第三章靜力學(xué)平衡問(wèn)題教材

第三章靜力學(xué)平衡問(wèn)題6/12/20241力系的主矢：力系的主矢和主矩OFR’Mo對(duì)O點(diǎn)的主矩：力系主矢的特點(diǎn)：

對(duì)于給定的力系，主矢唯一；

主矢僅與各力的大小和方向有關(guān)，主矢與簡(jiǎn) 化中心O的位置無(wú)關(guān)。力系主矩的特點(diǎn):

力系主矩MO與簡(jiǎn)化中心O的位置有關(guān)。對(duì)于主矩必須指明簡(jiǎn)化中心。2

平面一般力系簡(jiǎn)化的結(jié)論平面一般力系向一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，可得一力和一力偶，該力的大小和方向等于力系的主矢，作用于簡(jiǎn)化中心；該力偶的力偶矩等于力系對(duì)O點(diǎn)的主矩。OFR’Mo3OFR’問(wèn)題：(2) FR’

0,MO

=0

作用于O點(diǎn)的FR’是合力嗎？此時(shí)，原力系與一個(gè)力等效，合成為合力。OFR’Mo’(3) FR’

0,MO

0

這種情況下，可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。平面一般力系簡(jiǎn)化結(jié)果(1) MO

0,FR’=0

此時(shí)，原力系與一個(gè)力偶。4平面一般力系簡(jiǎn)化結(jié)果OFR’Mo’(3) FR’

0,MO

0

最后可得作用于O’點(diǎn)的合力FR。平移的距離為：OFR’MoO’FRd平移的方向：與Mo的轉(zhuǎn)向相反。這種情況下，可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。5平面一般力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論（續(xù)）(4) FR’=0,MO=0這是平衡的情況。6平面一般力系簡(jiǎn)化結(jié)果小結(jié)(3) 平衡(1) 合力偶 只有當(dāng)主矢為零時(shí)，才可能為合力偶。(2)合力 當(dāng)主矢不為零時(shí)，一定可以簡(jiǎn)化為合力。 如主矩為零，則作用于簡(jiǎn)化中心的主矢即 為合力； 如主矩不為零，則可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為合力。7平面一般力系簡(jiǎn)化的步驟1.任選一個(gè)簡(jiǎn)化中心O；2.計(jì)算各力的投影,得到主矢在坐標(biāo)軸上的投影;3.計(jì)算主矢的大小和方向；4.計(jì)算各力對(duì)簡(jiǎn)化中心的矩，從而求出主矩。8合力矩定理平面一般力系如果有合力，則合力對(duì)該力系作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各分力對(duì)該點(diǎn)之矩的代數(shù)和若合力為：則：證明:由平面一般力系簡(jiǎn)化為合力的情況,有：OFR’MoO’FRd而：所以：9兩種典型的分布載荷均布載荷qP合力P=?合力P的作用點(diǎn)位置在哪？三角形分布載荷q0P合力P=?合力P的作用點(diǎn)位置在哪？10Pxxdxh例題已知：載荷集度q,梁長(zhǎng)l。求：分布力的合力的大小及合力作用線位置。解：分布力的載荷集度q

單位長(zhǎng)度上的力，單 位為：N/m,或

kN/m

。1)求合力的大小設(shè)合力為P，作用線距A點(diǎn)為h

。建立x坐標(biāo)如圖。取x處微段dx,設(shè)x處的載荷集度為q(x)。q(x)111)求合力的大小取x處微段dx,設(shè)x處的載荷集度為q(x)。則：所以：由相似三角形關(guān)系，有：Pxxdxhq(x)122)求合力作用線位置用合力矩定理求合力作用線位置。所以：即：合力的作用線通過(guò)三角形的形心。對(duì)于分布力，有結(jié)論： 合力的大小等于分布力的面積，合力的作用線通過(guò)分布力的形心。Pxxdxhq(x)13第3章工程構(gòu)件的靜力學(xué)平衡問(wèn)題

第一篇靜力學(xué)工程力學(xué)（靜力學(xué)與材料力學(xué)）14

平面力系的平衡條件與平衡方程

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

平面桁架問(wèn)題第3章工程構(gòu)件的靜力學(xué)平衡問(wèn)題返回總目錄15

平面力系的平衡條件與平衡方程第3章工程構(gòu)件的靜力學(xué)平衡問(wèn)題返回16

平面一般力系的平衡條件平面一般力系都可簡(jiǎn)化為一個(gè)力FR’加一個(gè)力偶MO如果FR’

不為零，則物體將沿FR’

方向加速運(yùn)動(dòng)如果MO不為零，則物體將沿MO方向加速轉(zhuǎn)動(dòng)所以平面一般力系的平衡條件是17平面一般力系的平衡方程受平面一般力系作用的剛體,平衡即:平面一般力系的平衡方程由于式中FR’是向量，所以上式實(shí)際有三個(gè)分量式平面一般力系有三個(gè)獨(dú)立的方程，可解三個(gè)未知量。投影軸可任選，力矩方程的矩心也可任選。18當(dāng)匯交力系時(shí),合成的結(jié)論是:平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，合力的作用線通過(guò)匯交點(diǎn)，大小和方向由力多邊形的封閉邊表示。二、平衡平衡的結(jié)論受平面匯交力系作用的剛體，平衡19平面匯交力系的平衡力多邊形法時(shí)，多邊形是自行封閉的！F1F2F3F4F520解析法表示的合成由合力投影定理，合力的投影為：式中a為R與x軸的夾角合力的大小和方向?yàn)椋?1解析法表達(dá)的平衡條件前面已得到平衡的結(jié)論：受平面匯交力系作用的剛體，平衡而所以22例已知：P=10kN，AC=CB，角度如圖，各桿自重不計(jì)。求：A處反力和CD桿受力。解：取AB為研究對(duì)象，受力如圖。ABCFAxFAyPFCsdsABCPFCEFA

45o建立坐標(biāo)如圖。列平衡方程：xy23由幾何關(guān)系：解出：說(shuō)明：FA的負(fù)號(hào)表示它的實(shí)際方向與圖示的假設(shè) 方向相反。解題要求sdsABCPFCEFA

