函數(shù)與方程教案1 人教課標(biāo)版

§.翦教與方程

—.知識(shí)要點(diǎn)二、考點(diǎn)演練

.零點(diǎn)的概■念題型一：確定零點(diǎn)所在的區(qū)間

0定義

.設(shè)函數(shù)丁=尤3與y的圖象的交點(diǎn)為

使函數(shù)/(x)=0的實(shí)數(shù)x的值叫/(x)的零點(diǎn).

()幾何意義及代數(shù)意義

(%0，%)),則與所在的區(qū)間是()

/(X)的零點(diǎn)o曲線y=/(x)與x軸的交點(diǎn)的橫

.(0,1).(U).(2,3).(3,4)

坐標(biāo)o方程/(x)=0的實(shí)根.

.零點(diǎn)的性質(zhì)

0函數(shù)/(X)的圖象穿過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值變號(hào)；

()相鄰兩零點(diǎn)之間的函數(shù)值同號(hào).

.零點(diǎn)存在性的判斷(零點(diǎn)定理)

()在區(qū)間切上的連續(xù)函數(shù)/(X)滿足

.已知函數(shù)/(x)=log°x+x—b(a>0且awl),當(dāng)

/(?)-f(b)<0,則至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使得

2<a<3<b<4時(shí),函數(shù)/(%)的零點(diǎn)

/(c)=0,即f(x)在(。/)上至少存在一個(gè)零點(diǎn)c.

%oe(n,n+1)(ne7V*),則n

若/(%)在(。力)上嚴(yán)格單調(diào)，則在(。/)上存在唯

一實(shí)數(shù)c,使得y(c)=o.

.求方程的實(shí)根(或判斷實(shí)根個(gè)數(shù))的方法

()代數(shù)法：解方程y(x)=o；

()數(shù)形結(jié)合法：求曲線y=/(x)與x軸的交點(diǎn)；

()輔助函數(shù)法：求曲線y=/(x)與y=g(x)的

題型二：確定區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

交點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)_F(x)=/(x)-g(x)的零

.若函數(shù)/'(九)=%3+af+Z?x+c的兩個(gè)極值點(diǎn)為

點(diǎn)個(gè)數(shù).

玉,12，且f(xi)=X1，則關(guān)于x的方程

.用“二分法”求零點(diǎn)的近似值

2

()給定區(qū)間句及精確度￡,驗(yàn)證3(/(x))+2af(x)+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為.

()求區(qū)間［a1］的中點(diǎn)c,計(jì)算/(c)；

()驗(yàn)證/(a)―/(c)與/S)―/(c)的符號(hào)：

①若/(c)=0,則c為零點(diǎn)；

②若/(?)-/(c)<0,則零點(diǎn)x0e(a,c),令

c=b；

③若f(b)-/(c)<0,則零點(diǎn)尤°e(c,b),令

c=a；

④判斷I。一《<￡是否成立，若成立，則任取a力中

的一個(gè)數(shù)為零點(diǎn)，否則，重復(fù)②至④的步驟..已知定義在上的偶函數(shù)y=/(%)滿足

/(1+)=/(1-),且當(dāng)e[-1,1]時(shí)，,1

%%x.已知函數(shù)f(x)=x^+ex--(x<0)與

/(%)=%2,則方程/(x)=lgx的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)

g(無(wú))=/+ln(%+a)的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)

為.

稱的點(diǎn)，則。的取值范圍是.

題型三：利用零點(diǎn)確定參數(shù)的值或取值范圍.設(shè)/(x)是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)于VxeR,都

?設(shè)方程logx+x—3=0的根為X1,方程有/(%-1)=/(%+1),且當(dāng)xe［-1,0］時(shí)，

3*+%—3=0的根為尤2,則七+尤2的值為.

=-1,若在區(qū)間(—1,7］內(nèi)關(guān)于x的方

程/(%)—log”(x+1)=0(a>0且。中1)恰有個(gè)

不同的實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍是.

題型四：零點(diǎn)的綜合應(yīng)用Y

.設(shè)函數(shù)/(x)=F+c(e=2.71828是自然對(duì)數(shù)

.設(shè)函數(shù)力(x)=x0+bx+c(neN*,b,c&R).e

的底數(shù)，ceR).

()設(shè)/22力=l,c=—l，證明：￡,(無(wú))在區(qū)間

()求/(x)的單調(diào)區(qū)間及最大值；

內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；()討論關(guān)于x的方程|lnx|=/(x)根的個(gè)數(shù).

