湖北省武昌區(qū)2024年高三適應性調研考試數學試題含解析

湖北省武昌區(qū)2024年高三適應性調研考試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．網絡是一種先進的高頻傳輸技術，我國的技術發(fā)展迅速，已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款手機，現調查得到該款手機上市時間和市場占有率（單位：%）的幾組相關對應數據.如圖所示的折線圖中，橫軸1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根據數據得出關于的線性回歸方程為.若用此方程分析并預測該款手機市場占有率的變化趨勢，則最早何時該款手機市場占有率能超過0.5%（精確到月）（）A．2020年6月 B．2020年7月 C．2020年8月 D．2020年9月2．設點，，不共線，則“”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件3．若單位向量，夾角為，，且，則實數（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－14．在平面直角坐標系中，已知是圓上兩個動點，且滿足，設到直線的距離之和的最大值為，若數列的前項和恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知，，若，則實數的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或76．某醫(yī)院擬派2名內科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護士共8人組成兩個醫(yī)療分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務巡診，其中每個分隊都必須有內科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護士，則不同的分配方案有A．72種 B．36種 C．24種 D．18種7．已知向量，，則與共線的單位向量為()A． B．C．或 D．或8．已知函數，且的圖象經過第一、二、四象限，則，，的大小關系為()A． B．C． D．9．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中錯誤的是（）．A．收入最高值與收入最低值的比是B．結余最高的月份是月份C．與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D．前個月的平均收入為萬元10．如果直線與圓相交，則點與圓C的位置關系是（）A．點M在圓C上 B．點M在圓C外C．點M在圓C內 D．上述三種情況都有可能11．設復數，則=（）A．1 B． C． D．12．設直線過點，且與圓：相切于點，那么（）A． B．3 C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數滿足,且當時,又函數,則函數在上的零點個數為___________.14．在棱長為6的正方體中，是的中點，點是面，所在平面內的動點，且滿足，則三棱錐的體積的最大值是__________.15．以，為圓心的兩圓均過，與軸正半軸分別交于，，且滿足，則點的軌跡方程為_________．16．若函數，則__________；__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）團購已成為時下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費方式，不少商家同時加入多家團購網.現恰有三個團購網站在市開展了團購業(yè)務，市某調查公司為調查這三家團購網站在本市的開展情況，從本市已加入了團購網站的商家中隨機地抽取了50家進行調查，他們加入這三家團購網站的情況如下圖所示.（1）從所調查的50家商家中任選兩家，求他們加入團購網站的數量不相等的概率；（2）從所調查的50家商家中任取兩家，用表示這兩家商家參加的團購網站數量之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數學期望；（3）將頻率視為概率，現從市隨機抽取3家已加入團購網站的商家，記其中恰好加入了兩個團購網站的商家數為，試求事件“”的概率.18．（12分）某職稱晉級評定機構對參加某次專業(yè)技術考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失?。畷x級成功晉級失敗合計男16女50合計（1）求圖中的值；（2）根據已知條件完成下面列聯表，并判斷能否有的把握認為“晉級成功”與性別有關？（3）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數為，求的分布列與數學期望．（參考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02419．（12分）已知在中，角，，的對邊分別為，，，的面積為.（1）求證：；（2）若，求的值.20．（12分）已知變換將平面上的點，分別變換為點，．設變換對應的矩陣為．（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值．21．（12分）某工廠，兩條相互獨立的生產線生產同款產品，在產量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知，生產線生產的產品為合格品的概率分別為和.（1）從，生產線上各抽檢一件產品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.（2）假設不合格的產品均可進行返工修復為合格品，以（1）中確定的作為的值.①已知，生產線的不合格產品返工后每件產品可分別挽回損失元和元．若從兩條生產線上各隨機抽檢件產品，以挽回損失的平均數為判斷依據，估計哪條生產線挽回的損失較多？②若最終的合格品（包括返工修復后的合格品）按照一、二、三等級分類后，每件分別獲利元、元、元，現從，生產線的最終合格品中各隨機抽取件進行檢測，結果統(tǒng)計如下圖；用樣本的頻率分布估計總體分布，記該工廠生產一件產品的利潤為，求的分布列并估算該廠產量件時利潤的期望值.22．（10分）在直角坐標系中，直線l過點，且傾斜角為，以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．求直線l的參數方程和曲線C的直角坐標方程，并判斷曲線C是什么曲線；設直線l與曲線C相交與M，N兩點，當，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據圖形，計算出，然后解不等式即可.【詳解】解：，點在直線上，令因為橫軸1代表2019年8月，所以橫軸13代表2020年8月，故選：C【點睛】考查如何確定線性回歸直線中的系數以及線性回歸方程的實際應用，基礎題.2、C【解析】

