浙江省衢州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省衢州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有1項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，則集合的子集有（）A.7個(gè) B.6個(gè) C.4個(gè) D.3個(gè)〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榧?，所以集合的子集有共個(gè).故選：C.2.若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為（）A. B.2 C.1 D.〖答案〗A〖解析〗，所以.故選：A.3.函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，則函數(shù)圖像是連續(xù)的且單調(diào)遞增，則，，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B.4.用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，所得截面形狀可能為：（）①三角形；②四邊形；③五邊形；④六邊形；⑤圓.A.①②③ B.①②④ C.①②③④ D.①②③④⑤〖答案〗C〖解析〗用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，分別是所在棱的中點(diǎn)，所得截面形狀可能為三角形、四邊形、五邊形、六邊形，如圖所示.故選：C.5.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以由，解得，所以，所以“”是“”的必要不充分條件，即“”是“”的必要不充分條件.故選：B.6.函數(shù)在區(qū)間上恰有兩條對稱軸，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，，則，，函數(shù)在區(qū)間[0，]上有且僅有2條對稱軸，即有2個(gè)整數(shù)k符合，，得，則，即，∴.故選：D.7.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗畫出函數(shù)的圖象如圖，若，由，即，即，即，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，令，則，所以，.故選：D.8.在矩形中，，為的中點(diǎn)，將和沿，翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合于點(diǎn)，若，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，，又平面PAD，平面PAD，所以MP⊥平面PAD，設(shè)△ADP的外接圓的半徑為r，則由正弦定理可得，即，所以，設(shè)三棱錐M-PAD的外接球的半徑為R，則，所以外接球的表面積為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.給出下列說法，其中正確的是（）A.數(shù)據(jù)0，1，2，4的極差與中位數(shù)之積為6B.已知一組數(shù)據(jù)的方差是5，則數(shù)據(jù)的方差是20C.已知一組數(shù)據(jù)的方差為0，則此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一D.已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，極差為，中位數(shù)為，所以極差與中位數(shù)之積為，A對；對于B，根據(jù)方差的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)的方差是，B錯(cuò)；對于C，由方差，可得，即此組數(shù)據(jù)眾數(shù)唯一，C對；對于D，，，D對.故選：ACD.10.函數(shù)，如下結(jié)論正確的是（）A.的最大值為B.對任意的，都有C.在上是增函數(shù)D.由的圖象向右平移個(gè)單位長度可以得到函數(shù)的圖象〖答案〗BC〖解析〗，所以的最大值為，故A錯(cuò)誤；，所以關(guān)于對稱，所以對任意的，都有，故B正確；時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，故C正確；由的圖象向右平移個(gè)單位長度可以得到函數(shù)的圖象，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形的邊長為2，是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為B.的最大值為C.在方向上的投影向量為D.〖答案〗AB〖解析〗如圖所示：以為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，在中，根據(jù)余弦定理可得，，整理得到，，，，設(shè)，對選項(xiàng)A：，，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，A正確；對選項(xiàng)B：取的中點(diǎn)，則，，則，，兩式相減得：，由正八邊形的對稱性知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，最大，又，所以，所以，所以的最大值為，B正確；對選項(xiàng)C：，，所以，即投影向量為，C錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：因?yàn)?，，所以，又，所以，D錯(cuò)誤.故選：AB.12.某同學(xué)在研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，受到兩點(diǎn)間距離公式的啟發(fā)，將變形為，則下列關(guān)于函數(shù)的描述正確的是（）A.的圖象是中心對稱圖形 B.的圖象是軸對稱圖形C.的值域?yàn)?D.方程有兩個(gè)解〖答案〗BCD〖解析〗對于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，所以，函?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，B對；對于C選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，如下圖所示：，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，等號成立，所以，函數(shù)的值域?yàn)?