人教版六年級下冊數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)思考（一）》獲獎公開課教學(xué)設(shè)計

數(shù)學(xué)思考（一）

本案例為省級小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課一等獎

教學(xué)內(nèi)容分析

義務(wù)教育教科書（人教版）數(shù)學(xué)六年級下冊第100頁例I及“做

一做”、練習(xí)二十二第1~4題?！?/p>

例1體現(xiàn)了找規(guī)律對解決問題的重要性。本節(jié)課教材呈現(xiàn)了規(guī)律

的一般化表述是：以平面上幾個點為端點，通過相互連接得到多少條

線段。這種以幾何形態(tài)顯現(xiàn)的問題，便于學(xué)生動手操作，通過動手畫

圖，由簡單到繁雜，最后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到解決問題的方法。解決問題

的一般策略是，由最簡單的情況入手，找出規(guī)律，化繁為簡。這也是

數(shù)學(xué)問題解決比較常用的策略之一。

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生通過觀察、探索，掌握數(shù)線段的方法和規(guī)律，并能運用

規(guī)律解決較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

2.使學(xué)生進(jìn)一步體會“化難為易”、“從簡單情況入手”等數(shù)學(xué)

思想方法，學(xué)會用數(shù)學(xué)思想方法解決問題，形成一些基本策略，發(fā)展

實踐能力與創(chuàng)新精神。

3.使學(xué)生進(jìn)一步體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索與創(chuàng)造的樂趣。

教學(xué)重、難點

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能運用規(guī)律解決問題。學(xué)會用“化難為易”、“從

簡單情況入手”等數(shù)學(xué)思想方法解決問題，形成一些基本策略。

教學(xué)過程

一、游戲設(shè)疑，激趣導(dǎo)入

1.把下面的數(shù)列補(bǔ)充完整。1,2,3,5,8,13,（）

2.你能快速算出下面這個題目的答案嗎？

1+2+3+...+99+100=（）

3.請你們拿出紙和筆在紙上任意點上8個點，并將它們每兩點連

成一條線，再數(shù)一數(shù)，看看連成了多少條線段？

追問：同學(xué)們，有結(jié)果了嗎？（學(xué)生表示:太亂了，都數(shù)糊涂了）

大家別著急，今天，我們就一起來研究這個問題。（板書課題）

二、逐層探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.從簡到繁，動態(tài)演示，經(jīng)歷連線過程。

