錯(cuò)誤；在B中，α∥β，m?α，n?β?m與n平行或異面，故B錯(cuò)誤；在C中，α⊥β，m?α，n?β?m與n相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；在D中，由線面垂直的判定定理得：α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．4、D【解析】由題意結(jié)合輔助角公式有：，將函數(shù)的圖像先向右平移個(gè)單位，所得函數(shù)的解析式為：，再將所得的圖像上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，所得函數(shù)的解析式為：，而，據(jù)此可得：，據(jù)此可得：.本題選擇D選項(xiàng).5、C【解析】

先求均值，再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差公式求標(biāo)準(zhǔn)差，最后比較大小.【詳解】乙選手分?jǐn)?shù)的平均數(shù)分別為所以標(biāo)準(zhǔn)差分別為因此s1＜s2，選C.【點(diǎn)睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差，考查基本求解能力.6、A【解析】

根據(jù)平均數(shù)相同求出x的值，再根據(jù)方差的定義計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，甲、乙二人的平均成績(jī)相同，即×（87+89+90+91+93）=×（88+89+90+91+90+x），解得x=1，所以平均數(shù)為=90；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知甲的成績(jī)波動(dòng)性小，較為穩(wěn)定（方差較小），所以甲成績(jī)的方差為s1=×[（88﹣90）1+（89﹣90）1+（90﹣90）1+（91﹣90）1+（91﹣90）1]=1．故選A．【點(diǎn)睛】莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況．莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過(guò)莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計(jì)總體情況．7、C【解析】

把不等式轉(zhuǎn)化為不等式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，不等式，等價(jià)于，解得，即不等式的解集為，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟記一元二次不等式的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】

取的中點(diǎn),利用三角形中位線定理,可以得到,與所成角為，運(yùn)用三角形中位線定理和正弦定理，可以求出的大小，也就能求出與所成角的度數(shù).【詳解】取的中點(diǎn)連接，如下圖所示：因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以有，因?yàn)榕c所成角的度數(shù)為30°，所以，與所成角的大小等于的度數(shù).在中，，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成角的求法，考查了正弦定理，取中點(diǎn)利用三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.9、B【解析】試題分析：由，可得，所以，故選B．考點(diǎn)：向量的運(yùn)算．10、A【解析】

數(shù)形結(jié)合，還原出該幾何體的直觀圖，計(jì)算出各面的面積，可得結(jié)果.【詳解】如圖為等腰直角三角形，平面根據(jù)三視圖，可知點(diǎn)到的距離為點(diǎn)到的距離為所以，故該棱錐的全面積為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原，并求表面積，難點(diǎn)在于還原幾何體，對(duì)于一些常見(jiàn)的幾何體要熟悉其三視圖，對(duì)解題有很大幫助，屬中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-7【解析】

，利用列方程求解即可.【詳解】，且，，解得：.【點(diǎn)睛】考查向量加法、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.12、2【解析】

將圓心角化為弧度制，再利用扇形面積得到答案.【詳解】圓心角為扇形的面積為故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式，屬于簡(jiǎn)單題.13、【解析】原式，因?yàn)?，所以，且，所以原式?4、(2,3)【解析】

將直線方程變形為，它表示過(guò)兩直線和的交點(diǎn)的直線系，解方程組，得上述直線恒過(guò)定點(diǎn)，故答案為.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查待定直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.屬于中檔題.探索曲線過(guò)定點(diǎn)的常見(jiàn)方法有兩種：①可設(shè)出曲線方程，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元（往往可以化為的形式，根據(jù)求解），借助于曲線系的思想找出定點(diǎn)(直線過(guò)定點(diǎn)，也可以根據(jù)直線的各種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程找出定點(diǎn)).②從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無(wú)關(guān).15、【解析】

由題意利用韋達(dá)定理求得、的值，再利用兩角差的正切公式，求得要求式子的值．【詳解】解：、是方程的兩根，，，，或，，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查韋達(dá)定理，兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．16、<【解析】

直接利用作差比較法解答.【詳解】由題得，因?yàn)閍>0,x+a>0,b-a<0,x>0,所以所以.故答案為＜【點(diǎn)睛】本題主要考查作差比較法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（2）或（2）或【解析】

（2）討論直線是否過(guò)原點(diǎn)，利用截距相等進(jìn)行求解即可．（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離相等，分直線平行和直線過(guò)A，B的中點(diǎn)兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】（2）若直線過(guò)原點(diǎn)，則設(shè)為y＝kx，則k＝2，此時(shí)直線方程為y＝2x，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)方程為2，即x+y＝a，此時(shí)a＝2+2＝2，則方程為x+y＝2，綜上直線方程為y＝2x或x+y＝2．（2）若A，B兩點(diǎn)在直線l同側(cè)，則AB∥l，AB的斜率k2，即l的斜率為2，則l的方程為y﹣2＝x﹣2，即y＝x+2，若A，B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)，即l過(guò)A，B的中點(diǎn)C（2，0），則k2，則l的方程為y﹣0＝﹣2（x﹣2），即y＝﹣2x+4，綜上l的方程為y＝﹣2x+4或y＝x+2．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求解，結(jié)合直線截距相等以及點(diǎn)到直線距離相等，進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵．18、（1）米，詳見(jiàn)解析（2）205米【解析】

（1）由題意測(cè)得，，在中利用正弦定理求得的值；（2）解法一，中由余弦定理求得，中求得和的值，在中利用余弦定理求得的值．解法二，中求得，中利用余弦定理求得，利用三角恒等變換求得，在中利用余弦定理求得的值．【詳解】解：（1）據(jù)題意，可測(cè)得，，在中，由正弦定理，有，即.解得（米）.（2）解一：在中，百米，百米，百米，由余弦定理，可得，解得，∴.又由已知，在中，，可解得，從而的.∵，在中，由余弦定理得米所以，的長(zhǎng)度約為205米.解二：（2）在中，求得.在中，由余弦定理，得，進(jìn)而得，再由可求得，.在中，由余弦定理，得.所以，的長(zhǎng)度約為205米.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換與解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)模型應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．19、，【解析】

利用三角恒等變換，化簡(jiǎn)的解析式，從而得出結(jié)論．【詳解】解：，∴，待定系數(shù)，可得，又，∴，∴，.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）（2）【解析】

（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，進(jìn)而得到，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，列用裂項(xiàng)法，即可求解數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，又由，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）可得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式、以及“裂項(xiàng)法”求和的應(yīng)用，此類題目是數(shù)列問(wèn)題中的常見(jiàn)題型，解答中確定通項(xiàng)公式是