甘肅省天水市某中學高三年級下冊第三次模擬考試數(shù)學（理）試題

20172018學年度2015級高三第二學期第三次模擬考試試題

數(shù)學（理科）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.命題P：￡尺/（%0）22則一|尸為（）

A.VxeR,f（x）>2B.Vxe7?,/（x）<2

C.3x0GR,/（x）<2D.3x0GR,/（x）<2

2.復數(shù)z=」一（，為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)關(guān)于虛軸對稱的點位于（）

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.下面是一段演繹推理：

大前提：如果一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內(nèi)的所有直線；

小前提：已知直線b〃平面a,直線au平面a；

結(jié)論：所以直線b〃直線a.在這個推理中（）

A.大前提正確，結(jié)論錯誤B.大前提錯誤，結(jié)論錯誤

C.大、小前提正確，只有結(jié)論錯誤D.小前提與結(jié)論都是錯誤的

4.設(shè)A/18C的三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，則這個三角

形的形狀是（）

A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

5.運行如圖所示的程序框圖，若輸出的S是254,則①應(yīng)為（）

A.n<5?B.n<61C.n<7?D.n<8?

6.已知函數(shù)〃0=25皿。%+0)。〉0,|9區(qū)3的部分圖像如圖所示，將函數(shù)〃尤)的

圖像向左平移二個單位長度后，所得圖像與函數(shù)y=g(x)的圖像重合，貝I()

g(x)=2sin[2x+?

A.g(x)=2sin2%+一B.

g(x)=2sin[2x-y

C.g(x)=2sin2xD.

7.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則該幾何體的外接球

的表面積為()

I

俯視國

100n100Ji

A.—B.9nC.D.10n

'x+y—320

8.已知變量x,y滿足約束條件'x-2y+3°,則三》；的概率是（）

XW3X1N

3315

A.aB,-C,-D.-

9.己知傾斜角為135°的直線1交雙曲線TX2-巳2=l（a〉0,b〉0）于A,B兩點，若線段AB的

中點為P（2,-l），則雙曲線的離心率是（）

A—B.卓""

10.在三棱錐PABC中，△ABC和△PBC均為等邊三角形，且二面角PBCA的大小為120°,

則異面直線PB和AC所成角的余弦值為（）

A.-B.-C.-D.-

8484

11.魔術(shù)師用來表演的六枚硬幣a,b,c,d,e,f中，有5枚是真幣，1枚是魔術(shù)幣，

它們外形完全相同，但是魔術(shù)幣與真幣的重量不同，現(xiàn)已知a和b共重10克，c,d共重11

克，a,c,e共重16克，則可推斷魔術(shù)幣為（）

A.aB.bC.cD.d

12.如圖，已知拋物線Ci的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，且過點（2,4）,圓

22

C2：x+y-4x+3=0,過圓心C2的直線1與拋物線和圓分別交于P,Q,M,N,則

|PN|+4|QM|的最小值為()

A.23B.42C.12D.52

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.用秦九韶算法求多項式f(x)-x6+2x6+3x4+4x3+5x2+6x,當x=2時多

項式的值為.

14.下列4個命題：

①已知隨機變量占服從正態(tài)分布N(u,。2),若PQ<2)-P(l>6)=0.15,則

P(2W&<4)等于0.3；

②設(shè)a=Jo(2x-eX)dx,貝ija=2-e;

③二項式(卡-x2『°的展開式中的常數(shù)項是45；

④已知xG(0,4],則滿足log2XW1的概率為0.5.其中真命題的序號是

15.已知向量a=(l,X),Z?=(3,l),c=(l,2),若向量2a-人與c共線，則向量a在向量c方

向上的投影為.

16.若直角坐標平面內(nèi)兩點滿足條件：①P,Q兩點分別在函數(shù)y=/(x)與y=g(x)

的圖象上；②P,Q關(guān)于y軸對稱，則稱(P,Q)是函數(shù)丁=/(力與丁=8(力的一個“伙伴

lnx,(x>0)

點組”(點組(P,。)與(Q,P)看作同一個“伙伴點組”).若函數(shù)/(x)={與

<0)

g(x)=|x+a|+l有兩個"伙伴點組"，則實數(shù)a的取值范圍是.