同學(xué)們，用8個點來連線，我們覺得很困難，如果把點減少一些，

是不是會容易一些呢？下面我們就先從2個點開始,逐步增加點數(shù)，

找找其中的規(guī)律。

2個點可以連1條線段。為了方便表述我們把這兩個點設(shè)為點4

和點8。（同步演示課件，動態(tài)連出AB,之后縮小放至表格內(nèi)，并出

現(xiàn)相應(yīng)數(shù)據(jù)）

如果增加1個點，我們用點C表示，現(xiàn)在有幾個點呢？（生：3

個點）

如果每2個點連1條線段，這樣會增加幾條線段？

（生：2條線段，課件動態(tài)連線4c和函）

那么3個點就連了幾條線段？（生：3條線段）

為了便于觀察，我們把這次連線情況也記錄在表格里。

如果再增加1個點，用點刀表示（課件出現(xiàn)點。）現(xiàn)在有幾個點？

又會增加幾條線段呢？（根據(jù)學(xué)生回答課件動態(tài)演示連線過程）那么

4個點可以連出幾條線段？（生:4個點可以連出6條線段）

大家接著想想5個點可以連出多少條線段？為什么？（引導(dǎo)學(xué)生

明白：4個點連了6條線段，再增加1個點后，又會增加4條線段，

所以5個點時可以連出10條線段。課件根據(jù)學(xué)生回答同步演示）

現(xiàn)在大家再想想,6個點可以連多少條線段呢？自己動手連一連，

然后將課本第100頁例1表格中相應(yīng)的數(shù)據(jù)填寫好。

（學(xué)生動手操作，之后指名一生展示作品并介紹連線情況，課件

演示）

2.觀察對比，發(fā)現(xiàn)增加線段與點數(shù)的關(guān)系。

仔細(xì)觀察這張表格，在這張表格里有哪些信息呢？（引導(dǎo)學(xué)生明

確：2個點時總條數(shù)是1,3個點時就增加2條線段，總條數(shù)是3；4

個點時增加了3條線段，總條數(shù)是6；5個點時增加了4條線段，總

條數(shù)是10；到6個點時增加了5條線段，總條數(shù)是15）

那么，看著這些信息你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？（學(xué)生嘗試回答出：2個

點時連1條線段，增加到3個點時就增加了2條線段，到4個點時就

會再增加3條線段,5個點就增加4條線段,6個點就增加5條線段。每

次增加的線段數(shù)和點數(shù)相差1）

教師提問引導(dǎo)：當(dāng)3個點時，增加條數(shù)是幾？（生：2條）那點

數(shù)是4時，增加條數(shù)是多少？（生：3條）點數(shù)是5時呢？（4條）6

時呢？（5條）那么，你們有什么新發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生小結(jié):我們可以發(fā)現(xiàn)，每次增加的線段數(shù)就是（點數(shù)-1）。

追問：為什么會存在這樣的規(guī)律？

（引導(dǎo)：學(xué)生反思：每增加一個新點，該點就會和原來的每個點

相連成新的線段，原來有幾個點，就會增加幾條線段。反過來看，也

就是每次增加的線段數(shù)比現(xiàn)有的點數(shù)少1）

3,進(jìn)一步探究，推導(dǎo)總線段數(shù)的算法。

（1）分步指導(dǎo)，逐個列出求總線段數(shù)的算式。

同學(xué)們，我們知道了6個點可以連15條線段，現(xiàn)在你們有什么

辦法知道8個點可以連多少條線段嗎？（嘗試讓學(xué)生回答,學(xué)生可能

會從7個點連線的情況去推理8個點的連線情況）

追問：如果當(dāng)點數(shù)再大一些時,我們這樣去計算是不是很麻煩呢？

引導(dǎo):我們先來看看,3個點時，可以連多少條線段？你是怎么知道

的？

生：2個點連1條線段，增加一個點，就增加了2條線段,1+2=

3（條），所以3個點就連了3條線段。

接著想想4個點共連了6條線段，這又可以怎么計算呢？

計算3個點連出的線段數(shù)時，我們用了1+2,再增加1個點，就

再增加了3條線段，我們就再加3,所以列式為1+2+3=6（條），

那么按著這個方法，你能列出5個點共連線段的算式嗎？

（2）觀察算式，探究算理。

同學(xué)們仔細(xì)觀察看看這些算式，有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

3個點連成線段的條數(shù)：1+2=3（條）

4個點連成線段的條數(shù)：1+2+3=6（條）

5個點連成線段的條數(shù)：1+2+3+4=10（條）

生1：計算3個點的總線段數(shù)是1+2,計算4個點的總線段數(shù)是1

+2+3,計算5個點的總線段數(shù)是1+2+3+4,它們都是從1開始依次

加的。

生2：我覺得計算總線段數(shù)其實就是從1開始加2,加3,加4,一直

加到比點數(shù)少1的數(shù)。

生3：完全同意，比如3個點的總線段數(shù),就是從1加到2；4個

點的總線段數(shù),就是從1開始依次加到3,5個點時，就是1一直加到

4,這樣推理下去，就是從1開始一直加到點數(shù)減1的那個數(shù)。

追問：那么你說的點數(shù)減1的那個數(shù)其實是什么數(shù)？（生:就是每

次增加一個點時，增加的線段數(shù)）

（3）歸納小結(jié)，應(yīng)用規(guī)律。

現(xiàn)在我們知道了總線段數(shù)其實就是從1依次連加到點數(shù)減1的那

個數(shù)的自然數(shù)數(shù)列之和。因此，我們只要知道點數(shù)是幾，就從1開始,

依次加到幾減1,所得的和就是總線段數(shù)。同學(xué)們，你們明白了嗎？

完成課本第100頁例1的填空，教師巡視，之后學(xué)生板演算式集

體評議。

4.回應(yīng)課前游戲的設(shè)疑，進(jìn)一步提升。

⑴討論。

現(xiàn)在我們就知道了課前游戲的答案，在紙上任意點上8個點，每

兩點連成一條線，可以連成28條線段。有這么多條，難怪同學(xué)們數(shù)

