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文檔簡介
數(shù)列大題綜合
o(沖刺秘籍1o-
1.等差數(shù)列通項公式:a”=電+(71—l)d(rzCN+)或廝=07n+(n—m)d(nGN+)
m
2.等比數(shù)列通項公式:久曠1或冊=%(T.(neN*)
Sim=i)
S=f(aJ的類型,公式時=
nSn—Sn-r(n>2)
4.數(shù)列求和的常用方法:
(1)對于等差、等比數(shù)列,利用公式法可直接求解;
等差數(shù)列求和Sn=粵警1=小+減丁)5,等比數(shù)列求和Sn=3)1土1
22I1一,#1
(2)對于{anbn]結(jié)構(gòu),其中{冊}是等差數(shù)列,出J是等比數(shù)列,用錯位相減法求和;
⑶對于{冊±0}結(jié)構(gòu),利用分組求和法;
(4)對于結(jié)構(gòu),其中{冊}是等差數(shù)列,公差為d,則——二),利用裂項相消
法求和.
或通項公式為,、公、―-形式的數(shù)列,利用裂項相消法求和.
/(n)?L/(n)+d\
gn______m_______m/11\
/(n)-[/(n)+d]d\/(n)/(n)+d)
5.常見的裂項技巧:
⑴1—=9—-L_
n(n+fc)fcvnn+k
(2)1
Vn+k+Vn
----------------------------------------------M
(2n—l)(2n+1)22n—12n+l'
2n_(2n+1-l)-(2-1)_i1
(2n-l)(2n+1-l)(2n-l)(2n+1-l)-2n-l
(5)指數(shù)型(Q-1)屋=靖+i—葭;
Q*7l+1
(6)對數(shù)型logalogaa?+1-logoa?.
?M
n(n+l)(n+2)2Ln(n+1)(n+l)(n+2).
n__1]
(n+1)!3(n+1)!
2n1
(9)
(2n+1-l)(2n-l)2n-l
--------------------------------------o[沖剌訓(xùn)練o
一、解答題
題目|T(2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知S”是數(shù)列{aj的前71項和,2Sn="M,£12=3.
(1)求數(shù)列{冊}的通項公式;
(2)若b=|16-禍,求數(shù)列{bj的前幾項和黑.
區(qū)(2023?黑龍江牡丹江?牡丹江一中??既#┮阎獢?shù)列{冊}是正項等比數(shù)歹U,且a「a產(chǎn)7,a2a3
=8.
⑴求{%}的通項公式;
(2)若bn=(2n—l)a”,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
蔻目叵(2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考二模)設(shè)數(shù)列{冊}是首項為1,公差為d的等差數(shù)列,且的,—1,&3-1
是等比數(shù)列{0}的前三項.
⑴求{冊}的通項公式;
(2)設(shè)c“=log?皿,求數(shù)列{c0}的前n項和
an+l
題目[T(2023?福建寧德?校考模擬預(yù)測)已知數(shù)列{an},{bj,a.=l,an+1=-an+4x3"一1勾=log3%+產(chǎn)
(nGN*).
⑴求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)歹!J,并求數(shù)列{an}的前幾項和S九;
⑵求數(shù)列](2+得>馬的前n項和Tn.
Wf叵(2023?江蘇徐州???寄M預(yù)測)已知數(shù)列{an}的前n項和為S”,且等=an+l,a2=2.
(1)求數(shù)列{aj的通項公式;
(2)集合4={出42,…,aj,將集合A的所有非空子集中最小的元素相加,其和記為北,求北.
題目回(2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知數(shù)列{a“}滿足a產(chǎn)2,,以下三個條件中任選一個填
在橫線上并完成問題.
①7i(2a”+i—a”)=an,②2an+1—an=22f③q■+a2+2a:i+—F2"-%"=。
⑴求數(shù)列{冊}的通項公式;
(2)記數(shù)列{%}的前幾項積為北,求黑的最大值.
題目叮(2023?福建三明?統(tǒng)考三模)已知數(shù)列{%}滿足s=2,2an+1+anan+1-2an=0(neN*).
