江蘇省南通市啟東市啟東中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

江蘇省南通市啟東市啟東中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列命題中正確的是（）A．第一象限角必是銳角； B．相等的角終邊必相同；C．終邊相同的角相等； D．不相等的角其終邊必不相同.2．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)滿足；②函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③函數(shù)滿足；④函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù)；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．3．為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位4．經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)與平面垂直的平面有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．無(wú)數(shù)個(gè) D．1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)5．在0°到360°范圍內(nèi)，與角－130°終邊相同的角是（）A．50° B．130° C．170° D．230°6．底面是正方形，從頂點(diǎn)向底面作垂線，垂足是底面中心的四棱錐稱為正四棱錐．如圖，在正四棱錐中，底面邊長(zhǎng)為1．側(cè)棱長(zhǎng)為2，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線PA與BE所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊為，面積為，且，則等于（）A． B． C． D．8．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則與平面所成的角為（）A． B． C． D．9．某公司的班車在7:30，8:00，8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是A． B． C． D．10．由小到大排列的一組數(shù)據(jù)，，，，，其中每個(gè)數(shù)據(jù)都小于，那么對(duì)于樣本，，，，，的中位數(shù)可以表示為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，，且，則_______．12．如圖，已知圓，六邊形為圓的內(nèi)接正六邊形，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，當(dāng)六邊形繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，的取值范圍是________．13．在中，三個(gè)角所對(duì)的邊分別為．若角成等差數(shù)列，且邊成等比數(shù)列，則的形狀為_(kāi)______．14．如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，則的平均數(shù)是________.15．若八個(gè)學(xué)生參加合唱比賽的得分為87，88，90，91，92，93，93，94，則這組數(shù)據(jù)的方差是______16．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，以O(shè)x為始邊作角與（），它們終邊分別單位圓相交于點(diǎn)、，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）若，求角的值；（2）若·，求．18．某種筆記本的單價(jià)是5元，買(mǎi)個(gè)筆記本需要y元，試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù).19．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)，（1）若，求不等式的解集；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）寫(xiě)出函數(shù)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（不必寫(xiě)出過(guò)程）．20．已知數(shù)列滿足關(guān)系式，.（1）用表示，，；（2）根據(jù)上面的結(jié)果猜想用和表示的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證之.21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn),，銳角的終邊與單位圓O交于點(diǎn)P．(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求的值；(Ⅱ)在軸上是否存在定點(diǎn)M，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)終邊相同的角和象限角的定義，舉反例或直接進(jìn)行判斷可得最后結(jié)果.【詳解】是第一象限角，但不是銳角，故A錯(cuò)誤；與終邊相同，但他們不相等，故C錯(cuò)誤；與不相等，但他們的終邊相同，故D錯(cuò)誤；因?yàn)榻堑氖歼呍趚軸的非負(fù)半軸上，則相等的角終邊必相同，故B正確.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了終邊相同的角和象限角的定義，利用定義舉出反例進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵.2、C【解析】

求出余弦函數(shù)的周期，對(duì)稱軸，單調(diào)性，逐個(gè)判斷選項(xiàng)的正誤即可．【詳解】函數(shù)，函數(shù)的周期為，所以①正確；時(shí)，，函數(shù)取得最大值，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，②正確；函數(shù)滿足即．所以③正確；因?yàn)闀r(shí)，，函數(shù)取得最大值，所以函數(shù)在上不是單調(diào)增函數(shù)，不正確；故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性以及對(duì)稱軸等性質(zhì)的應(yīng)用．3、B【解析】試題分析：記函數(shù)，則函數(shù)∵函數(shù)f（x）圖象向右平移單位，可得函數(shù)的圖象∴把函數(shù)的圖象右平移單位，得到函數(shù)的圖象,故選B.考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．4、D【解析】