()設(shè)〃=2,若對(duì)于Vx1；x2e[-l,l],有

憶(七)一力(%2)|W4,求b的取值范圍；

O在()的條件下，設(shè)X.是/(尤)在內(nèi)的

零點(diǎn)，判斷數(shù)列七，/，…，毛,…的增減性.

§.翦教與方程

—.知識(shí)要點(diǎn)

.零點(diǎn)的^念

0定義

使函數(shù)/(x)=0的實(shí)數(shù)x的值叫于(x)的零點(diǎn).

()幾何意義及代數(shù)意義

/(x)的零點(diǎn)o曲線y=/(x)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)=方程/(x)=0的實(shí)根.

.零點(diǎn)的性質(zhì)

()函數(shù)/(x)的圖象穿過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值變號(hào)；

()相鄰兩零點(diǎn)之間的函數(shù)值同號(hào).

.零點(diǎn)存在性的判斷(零點(diǎn)定理)

()在區(qū)間句上的連續(xù)函數(shù)/(x)滿足/(a)?/(/?)<0,則至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使得

/(c)=0,即/(x)在(a,。)上至少存在一個(gè)零點(diǎn)c.若/(x)在(a,6)上嚴(yán)格單調(diào)，則在(a,。)

上存在唯一實(shí)數(shù)C,使得/(c)=0.

.求方程的實(shí)根(或判斷實(shí)根個(gè)數(shù))的方法

()代數(shù)法：解方程y(x)=o；

()數(shù)形結(jié)合法：求曲線y=/(x)與x軸的交點(diǎn)；

()輔助函數(shù)法：求曲線y=/(x)與y=g(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)尸(x)=/(x)-g(x)

的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

.用“二分法”求零點(diǎn)的近似值

()給定區(qū)間［a,b］及精確度￡,驗(yàn)證/(?)-f(b)<0；

()求區(qū)間［。,切的中點(diǎn)c,計(jì)算/(c);

O驗(yàn)證/(a)"(c)與/(力"(c)的符號(hào):

①若/(c)=0,則C為零點(diǎn)；

②若/(a)?/(c)<0,則零點(diǎn)與€(。,。)，令c=b；

③若f(b)-f(c)<0,則零點(diǎn)與w(c,Z?),令c=a；

④判斷妝一a|<￡是否成立，若成立，則任取。力中的一個(gè)數(shù)為零點(diǎn)，否則，重復(fù)②至④的步

驟.

二、考點(diǎn)演練

題型一：確定零點(diǎn)所在的區(qū)間

.設(shè)函數(shù)一…g「的圖象的交點(diǎn)為(…)，則/所在的區(qū)間是一

.(0,1).(1,2).(2,3).(3,4)

【解析】令/(x)=/—g].

則/(0)=0—4=_4<0；/(1)=1-2=-1<0；

/(2)=8—1=7>0.所以/⑴?/(2)<0,所以與所在的區(qū)間是(1,2).選.

.已知函數(shù)/"(無(wú))=log。尤+無(wú)一匕(a>0且a#1),當(dāng)2<a<3<b<4時(shí)，函數(shù)/(x)的零點(diǎn)

%0e(n,n+1)(neTV*),則〃=.

【解析】令x=2,則/(2)=log〃2+2—b

<3-b<0,/(3)=logfl3+3-Z>>4-Z?>0,所以/(x)的零點(diǎn)e(2,3),則〃=2.

題型二：確定區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

.若函數(shù)/(x)=/+。二+bx+c的兩個(gè)極值點(diǎn)為七,%,且則關(guān)于x的方程

3(/(x))2+2如(%)+3=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為.

【解析】f'(x)=3x2+2ax+b,因?yàn)樾?0是/'(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以玉,々是

f\x)=3x2+2ax+b=0的兩根,于是方程3(/(x))2+2af(x)+b=0的解為/(%)=玉or

/(x)=x2.

不妨令再<%2，因?yàn)?(占)=占，所以同圖象知/(無(wú))=再有兩解，/(X)=%只有一解，所

以共有個(gè)實(shí)數(shù)解.

y

.已知定義在上的偶函數(shù)y=/(x)滿足/(l+x)=/(l—x),且當(dāng)時(shí)，/(無(wú))=，,

則方程/(x)=lgx的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為.

【解析】方程/(無(wú))=lgx的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=/(x)與y=lgx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

由已知得y=/(x)是周期為的周期函數(shù)，其圖象如圖所示，當(dāng)x=10時(shí)，lgx=l,所以共

有個(gè)交點(diǎn)，即方程有個(gè)實(shí)數(shù)解.

題型三：利用零點(diǎn)確定參數(shù)的值或取值范圍

.設(shè)方程logs無(wú)+x—3=0的根為毛，方程3，+x-3=0的根為％，則當(dāng)+%的值為.

