河南省部分重點高中2023-2024學年高三年級下冊5月百師聯(lián)盟大聯(lián)考數(shù)學試卷(新高考)(含解析)

2024屆高三二輪復習聯(lián)考（三）

數(shù)學試題

L答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

考試時間為120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合4={磯x-l卜1},5={0,1,2,4},則4c5=（）

A.{1,2}B.{0,1,2}c.{0,1,2,4}D,{1,4）

2.已知復數(shù)則卜卜（）

1—1

A.lB.y/3C.2D.24

3.已知向量￡=（2/）］=（0,2）,則向量。在向量公上的投影向量為（）

4已知sin-—a4-sina=_則sin2a+—=（）

k373tV6J

7788

A

9B.一9C.-D--

5.已知數(shù)列{。}和數(shù)列名}的通項公式分別為a=3〃+1和b=5〃+1,若它們的公共項從小到人依次排

nnnn

列構(gòu)成新數(shù)列{c},則滿足不等式2024的最大的整數(shù)〃二（）

nn

A.134B.135C.136D.137

6.各名校的強基計劃主要選拔有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學科拔尖的學生.現(xiàn)清華

大學、北京大學、中國人民大學，復旦大學均有數(shù)學強基招生計劃，若某班有4位學生每人從上述四所學校

中任迄一所報名，則恰有一所學校無人選報的不同方法數(shù)共有（)

A.96B.144C.168D.288

7.已知雙曲線C：，>一今=13>0/>0）的左，右焦點分別為為坐標原點，焦距為8嫄，點P

在雙由線。上，|OP|二pq|,且△尸。々的面積為8,則雙曲線的離心率為（）

A.2B.乎C.y/2D.4

2

8.已知在三棱錐S—/48c中，AC—BC,SA=AB=2JT,NACB=/SAB=—TC,平面SAB_L平面

ABC,則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.18TTB.27兀C.39兀D.52兀

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題紿出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知。是坐標原點，過拋物線。：產(chǎn)=4x的焦點/的直線/與拋物線。交于48兩點，其中4在第一

象限，若|4-|=3|5尸點在拋物線C上,則（）

8

A.拋物線C的準線方程為X=-1B.|^|=y

JI

C.直線/的傾斜角為丁D.|A/F|=|OF|

IO.已知函數(shù)/'G）為定義在R上的函數(shù)/G）的導函數(shù)，/G-i）為奇函數(shù)，/Q+i）為偶函數(shù)，且

/'（0）=2,則下列說法正確的有（）

A./（O）=/（2）B.r（-i）+r（3）=o

C.r（4）=2D,S//（2Z）=-22

Ml

11.現(xiàn)有編號分別為4,6=1,2,3）的三個盒子，其中4盒中共20個小球，其中紅球6個，4盒中共20個

小球，其中紅球5個，4盒中共30個小菜，其中紅球6個.現(xiàn)從所有球中隨機抽取一個，記事件彳：“該

球為紅球”，事件5：“該球出自編號為/C=L2,3）的盒中，，，則下列說法正確的是（）

II

A.尸a5）=1

B.P（4）=言

cP缶A)=—

217

D.若從所有紅球中隨機抽取一個，則該球來自4盒的概率最小

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.從某果樹上隨機摘下11個水果，其直徑為12,13,14,14,16,20,20,21,22,23,25（單位：cm）,則這組

數(shù)據(jù)的第六十百分位數(shù)為.

]3.設（2_X）”=Q+Q（X-1）+Q（1一1）2+…+Q（x—1）“，若a+a=0,則〃=

0I2〃56

14.數(shù)列L｝：1』,2,3,5,813,21,34,……稱為斐波那契數(shù)列，該數(shù)列是由意大利數(shù)學家萊昂納多?斐波那契

n

（LeonardoFibonacci｝以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，L｝滿足

a=a=\,a=a+aU..3,/?eNJ,則數(shù)55是該數(shù)列的第項；

I2nn-ln-2~~~~~

工產(chǎn)產(chǎn)6+…+噎是斐波那契數(shù)列的第----------項.