利用向量垂直的表示、向量數量積的運算，結合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點，，不共線，則“”；故“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量垂直的表示，考查向量數量積的運算，屬于基礎題.3、D【解析】

利用向量模的運算列方程，結合向量數量積的運算，求得實數的值.【詳解】由于，所以，即，，即，解得或.故選：D【點睛】本小題主要考查向量模的運算，考查向量數量積的運算，屬于基礎題.4、B【解析】

由于到直線的距離和等于中點到此直線距離的二倍，所以只需求中點到此直線距離的最大值即可。再得到中點的軌跡是圓，再通過此圓的圓心到直線距離，半徑和中點到此直線距離的最大值的關系可以求出。再通過裂項的方法求的前項和，即可通過不等式來求解的取值范圍.【詳解】由，得，.設線段的中點，則，在圓上，到直線的距離之和等于點到該直線的距離的兩倍，點到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓的圓心到直線的距離為，，，..故選：【點睛】本題考查了向量數量積，點到直線的距離，數列求和等知識，是一道不錯的綜合題.5、C【解析】

根據平面向量數量積的坐標運算，化簡即可求得的值.【詳解】由平面向量數量積的坐標運算，代入化簡可得.∴解得.故選：C.【點睛】本題考查了平面向量數量積的坐標運算，屬于基礎題.6、B【解析】

根據條件2名內科醫(yī)生，每個村一名，3名外科醫(yī)生和3名護士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護士和2名外科醫(yī)生和1名護士，根據排列組合進行計算即可．【詳解】2名內科醫(yī)生，每個村一名，有2種方法，3名外科醫(yī)生和3名護士，平均分成兩組，要求外科醫(yī)生和護士都有，則分1名外科，2名護士和2名外科醫(yī)生和1名護士，若甲村有1外科,2名護士,則有C3若甲村有2外科,1名護士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種，故選：B.【點睛】本題主要考查了分組分配問題，解決這類問題的關鍵是先分組再分配，屬于常考題型.7、D【解析】

根據題意得，設與共線的單位向量為，利用向量共線和單位向量模為1，列式求出即可得出答案.【詳解】因為，，則，所以，設與共線的單位向量為，則，解得或所以與共線的單位向量為或.故選：D.【點睛】本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.8、C【解析】

根據題意，得，，則為減函數，從而得出函數的單調性，可比較和，而，比較，即可比較.【詳解】因為，且的圖象經過第一、二、四象限，所以，，所以函數為減函數，函數在上單調遞減，在上單調遞增，又因為，所以，又，，則|，即，所以.故選：C.【點睛】本題考查利用函數的單調性比較大小，還考查化簡能力和轉化思想.9、D【解析】由圖可知，收入最高值為萬元，收入最低值為萬元，其比是，故項正確；結余最高為月份，為，故項正確；至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同，故項正確；前個月的平均收入為萬元，故項錯誤．綜上，故選．10、B【解析】

根據圓心到直線的距離小于半徑可得滿足的條件，利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線與圓相交，圓心到直線的距離，即．也就是點到圓的圓心的距離大于半徑．即點與圓的位置關系是點在圓外．故選：【點睛】本題主要考查直線與圓相交的性質，考查點到直線距離公式的應用，屬于中檔題．11、A【解析】

根據復數的除法運算，代入化簡即可求解.【詳解】復數，則故選：A.【點睛】本題考查了復數的除法運算與化簡求值，屬于基礎題.12、B【解析】

過點的直線與圓：相切于點，可得.因此，即可得出.【詳解】由圓：配方為，，半徑.∵過點的直線與圓：相切于點，∴；∴；故選：B.【點睛】本小題主要考查向量數量積的計算，考查圓的方程，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