45oxy24例如圖2-15(a)所示，重量為G=5kN的球懸掛在繩上，且和光滑的墻壁接觸，繩和墻的夾角為30°。試求繩和墻對(duì)球的約束反力。25例解GRTGRT26例2-8重G=1kN的球放在與水平面成30°角的光滑斜面上，并用與斜面平行的繩AB系住(圖2-16a)。試求繩AB受到的拉力及球?qū)π泵娴膲毫ΑT27例解28例解方便29例平面剛架如圖2-17(a)所示，P和a為已知，不考慮自重，求支承A和D處的約束反力?；顒?dòng)鉸支座固定鉸支座RDRAYRAX30解31解三力匯交32例題*一均質(zhì)桿AB重W=50N，兩端分別放在與水平面成30°和45°傾角的光滑斜坡上。求平衡時(shí)這兩斜坡的反力以及桿與水平面間的夾角a。30°45°a3330°45°a解34解30°45°WR1R235解WR1R236例題壓路的碾子O重W=20kN，半徑R=400mm。試求碾子越過(guò)厚度d=80mm的石塊時(shí)，所需最小的水平拉力Pmin。設(shè)石塊不動(dòng)。WPmind37題解WPminNRW注意：N=0aWPminRWa38例題均質(zhì)桿AB如圖在鉛垂位置時(shí)擱支在光滑斜面上，A處由水平力P限制在圖示位置。求平衡時(shí)

角與W、P及斜面傾角

之間的關(guān)系。RARB解:因題要求平衡時(shí)

角與W、P及斜面傾角

之間的關(guān)系，D故對(duì)D點(diǎn)取矩即可由

mD=0可得39代入上式并簡(jiǎn)化得40cos=0即

=90°不合題意，因此只能所以，有：41欲求RA及RB由

mA=0可得b-

最后由

mB=0可得42（2）多個(gè)力偶的合成按上述方法可以同樣合成多個(gè)力偶，有：即：平面力偶系的合成結(jié)果為一合力偶，合力偶 的力偶矩為各個(gè)分力偶的力偶矩的代數(shù)和。注:

遵守正負(fù)號(hào)規(guī)定很重要，其正負(fù)號(hào)規(guī)定同力矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定(逆正順負(fù))平面力偶系合成簡(jiǎn)化為代數(shù)和432、平面力偶系的平衡條件受平面力偶系作用的剛體平衡的充分必要條件是各力偶的力偶矩的代數(shù)和為零。即：受平面力偶系作用的剛體，平衡定理：

由平衡條件可知：力偶只能用力偶來(lái)平衡。此方程可解一個(gè)未知量平面力偶系的平衡方程44

已知:

結(jié)構(gòu)受力如圖所示,圖中M,r均為已知,且l=2r.

試:

畫(huà)出AB和BDC桿的受力圖;

并求A,C二處的約束力.例245例2解2.取BDC桿，

B處受力的方位可以判斷出。1.取AB桿為研究對(duì)象;AB桿為二力桿，受力如圖。問(wèn)題：能否確定C處受力的方位？FAFB’根據(jù)力偶只能用力偶來(lái)平衡，可以確定出C處受力的方位。46根據(jù)力偶只能用力偶來(lái)平衡，可以確定出C處受力的方位。3.計(jì)算力偶臂EC為：解出：求出的值為正，說(shuō)明實(shí)際方向與所設(shè)方向相同。H45o45o47題3-12機(jī)構(gòu)OABO1，在圖示位置平衡。已知OA=400mm,O1B=600mm,作用在OA上的力偶的力偶矩大小|m1|=1N·m。試求力偶矩m2的大小和桿AB所受的力S。各桿的重量和各處摩擦均不計(jì)。48解：1.取AB為研究對(duì)象AB為二力桿受力如圖FAFB2.取OA為研究對(duì)象A處受力方位可以判斷出根據(jù)力偶只能由力偶平衡，可以判斷出O處受力方位FA’FO493.計(jì)算AB桿受力而所以FA’

=5NFA’FO即S=FA=FA’

=FB=5N4.取O1B為研究對(duì)象B處受力大小、方位可以判斷出由力偶平衡方程有：FB’FO1O1處受力方位可以判斷出所以|m2|=3N·m50平面平行力系的平衡條件xyo設(shè)平面平行力系如圖，取y

軸與各力平行。由平面任意力系的平衡方程其中，x方向的方程成為恒等式F1F2FnF351平面平行力系的平衡方程當(dāng)然也可以使用兩矩式所以，平面平行力系的平衡方程為兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程附加條件：AB連線不與各力平行52例題P2FAFB已知：自重P1=700kN,最大起重量

P2=200kN。求：能安全工作時(shí)，平衡重P3=?解：取整體，受力如圖。53可能的不安全情況？1滿(mǎn)載時(shí)，繞B順時(shí)針?lè)梗?空載時(shí)，繞A逆時(shí)針?lè)?。不翻倒的條件？不繞B順時(shí)針?lè)沟臈l件：

FA

0不繞A逆時(shí)針?lè)沟臈l件：FAFBP2取整體，受力如圖。FB

0541滿(mǎn)載時(shí)

MB(F)=0則：令：FA

0,得：FAFBP255FAFB2空載時(shí)空載時(shí)，P2=0

。令：FB

0,得：則：∴安全時(shí)：75

kN

P3

350kNP2

MA(

F

)=056例4-10一汽車(chē)起重機(jī)如圖。車(chē)身重W1，起重機(jī)吊臂重G，轉(zhuǎn)盤(pán)重W2已知。尺寸如圖，單位是m。試求當(dāng)?shù)醣墼谄?chē)縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)時(shí)，不致使汽車(chē)翻倒的最大起重量Pmax。57例4-10說(shuō)明支撐腿支撐腿伸出并支撐穩(wěn)定前不得移動(dòng)吊臂，更不得起吊重物58重心和形心

(CenterofGravityandCentroid)6/12/202459朱雀銅燈東漢銅奔馬半坡尖底罐60什么是重心？在重力場(chǎng)中，物體受重力作用，其合力的作用點(diǎn)即為該物體的重心物體的重心是一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)可能在物體上，但也可以不在該物體上拋棄重力的概念，而取質(zhì)量中心，顯然與重心位置相同。但重心只有在重力場(chǎng)中才存在，質(zhì)心則與重力場(chǎng)無(wú)關(guān)質(zhì)心？61重心在工程中的意義(1)重心位置影響物體的平衡與穩(wěn)定性；(2)對(duì)于高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械，若重心不在轉(zhuǎn)軸上，將會(huì)引起劇烈振動(dòng)，甚至引起破壞。所以，確定重心的位置很重要。62重心的坐標(biāo)公式一、重心坐標(biāo)的一般公式二、均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式三、均質(zhì)等厚薄板的重心、均質(zhì)等截面線段的重心63一、重心坐標(biāo)的一般公式Ci

GiCGOzyx

G1C1x1y1xCyCxiyi設(shè)坐標(biāo)系與物體固連,重心坐標(biāo)為xc,yc,zc。總的重力為

G，小微塊的重力為

Gi

，則：64用合力矩定理求重心坐標(biāo)。求

xc

:用對(duì)y軸的合力矩定理CGOzyxxCyCxiyiCi

Gi65求yc:用對(duì)x軸的合力矩定理CGOzyxxCyCxiyiCi

Gi求zc:將各力的方向轉(zhuǎn)過(guò)90度，然后用對(duì)x軸的合力矩定理G

Gi66重心坐標(biāo)的一般公式67二、均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式設(shè)物體材料的比重為