四、解答題：本題共5小題，共77分?解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

已知函數(shù)/G）二,

15.(13分)X2—4x+a\nx

,求曲線/G）在點G/（i））處的切線方程;

(1)當a=1時

（2）設函數(shù)P=有兩個不同的極值點”，凡，求實數(shù)。的取值范圍.

16.（15分）某視力研究中心為了解大學生的視力情況，從某大學抽取了60名學生進行視力測試，其中男

52

生與女生的比例為2:1,男生近視的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的萬，男生與女生總近視人數(shù)占總?cè)藬?shù)的彳.

JL4，

（1）完成下面2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，能否認為是否近視與性別有關(guān).

近視不近視合計

男

女

合計60

（2）按性別用分層抽樣的方法從近視的學生中抽取8人，若從這8人中隨機選出2人進行平時用眼情況

調(diào)查，求選出的2人中女生人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.

n(ad-bc)2(n=a+b+c+c/)

附：”=(a+b)G+d)Q+c)G+d)

P（Z2...A）

00.1000.0500.0250.0100.001

k

02.7063.8415.0246.63510.828

17.（15分）如圖，在三棱錐尸一48。中，P/_L平面力BC,平面尸4CJ.平面尸8cp4=40=2,。為

線段尸6的中點，直線45與平面尸8C所成的角的正切值為孚.

（1）求證：ACLBC.

（2）求平面24c與平面尸8c夾角的余弦值.

18.（17分）已知橢圓C:E+r=l（a>b〉O）的焦距為2,兩個焦點與短軸一個頂點構(gòu)成等邊三角形.

Q2bl

（1）求橢圓c的標準方程；

⑵設尸（3"）,過點尸的兩條直線4和4分別交橢圓。于點。，￡和點（4和｛.不重合），直線4

和4的斜率分別為勺和仁若|PM||PN|=『Q||PE|,判斷勺+勺是否為定值，若是，求出該值；若否，

說明理由.

19.（17分）已知無窮數(shù)列｛〃｝是首項為1,各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合

n

J=4GN*|a<k<a,〃￡N*｝.若對于集合力中的元素左，數(shù)列M｝中存在不相同的項

nn

氣，。,，…，。，使得。+。2+…+。=左，則稱數(shù)列｝具有性質(zhì)記集合8=&1數(shù)列M｝具

rl，ZtrniZ、n〃

有性質(zhì)N（n.

（1）若數(shù)列｛〃｝的通項公式為。=『：「‘〃"：’判斷數(shù)列｛。｝是否具有性質(zhì)NQ）,若具有，寫出集合

n”[w+6,7?>4,“

4與集合B；

（2）已知數(shù)列L｝具有性質(zhì)N（〃）且集合4中的最小元素為E.集合8小的最小元素為s,當九.3時，證

n

明：』

2024屆高三二輪復習聯(lián)考（三）

數(shù)學參考答案及評分意見

1.B【解析】由題知4=4cB={o[,2},故選B.

2.C【解析】

(2,1)(42

baa2

3.A【解析】由題向量6在向量。上的投影向量為下「百二存"y.故選A.

由sm『?！猘+sina二L,可得cosa--sina+sina=1,即

4.B【解析】正

13J3223

1.1

—sina+cosa=_,可得sm[a+4=J,所以

2T3

-712sin2(a+；t7

sin2a+—=sin2a+=-cos2a+_一1二一..故選B.

6I3

5.A【解析】由題知該數(shù)列的通項公式c=15〃+1,15〃+1”2024,且〃為整數(shù)，得%134.故選A.

6.B【解析】將4位同學分為2,1,1的分組，再分配到4所學校中的3所，共有C0A344種方法,故

選B.

7.C【解析】因為"。夕的面積為8,所以“勺夕的面積為16.又|。尸|=|。勺，所以

|OP|=|OF|=pF|=l|FF|,所以△尸0勺為直角三角形，且_LPJ設-勺=叫尸身=〃，所以

三X"上二上竺二2W所以

，一川二2a,〃72+〃2=4c2,所以〃?〃=

22

=；'〃"=從56,又b>0,所以6=4.焦距為2c=8/，所以c=4/，則

ai=e2-b2=(45/2)2-16=16,所以a=4,則離心率e=±f二展，故選C.