(1)求數(shù)列{aj的通項公式;
n8
⑵設(shè)b0=(~l)z2x,{bn}的前幾項和為Sn,證明:—1VS2“W一去
(4n-l)an3
題目叵(2023?廣東?校聯(lián)考模擬預(yù)測)記S”為數(shù)列{%}的前n項和,已知Sn,2n的等差中項為an.
⑴求證{冊+2}為等比數(shù)列;
(2)數(shù)列的前幾項和為北,是否存在整數(shù)k滿足方e(fc,fc+l)?若存在求廉否則說明理由.
IQ九+3J
:題目叵(2023?廣東佛山???寄M預(yù)測)如果數(shù)列{冊}對任意的neN*,a“+2—a“+i>a“+i—%,則稱
{aj為“速增數(shù)列”.
(1)請寫出一個速增數(shù)列{冊}的通項公式,并證明你寫出的數(shù)列符合要求;
(2)若數(shù)列{冊}為“速增數(shù)列”,且任意項an&Z,ai=l,a2=3,ak=2023,求正整數(shù)k的最大值.
題目回〕(2023?山西運城?山西省運城中學(xué)校??级#┮阎獢?shù)列{冊}滿足3+黑+號+號+…+?
幺222
_2Tl+3
―2^*
(1)求數(shù)列{a?}的通項公式;
(2)記數(shù)列(—--1的前n項和為S”,證明:Sn<
IQ/Q?i+iJ2
題目?(2023?江蘇南京?南京市第一中學(xué)??寄M預(yù)測)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{冊},滿足成+i
—an+1an—2a^=0(nEN*),2a3=64.
(1)求數(shù)列{Q/的通項公式;
(2)記黑=(1+工)(1+/+卷■,…(1+,試比較黑與9的大小,并加以證明.
\Q1八。2八。3,\anf
意目叵(2023?江蘇揚州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在①2sh=3%—3;②Q尸3,log3an+1=log3an+l這兩個條件中
任選一個,補(bǔ)充在下面問題中,并解答問題.
設(shè)數(shù)列{%}的前幾項和為S”,滿足,勾=迎二2,nCN*.
M+I
(1)求數(shù)列{冊}的通項公式;
(2)若存在正整數(shù)n0,使得0對VneN*恒成立,求為的值.
;題目叵(2023?福建福州?福州四中??寄M預(yù)測)如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊渾所著的《詳解九
章算法?商功》中,后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球,第二層有3個球,第三層有6個
球▲.設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列{a?}.
(1)寫出“與?、薌N*)的遞推關(guān)系,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記數(shù)列也}的前幾項和為S”,且Sn=4^-4,在幻與圖+1之間插入幾個數(shù),若這八+2個數(shù)恰能
組成一個公差為總的等差數(shù)列,求數(shù)列{%?4,}的前71項和Tn.
【題目叵(2023?湖北武漢?華中師大一附中??寄M預(yù)測)數(shù)列{%}的各項均為正數(shù),前幾項和為S”,且
滿足成+2冊=4*Sn+3.
(1)求數(shù)列{冊}的通項公式.
(2)設(shè)數(shù)列{0}滿足條件①以二(_2)"(6.+5);②/=(—2)%”,請從條件①②中選一個,求出數(shù)列
{4}的前幾項和北.
注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.
題目叵(2023?福建泉州?泉州七中??寄M預(yù)測)已知數(shù)列{為}的前n項的積記為北,且滿足親=
斯T
Q?2
(1)證明:數(shù)列{ZJ為等差數(shù)列;
1北,九為奇數(shù),
(2)若bn=?占,n為偶數(shù),求數(shù)列出}的前2n項和A
題目叵〕(2023?海南?????寄M預(yù)測)已知等差數(shù)列{%},其前幾項和S"滿足5"=4+小,小為常
數(shù).
⑴求772及{%}的通項公式;
(2)記數(shù)列勾=譚,,求仍"}前八項和的以
^n^n+1
:題目叵(2023?云南昭通?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{為}的首項a1=1,其前幾項和為
Sn,從①an=2屈;—1;②$2=4耳,S”+i+S時產(chǎn)2(S.+1)(九>2);③“=屈:+屈匚⑺>2)中任選
一個條件作為已知,并解答下列問題.
(1)求數(shù)列{%}的通項公式;
(2)設(shè)b=-0門,設(shè)數(shù)歹U也“}的前n項和黑,求證:,<Tn<1.