，代入求和形式的重心坐標(biāo)公式，得到：則=rg，r為材料的密度，g為重力加速度68三、均質(zhì)等厚薄板的重心Oxyz69三、均質(zhì)等厚薄板的重OxyVi=·AiV=·A設(shè)厚度為

，則有：70四、均質(zhì)等截面線段的重心設(shè)截面為S，則有：所以均質(zhì)等截面線段的重心為：71重力可以表示為：代入重心坐標(biāo)公式，有：在認(rèn)為重力加速度為常數(shù)時(shí)，有：

質(zhì)心坐標(biāo)公式在重力場(chǎng)中，認(rèn)為重力加速度為常數(shù)時(shí)，質(zhì)心與重心重合。質(zhì)心坐標(biāo)公式72確定重心位置的具體方法(1)簡(jiǎn)單幾何形體的重心用定積分計(jì)算。高等數(shù)學(xué)定積分的應(yīng)用中已介紹。見(jiàn)有關(guān)手冊(cè)簡(jiǎn)單形體重心表。73積分法求均質(zhì)物體的重心74均質(zhì)對(duì)稱(chēng)物體的重心若均質(zhì)物體具有對(duì)稱(chēng)面,則重心必在此對(duì)稱(chēng)面上;若均質(zhì)物體具有對(duì)稱(chēng)軸,則重心必在此對(duì)稱(chēng)軸上;若均質(zhì)物體具有對(duì)稱(chēng)中心,則重心必在此對(duì)稱(chēng)中心上。75(3)用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定物體重心的位置(a).懸掛法76(b).稱(chēng)重法稱(chēng)出總重量P;量出長(zhǎng)度l

;稱(chēng)出B處的受力;則：77思考題機(jī)床重2500N。稱(chēng)重時(shí)，機(jī)床在水平位置時(shí)A處秤上讀數(shù)1750N，當(dāng)

=20°時(shí)秤上讀數(shù)為1500N。求xC、yC。78思考題解xCGRA1.求xC考慮水平放置時(shí)畫(huà)受力圖列平衡方程即

RB79思考題解GRAw2.求yC考慮斜放時(shí)畫(huà)受力圖列平衡方程EF

mRB80平面一般力系的平衡方程受平面一般力系作用的剛體,平衡即:平面一般力系的平衡方程由于式中FR’是向量，所以上式實(shí)際有三個(gè)分量式平面一般力系有三個(gè)獨(dú)立的方程，可解三個(gè)未知量。投影軸可任選，力矩方程的矩心也可任選。81例1已知：F,力偶M，均布載荷q，長(zhǎng)度a。求：支座A、B處反力。解：取AB為研究對(duì)象，受力如圖。FAxFAyFB分布力用合力代替：Fq82xyo

Bb例2已知：有一平面一般力系，滿(mǎn)足：

X

≠0,

Y

=0,

MA(F)=0,MB(F)=0,A為x軸上的點(diǎn)，B為y軸上的點(diǎn)，OB=b,

角已知。求：OA=？解：因?yàn)?/p>

X

≠0A主矢R’

≠0可以合成為合力。因?yàn)?/p>

MA(F)=0合力作用線過(guò)A點(diǎn)因?yàn)?/p>

MB(F)=0合力作用線過(guò)B點(diǎn)合力作用線過(guò)AB連線。因?yàn)?/p>

Y

=0,而R’

≠0，R’⊥y軸。83平衡方程的其它形式1二矩式：

X

=0

MA(

F

)

=0

MB(

F

)

=02三矩式：

MA(

F

)

=0

MB(

F

)

=0

MC(

F

)

=0BAxCACA、B

連線不垂直于x軸A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上附加條件：附加條件：B84平面一般力系平衡的二矩式的證明必要性即要證，平衡二矩式成立∵平衡∴FR’＝0，MO＝0力系的主矢在任一軸上的投影為零；對(duì)任一點(diǎn)的矩為零?！?/p>

二矩式成立。即要證，平衡二矩式成立充分性∵

MA(

F

)

=0∴力系只可能合成為合力或平衡85平面一般力系平衡的二矩式的證明由

MA(

F

)

=0若有合力，則合力作用線過(guò)A點(diǎn)由

MB(

F

)

=0若有合力，則合力作用線過(guò)B點(diǎn)。合力作用線過(guò)ABBAx又有

X

=0且x軸不與AB連線垂直∴必有：合力為零，即力系平衡。證畢86例3如圖所示起重機(jī)，自重P=10kN，掛鉤上吊有重Q=40kN的重物。求在止推軸承A和軸承B處的約束反力。解：1選起重機(jī)為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖2列平衡方程zAzB87例4圖示梁AB，支座及受力如圖。梁的自重及各處摩擦均不計(jì)，試求A和B處的支座反力。RARB問(wèn)題：A處為什么無(wú)水平分力？使用二矩式解88

平面力系的平衡條件與平衡方程

平面一般力系的平衡條件與平衡方程例題2

A端固定的懸臂梁AB受力如圖示。梁的全長(zhǎng)上作用有集度為q的均布載荷；自由端B處承受一集中力和一力偶M的作用。已知FP＝ql，M=ql2；l為梁的長(zhǎng)度。試求固定端處的約束力。求：固定端處的約束力。89

解：1．研究對(duì)象、隔離體與受力圖本例中只有梁一個(gè)構(gòu)件，以梁AB為研究對(duì)象，解除A端的固定端約束，代之以約束力FAx、FAy和約束力偶MA。于是，可以畫(huà)出梁AB的受力圖。

平面力系的平衡條件與平衡方程

平面一般力系的平衡條件與平衡方程－例題2

圖中、M、q為已知的外加載荷，是主動(dòng)力。

2．將均布載荷簡(jiǎn)化為集中力作用在梁上的均勻分布力的合力等于載荷集度與作用長(zhǎng)度的乘積，即ql；合力的方向與均布載荷的方向相同；合力作用線通過(guò)均布載荷作用段的中點(diǎn)。

ql90

解：3．建立平衡方程，求解未知約束力通過(guò)對(duì)A點(diǎn)的力矩平衡方程，可以求得固定端的約束力偶MA；利用兩個(gè)力的平衡方程求出固定端的約束力FAx和FAy。