討論平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)連線，與平面垂直和不垂直兩種情況.【詳解】（1）設(shè)平面為平面，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，此時(shí)，直線垂直底面，過(guò)直線的平面有無(wú)數(shù)多個(gè)與底面垂直；（2）設(shè)平面為平面，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，此時(shí)，直線與底面不垂直，過(guò)直線的平面，只有平面垂直底面.綜上，過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)與平面垂直的平面有1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)，故選D.【點(diǎn)睛】借助長(zhǎng)方體研究空間中線、面位置關(guān)系問(wèn)題，能使問(wèn)題直觀化，降低問(wèn)題的抽象性.5、D【解析】

先表示與角－130°終邊相同的角，再在0°到360°范圍內(nèi)確定具體角，最后作選擇.【詳解】因?yàn)榕c角－130°終邊相同的角為，所以，因此選D.【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同的角，考查基本分析判斷能力，屬基本題.6、B【解析】

可采用建立空間直角坐標(biāo)系的方法來(lái)求兩條異面直線所成的夾角，【詳解】如圖所示，以正方形ABCD的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA方向?yàn)閤軸，AB方向?yàn)閥軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，由幾何關(guān)系可求得，，，，為中點(diǎn)，,，，答案選B.【點(diǎn)睛】解決異面直線問(wèn)題常用兩種基本方法：異面直線轉(zhuǎn)化成共面直線、空間向量建系法7、C【解析】

利用三角形面積公式可得，結(jié)合正弦定理及三角恒等變換知識(shí)可得，從而得到角A.【詳解】∵∴即∴∴∴，∴（舍）∴故選C【點(diǎn)睛】此題考查了正弦定理、三角形面積公式，以及三角恒等變換，熟練掌握邊角的轉(zhuǎn)化是解本題的關(guān)鍵．8、A【解析】

取的中點(diǎn)，連接、，作，垂足為點(diǎn)，證明平面，于是得出直線與平面所成的角為，然后利用銳角三角函數(shù)可求出．【詳解】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，作，垂足為點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，且，在三棱柱中，平面，平面，，，平面，平面，，，，平面，所以，直線與平面所成的角為，易知，在中，，，，，，即直線與平面所成的角為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成角的計(jì)算，求解時(shí)遵循“一作、二證、三計(jì)算”的原則，一作的是過(guò)點(diǎn)作面的垂線，有時(shí)也可以通過(guò)等體積法計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離，利用該距離與線段長(zhǎng)度的比值作為直線與平面所成角的正弦值，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題．9、B【解析】試題分析：由題意，這是幾何概型問(wèn)題，班車每30分鐘發(fā)出一輛，到達(dá)發(fā)車站的時(shí)間總長(zhǎng)度為40，等車不超過(guò)10分鐘的時(shí)間長(zhǎng)度為20，故所求概率為，選B.【考點(diǎn)】幾何概型【名師點(diǎn)睛】這是全國(guó)卷首次考查幾何概型,求解幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵是確定“測(cè)度”,常見(jiàn)的測(cè)度有長(zhǎng)度、面積、體積等.10、C【解析】

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，對(duì)樣本數(shù)據(jù)按從小到大排列為，取中間的平均數(shù).【詳解】，，則該組樣本的中位數(shù)為中間兩數(shù)的平均數(shù)，即.【點(diǎn)睛】考查基本不等式性質(zhì)運(yùn)用和中位數(shù)的定義.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-2或3【解析】

用坐標(biāo)表示向量，然后根據(jù)垂直關(guān)系得到坐標(biāo)運(yùn)算關(guān)系，求出結(jié)果.【詳解】由題意得：或本題正確結(jié)果：或【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

先求出，再化簡(jiǎn)得即得的取值范圍.【詳解】由題得OM=,由題得由題得..所以的取值范圍是.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.13、等邊三角形【解析】

