汕頭市2022-2023學年高二年級下冊期末數(shù)學試題答案解析

試卷類型：A

汕頭市2022-2023學年度普通高中教學質(zhì)量監(jiān)測

高二數(shù)學

本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.

注意事項：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、學校、座位號、考生號填寫在答題卡上，用2B鉛筆在答題

卡的相應位置填涂考生號.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相

應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答無效.

第I卷選擇題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合A={尤eN|%?—4x-5<0},3={xeR|log2（）23（尤-2）W0},則AB=（）

A.（2,3]B.[2,3]C.{3}D,0

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合A,3,再求兩集合的交集.

【詳解】由尤2—4%—5<0,得（x+l）（x—5）<0,解得一l<x<5,

所以A={xeN|f—41—5<0}={0,1,2,3,4,5},

由log2023（x—2）WO,得0<x—2W1,解得2<xW3,

所以3={xeR|log2023（%-2）<0}={x|2<x<3},

所以AB={3},

故選：C

2.已知復數(shù)Z滿足Z（3+i）=3+i2°23則Z的共軟復數(shù)三的虛部為（）

3.B.|/

A.——1

555

【答案】D

【解析】

【分析】對z（3+i）=3+i?°23化簡求出復數(shù)Z,再求出其共輾復數(shù)，從而可求出Z的共軌復數(shù)N的虛部.

,、3+i3(3-i)(3-i)9-6i+i243.

【詳解】由Z(3+i)=3+i2°23,得2=---------------------------]

(3+i)(3-i)1055

所以-z=41+3（i，

3

所以z的共軌復數(shù)z的虛部為

故選：D

2兀.-

3.已知向量的夾角為每~,且|Q|=2,|人|=4,則2〃—b在〃上的投影向量為（）

A.2aB.4aC.3aD.8a

【答案】C

【解析】

【分析】先計算向量2〃-。與向量0的數(shù)量積，再代入投影向量公式中，即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，得“包=|a|-Wcosg=2x4x[—g]=-4,

所以（2々_人）/=2同2_“吆=8_（_4）=12,

（2d—bYaa12a

所以向量2a—6在向量a方向上的投影向量為——rr——T^=—x-=3a.

\a\\a\22

故選：C

4.一個圓臺的側(cè)面展開圖是半圓面所在的扇環(huán)，兩個半圓半徑分別為2和4,則該圓臺的體積是（）

A7拒?？?6兀?7血兀?7出兀

A.-----D.-----C.-----D.-----

2424123

【答案】D

【解析】

【分析】求出上下底面圓的半徑，進而求出高線，利用圓臺體積公式進行求解.

【詳解】設(shè)圓臺上底面圓半徑為小貝I271r=2兀，解得：r=l,

設(shè)圓臺下底面圓的半徑為R,則2成=4兀，解得：R=2,

圓臺的母線長為4-2=2,

畫出圓臺，如下：

過點。作。于點E,則=5石=1,

由勾股定理得：DE=《B?-BE?

所以圓臺的體積為V=gx(7r+47r+"^)xJ^="N.

故選：D

5.已知數(shù)列｛4｝的通項公式為q=3垣等，則％+。2+4++“2023=()

A有R5A/3「5百n百

A.---D.---C.-----U.----

2222

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意化簡得到%,+1+。6研2+。6“+3+/〃+4+。6〃+5+。6〃+6=~3^,結(jié)合計算規(guī)律，準確計算，

即可求解.