平面力系的平衡條件與平衡方程

平面一般力系的平衡條件與平衡方程－例題2

ql91例題3

圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，確定A、B、C三處約束力lACBllFP

平面一般力系平衡方程的其他形式－例題3

平面力系的平衡條件與平衡方程92

分析受力dDBlACllFPFAyFAxFBC

平面一般力系平衡方程的其他形式－例題3

平面力系的平衡條件與平衡方程93

MA(F)=0:FBC

d-FP2l=0dDBlACllFPFAyFAxFBC

平面一般力系平衡方程的其他形式－例題3

平面力系的平衡條件與平衡方程

建立平衡方程求解未知量94

MB(F)=0:-FAy

l-FP

l=0FAy=-FPdDBlACllFPFAyFAxFBC

平面一般力系平衡方程的其他形式－例題3

平面力系的平衡條件與平衡方程

建立平衡方程求解未知量95

Fx=0:FAx+FBCcos=0FAx=-2FPdDBlACllFPFAyFAxFBC

平面一般力系平衡方程的其他形式－例題3

平面力系的平衡條件與平衡方程

建立平衡方程求解未知量96M=FPlllACBlD例題4

平面一般力系平衡方程的其他形式

平面力系的平衡條件與平衡方程

圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，確定A、B、C三處約束力97ABDFAxFByFBxFAyCB'M=FPlFBy′FBx′FCx′FCy′llACBlDM=FPl

平面一般力系平衡方程的其他形式－例題4

平面力系的平衡條件與平衡方程分析BC和ABD桿受力98ABDFAxFByFBxFAy考察ABD桿

的平衡

MB(F)=0:

MA(F)=0:FBy=0FAy=0Fx

=0:

FBx+

FAx=0

FBx=

-FAx

平面一般力系平衡方程的其他形式－例題4

平面力系的平衡條件與平衡方程99CB'M=FPlFBy′FBx′FCx′FCy′考察BC桿的平衡Fx

=0:

FBx′-

FCx′=0

FCx′=FBx′=

FBxFy

=0:

FBy′-

FCy′=0

FCy′=FBy′

=FBy=0

MB'

(F)=0:FCx′

l+M

=0FCx′=FBx′=

-FP

平面一般力系平衡方程的其他形式－例題4

平面力系的平衡條件與平衡方程100llACBlDM=FPlABDFPCB'M=FPlFPFPFP

平面一般力系平衡方程的其他形式－例題4

平面力系的平衡條件與平衡方程101關(guān)于平衡對(duì)象的選擇能不能以整體為平衡對(duì)象FAxFAyFAxFAyACBM=FPllllDllACBlDM=FPl

平面一般力系平衡方程的其他形式－例題4

平面力系的平衡條件與平衡方程102lllFPACBD例題5

平面一般力系平衡方程的其他形式

平面力系的平衡條件與平衡方程

圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，確定A、C二處約束力103ACBDllFPlFCyFAFCx

平面一般力系平衡方程的其他形式－例題

5

平面力系的平衡條件與平衡方程104ACBDllFPlFCyFAFCx

ME(F)=0:

MA(F)=0:

MC(F)=0:FCx

l-FP2l=0-FA

l-FP2l=0-FCy

2l-FA

l=0EFCx=2FP,FCy=FP,FA=-2FP

平面一般力系平衡方程的其他形式－例題

5

平面力系的平衡條件與平衡方程105lllACBDM=FPl例題6

平面一般力系平衡方程的其他形式

平面力系的平衡條件與平衡方程圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，確定A、C二處約束力106lM=FPlllACBDFAFC

平面一般力系平衡方程的其他形式－例題6

平面力系的平衡條件與平衡方程107lM=FPlllACBDFAFC

MC(F)=0:

FA=FC=FPFA×l+M=0

平面一般力系平衡方程的其他形式－例題6

平面力系的平衡條件與平衡方程108

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題第3章工程構(gòu)件的靜力學(xué)平衡問(wèn)題返回109

靜不定問(wèn)題的基本概念對(duì)于每一種力系，獨(dú)立的平衡方程的個(gè)數(shù)是一定的，當(dāng)未知力的個(gè)數(shù)超過(guò)獨(dú)立的平衡方程的個(gè)數(shù)時(shí)，就無(wú)法僅由平衡方程解出全部未知力。這種問(wèn)題稱(chēng)為靜不定問(wèn)題，或超靜定問(wèn)題。若：未知約束力的個(gè)數(shù)

獨(dú)立的平衡方程數(shù)

靜定(StaticallyDeterminate)問(wèn)題。若：未知約束力的個(gè)數(shù)

獨(dú)立的平衡方程數(shù)

靜不定(StaticallyIndeterminate)問(wèn)題。110靜不定次數(shù)未知約束力數(shù)-獨(dú)立平衡方程數(shù)

=

靜不定次數(shù)

或超靜定次數(shù)靜定問(wèn)題靜不定問(wèn)題（1次）MM對(duì)于超靜定問(wèn)題：111系統(tǒng)靜定性的判斷靜定問(wèn)題靜不定問(wèn)題（1次）例112例

例

113ACBlllFPFAyFAxFCxFCyFQllFPABDFAyFAxFByFBxBCFCxFCyF’ByF’BxFQ例題FF取整體，受力如圖取AD,受力如圖取CB,受力如圖所以，是靜定問(wèn)題。114一個(gè)由N個(gè)剛體組成的系統(tǒng)，若受到平面一般力系的作用，則可列出3N個(gè)獨(dú)立的平衡方程。當(dāng)未知力的個(gè)數(shù)

3N

時(shí)，即為靜定問(wèn)題。一般地：115簡(jiǎn)支梁、外伸梁116連續(xù)梁117多跨靜定梁中間鉸基本部分附屬部分118物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題常常需要求內(nèi)力；雖只需求外力，但取整體時(shí)，獨(dú)立的方程 數(shù)少于未知外力的個(gè)數(shù)。

在這兩種情況下，都需要將系統(tǒng)拆開(kāi)，取一部分為研究對(duì)象。119物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題求解求解物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，需要選擇適當(dāng)?shù)钠胶夥匠蹋M量避免求解聯(lián)立方程。（投影軸和矩心

的選?。┱_選擇研究對(duì)象；120例1

連續(xù)梁已知：F=5kN,q=2.5kN/m,M=5kN·m,尺寸如圖。求：支座A、B、D處反力。解：AC梁基本部分；CD梁附屬部分。分析：取什么為研究對(duì)象？先分析是否是靜定問(wèn)題是靜定問(wèn)題。FCyFCxFD若取整體，受力如圖。若取CD，受力如圖。FAyFAxFDFB1211）取CD，受力如圖。FCyFCxFD將分布力用合力來(lái)代替。FQ11222）取整體，受力 如圖。FAyFAxFDFB將分布力用合力來(lái)代替。FQ123解法2

1）取CD，受力如圖。FCyFCxFDFQ1FD，F(xiàn)Cx，F(xiàn)Cy

2）取AC，受力如圖。FB，F(xiàn)Ax，F(xiàn)Ay

。FAyFAxFBF’CxF’Cy124FQ解法3

對(duì)整體，將分布力用合力來(lái)代替。取CD，將C鉸鏈連在CD上，受力如圖。FCyFCxFDFQ問(wèn)題:這樣求出的FD與前面求出的不同。哪一種方法是正確的?125例