8.D【解析】設△NBCQSZB的外接圓的半徑分別為則在△48C中,

,AB.rr-2.

2廠標赤=23、下=4,[=2,在^S四中，NS44=12O,所以

0=36,則

SB?=SA2+AB2-ISA-ABcosNSAB=（2驅(qū)）2+（273）2-2x273x273x

SB2

SB=6,2三=立］］20=6］存=4退匕=2/,設三棱錐S一力8c的外接球的半徑為H,因為平面

S48_L平面力8C,則氏2=/2+尸2--=22+（2/）2—（JJ）2=13,所以其外接球的表面積為

12\2J

4成2=52兀.故選D.

9.AC【解析】/（1,0）,準線方程為1二-1,故A正確；設4（匕,乙）,8（4,斗）,設直線

l:x-ty+lt與產(chǎn)=4x聯(lián)立得產(chǎn)一4什一4=0,由J尸卜3尸尸|可得==一3匕,結(jié)合

乙+j；=4”匕=f可得"半,乙=23匕=-孚，則

（）A2⑸162國空兀

八3,2小人B,pB|=_,故B錯誤；直線/的斜率為------1-=&,傾斜角為亍故C

（J3--

3

正確;慳尸|=2,］。尸|=1.故D錯誤.故選AC.

10.ABD【解析】由/‘（》一1）為奇函數(shù)，知函數(shù)/G）的圖象關(guān)于（-1,0）對稱，由/'（x+1）為偶函數(shù)知

函數(shù)/G）的圖象關(guān)于x=l對稱，故A正確；且有函數(shù)/'G）的圖象關(guān)于工=-1和（1，°）對稱，故B正

確；且有8為函數(shù)/G）和/'G）的一個周期，/'（4）=/'（2）=一/'（0）=-2,故C錯誤；

/,⑹=/（0）=2,功Q）=/（2）+

2//（4）+3/,（6）+4f（8）+.--+9r（18）+10/,（20）=（-l-2+3+4-5-6+7+8-9-10）x2=-22

,故D正確.故選ABD.

11.ACD【解析】由題

P（B）=20依）20_2pg）_30_3

120+20+3020+20+307'320+20+307

產(chǎn)（4|8）=9==，尸（4|8）二士一=1,尸（4|8）=9=1,故A正確；則

J,

?201022043305

P（A）=P（B）PG|8）+尸（8）P（J|B）+P（B）PG|B）=lx2_+2xl+lxl=11,故B錯

112233710747570

誤；因為尸（q）=5,所以尸所以

（_\尸DP+X12

G|S"）P（T）9AO07

=2==J

P2p（^r——rb）17T7故c正確；由題該球來自4的概率為

一70

66/55/66

「4,==，該球來自4的概率為幺<公=該球來自4的概率為么<幺==，所以該球來

6+5+61726+5+61736+5+617

自4的概率最小，故D正確做選ACD.

12.20【解析】第六十百分位數(shù)的位置為Ux60%=6.6,即取第7位數(shù)20,故第六十百分位數(shù)為20.故

答案為20.

13.11【解析】令z=x-l,則x=r+l,即有（2-x）”=（1一?！?。0+...+。加,（1一/）”的通

012n

項為：T=Qk（-t）k=0（—1）*7*,令人=5可得a=Cs（-1）5=—Cs,令。=6可得

4+1nn5nn

a=C6（-1）6=C6,所以由a+a=0可得Cs=C6,所以〃=11.

6nn56nn

14.10；2025【解析】第一空：第10項；第二空：由

a=a-a,a=a-a,....,a=a-a得

2314533aM必2023

a+a+a+…+a=(a-a)+(a-a)+(a-a)H-----F(a-a)=a-1則

2462024315375202520232025,

1+a+a+a+…+a=l+a—l=a是第2025項.（第一空2分，第二空3分）

246202420252025

15.解：（1）當4=1時，/（x）=^-x2-4x+lnx,/rG）=x-4+l,

2x

/（1）=-4=--,/,（l）=l-4+l=-2,

7

則切線方程為P+爹=-2（x-l）,化簡得4x+2歹+3=°.