【詳解】因為數(shù)列｛4｝的通項公式為a〃="sin?，且y=$由三的周期為T=6〃，

可得a6nil+a6m2+”6研3+14+a6n\5+16

”.(6M+1)TI“C、.(6M+2)TI“R、.(6M+3)TI“八.(6n+4)TI

=(6n+l)sin-——----b(6zz+2)sin-——----F(6n+3)sin-——-----F(6M+4)sin-——----

?一?(6〃+5)兀y乙、.(6幾+6)兀

+(6n+5)sm----------1-(6n+6)sin---------

it347r5Ji6

=(6n+l)sin-+(6n+2)sin—+(6n+3)siny+(6n+4)sin—+(6n+5)sin—+(6n+6)siny

=(6n+1)-+(6n+2)-+(6n+3)-0+(6n+4)-(-+(6n+5)-(-+(6n+6)-0

=—3A/3,

又因為2023=6x337+1,

所以。1+a2+++。2。23=337x(—3*\/3)+2023x~~~='

故選：A.

6.數(shù)學對于一個國家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達國家常常把保持數(shù)學領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學

為提高數(shù)學系學生的數(shù)學素養(yǎng)，特開設(shè)了“古今數(shù)學思想”，“世界數(shù)學通史”，“幾何原本”，“什么是數(shù)學”

四門選修課程，要求數(shù)學系每位同學每學年至多選3門，大一到大三三學年必須將四門選修課程選完，則

每位同學的不同選修方式有（）

A.60種B.78種C.84種D.144種

【答案】B

【解析】

【分析】先分類，再每一類中用分步乘法原理即可.

【詳解】由題意可知三年修完四門課程，則每位同學每年所修課程數(shù)為1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2,

則先將4門學科分成三組共種不同方式.再分配到三個學年共有種不同分配方式，由乘法原理

?~?102

可得共有?禺=36種，若是0,1,3,則先將4門學科分成三組共種不同方式，再分配到三個

學年共有團種不同分配方式，由乘法原理可得共有C：C，H=24種，若是0,2,2,則先將門學科分成三

組玨GG

種不同方式，再分配到三個學年共有制種不同分配方式，由乘法原理可得共有

出八M

「202

三舁?禺=18種

&

所以每位同學的不同選修方式有36+24+18=78種,

故選：B.

7.已知橢圓方程?+/=1,尸是其左焦點，點4（1,1）是橢圓內(nèi)一點，點P是橢圓上任意一點，若

|必+|P盟的最大值為％ax，最小值為An，那么/?+%/（）

A4有B.4C.8D.8A/3

【答案】C

【解析】

【分析】利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為|冏-|尸尸［的最值問題，數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】由題意，設(shè)橢圓的右焦點為尸(1,0),連接尸尸，

Hij|PA|+|PF|=|R4|+(4-|PF,|)=4+(|B4|-|PF,|),

當點尸在位置M時，歸川-歸尸|取到最大值|AF'|，

當點尸在位置N時，—［取到最小值—|AF［,

所以|R4|—|PF［的取值范圍是［―|4尸］,|4尸］,即［-M］,

所以|PAI+|P用的最大值Dmax=5,IPAI+IPFI最小值=3，

所以Dmax+°min=8-

故選：C.

Int

8.已知函數(shù)/(x)=xe*,g(x)=2xln2x,若/'(%)=g?)=/,t>0,則獲■的最大值為()

1412

A.—-B.—-C.—D.一

eeee

【答案】D

【解析】

【分析】首先由2%山29=01n2*.山29=/,再結(jié)合函數(shù)函數(shù)/(x)=x?e、的圖象可知,

In/2int/、2lnt

西=1112%,這樣轉(zhuǎn)化——,利用導數(shù)求函數(shù)/2(。=一^的最大值.

玉冗21t

x

【詳解】由題意得，xYe'=t,2X2In2x2=t,即2%In29=e"?”?In2%=7,

令函數(shù)/(x)=x-e*,則/(x)=(l+x)",

所以，x<—1時，/'(x)<0,/(尤)在(—8,—1)上單調(diào)遞減,

%>-1時，f\x)>0,/(尤)在(一1,+0。)上單調(diào)遞增，

又當xw(-00,0)時，/(x)<0,xe(0,+oo)時，/(x)>0,

作函數(shù)/(X)=X/的圖象如圖所示.