2

三鉸拱物體系統(tǒng)的平衡：例題2左半跨內(nèi)作用有均布載荷，集度為q，拱重及摩擦均不計(jì)。求鉸鏈A、B處的反力。分析：取什么為研究對(duì)象？FAxFAyFBxFByF’CxFCyF’Cy

FAxFAyFCxFBxFBy126物體系統(tǒng)的平衡：例題2

解：1.取整體，畫(huà)受力圖由有：由有：由有：FAxFAyFBxFBy127物體系統(tǒng)的平衡：例題2由有：2.取BC思考：如果AB不等高，如何求支反力？1.取整體FAxFAyFBxFByFCyFCxFBxFBy128第三章靜力學(xué)平衡問(wèn)題6/12/2024129求解剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題小結(jié)1、選取研究對(duì)象時(shí)，要選最佳方案。 一般可先考慮取整體(當(dāng)未知力為3個(gè)，或可求出一部分未知力時(shí))；拆開(kāi)取分離體時(shí)，可取受力相對(duì)簡(jiǎn)單的部分。物體系統(tǒng)的平衡：總結(jié)對(duì)于連續(xù)梁，先取附屬部分為研究對(duì)象因?yàn)楦綄俨糠种ё?，?duì)于三鉸拱，先取整體為研究對(duì)象因?yàn)锳B等高程，三個(gè)未知力經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，約束反力少，可以一個(gè)方程解一個(gè)未知量?？梢郧蟪鲆徊糠治粗Α?30物體系統(tǒng)的平衡：總結(jié)、列平衡方程時(shí)，選恰當(dāng)?shù)耐队拜S（與未知力垂直）；選恰當(dāng)?shù)木匦模ㄎ粗Φ慕稽c(diǎn)）；、對(duì)于分布載荷注意應(yīng)用等效與簡(jiǎn)化的概念。盡量做到一個(gè)方程解一個(gè)未知量。注意：要先取分離體，然后再簡(jiǎn)化。131解：1、取整體，受力如圖。例3已知：F=200N,M=2400Nm,尺寸如圖，單位為m。求：A，E處反力。FAyFAxFEyFEx有四個(gè)未知量，不能全部求出，但本題中，可求出一部分。(1)下面需求出FAx

或FEx

。物體系統(tǒng)的平衡：例題3132下面求FAx

2、取AC，受力如圖。FAyFAxFBFCyFCx

這時(shí)，還是有四個(gè)未知量。3、取BDH，受力如圖。F’B

FDyFDx對(duì)AC：再由(1)式物體系統(tǒng)的平衡：例題3133法二(求FEx

)1、與法一相同，取整體。求出FAy

,FEy,得到(1)式。

2、與法一相同，取BDHF’B

FDyFDx3、取BDH+CE，受力如圖FEyFExF’BF’CyF’Cx再由(1)式物體系統(tǒng)的平衡：例題3134法三(求FEx

)1、與法一相同，取整體。求出FAy

,FEy,得到(1)式。

2、與法一相同，取BDHF’B

FDyFDx3、取CE，受力如圖再由(1)式FEyFExF’CyF’CxF’DyF’Dx物體系統(tǒng)的平衡：例題3135答案：由本題可看出：雖然外載荷F沿鉛垂方向，力偶M也可用兩個(gè)鉛垂方向的力來(lái)表示，但支座A，E處的水平方向的反力并不為零。FAyFAxFEyFEx物體系統(tǒng)的平衡：例題3136例4

已知：連續(xù)梁，P=10kN,Q=50kN,CE

鉛垂,不計(jì)梁重

求：A,B和D點(diǎn)的反力

物體系統(tǒng)的平衡：例題4137解：1取起重機(jī)，F(xiàn)FFGFDFCyFCxFG’2取CD，受力如圖。受力如圖。物體系統(tǒng)的平衡：例題41383取整體，受力如圖。FDFAyFAxFB物體系統(tǒng)的平衡：例題4139例5已知：

F=180kN,尺寸如圖，單位為m。求：A，H及D處反力。解：1.取整體，受力如圖。FAyFAxFH或物體系統(tǒng)的平衡：例題5140FAyFAxFH3、取DH，受力如圖。FDyFDxFEyFExFH2、取BE(帶輪)，受力如圖F’EyF’ExFByFBxFC=F物體系統(tǒng)的平衡：例題5141FAyFAxFH法二3、取AD，受力如圖F’EyF’ExFByFBxFC1、與法一相同，取整體，2、取BE(帶輪)，受力如圖FAxF’ByF’DyFAy求出FAx

,FAy

,FH.F’DxF’CF’Bx物體系統(tǒng)的平衡：例題5142答案：FAyFAxFH物體系統(tǒng)的平衡：例題5143例6已知：M=36kNm,尺寸尺寸如圖,單位為m.求:

A,B及C處反力.解：1.取AC+CH+EG,

受力如圖。FAxFAyFDxFDy取整體分析,受力如圖。物體系統(tǒng)的平衡：例題6FAxFAyFBxFBy144FAxFAyFBxFBy1.取AC+CH+EG2.取整體,受力如圖3.取CH,受力如圖。FGFC物體系統(tǒng)的平衡：例題6145法二1.取CH,受力如圖FGFC2.取ADC,受力如圖3.取整體,受力如圖FAxFAyFDxFDyFAxFAyFBxFByF’GF’C物體系統(tǒng)的平衡：例題6146答案：FAxFAyFBxFBy物體系統(tǒng)的平衡：例題6147思考：多拱結(jié)構(gòu)已知：P,Q,

拱的自重不計(jì)。求：A,B支座的約束反力。FAxFAyFByFBx答案：物體系統(tǒng)的平衡：思考題148已知：，求：A,B處的約束反力。物體系統(tǒng)的平衡：思考題149求解剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題小結(jié)1、選取研究對(duì)象時(shí)，要選最佳方案。 一般可先考慮取整體(當(dāng)未知力為3個(gè)，或可求出一部分未知力時(shí))；拆開(kāi)取分離體時(shí)，可取受力相對(duì)簡(jiǎn)單的部分。2 、列平衡方程時(shí)，盡量做到一個(gè)方程解一個(gè)未知量。

選恰當(dāng)?shù)耐队拜S（與未知力垂直）；選恰當(dāng)?shù)木匦模ㄎ粗Φ慕稽c(diǎn)）；、對(duì)于分布載荷注意應(yīng)用等效與簡(jiǎn)化的概念。注意：要先取分離體，然后再簡(jiǎn)化。150平面桁架的內(nèi)力桁架的定義；桁架的力學(xué)模型；平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算。151一、桁架的定義桁架的優(yōu)點(diǎn)是：用材經(jīng)濟(jì)，結(jié)構(gòu)的重量輕由一些細(xì)長(zhǎng)直桿按適當(dāng)方式分別在兩端連接而成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)桁架152桁架分類(lèi)木桁架鋼桁架鋼筋混凝土桁架按材料可分為：153桁架分類(lèi)平面桁架平面結(jié)構(gòu)，載荷作用在結(jié)構(gòu)平面內(nèi)；按空間形式可分為：