^n+14
(注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分).
趣目叵](2023?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知數(shù)列{冊}是等比數(shù)列,滿足冊+>an(neN*)Q=4,且1+
。2是電與。3的等差中項.
(1)求數(shù)列{飆}的通項公式;
(2)設(shè)bn=logzQmS九為數(shù)列{6n}的前n項和,記Tn=H---b1-,求Tn的取值范圍.
??
版目亞](2023?廣東梅州?統(tǒng)考三模)已知數(shù)列{冊}滿足的=2,a2=4,an+2=an+1+2an.
(1)證明:數(shù)列{冊}為等比數(shù)列.
(2)數(shù)列{b?}滿足---卜詈=%+「2,求數(shù)列{bn\的前n項和Sn.
b2bn
鸚目叵(2023?福建福州?福州四中??寄M預(yù)測)已知定義在R上的函數(shù)/⑺=^+cosx.
(1)求/(①)的最小值;
(2)當(dāng)0V/V1時,若不等式包些>Yk恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
xx+2
nCOS--7?=~~______
⑶若九eN*,證明:Z—r>V^+1-1
題目”0(2023?河北邯鄲?統(tǒng)考二模)已知數(shù)列{冊}中,冊>0,〃=3,記數(shù)列{冊}的前八項的乘積為
Sn,且Sn=J成.
(1)求數(shù)列{冊}的通項公式;
n
(2)設(shè)bn=馬宗,數(shù)列出}的前項和為耳,求證:AC⑺—l.n).
%,十工
題目叵(2023?海南?海口市瓊山華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)上獸=Inx-Q(X-1).
XIJLXI-L
(1)若函數(shù)/(⑼在[1,+8)上只有一個零點,求a的取值范圍;
⑵若冊=卜]n=l
,記數(shù)列{aj的前n項和為S”,證明:2S?<ln(n2+3n+2).
ln+1,72>2
題目叵(2023?山東荷澤?統(tǒng)考二模)已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列{冊}滿足%?%+]=16","eN”.
⑴求數(shù)列{an}的通項公式;
⑵設(shè)仇=1,bn+i=偶數(shù)'求數(shù)列也}的前⑦項和SM
題目(2023?山東泰安?統(tǒng)考二模)已知數(shù)列{冊}的前ri項和為Sn,的=2,0,anan+1=4Sn.
⑴求源;
(2)設(shè)b=(-1)71-(3n-l),數(shù)列{bj的前71項和為若VA;CN*,都有%T<久V為慶成立,求實數(shù)A
的范圍.
?M
題目叵(2023?遼寧沈陽?東北育才學(xué)校??家荒?如圖,已知曲線G:y=>0)及曲線C2-.y=
](l>0).從a上的點2(neN*)作直線平行于7軸,交曲線。2于點Q”,再從點Qn作直線平行于
“軸,交曲線。I于點Pn+1,點Pn的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an}(0<0,1<y).
_rA二:.
O0的Uaa?X
(1)試求a?+i與冊之間的關(guān)系,并證明:a2rlT<-y<a2?(n€N*);
⑵若Qi=1■,求冊的通項公式.
o
題月回〕(2023?山東?模擬預(yù)測)已知數(shù)列{冊}滿足a尸l,an+1=-^-(nGN*).
a九十i
(1)求數(shù)列{a?}的通項公式;
⑵設(shè)%=1+湍+湍+1,b>0,數(shù)列出}的前幾項和為S”,證明:WS“<n+1.
題耳叵(2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知正項數(shù)列{冊}的前幾項和S”滿足關(guān)系式6sl?6s2?
QI+3。2+3
…+^lV=SeeN*.
Q九十3
(1)求數(shù)列的通項公式;
Sn
⑵設(shè)£=(―1)%—(―1)%2+—卜(―l)an,nEN*,證明|篇V4n,n3.
廉目回(2023?海南?海南華僑中學(xué)??寄M預(yù)測)數(shù)列{冊}中,a尸』,對任意正整數(shù)n都有(3n+9)
y
,(n+l)2a?+i=(n+2)3a?.
(1)求{冊}的通項公式;
(2)設(shè){aJ的前九項和為Sn,證明:
①a“(("3")?(n+1);
②S“<;-2-+5.
4
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