判斷函數為偶函數，周期為2，判斷為偶函數，計算，，畫出函數圖像，根據圖像到答案.【詳解】知，函數為偶函數，，函數關于對稱。，故函數為周期為2的周期函數，且。為偶函數，，，當時，，，函數先增后減。當時，，，函數先增后減。在同一坐標系下作出兩函數在上的圖像，發(fā)現在內圖像共有1個公共點，則函數在上的零點個數為1．故答案為：.【點睛】本題考查了函數零點問題，確定函數的奇偶性，對稱性，周期性，畫出函數圖像是解題的關鍵.14、【解析】

根據與相似，，過作于，利用體積公式求解OP最值，根據勾股定理得出，，利用函數單調性判斷求解即可.【詳解】∵在棱長為6的正方體中，是的中點，點是面所在平面內的動點，且滿足，又，∴與相似∴，即，過作于，設，，∴，化簡得：，，根據函數單調性判斷，時，取得最大值36，，在正方體中平面.三棱錐體積的最大值為【點睛】本題考查三角形相似，幾何體體積以及函數單調性的綜合應用，難度一般.15、【解析】

根據圓的性質可知在線段的垂直平分線上，由此得到，同理可得，由對數運算法則可知，從而化簡得到，由此確定軌跡方程.【詳解】，，和的中點坐標為，且在線段的垂直平分線上，，即，同理可得：，，，點的軌跡方程為．故答案為：．【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解問題，關鍵是能夠利用圓的性質和對數運算法則構造出滿足的方程，由此得到結果.16、01【解析】

根據分段函數解析式，代入即可求解.【詳解】函數，所以，.故答案為：0；1.【點睛】本題考查了分段函數求值的簡單應用，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）;（2）從而的分布列為012;（3）.【解析】

（1）運用概率的計算公式求概率分布，再運用數學期望公式進行求解；（2）借助題設條件運用貝努力公式進行分析求解：（1）記所選取額兩家商家加入團購網站的數量相等為事件，則，所以他們加入團購網站的數量不相等的概率為.（2）由題，知的可能取值分別為0，1，2，，，從而的分布列為012.（3）所調查的50家商家中加入了兩個團購網站的商家有25家，將頻率視為概率，則從市中任取一家加入團購網站的商家，他同時加入了兩個團購網站的概率為，所以，所以事件“”的概率為.18、(1)；(2)列聯表見解析，有超過的把握認為“晉級成功”與性別有關；(3)分布列見解析，=3【解析】

（1）由頻率和為1，列出方程求的值；（2）由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率，計算晉級成功的人數，填寫列聯表，計算觀測值，對照臨界值得出結論；（3）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率，將頻率視為概率，知隨機變量服從二項分布，計算對應的概率值，寫出分布列，計算數學期望.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，可知，解得；（2）由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為，所以晉級成功的人數為（人），填表如下：晉級成功晉級失敗合計男163450女94150合計2575100假設“晉級成功”與性別無關，根據上表數據代入公式可得，所以有超過的把握認為“晉級成功”與性別有關；（3）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為，將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機抽取1人進行約談，這人晉級失敗的概率為0.75，所以可視為服從二項分布，即，，故，，，，.所以的分布列為：01234數學期望為.或（）．【點睛】本題考查了頻率分布直方圖和離散型隨機變量的分布列、數學期望的應用問題，屬于中檔題．若離散型隨機變量，則.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）利用，利用正弦定理，化簡即可證明（2）利用（1），得到當時，，得出，得出，然后可得【詳解】證明：（1）據題意，得，∴，∴.又∵，∴，∴.解：（2）由（1）求解知，.∴當時，.又，∴，∴，∴.【點睛】本題考查正弦與余弦定理的應用，屬于基礎題20、（1）（2）1或6【解析】

（1）設，根據變換可得關于的方程，解方程即可得到答案；（2）求出特征多項式，再解方程，即可得答案；【詳解】（1）設，則，，即，解得，則．（2）設矩陣的特征多項式為，可得，令，可得或．【點睛】本題