對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，載荷作用在對(duì) 稱(chēng)面內(nèi)。154桁架分類(lèi)空間桁架

結(jié)構(gòu)是空間的，載荷是任意的；平面桁架平面結(jié)構(gòu)，載荷作用在結(jié)構(gòu)平面內(nèi)；對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，載荷作用在對(duì)稱(chēng)面內(nèi)。結(jié)構(gòu)是平面的，載荷與結(jié)構(gòu)不共面。155二、桁架的力學(xué)模型1.節(jié)點(diǎn)工程上把幾根直桿連接的地方稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)156榫接木桁架節(jié)點(diǎn)157鋼桁架節(jié)點(diǎn)鉚接焊接158鋼筋混凝土桁架節(jié)點(diǎn)剛接159二、桁架的力學(xué)模型基本假定：1.桁架的桿件均為直桿；2.所有節(jié)點(diǎn)處均為光滑鉸鏈；3.載荷只作用在節(jié)點(diǎn)處；4.桿件的重量忽略不計(jì)。滿(mǎn)足以上假設(shè)的桁架稱(chēng)為理想桁架。節(jié)點(diǎn)桿件160各桿件都用光滑鉸鏈相連接161各桿件軸線都是直線，并通過(guò)鉸鏈中心162所有外力，包括荷載及支座約束力都作用在節(jié)點(diǎn)上163二力桿軸向力ABFAFBAB理想桁架的內(nèi)力特點(diǎn)：164三、平面簡(jiǎn)單桁架內(nèi)力計(jì)算無(wú)余桿桁架一種典型的無(wú)余桿桁架：本節(jié)討論平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算。有余桿桁架——靜定桁架?！o不定桁架?！矫婧?jiǎn)單桁架165取一部分為考察對(duì)象節(jié)點(diǎn)法截面法取各節(jié)點(diǎn)為考察對(duì)象取一部分為考察對(duì)象1661、節(jié)點(diǎn)法以節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，每個(gè)節(jié)點(diǎn)所受的力系是

平面匯交力系；桁架在外力作用下平衡，每個(gè)節(jié)點(diǎn)也應(yīng)保持平衡求內(nèi)力時(shí)從只有兩個(gè)未知力的節(jié)點(diǎn)開(kāi)始節(jié)點(diǎn)力的作用線已知，指向可以假設(shè)；逐個(gè)地取節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，就可求出各桿的受力。167例1已知：

F1=800N，F(xiàn)2=1000N。求：各桿的內(nèi)力。解：1取整體，受力如圖。FDFCyFCx

X

=0

Y

=0

MC(F)=0

FCx=0FD=2600NFCy=-800N1682取節(jié)點(diǎn)A，受力如圖

X

=0

Y

=0FS1

=1600N(拉)

FS2=-1385.6N(壓)

3取節(jié)點(diǎn)D

，受力如圖

X

=0

Y

=0FS3

=-1800N(壓)

FS5=-1600N(壓).1694取節(jié)點(diǎn)B

，受力如圖

X

=0FS4=1385.6N(拉)

工程上，將所有桿件的力設(shè)為拉力。本題中，不求支座反力，也可求出1，2，3，4號(hào)桿的內(nèi)力。170零力桿的判斷一定荷載作用下，桁架中內(nèi)力為零的桿件零桿xyFN=0FPFN1

=0FN2=0節(jié)點(diǎn)上無(wú)外力作用？171FFF1231，2，3桿的內(nèi)力為多少？（答案：0，F(xiàn)，0）172FPFPABCDEGHI1732截面法用假想截面將桁架截為兩個(gè)部分； 因?yàn)楦鳁U均為二力桿，截?cái)嗪?，?nèi)力沿桿的 方向?？疾炀植胯旒艿钠胶?，求出桿件的內(nèi)力。平面一般力系所截?cái)嗟暮形粗Φ臈U件數(shù)不超過(guò)3個(gè)174例2已知：P1=10kN，P2=7kN。各桿的長(zhǎng)度均為1m。求：桿1,2,3的內(nèi)力。解：1取整體，受力如圖。

X

=0

Y

=0

MA(F)=0FAx=0FB=8kNFAy=9kNFAxFAyFB175FAxFAyFBmn2用m—n截面，

MD(F)

=0

Y

=0

ME(F)=0F3

=9.81kNF1=-10.4kNF2=1.15kN注意：1用截面法時(shí),必須截為完全分開(kāi)的兩部分；

2只能截在桿件上，不能截在節(jié)點(diǎn)上。取左半部分，受力如圖。176例3

試求平面桁架中1、2桿的內(nèi)力。FP12AKBCDEOGHIJa4×ah177FP12AKBCDEOGHIJa4×ahFAyFK178123KOGHIJFKFN1FN2FN3FP123AKBCDEOGHIJa4×ahFAyFKmm179討論一：FPABCDEOGHIJKLa180FPABCDEOGHIJKLaFPa①FPa②FPa③a④nFPa①③nn④②181①OFN1FN212FP12FN1FN2討論二：xyFPABCDEOGHIJKLa182判斷零力桿DE、EF、FG、GBAC、AB、BC、BD183例題解:

(1)求支座反力求圖示簡(jiǎn)單桁架各桿的內(nèi)力184取節(jié)點(diǎn)A取節(jié)點(diǎn)B（2）求各桿內(nèi)力A30kNNACNAB

BNAB’NBCNBD185取節(jié)點(diǎn)C取節(jié)點(diǎn)D

至此，桁架各桿內(nèi)力均已求出，剩余的三個(gè)平衡條件可用來(lái)驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果。186

為直觀起見(jiàn)，將各桿內(nèi)力標(biāo)于桿旁。正值表示該桿內(nèi)力為拉力，負(fù)值表示該桿內(nèi)力為壓力。ABDCE7515-2550-40-400單位：kN187

用截面法求簡(jiǎn)單桁架中AC、BC兩桿的內(nèi)力。

作截面I—I切斷AC、BC及BD三桿，并取右邊部分為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖。AB