由圖可知，當f>0時，/(x)=r有唯一解，故土=1112%,且為>0,

“7/、21nr八e,2(1-In/)

蒜=逅百二丁.設(shè)她)=7'貝療⑺

令//?)=0解得f=e,

所以/??)(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減,

2In/2

Ah(t)<h(e)=-9即——的最大值為一.

e玉元2e

故選：D.

"n12］口%=%

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，本題的關(guān)鍵是觀察與變形，〈,2,

xve'=t

并且由函數(shù)圖象判斷/(x)=/>。，只有一個零點，所以石=111々，這樣后面的問題迎刃而解.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.對變量y和x的一組樣本數(shù)據(jù)(多，為)，(苞，兀)，…，(尤”,％)進行回歸分析，建立回歸模型，貝U

()

A.殘差平方和越大，模型的擬合效果越好

B.若由樣本數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸直線￥=鼠+6,則其必過點(三亍)

C.用決定系數(shù)尺2來刻畫回歸效果，&越小，說明模型的擬合效果越好

D.若y和X的樣本相關(guān)系數(shù)廠=-0.95,則y和X之間具有很強的負線性相關(guān)關(guān)系

【答案】BD

【解析】

【分析】利用殘差平方和的含義判斷選項A,由回歸方程必過樣本中心判斷選項B,由相關(guān)系數(shù)的含義判

斷選項C,D.

【詳解】解：因為殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，故選項A錯誤；

因為回歸方程必過樣本中心，故選項B正確；

因為系數(shù)尺2越接近1,說明模型的擬合效果越好，故選項C錯誤；

由相關(guān)系數(shù)為負且接近1,則y和x之間具有很強的負線性相關(guān)關(guān)系，故選項D正確.

故選：BD.

10.己知函數(shù)/（x）=2cos2卜+S+sin[2x+V）-1,則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（X）最大值為1

B.函數(shù)/（X）在區(qū)間，（，小上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/（%）的圖像關(guān)于直線％對稱

D.函數(shù)g（x）=sin2x的圖像向右平移專個單位可以得到函數(shù)/（九）的圖像

【答案】AD

【解析】

【分析】由題可得/（x）=sin[2x-然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)圖象變換逐項判斷即得.

【詳解】：函數(shù)/（x）=2cos2卜+]]+sin（2x+"-l,

當2x—工=t+2壯（左eZ）時，函數(shù)”X）取得最大值1,A正確；

62

令f=2x—三，當一工＜x＜生時，一里＜2X—2＜2,y=sint在區(qū)間（一學，工]上不單調(diào)遞增，故

636666I66J

B錯誤;

當x=2時，2x—2=0,函數(shù)/(%)的圖像不關(guān)于直線對稱，C錯誤;

12612

函數(shù)g(x)=sin2x的圖像向右平移展個單位得到函數(shù)sin2尤-=sin12x—D正確.

故選：AD.

2

11.已知雙曲線C:r.—y2=1和圓p：x2+(y—3)2=/&〉0),則()

雙曲線C的離心率為邁

A.

2

B.雙曲線C的漸近線方程為X土2y=0

當廠=指時，雙曲線。與圓尸沒有公共點

D.當廠=2夜時，雙曲線C與圓尸恰有兩個公共點

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線方程求出離心率與漸近線方程，即可判斷A、B,求出圓心到漸近線的距離，即可判斷

C,設(shè)雙曲線C上的點。的坐標為(x,y),表示出的距離，即可得到圓心P到雙曲線C上的點的距離的

最小值，從而判斷D.

e=￡=Y5,故選項A正

【詳解】解：由已知得o=/?=1,則0=百，所以雙曲線C的離心率

a2

確;

雙曲線。的漸近線方程為y=±\x,即x±0y=O,故選項B錯誤;

,_3A/2_R

因為圓心P(0,3)到雙曲線。的漸近線的距離.——7°

所以當r=、/d時，圓P與雙曲線。的漸近線相切，此時雙曲線C與圓尸沒有公共點，故選項C正確;

設(shè)雙曲線C上的點。的坐標為(x,y),(y>l),則圓心P到點。的距離為

=^3(y-l)2+8>2^/2,當且僅當y=l時取等號,

所以圓心P到雙曲線C上的點的距離的最小值為2a，且雙曲線C上只有兩個點到圓心P的距離為

2后，

所以當廠=2行時，雙曲線C與圓尸恰有兩個公共點，故選項D正確.