分析：角成等差數(shù)列解得，邊成等比數(shù)列，則，再根據(jù)余弦定理得出的關(guān)系式．詳解：角成等差數(shù)列，則解得，邊成等比數(shù)列，則，余弦定理可知故為等邊三角形．點(diǎn)睛：判斷三角形形狀，是根據(jù)題意推導(dǎo)邊角關(guān)系的恒等式．14、5【解析】

根據(jù)平均數(shù)的定義計(jì)算．【詳解】由題意，故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題考查求新數(shù)據(jù)的均值．掌握均值定義是解題關(guān)鍵．實(shí)際上如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是．15、1.1【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由此能求出這組數(shù)據(jù)的方差．【詳解】八個(gè)學(xué)生參加合唱比賽的得分為87，88，90，91，92，93，93，94，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：（87+88+90+91+92+93+93+94）＝91，∴這組數(shù)據(jù)的方差為：S2[（87﹣91）2+（88﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（92﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（94﹣91）2]＝1.1．故答案為1.1．【點(diǎn)睛】本題考查方差的求法，考查平均數(shù)、方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．16、【解析】試題分析：因?yàn)椴坏仁接薪?，所以，因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)是成立的，所以，所以，即，解得或.考點(diǎn)：不等式的有解問(wèn)題和基本不等式的求最值.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了基本不等式在最值中的應(yīng)用，不等式的有解問(wèn)題，在應(yīng)用基本不等式求解最值時(shí)，呀注意“一正、二定、三相等”的判斷，運(yùn)用基本不等式解題的關(guān)鍵是尋找和為定值或是積為定值，難點(diǎn)在于如何合理正確的構(gòu)造出定值，對(duì)于不等式的有解問(wèn)題一般選用參數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或借助數(shù)形結(jié)合法求解，屬于中檔試題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)由已知利用三角函數(shù)的定義可求，利用兩角差的正切公式即可計(jì)算得解；(2)由已知可得，進(jìn)而求出，最后利用兩角和的正弦公式即可計(jì)算得解．【詳解】（1）由三角函數(shù)定義得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?）·，∴∴，所以，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的正切公式，兩角和的正弦公式，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．18、見(jiàn)解析.【解析】

根據(jù)定義域，分別利用解析法，列表法，圖像法表示即可.【詳解】解：這個(gè)函數(shù)的定義域是數(shù)集.用解析法可將函數(shù)表示為，.用列表法可將函數(shù)表示為筆記本數(shù)12345錢(qián)數(shù)510152025用圖象法可將函數(shù)表示為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的表示方法，注意函數(shù)的定義域，是基礎(chǔ)題.19、（1）（2）不存在這樣的實(shí)數(shù),理由見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【解析】

（1）代入的值,通過(guò)討論的范圍,求出不等式的解集即可；（2）通過(guò)討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再求出函數(shù)的最值,得到關(guān)于的不等式組,解出并判斷即可；（3）通過(guò)討論的范圍,判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可【詳解】（1）當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),,解得或,故；當(dāng)時(shí),,解集為,綜上,的解集為（2）,顯然,,①當(dāng)時(shí),則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因?yàn)楹瘮?shù)在上既有最大值又有最小值,所以,,則,即,解得,故不存在這樣的實(shí)數(shù)；②當(dāng)時(shí),則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因?yàn)楹瘮?shù)在上既有最大值又有最小值,故,,則,即,解得,故不存在這樣的實(shí)數(shù)；③當(dāng)時(shí),則為上的遞增函數(shù),故函數(shù)在上不存在最大值和最小值,綜上,不存在這樣的實(shí)數(shù)（3）當(dāng)或時(shí),函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)或時(shí),函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí),函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,考查利用函數(shù)的單調(diào)性求最值,考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),著重考查分類討論思想20、（1），，（2）猜想：，證明見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)遞推關(guān)系依次代入求解，（2）根據(jù)規(guī)律猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明【詳解】解：（1），∴，，；（2）猜想：.證明：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，則時(shí)，，即時(shí)結(jié)論成立.