時會比較麻煩呢！看來利用這個規(guī)律可以非常方便地幫助我們計算點

數(shù)較多時的總線段數(shù)。下面你們能根據(jù)這個規(guī)律,計算出12個點、20

個點能連多少條線段嗎？（學(xué)生完成）

（2）反饋。

我們來看看答案吧，課件出示：

12個點共連了1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66（條）

20個點共連了1+2+3+4+5+6+7+8+-+19=190（條）

（3）小結(jié)。

乃個點連成線段的條數(shù)是：1+2+3+???+（〃-1）

5.運用規(guī)律，解決問題。

（1）課件出示問題：10個好朋友，每2位好朋友握手1次，大

家一共要握多少次手？

思考:這個問題與上述點連線問題有什么相同之處？

（2）獨立完成課本第100頁的“做一做”。

三、鞏固練習(xí)

同學(xué)們，在我們生活中有許多看似復(fù)雜的問題，我們都可以嘗試

從簡單情況入手去思考，逐步找到其中的規(guī)律，從而來解決復(fù)雜的問

題。

1.練習(xí)二十二第1、2題。（學(xué)生獨立完成,鼓勵學(xué)生多角度思考

問題）

2.練習(xí)二十二第3、4題。（小組交流、反饋）

注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：多邊形里分成的三角形個數(shù)正好是這個多邊

形的邊數(shù)-2,所以，多邊形內(nèi)角和就等于邊數(shù)減2的差去乘1800

四、全課總結(jié)

今天同學(xué)們都表現(xiàn)得非常棒，我們運用“化難為易”、“從簡單

情況入手”的數(shù)學(xué)思考方法，解決了一些問題。你還有什么疑惑嗎？

有趣的平衡

本案例為省級小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課一等獎

一、設(shè)計理念

數(shù)學(xué)活動課集知識性、趣味性和娛樂性于一體，重在學(xué)生參與和

實踐，旨在鞏固知識、運用知識。本設(shè)計努力做到以下幾點：

1.還教材以生活本色。小學(xué)生喜歡“有趣、好玩、新奇”的事物。

因此選取教材與呈現(xiàn)學(xué)習(xí)活動的安排時，都充分考慮實際生活背景和

趣味性，使他們感到學(xué)數(shù)學(xué)是有意思的，從而愿意接近數(shù)學(xué)。

2.玩中學(xué)，玩中悟。學(xué)生通過自主探索、親身實踐、合作交流感

悟蘊(yùn)藏在平衡中的數(shù)學(xué)知識。實驗操作是本課運用最多的一種形式，

它不僅激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,而且有助于學(xué)生更好地理解和運用知識。

3.以生為本，人人參與?；顒诱n讓全體學(xué)生“動”起來，做到人

人參與。而且實驗有分工、有合作、有交流。特別是在米尺左右兩邊

多個刻度上掛棋子的實驗，當(dāng)米尺平衡時,學(xué)生們所獲得的成功喜悅

會是發(fā)自內(nèi)心的。

二、教學(xué)設(shè)計

教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情景，引出課題，感悟影響平衡的因素。

1.初始經(jīng)驗調(diào)動。

請同學(xué)們看大屏幕。（出示蹺蹺板、天平等圖片）這幾幅圖共同

反應(yīng)一種什么現(xiàn)象？（板書課題:平衡）你覺得平衡與什么有關(guān)？（質(zhì)