故選：ACD

12.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，底面

45。0,&1=45,4。,3￡）交于點。，M是棱5D上的動點，則（）

4

A.三棱錐S-AQ以體積的最大值為一

3

B.存在點使〃平面S5C

C.點M到平面ABCD的距離與點M到平面SAB的距離之和為定值

D.存在點M,使直線與AB所成的角為30°

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)題意以A為坐標原點，AB,AD,AS所在直線分別為蒼％z軸，利用向量法判斷CD,根據(jù)

底面積不變，高最大時，錐體體積最大，判斷A選項.根據(jù)線面平行的判定定理判斷B即可求解.

【詳解】以A為坐標原點，AB,AD,AS所在直線分別為蒼％z軸，建立空間直角坐標系，如圖，

設(shè)&L=AB=2,

則A(0,0,0),C(2,2,0),5(2,0,0),D(0,2,0),S(0,0,2),0(1,1,0),

由M是棱SO上的動點，設(shè)M(0",2—Q,(0V2<2),

匕ACM='SSACX/I,因為底面A3CD為正方形，故OD_LAC，

又SA_L底面A3CD,所以S4，OD,

又出LcAC=A,所以O(shè)D，底面&4C,所以當Af與。重合時，三棱錐S-ACM體積的最大且為

K-ACM=—x—x2x2-^2xy/2,——,故A對.

323

當“為SD中點時，3/是SS。的中位線，所以O(shè)暇〃S3,又平面SBC,

SBu平面SBC,所以〃平面SBC,故B正確；

點M到平面ABCD的距離4=2-丸，點加到平面SAB的距離

|AlrAh|_|(0/,2—Q-(0,2,0)|_

〃2————4，所1以4+〃2—2/1+4—2,故C正確.

\AD\2

AB=(2,0,0)'OM=(—1,%—1,2—儲，若存在點M,使直線O河與所成的角為30°

則COS30。=1。？=I|=￡,化簡得3萬—92+7=0，無解，

\AB\\OM\Jl+("l)2+(2-42

故D錯誤;

故選：ABC

第II卷非選擇題

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.1x-2］展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為32,則展開式中的常數(shù)項為.(用數(shù)字作答)

【答案】-540

【解析】

【分析】根據(jù)所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為2'1求出“，再根據(jù)二項展開式的通項即可求出常數(shù)項.

【詳解】由題意及二項式系數(shù)性質(zhì)可得2"T=32,解得〃=6,

所以其展開式的通項為(+1=C)6f[—3]=(—3)'C"6-2r,

依題意令6—2r=0解得廠=3,

所以展開式中常數(shù)項為(—3)3C：=-540,

故答案：-540

14.已知tan[a+g]=2,則tan12a+*7t[=_____.

【答案】」

7

【解析】

【分析】由題意利用二倍角的正切公式求得tan[2a+1]的值，

再利用兩角和的正切公式求得

tan12a+兀]=tan]2a+—+—的值.

G(兀)

/、(、2tana+—

【詳解】已知tan|a+6)=2,,tanpa+s〉)=_4

--3'

1-tan2a+—

')、I6)

(c兀)兀

(、(、tan2(xH—+tan_

則tanf2a+工兀]=tanf2a+—+—|=---.-------------=--.

112)134)1.2兀[兀7'

7、71-tan2a+—tan—

13j4

故答案為.

7

【點睛】本題主要考查二倍角的正切公式，兩角和的正切公式的應用，屬于基礎(chǔ)題.