三、解答題

17.(12分)已知數(shù)列{aj滿足ai------+2(nWN*).

/a。+1an

(I)求數(shù)列｛aj的通項公式；

222

(II)證明：aj+a2+as+…+an<5.

18.（12分）前幾年隨著網(wǎng)購的普及，線下零售遭遇挑戰(zhàn)，但隨著新零售模式的不斷出現(xiàn)，

零售行業(yè)近幾年呈現(xiàn)增長趨勢，下表為2014?2017年中國百貨零售業(yè)銷售額（單位：億

元，數(shù)據(jù)經(jīng)過處理，1?4分別對應(yīng)2014?2017）：

年份代碼X1234

銷售額y95165230310

（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；

（2）建立y關(guān)于x的回歸方程，并預測2018年我國百貨零售業(yè)銷售額；

（3）從2014?2017年這4年的百貨零售業(yè)銷售額及2018年預測銷售額這5個數(shù)據(jù)中任

取2個數(shù)據(jù)，求這2個數(shù)據(jù)之差的絕對值大于200億元的概率.

參考數(shù)據(jù)：

441~4~

Zy=800,￡七%=2355,區(qū)（上—y）一士158.9,近士2.236

i=ii=iV/=i

參考公式：相關(guān)系數(shù)￡*1（.一%）（」一歹）,

7—七八-才

回歸方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

一無）（%一田

grZ'aa=y-bx.

19.（12分）如圖，在幾何體ABCDE中，CD〃AE,ZEAC=90"，平面EACD1平面ABC,

CD=2EA=2,AB=AC=2,BC=2A/3,F為BD的中點.

(I)證明：EF〃平面ABC；

(II)求直線AB與平面BDE所成角的正弦值.

X22

20.(12分)已知橢圓M：[+2=l(a>b>0)的一個焦點F與拋物線N：y?=4x的焦

a”b")

3

點重合，且M經(jīng)過點(I,]).

(1)求橢圓M的方程；

(2)已知斜率大于0且過點F的直線1與橢圓M及拋物線N自上而下分別交于A,B,C,D,如圖

所示，若|AC|=8,求|ABITCD

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=xlnx,g(x)=(-V+公一3)e*(a為實數(shù)).

(1)當a=5時，求函數(shù)g(x)的圖像在x=l處的切線方程；

(2)求/(x)在區(qū)間上/+2](/>0)上的最小值;

⑶若存在兩個不等實數(shù)和％e-,e，使方程g(x)=2e"(x)成立，求實數(shù)a的取值

范圍.

選考題：共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計

分.

22.【選修44：坐標系與參數(shù)方程】

在直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為《"x1=2—3t。為參數(shù)).以坐標原點為極點,

以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為pcos6=tan6.

(1)求曲線Ci的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；

(2)若Ci與C2交于A,B兩點，點P的極坐標為(275，7),求高+高的值.

23.【選修45：不等式選講】

若關(guān)于x的不等式|3x+2]+|3x—1|—的解集為R,記實數(shù)t的最大值為a.

(1)求a的值；

_14

(2)若正頭數(shù)加,〃滿足4m+5〃=a,求,=-------F-------的最小值.

m+2n3m+3n

理科答案

1.【解析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，易知原命題的否定為:VxeR,f(x)<2.

故選B.

2.A

3.【解析】直線平行于平面，則直線可與平面內(nèi)的直線平行、異面、異面垂直.

故大前提錯誤，結(jié)論錯誤.

故選B.

4.【解析】由題意，根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的中項公式，得2B=A+C，又A+B+C=m

所以B=I,Sint=sinAsinC,由正弦定理得b?=ac，又b?=a?+l-ZaccosB，得(a-c)2=0，從而

可得a=b=c，即△ABC為等邊三角形，故正確答案為A.

5.【解析】根據(jù)程序框圖可知：

該程序的作用是累加S=2+22+...+2n的值，

并輸出滿足循環(huán)的條件.

???S=2+22+...+26+27=254,

故①中應(yīng)填n<7.

故選：C.