（2）由題/心）=1+噎1』,

xx

函數(shù)/G）有兩個極值點5,3，即x2-4x+a=0在（。,鐘）上有兩個不等實根，

.（\4f/?（0）=a>0,

.令h\xj=X2-4x+a只需Vz、

令，火甫［〃（2）="4<0,

故0<QV4,即實數(shù)々的取值范圍是（0,4）.

21

16.解：（1）由題意，男生與女生的人數(shù)之比是2:1,所以男生有60x?=40人，女生有60x?=2（）人,

男生近視的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的W，所以有6°X4=25人，男生中不近視的人數(shù)為15人.

22

近視人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，，所以近視人數(shù)為60x?=40,則女生中近視的人數(shù)為40-25=15.

可得如下2x2列聯(lián)表:

近視不近視合計

男251540

女15520

合計402060

零假設為“。：性別與近視情況獨立，即性別因素與學生近視情況無關(guān);

60x(25x5-15x15)2

所以工2=0.9375<6.635,

40x20x40x20

根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷“°不成立，因此可以認為“°成立,

即性別因素與學生近視情況無關(guān).

（2）近視的學生一共有40人，

o25-15r

從中抽取8人，抽到的男生人數(shù)、女生人數(shù)分別為：8X_=5,8X_=3.

所以女生人數(shù)X的所有可能取值為0,1,2.

尸（八0）=盟=',P（*=1）=里=巴尸（*=2）=汨='

C214C228C228'

888

所以X的分布列為

X012

5153

P

142828

期望￡(X)=0x一+lx一+2x23

期142828=<

17.（1）證明：取PC中點〃，連接因為尸4=則力M_LPC.

又4V，u平面尸4C,平面PBCc平面P4C=PC,平面P4C_L平面03C,

平面尸8C.

BCu平面PBC,；.AM1BC

???尸力，平面ABC,PA1BC

???平面平面7MC,?=3c_L平面pzc,

??.ACLBC.

（2）由（1）知，平面尸6C,則N48M為直線45與平面尸8。所成角,

由已知，直線力8與平面P8C所成的角正切值為半，

二.直線力8與平面尸8c所成的角為=1,

6

4Mit1

PA=AC=2,AM=",又/A/_L平面。8C,所以4〃_L4A/,所以一^=4117=7,

AB62

所以48=2y/2,BC=^ABi-ACi=2,

以。為原點，C4c8,Cz分別為'J/軸正向建立空間直角坐標系，

C(0,0,0),J(2,0,0),B(0,2,0),CG,1,1),^(1,0,1),

.-.G4=(2,0,0),Cg=(1,1,1),

設平面04c的法向量為］=Q/，z),

w-C4=0,2x=0,,-/\

<——=<x+y+z=0,令…,則=

n-CQ=0,

同理，可得平面尸8c的法向量為M4=(l,0,-1).…

設平面04c與平面P8C所成二面角的平面角大小為G,

p?|pWj|2，

所以平面3c與平面PBC夾角的余弦值為

乙

18.解：(1)由題焦距2c=2,解得c=l,

由兩個焦點與短軸一個頂點構(gòu)成等邊三角形可知6=島=7行，則從=3,

所以G=62+C2=4,

所以橢圓C的標準方程為口與八

（2）{+勺是定值.

已知P（3j）,設。（x,y）,E（x,y\M{X,y）,N（x,y）,

223344

「?直線/的方程為丁一￡_勺（》_3）,即丁=上3—3{十乙

X2V2

代入+t=i并整理，

43

得Cu2+3)x2+G%r—24上)工+4?！?%)—12=0,

iiii

A=(8kt-24(}—4(44+3*4(/—34)一12>0,

24k2-8kt4。-34>-12

X+X=--------1-----------X—[

124%2+3I24匕