，C對；對于A選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，函數(shù)只有最小值，若函數(shù)的圖象為中心對稱圖形，則函數(shù)有最大值，這與函數(shù)的值域?yàn)槊埽珹錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，設(shè)，由可得，解得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且函數(shù)的值域?yàn)椋驗(yàn)?，，所以，方程無解，令，易知函數(shù)在上為增函數(shù)，且，，由零點(diǎn)存在定理可知，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，即方程由一個(gè)根，則方程在上有個(gè)根，綜上所述，方程有兩個(gè)根，D對.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意知，．故〖答案〗為：.14.設(shè)，則函數(shù)的最小值為_____.〖答案〗〖解析〗令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，故函數(shù)的最小值為．故〖答案〗為：.15.已知為定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且對任意的，，，都有，試寫出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)〖解析〗式______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，則，且，又為偶函數(shù)，則，即，于是，則，即是以為周期的周期函數(shù)，對任意，，，都有，可得在單調(diào)遞減，不妨設(shè)，由題意，，所以，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且在上單調(diào)遞增，所以，不妨取，此時(shí)，故符合上述條件的一個(gè)函數(shù)〖解析〗式，（〖答案〗不唯一）.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.16.若點(diǎn)為邊長為的正內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗由題知，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)成，使得與重合，如圖所示，則是等邊三角形，，，過點(diǎn)作，因?yàn)闉檫呴L為的正內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或驗(yàn)算步驟.17.已知函數(shù)，.（1）求；（2）求函數(shù)的值域.解：（1）因?yàn)?，所?（2），令，因?yàn)椋?，則，令，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以，所以函數(shù)的值域.18.隨著現(xiàn)代社會物質(zhì)生活水平的提高，中學(xué)生的零花錢越來越多，消費(fèi)水平也越來越高，因此滋生了一些不良的攀比現(xiàn)象.某學(xué)校為幫助學(xué)生培養(yǎng)正確的消費(fèi)觀念，對該校學(xué)生每周零花錢的數(shù)額進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查，現(xiàn)將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按，，…，分組后繪成如圖所示的頻率分布直方圖，已知.（1）求頻率分布直方圖中，的值；（2）估計(jì)該校學(xué)生每周零花錢的第55百分位數(shù)；（3）若按照各組頻率的比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法從每周零花錢在內(nèi)的人中抽取11人，求內(nèi)抽取的人數(shù).解：（1），即，又，所以，.（2）前3組的頻率和為，前4組的頻率和為，∴第55百分位數(shù)位于第4組內(nèi)，∴估計(jì)第55百分位數(shù)為元.（3），，這三組的頻率分別為，，，比例為，則從內(nèi)抽取的人數(shù)分別為.19.衢州市某公園供市民休息的石凳是阿基米德多面體，它可以看做是一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的二十四等邊體（各棱長都相等），已知正方體的棱長為30cm.（1）證明：平面平面；（2）求石凳所對應(yīng)幾何體的體積.解：（1）多面體為二十四等邊體知、、、、、為正方體對應(yīng)棱上的中點(diǎn)，則，，，平面，，平面，則平面平面.（2）正方體體積，截去的每個(gè)四面體體積為，所以石凳所對應(yīng)幾何體的體積為.20.在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大小；（2）求的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋喛傻?，由正弦定理可得，∴，∴，∴，∴，即，因?yàn)?，則，∴，則.（2）法1：由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，則，所以，故，所以的取值范圍為.法2：由（1）可知，在中，由余弦定理可得，則，，，所以，則，所以的取值范圍為.21.如圖在三棱臺中，平面，，，.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求二面角的正弦值.解：（1）解法一：因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，所以，，，又，，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，在中，，在中，，過作，垂足為，則，，則，所以，所以在中，，則在中，，則，所以，，設(shè)點(diǎn)到面的距離為，根據(jù)，即，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.解法二：同解法一先證平面，如圖建系，則，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，即，取，則點(diǎn)到平面的距離為.（2）解法一：過作，垂足為，由（1）知平面，因?yàn)槠矫妫?，又，且平面，則平面，過點(diǎn)作，垂足為，連接，則為二面角的平面角，又，，，則，由∽，得，所以，所以，所以，所以二面角的正弦值為.解法二：由（1）解法二知，，，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，由，得，即，取，又平面的法向量為，則，則二面角的正弦值為.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求