量）

2.加深經(jīng)驗感悟。

質(zhì)量是不是平衡的唯一標(biāo)準(zhǔn)呢？我們來看一個蹺蹺板游戲。（出

示課件）怎樣才能使蹺蹺板平衡？（輕的一端加重，或讓小朋友往后

坐，重的一端小朋友往前坐）

往前坐或往后坐實際上改變了什么？（與中點的距離）由此可見

平衡還與什么有關(guān)？（距離）

在平衡中到底蘊(yùn)含著怎樣的數(shù)學(xué)規(guī)律呢？同學(xué)們會在操作實驗中

去找到“平衡的規(guī)律”。

（二）自主探究規(guī)律，研究問題，體會杠桿原理。實驗準(zhǔn)備：把

米尺的50厘米處作為中心點，系上繩子。往兩邊每10厘米標(biāo)記

為一格。

實驗要求:①4人一組，組員明確分工，共同參與。

②邊操作邊記錄，填寫實驗記錄單。

1.活動一:探索特殊條件下米尺保持平衡的規(guī)律。

(1)課件顯示探索問題。

①如果塑料袋掛在米尺左右兩邊的刻度相同的地方，怎樣放棋子

才能保持平衡？

②如果左右塑料袋放入同樣多的棋子，它們移動到什么位置才

能保持平衡？

③發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是:_________________________________________

⑵小組匯報。

(3)教師引導(dǎo)學(xué)生概括規(guī)律。(在左右兩邊相同的刻度處放相同數(shù)

量的棋子，米尺就能平衡)

2.活動二:探索在一般條件下米尺保持平衡的規(guī)律。

(1)課件顯示探索問題。

①如果左邊塑料袋在刻度3上，放4個棋子，右邊的塑料袋在刻

度4上，放幾個棋子才能平衡？

②如果左邊塑料袋在刻度6上，放1個棋子，右邊的塑料袋在

刻度3上，放幾個棋子呢？在刻度2上呢？

③你又有什么新發(fā)現(xiàn)？

⑵小組匯報。

(3)老師引導(dǎo)學(xué)生概括規(guī)律。(要想使米尺平衡，必須使“左邊刻

度數(shù)x棋子數(shù);右邊刻度數(shù)x棋子數(shù)”)

教師小結(jié)：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律實際上就是物理學(xué)中的“杠桿原

理”，拴繩子的那個點就是支點。

(三)應(yīng)用規(guī)律，深入思考，領(lǐng)悟反比例關(guān)系。

i.提問：在左邊刻度4上放3個棋子并保持不變,右邊分別在各個

刻度上放幾個棋子才能保持平衡呢？說說你是怎么想的。

板書：左邊刻度4上放3個棋子并保持不變。

右邊亥度：12346

對應(yīng)的棋子數(shù):_____________（12、6、4、3、2）

2.學(xué)生做實驗進(jìn)行驗證。

同學(xué)們，你們總結(jié)出的這條平衡的規(guī)律，是否科學(xué)準(zhǔn)確呢？還需

要我們做進(jìn)一步的驗證。

左邊的刻度數(shù)和勾碼數(shù)的乘積是18,猜想一下，右邊可以怎樣掛?

（猜想4組整數(shù)后會出現(xiàn)小數(shù)）刻度數(shù)是小數(shù)可不可以？（小數(shù)把我們

刻度數(shù)的取值范圍擴(kuò)大

了，這不僅僅是數(shù)據(jù)的變化,更是一個研究領(lǐng)域的拓展）

米尺都平衡了，說明你們的猜想是正確的。那么現(xiàn)在你能準(zhǔn)確

地總結(jié)出平衡的規(guī)律嗎？（左邊的刻度數(shù)X棋子數(shù)=右邊的刻度數(shù)X

棋子數(shù)）

我們具體來分析一下，當(dāng)我們把米尺一端拿掉一些棋子，使棋子

數(shù)變小,要想保證米尺平衡就要把棋子向外移，使刻度數(shù)變大;反之棋

子數(shù)變大，刻度數(shù)變小。這讓我們會聯(lián)想到什么知識？

引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)：左邊刻度數(shù)X棋子數(shù)的積一定時，右邊刻度數(shù)與棋

子數(shù)成反比例。

3.拓展延伸。

活動三:探索