15.已知直線y=ax+b(aeR3>0)是曲線/(x)=eX與曲線g(x)=lnx+2的公切線，則a+Z?的值為

【答案】2

【解析】

【分析】由/(九)求得切線方程，結(jié)合該切線也是g(x)的切線列方程，求得切點坐標以及斜率，進而求

得直線y=+從而求得正確答案.

【詳解】設(shè)?,e')是/(%)圖像上的一點，/'(￡)=/,

所以/(%)在點［?)處的切線方程為y—e'=e'(xT),y=e'x+(lT)e’①，

令g'(x)=L=e'，解得x=e「'，

X

g(eT)=lne-'+2=2—所以2—才一一二不,

'/e-z-t

i-r=(i-r)ez,所以/=o或，=1(此時①為y=",b=0,不符合題意，舍去)，

所以r=0,此時①可化為y—l=lx(x—0),y=x+i,

所以a+3=l+l=2.

故答案為：2

,,1111

16.已知數(shù)列{%}中，q=l,an-an_}=n{n>2,neN),設(shè)=--+----+----+???+---,若對

an+lan+2an+3”2八

1

任意的正整數(shù)“，當相e［l,2］時，不等式加92—〃力+—>。恒成立，則實數(shù)/的取值范圍是.

3

【答案】t<l

【解析】

【詳解】：q=l，a”_*=n(n>2,九eN),當〃22時,an-an^=n,an_x-an_2^n-\,

4-。1=2,并項相加，得：％,-勾="+("-1)+...+3+2,

cin=1+2+3+...+n=—?i(〃+1),又,當TZ=1時，tZ|=~xlx(l+l)=l也滿足上式，

1111

???數(shù)列｛凡｝的通項公式為?！?5〃(〃+D,?,?々=----+-----+-----+…+——

an+\an+2an+3---------12〃

222?111111

-----------------1F...H=2(----------------1-----------------(--|--------------

(n+l)(n+2)(n+2)(n+3)-------2〃(2〃+1)n+\〃+2〃+2〃+32n2n+l

_1lx2n2

—2z(___________)=____________________]

zi+12〃+l2n2+3n+l.1,?令/(x)=2x+—(x>1),

o2MH-FQ3x

n

則r(x)=2—4，?.?當時，掰;x)>0恒成立，，/(尤)在xe[l,+8)上是增函數(shù),

故當X=1時，/(力加〃=*1)=3,即當〃=1時，(2)〃皿=；，對任意的正整數(shù)〃，

當加w[L2]時，不等式以2一刃/+,〉A(chǔ)恒成立，則須使〃，一冽/+J_>)濡=；，即加-加>0對

3〃3、““

Vme[l,2]恒成立，即/<根的最小值，可得/<1,...實數(shù)/的取值范圍為(—8,1),故答案為(—8,1).

點睛：本題考查數(shù)列的通項及前幾項和，涉及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，注意解題

方法的積累，屬于難題通過并項相加可知當”之2時"-1)+…+3+2,進而可得數(shù)列｛4｝

的通項公式4=工水"+1),裂項、并項相加可知“，通過求導可知〃尤)=2x+,是增函數(shù)，進而問題轉(zhuǎn)

2%

化為蘇一加+』>(2)=-,由恒成立思想，即可得結(jié)論.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在.ABC中，D為BC上一點、,AD=CD,84=7,fiC=8.

(1)若3=60。，求A5C外接圓的半徑R；

(2)設(shè)NC4B—NACB=6>(。為銳角)，若sin6=地，求，ABC的面積.

14

【答案】(1)A/19;(2)1073.

【解析】

【分析】（1）由余弦定理可求出AC,再根據(jù)正弦定理即可求出；

0/T13

（2）由題意可知sin，=sinNBAD=-----,由平方關(guān)系求得cos8=cosNBA。=一,設(shè)3￡>=x,在

1414

△ABD中由余弦定理即可求出x的值，由正弦定理可求得sin8,再根據(jù)三角形的面積公式即可求出.