30kNNACNBCNBD由平衡方程解得：188解得：或者：AB

30kNNACNBCNBD189PAFDCBE154326798aaa例題節(jié)點(diǎn)法：按A、B、F、C、E、D的順序依次求出1、2、3、4、5、6、7、8、9各桿的內(nèi)力截面法：直接求出6、7、8各桿的內(nèi)力190節(jié)點(diǎn)法PAFDCBE154326798aaaPAN2N1191PAFDCBE154326798aaaN2BN3N4192PAFDCBE154326798aaaN5FN3N6N1193PAFDCBE154326798aaa截面法同時(shí)截?cái)?、7、8三桿，使上半部成為獨(dú)立的分離體194PAFDCBE154326798aaaN8N7N6195PAFDCBE154326798aaa有時(shí)也可靈活應(yīng)用截面法，如此處截8、9桿N8N9注意：由于E點(diǎn)為固定鉸支座，故由不能得到N9的值！196第三章靜力學(xué)平衡問(wèn)題6/12/2024197

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

第3章工程構(gòu)件的靜力學(xué)平衡問(wèn)題返回198梯子不滑倒的最大傾角θ

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

199鋼絲不滑脫的最大直徑

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

200夾紙器的最小傾角

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

201夾持器的最小傾角

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

202磨削工具利用摩擦力

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

203磨削工具利用摩擦力

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

204利用摩擦力錨緊泊船

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

205剎車(chē)器利用摩擦力

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

206輪軸承軸承中摩擦力越小越好

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

207賽車(chē)后輪的摩擦力是驅(qū)動(dòng)力WFNFs

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

208放大后的接觸面

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

209接觸面的計(jì)算機(jī)模擬

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

210滑動(dòng)摩擦(SlidingFriction)摩擦定義由于物體相互接觸而產(chǎn)生的一種阻礙物體間相對(duì)運(yùn)動(dòng)(趨勢(shì))的現(xiàn)象。流體摩擦—流體相鄰層之間由于流速的不同而引起的切向力。摩擦的類(lèi)型干摩擦—固體與固體之間無(wú)潤(rùn)滑的摩擦；有潤(rùn)滑時(shí)：濕摩擦；內(nèi)摩擦—物體材料內(nèi)部的摩擦。211干摩擦的類(lèi)型本節(jié)只討論：滑動(dòng)摩擦。

滾動(dòng)摩擦(rollingfriction)

滑動(dòng)摩擦(slidingfriction)靜滑動(dòng)摩擦動(dòng)滑動(dòng)摩擦按運(yùn)動(dòng)形式分為：212

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

摩擦(friction)是一種普遍存在于機(jī)械運(yùn)動(dòng)中的自然現(xiàn)象。實(shí)際機(jī)械與結(jié)構(gòu)中，完全光滑的表面并不存在。兩物體接觸面之間一般都存在摩擦。在自動(dòng)控制、精密測(cè)量等工程中即使摩擦很小，也會(huì)影響到儀器的靈敏度和精確度，因而必須考慮摩擦的影響。研究摩擦就是要充分利用有利的一面，克服其不利的一面。

按照接觸物體之間可能會(huì)相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滾動(dòng)，有滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩擦之分。根據(jù)接觸物體之間是否存在潤(rùn)滑劑，滑動(dòng)摩擦又可分為干摩擦和濕摩擦。本課程只介紹干摩擦?xí)r，物體的平衡問(wèn)題。

213

滑動(dòng)摩擦定律

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

214FPWFFN庫(kù)侖定律干摩擦?xí)r的摩擦力F

fs

FN215滑動(dòng)摩擦力靜止?fàn)顟B(tài)：F＝Fmax

F

Fmax運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：臨界狀態(tài)：此時(shí)，摩擦力的大小由平衡方程確定.F=

Fd

FFPO45°FmaxFd運(yùn)動(dòng)狀態(tài)靜止?fàn)顟B(tài)臨界狀態(tài)FPWFFN216最大靜摩擦力(MaximumStaticFriction)最大靜摩擦力指兩個(gè)接觸面之間的極限摩擦力值在接觸的材料、表面光潔度、潤(rùn)滑介質(zhì)、溫濕度不變的前提下，最大靜摩擦力正比于正壓力

fs

靜摩擦系數(shù)(coefficientofstaticfriction)

查表，或由試驗(yàn)確定217動(dòng)滑動(dòng)摩擦力(Movingfriction)Fd=f

FN

f

動(dòng)摩擦系數(shù)(coefficientofmovingfriction)

查表，或由試驗(yàn)確定一般地：

f略小于fs，可認(rèn)為218滑動(dòng)摩擦力小結(jié)摩擦永遠(yuǎn)存在，區(qū)別只在大小靜摩擦力-隨主動(dòng)力的大小而變最大靜摩擦力-取決于正壓力、相互接觸的材料、表面光潔度、潤(rùn)滑介質(zhì)、溫濕度等動(dòng)摩擦力小于靜摩擦力219滑動(dòng)摩擦力小結(jié)從約束的角度看， 摩擦力是最大值有限制的切向約束力。摩擦力的方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)(趨勢(shì))的方向相反。其大小有三種情況：靜止時(shí)：F＝Fmax

＝

fs

FNFd

＝

f

FN0F

Fmax滑動(dòng)時(shí)：臨界時(shí)：此時(shí)，摩擦力的大小由平衡方程確定.220考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題干摩擦?xí)r的摩擦力

總約束力FR與法向約束力FN作用線之間的夾角用表示。FR

FNFs摩擦角(angleoffriction)221摩擦角開(kāi)始運(yùn)動(dòng)前,

角隨FP的改變而改變，臨近運(yùn)動(dòng)時(shí)達(dá)到最大值

m

0

m

m摩擦角?？紤]摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題干摩擦?xí)r的摩擦力FNFmaxFR

m2222用摩擦角表示的平衡條件是：0

3摩擦角與摩擦系數(shù)的關(guān)系：即：關(guān)于摩擦角：1摩擦角是靜摩擦力取值范圍的幾何表示。FNFmaxFRA

FRA

223FNFmaxFRA

三維受力狀態(tài)下，摩擦角成為摩擦錐。上面是物體有向右運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)的摩擦角，當(dāng)物體有向左運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)，也可畫(huà)出一個(gè)摩擦角。

FmaxFRA224考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

主動(dòng)力作用線位于摩擦角范圍內(nèi)時(shí)，不管主動(dòng)力多大，物體都保持平衡，這種現(xiàn)象稱(chēng)為自鎖(selflocking)。自鎖及其應(yīng)用225考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

主動(dòng)力作用線位于摩擦角范圍以外時(shí)，不管主動(dòng)力多小，物體都將發(fā)生運(yùn)動(dòng)。自鎖及其應(yīng)用226考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

主動(dòng)力作用線與法線之間的夾角等于摩擦角時(shí)物體處于臨界狀態(tài)。自鎖及其應(yīng)用227考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題自鎖及其應(yīng)用228自鎖及其應(yīng)用斜面自鎖條件：

螺紋的自鎖條件229

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

放置于斜面上的物塊重FW＝1000N；斜面傾角為30o。物塊承受一方向自左至右的水平推力，其數(shù)值為FP＝400N。若已知物塊與斜面之間的摩擦因數(shù)fs＝0.2。