【解析】占即為y=log3X與y=3—x的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；%即y=3工與y=3—x的

圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因?yàn)閥=log3尤與y=3*的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，直線y=3-x也

關(guān)于y=x對(duì)稱，所以兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于y=x對(duì)稱，于是y=3-x與y=x的交點(diǎn)即為的中點(diǎn)，

所以X1+無(wú)2=2無(wú)尸=3.

.已知函數(shù)/(x)=r+e*-g(x<0)與g(x)=x2+ln(x+a)的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱

的點(diǎn)，則。的取值范圍是.

【解析】在/(x)上存在點(diǎn)(尤0,%),其關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(%,—%)在g(x)的圖象上，

—

所以x；+e"——XQ+ln(a—九。)，

x

即e°-ln(tz-x0)-^-=0.

等價(jià)于函數(shù)丸(x)=ex-111(0-%)-3在(-00,0)存在零點(diǎn).

因?yàn)椤?x)=eX------>0,所以/z(x)在(一(?,0)遞增，當(dāng)％—>ro時(shí)，丸(左)-—8,要使

x-a

/z(x)在(-oo,0)存在零點(diǎn)，只需丸(0)=1-lna-g〉0,即a<&,所以aw(ro,Ji).

.設(shè)/(x)是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)于VxeR,都有/(%—l)=/(x+l),且當(dāng)xe［—1,0］時(shí),

/(x)=J1j—1,若在區(qū)間(-1,7]內(nèi)關(guān)于x的方程/(%)-loga(x+1)=0(a>0且a中1)恰

有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍是.

【解析】方程/(x)-log”(x+1)=0在(-1,7］有個(gè)實(shí)數(shù)根，即為/(%)與y=log“(無(wú)+1)的

□°g式5+1)<3,解之得

圖象有個(gè)交點(diǎn)，由已知得了(x)是周期為的周期函數(shù)，由圖象得《

[log式7+1)>3

ae(V6,2).

題型四：零點(diǎn)的綜合應(yīng)用

n

.設(shè)函數(shù)fn(x)=x+bx+c(neN*,b,csR).

O設(shè)〃22/=l,c=-L,證明：力(無(wú))在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn);

()設(shè)幾=2,若對(duì)于Vxi，/e［一U］，有人(尤i)一人(九2)］<4,求b的取值范圍；

()在()的條件下，設(shè)X“是<(X)在內(nèi)的零點(diǎn)，判斷數(shù)列尤2,尤3,…，與，…的增減性?

n

【解析】()當(dāng)“22力=l,c=—1時(shí)，fn(x)=x+X-1.

???/(f/,⑴=(f-fX1<0,(x)在(；,1)內(nèi)存在零點(diǎn)

又因?yàn)楫?dāng)寸，f^x)=nxni+1>0,

.?.力(尤)在(，:I)上是單調(diào)遞增的，，

.?./“(X)在(g,D內(nèi)存在唯一零點(diǎn)。

2

()當(dāng)〃=2時(shí)，f2(x)=x+bx+c.

對(duì)任意網(wǎng),電e［-Ll］都有|力I)-力(巧)|V4

等價(jià)于力(x)在［-1,1］上的最大值與最小值之差M<4.

據(jù)此分類討論如下：

「.當(dāng)0>1,即網(wǎng)>2時(shí).

M=|力⑴一力(―叫=2|4>4,與題設(shè)矛盾?

2°.當(dāng)-14-2<0,即0<bW2時(shí).

2

bb

2

M=/2(l)-/2(--)=(-+1)<4,恒成立.

3°.當(dāng)04-2W1,即-24640時(shí).

2

bb

2

M=/2(-l)-/2(--)=(--l)<4,恒成立.

綜上得-246V2.

O證法一：設(shè)%是工(%)在內(nèi)的唯一零點(diǎn).

工,(x“)=x：+%T=。，

fn+i(x,+i)=塌+x“+i—1=0,xn+le(-,1).

則力(覆)=0=fn+\(演+1)=琛:+%"+1-1

<X；+l+%+l—1=

又由O知/(x)在上遞增，所以招〈居M(〃22).

所以數(shù)列無(wú)2,…，尤”，…是遞增數(shù)列.

X

.設(shè)函數(shù)/(x)=—+c(e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，ceR).

e

O求/(x)的單調(diào)區(qū)間及最大值;

()討論關(guān)于x的方程|lnx|=/(x)根的個(gè)數(shù).

【解析】()f\x)=(l-2x)e-2x.

令/'(x)=0,則x=g.

當(dāng)x<g時(shí)，-。)>0，/(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)X〉；時(shí)，f'M<0,/(x)