【詳解】（1）由余弦定理得AC?=R42+5C2—2B4.3C.COS3=57，解得AC=&7；

又/^=2R,解得R=M；二外接圓的半徑R為

smB

（2）由AD=CD,所以NDC4=NZMC,所以。="43—=

Ah13

由sin6=sin/BAD=-----,得cos6=cosABAD=一；

1414

設(shè)BD=x,則DC=8—%,DA=8—x,

13

在△ABZ）中，BA=7,BD=x,ZM=8-x,cosABAD=一,

14

?13

由余弦定理得爐=7?+（8—x）~—2x7x（8—x）x五，解得x=3；

所以50=3,DA=5；

35

BDAD—產(chǎn)=-------解得sin5=上叵

由正弦定理—一-，即3V3sinB，

sinZBADsmB14

14

所以s△…抻W=1OB即■。的面積為1。6

18.已知正項數(shù)列｛4｝的前"項和為S"，4s”=片+24.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

3.2%1

⑵設(shè)仇="，，no*n'數(shù)列出｝的前，項和為小證明:<-.

H-1乂/—1）3

【答案】（1）4=21

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）利用a“=S“-S,T計算整理，可得a,i=2,再利用等差數(shù)列的通項公式得答案;

（2）將2變形得或=1------J—,利用裂項相消法可得北，進一步觀察可得證明結(jié)論.

4—14—1

【小問1詳解】

4S〃=a；+2〃〃①，

???當〃22時，4sl=a"+②，

①-②得4a,=a；+2an—（a；1+2—）,

整理得（4—%—2）（%+%）=0，4>0,

=2,

又當〃=1時，4%=4S]=a；+2q,解得q=2,

數(shù)列｛4J是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，

an=2n；

【小問2詳解】

_3""_1_______1___11

（1侍“_Q2"_]）（22'+2_1）―22'-]_22"2_4"-4_4'"]_]，

._J___+L__l__!_

"r"4-142-142-143-14"-14,,+1-134m-1'

49>1，即/71>°

'''T”<g.

19.如圖，在五面體尸—ABCD中，PC，平面ABCD,平面ABCD是梯形，AB±AL>,AB//CD,

AB=2AD=2CD=2,E平分PB.

（1）求證：平面ACEJ_平面PBC；

（2）若二面角尸—AC—E的余弦值為亞，求直線Q4與平面ACE所成角的正弦值.

3

【答案】（1）證明見解析;

⑵

3

【解析】

【分析】(1)證明出ACSBC,從而可證明3cl平面P4C,然后可得證面面垂直；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標系，由二面角的向量法求得PC的長，再由線面角的向量法求得結(jié)論.

【小問1詳解】

由題意,(2—1)2+F=0,AC=#+儼=后,；.AC?+=筋2,AC_LBC,

PC,平面ABC。，ACu平面ABC。，；.PC_LAC,

PCcBC=C,/^,3。<=平面網(wǎng)。，.?.4。，平面依。，

ACu平面ACE,.?.平面P5C1平面ACE；

【小問2詳解】

分別以C3,C4,CP為蒼％z軸建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)t>Q,

則3(0,0,0),A(0,應,0),P(0,0,Z),E(與,0(，

CA=(0,V2,0)，CE=(4,0,；),

設(shè)平面JE4c的一個法向量為〃=(x,y,z),

n-CA=y/2y=0

則t，取z=，則〃=(T,0,,

n-CE=x+—z=0

I22

平面PAC的一個法向量為m=(1,0,0),

/、m-nt_46

所以cos(n.m]=-n-解得f=2,

'/m\n6+2—7

AAP=(0,-V2,2),又“=(-2,0,0),

272V2

'/I訓”^6x^/6V

直線PA與平面ACE所成角的正弦值顯

3

20.某數(shù)學興趣小組為研究本校學生數(shù)學成績與語文成績的關(guān)系，采取有放回的簡單隨機抽樣，從學校抽

取樣本容量為200的樣本，將所得數(shù)學成績與語文成績的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如下：

語文成績

合計

優(yōu)秀不優(yōu)秀

優(yōu)秀

數(shù)學503080

成績

不優(yōu)秀4080120

合計90110200

(1)根據(jù)￡=0.010的獨立性檢驗，能否認為數(shù)學成績與語文成績有關(guān)聯(lián)?