6.A

7.【解析】由三視圖知，該幾何體為三棱錐，高為3,其一個側(cè)面與底面垂直，且底面為

等腰直角三角形，所以球心在垂直底面的側(cè)面的三角形高上，設(shè)球半徑為R,則(3-R)2+1=R2

解得R=：,所以球的表面積為S=4TIR2=等，故選A.

x+y-3N0,

V滿足約束條件卜黑產(chǎn),

畫出可行

域如圖所示，則十4的幾何意義是可行域內(nèi)的點與Q(_1,0)連線的斜率不小于;，由圖形

可知，直線x=3與直線x-2v+1=0的交點為B(3,2)，直線x-2v+3=0與x=3的交點為

C(3,3)，二?長號的概率是，J，則出■的概率是「卜：

故選D.

Xi+X2-4

{yi+y2=-2'

22

1

X-I-yL

2-2

ab2=1

,2

xy2

2「兩式相減并整理可得kAB=g=-1,

x-2-b

2-=1xi-X2a

Ia

解得a=V2b

10.A建系處理

11.【解析】5枚真幣重量相同，則任意兩枚硬幣之和一定為偶數(shù)，由題意可知，C,D中一

定有一個為假的，假設(shè)c為假幣，則真硬幣的重量為5克，則C的重量為6克，滿足A,C,

E共重16克，故假設(shè)成立，若D為假幣，則真硬幣的重量為5克，不滿足A,C,E共重16

克，故假設(shè)不成立，則D是真硬幣，故選：C.

12.【解析】設(shè)拋物線的方程v2=2DX(D>0),則

16=2Dx2,2D=8?

二拋物線的標準方程：V?=8x,焦點坐標F（2,O）,由直線PQ過拋物線的焦點，則

11_2_1

|PF|+IQFI=P=2*

圓C?：(x-2)2+y2=1圓心為（2,0），半徑1，

11

|PN|+4|QM|=|PF|+1+4(|QF|+1)=|PF|+4|QF|+5=2(|PF|+4|QF|)X(而+而)+5

,IPFI4|QF|、/IPFI4|QF|、

=2(5+麗+而)+522(5+2j麗x而)+5=23,

-|PN|+4|QM|的最小值為23,故選A.

13.【解析】f(x)=x6+2x5+3X4+4X3+5x2+6x=((((G+2)x+3)x+4)x+5)x+6)x,則

f(2)=(((((2+2)x2+3)x2+4)x2+5)x2+6)x2=240,故答案為240.

14.【解析】①已知隨機變量￡服從正態(tài)分布N(u,『)，若p(S<2)=P(￡>6)=0.15,貝。u=4,

根據(jù)圖像的對稱性得到則P(24￡<4)等于0.35；故不正確；

②設(shè)a=/(2x-ex)dx=(x?-e*)=2-e.故正確.

0

③二項式?72丫°的展開式中的通項是jbx等(_i)“當r=2時就是常數(shù)項，代入得至I]45.故

正確.

④已知xe(0,4],則滿足|。3<1的x的范圍是o<x<2,概率為0.5.

故答案為：②③④

15.【解析】o

歷(一%)九<0

16.【解析】設(shè)點(x,y)在〃尤)上，則點(fy)所在的函數(shù)為網(wǎng)力={,

-y/x,x>0

則g(x)與/z(x)有兩個交點，

g(x)的圖象由y=W+l的圖象左右平移產(chǎn)生，當〃力=1時，x=-e,

如圖，

供

fifr)

所以，當g(x)左移超過e個單位時，都能產(chǎn)生兩個交點,

所以〃的取值范圍是(e,+8)。

17.【解析】試題分析：(1)根據(jù)遞推關(guān)系可得出一個等差數(shù)列｛；｝,進而求出數(shù)列｛an｝的通

dn

項公式；(2)放縮an2=(?=：二<：?；?[=；(六馬，累加后相加相消即可證出.

試題解析：

①由1可知列R｝為等差數(shù)列，且首項為3,公差為2,故an=1

anzzn

②依題可知an2=(5)2=，,<*?看=；(六馬

r-r-I922o1.Ill11.

所以ai+a2+a3+…+an<-(1+1

222

故a/+a?+as+…+an<|

18.解析：(1)由表中的數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得

4I4

天=2.5,9=200,2(%—x)2=5,樞(%—y)2-158.9,

z=lVi=l

444

Z(%-元)(X-刃=?戊-0=2355-2.5x800=355,

i=li=l;=1

355

rx---------?0.999.

2.236x158.90

因為y與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.999,說明y與x的線性相關(guān)程度相當高，從而可以用線性

回歸模型擬合y與X的關(guān)系.

~>4(x-x)(y.-y)355

(2)由3=200及(1)得2=,且一八%"=32=71,

￡段-寸5

a=y-^x=200-71x2.5=22.5,

所以y關(guān)于x的回歸方程為$=22.5+75.

將2018年對應(yīng)的x=5代入回歸方程得夕=22.5+71x5=377.5.

所以預測2018年我國百貨零售業(yè)銷售額為377.5億元.

(3)從這5個數(shù)據(jù)中任取2個數(shù)據(jù)，結(jié)果有：

(95,165),(95,230),(95,310),(95,377.5),(165,230),(165,310),(165,377.5),

(230,310),(230,377.5),(310,377.5)共10個.所取2個數(shù)據(jù)之差的絕對值大于200億元

3

的結(jié)果有：(95,310),(95,377.5),(165,377.5),共3個，所以所求概率P=而.

19.

試題解析：

(I)取BC中點G，連接FG，AG-

又；F為BD的中點，CD=2EA>CD//AE-

:.FG=齊D=EA,且FG〃AE，

???四邊形AGFE是平行四邊形，

，EF〃AG，

而且EF(t平面ABC，AGU平面ABC，

EF〃平面ABC；

(II)ZEAC=90°>平面EACDJ-平面ABC，且交于AC，

.?.平EA-L面ABC，

由(I)知FG〃AE，，F(xiàn)G■*?平面ABC，

又；AB=AC，G為BC中點，

?'?AG1BC，

如圖，以GA，GB，GF所在直線為X，V，z軸建立空間直角坐標系，

則A(LOQ)，B(0拒0)，D。-丘2)，E(1.0.1)-

?*.AB=(-1,V3,O)?BD=(0,-2^3,2)，BE=(1,-

設(shè)平面BDE的法向量為Ft=(XMZ)，則

fn-BD=0fz-V3y=0

In'BE=0>即lx-M3y+z=0，

令V=1,得n=(O,l,V^)，

直線AB與平面BDE所成角的正弦值為磊［=7.

20.

試題解析：（1）易知F的坐標為（L0），所以c=l，

（19

—+——=1

所以S'解得a?=4,b?=3,

la-b=1

所以橢圓M的方程為[+[=1.

（2）設(shè)直線|的方程為v二k（x-l）（k>0），代入v?=4x，^k2x2-（2k2+4）x+k2=0?

、n_El2k2+44

設(shè)A（xi,vi），C（X2,V2），貝kl+X2=^-=2+2

4

因為|AC|=XI+X2+2=4+彳=8,k>0，所以k=l.

將V二x-1代入彳+事=1'得7x?-8x-8=0-

gg

設(shè)B（X3,V3），D僅X44），則X3+X4=],X3X4=-],

所以|BDI=Ml+1J（X3+X4）2?4X3X4=

2432

故|AB|-|CD|=|AC|-|BD|=8-7=7.

J

-21.解：（1）當a=5時g（2）=（一32+51-3）e%

g（l）=e,g'（2）=（一工2+3工+2）片,

故切線的斜率為g'（D=4e,

所以切線方程為、-e=4eCr—：L）,即y=4ez-3e：

21.（4分）

(2)=In=+1,

二土「工-1

(°7-b)—(Vs)

-?.、一:、'-'--

—O、.十,

八二）單詞遞減極小值（最小值）單調(diào)遞增

-i'

當上導堂時，在區(qū)間匚入￡+2：］上，丁（工）為i#函數(shù)，

所以_/XN）my==Hnt；

當ov（v全日寸，在區(qū)間［八4-）內(nèi)，/y為