P(B\A)

(2)在人工智能中常用L(回A)=表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計中稱

P(B\A)

為似然比.現(xiàn)從該校學生中任選一人，A表示“選到的學生語文成績不優(yōu)秀”，B表示“選到的學生數(shù)學成績

不優(yōu)秀”請利用樣本數(shù)據(jù)，估計的值.

(3)現(xiàn)從數(shù)學成績優(yōu)秀的樣本中，按分層抽樣的方法選出8人組成一個小組，從抽取的8人里再隨機抽取

3人參加數(shù)學競賽，求這3人中，語文成績優(yōu)秀的人數(shù)X的概率分布列及數(shù)學期望.

n(ad-be)?

附：/

(a+b)(c+d)(a+c)3+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

【答案】(1)認為數(shù)學成績與語文成績有關(guān);

8

(2)

3

(3)分布列見解析,EM

【解析】

【分析】(1)零假設(shè)Ho后，計算z2的值與6.635比較即可;

(2)根據(jù)條件概率公式計算即可；

(3)分層抽樣后運用超幾何分布求解.

【小問1詳解】

零假設(shè)“0：數(shù)學成績與語文成績無關(guān).

旭主小將班”竹殂2200x(50x80—30x40)2

據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得：/=-----...............—X16.498>6.635

90x110x120x80

根據(jù)小概率值。=0.010的72的獨立性檢驗，我們推斷“0不成立，而認為數(shù)學成績與語文成績有關(guān);

【小問2詳解】

P(AB)

月,4)-尸出⑷-曬.P(A3)/(A5)_80_8

'P(B|A)P(麗P(AB)n(AB)303'

P(A)

o

估計A)的值為:；

【小問3詳解】

按分層抽樣，語文成績優(yōu)秀的5人，語文成績不優(yōu)秀的3人，隨機變量X的所有可能取值為0」,2,3.

C31C；C；=15

P(x=o)=市*,P(X=1)

C；56

。"=2)=胃d抬,「(XT天二嘖

X的概率分布列為:

X0123

115155

P

56562828

15

/.a^W￡（X）=Ox—+lx—+2x—+3x—--

'）5656282856~8

21.已知橢圓C:=+2r=l（a〉b〉0）的右焦點口與拋物線￡1：_/=2px（p〉0）的焦點相同，曲線C的

ab

離心率為;,P（2,y）為E上一點且|PF|=3.

（1）求曲線C和曲線E的標準方程；

（2）過產(chǎn)的直線交曲線。于H、G兩點，若線段用的中點為且MN=20M，求四邊形淅G面積

的最大值.

22

【答案】（1）C:—+^=1,E：V=4X

43

9

（2）Smax=—.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)離心率以及拋物線的焦半徑即可求解。=2,c=l,進而可根據(jù)七仇c的關(guān)系求解，

（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程得韋達定理，根據(jù)弦長公式求解弦長，進而根據(jù)向量共線得面積的關(guān)系為

SAGHN=2s△OHG，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.

【小問1詳解】

C1丫22

22

e————a—2Gb2_a_c_3c2=橢圓Q:__.-j,

a24c23c2

又冏=馬+勺2+勺3=〃=2,0=々=1,

22

n橢圓C：L+匕=1,

43

拋物線E:/=4x

【小問2詳解】

因為直線用斜率不為0,設(shè)為x=/y+l,

%=（y+1,

設(shè)6（國,為）,〃（巧,竺），聯(lián)立＜k/

---1---=1

143

整理