求：1.物塊處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，靜摩擦力的大小和方向；

2．使物塊向上滑動(dòng)時(shí)，力FP的最小值。

例題

9230

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題－例題9

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

解：根據(jù)本例的要求,需要判斷物塊是否靜止。這一類(lèi)問(wèn)題的解法是：假設(shè)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，首先由平衡方程求出靜摩擦力F和法向反力FN。再求出最大靜摩擦力Fmax。將F與Fmax加以比較，若物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，所求F有意義；若，物體已進(jìn)入運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，所求F無(wú)意義。231

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

解：1．確定物塊靜止時(shí)的摩擦力F值

以物塊為研究對(duì)象，假設(shè)物塊處于靜止?fàn)顟B(tài)，并有向上滑動(dòng)的趨勢(shì)，受力如圖示。其中摩擦力的指向是假設(shè)的，若結(jié)果為負(fù)，表明實(shí)際指向與假設(shè)方向相反。由

F＝－153.6N

負(fù)號(hào)表示實(shí)際摩擦力F的指向與圖中所設(shè)方向相反，即物體實(shí)際上有下滑的趨勢(shì)，摩擦力的方向?qū)嶋H上是沿斜面向上的。

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題－例題9

232

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

最大靜摩擦力為

因此，物塊在斜面上靜止；摩擦力大小為153．6N,其指向沿斜面向上。

解：1．確定物塊靜止時(shí)的摩擦力F值

FN＝1066N

F＝－153.6N

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題－例題9

233

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

仍以物塊為研究對(duì)象，此時(shí)，物塊處于臨界狀態(tài)，即力FP再大于FPmin，物塊將發(fā)生運(yùn)動(dòng)，此時(shí)摩擦力F達(dá)到最大值Fmax。這時(shí)，必須根據(jù)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)確定Fmax的實(shí)際方向。

解：2．確定物塊向上滑動(dòng)時(shí)所需要主動(dòng)力FP的最小值FPmin

建立平衡方程和關(guān)于摩擦力的物理方程：

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題－例題9

234

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

解：2．確定物塊向上滑動(dòng)時(shí)所需要主動(dòng)力FP的最小值FPmin

建立平衡方程和關(guān)于摩擦力的物理方程：

聯(lián)立，解得：FPmin＝878.75N

當(dāng)力FP的數(shù)值超過(guò)878.75N時(shí)，物塊將沿斜面向上滑動(dòng)。

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題－例題9

235

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

梯子的上端B靠在鉛垂的墻壁上，下端A擱置在水平地面上。假設(shè)梯子與墻壁之間為光滑約束，而與地面之間為非光滑約束。已知：梯子與地面之間的摩擦因數(shù)為fs；梯子的重力為W。1．設(shè)梯子在傾角

1的位置保持平衡，求:A、B二處約束力FNA、FNB和摩擦力FA；2．若使梯子不致滑倒，求:傾角的范圍。

例題

9236

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題－例題10

解:1.梯子在傾角

1的位置保持平衡時(shí)的約束力

這種情形下，梯子的受力如圖示。其中將摩擦力FA作為一般的約束力，假設(shè)其方向如圖示。于是有

由此解得

237

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題－例題10

解:1.梯子在傾角

1的位置保持平衡時(shí)的約束力

由此解得

所得FA的結(jié)果為負(fù)值，表明梯子下端所受的摩擦力與圖中所假設(shè)的方向相反。

238

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題－例題10

這種情形下，摩擦力FA的方向必須根據(jù)梯子在地上的滑動(dòng)趨勢(shì)預(yù)先確定，不能任意假設(shè)。解:2.求梯子不滑倒的傾角

的范圍

平衡方程和物理方程分別為

239

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題－例題10

解:2.求梯子不滑倒的傾角

的范圍

聯(lián)立，不僅可以解出A、B二處的約束力，而且可以確定保持梯子平衡時(shí)的臨界傾角由常識(shí)可知，角度越大，梯子越易保持平衡，故平衡時(shí)梯子對(duì)地面的傾角范圍為

240FQ

A例1已知：

A塊重FP,

,,物塊與斜面間的摩擦系數(shù)為f。求：能使A塊保持平衡的FQ的值。解：取A塊，分析受力

FNFPFsFTxy摩擦力的方向？此時(shí)，摩擦力方向如圖。建立坐標(biāo)系如圖。1、設(shè)有上滑趨勢(shì)。考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題241

FNFPFsFTxy設(shè)達(dá)到臨界狀態(tài)，則有：解出：記為：2422、設(shè)有下滑趨勢(shì)

FNFPFTxyFs這時(shí)，摩擦力方向向上。解出：記為：結(jié)論：平衡時(shí),FQ的值為：設(shè)達(dá)到臨界狀態(tài)，則有：243例2

已知：

P=120N，提起磚的力F。磚夾與磚之間fs=0.5,尺寸如圖。求：b為多大才能把磚夾起？解：1.取整體，受力如圖。(1)FGxFGyFFNAFAs2.取AGB，受力如圖。244FGxFGyFFNAFAs(2)摩擦力：(3)3.取磚，受力如圖。F’NAF’AsFDsFND(4)式(4)代入式(3)上式代入式(2)245法二取GCED為研究對(duì)象。GCED為二力桿。平衡時(shí)，受力如圖。FRGFRD

由摩擦角的概念，平衡時(shí)必有：則：由圖：A’所以：246

已知：三角塊和矩形塊的質(zhì)量分別為20kg和10kg；各部分之間的摩擦系數(shù)均為f

=0.4。

求：二物體均不發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，所能施加的最大力FP。例3247解：分析有幾種可能的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)1 矩形塊不動(dòng)， 三角塊滑動(dòng)；2 矩形塊不動(dòng)， 三角塊翻倒；3 三角塊與矩形 塊一起滑動(dòng)；4 三角塊與矩形塊一起繞C翻倒。2481 矩形塊不動(dòng)，三角塊滑動(dòng)

X

=0FP=

78.48N取三角塊，受力如圖。約束力作用點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)之間。Fs

-

FP=0Y

=0FN-W1=0摩擦力：Fs

=f

FN

FsFNW1249

MA(F)

=0FP=98.1N2矩形塊不動(dòng),三角塊翻倒取三角塊，受力如圖。翻倒臨界狀態(tài)時(shí)，F(xiàn)N作用于A點(diǎn)。FP

1.0FsFNW1-

W1

0.5=0250

X

=0

Fs2

-FP=0Y

=0

FN2-W1

-W2

=0摩擦力

Fs2

=f

FN2

FP=117.7N3二者一起滑動(dòng)取整體，受力如圖。Fs2FN2W1W2251FP=220.5N4二者一起繞C翻到取整體，受力如圖。

MC(F)

=0FP2

Fs2W1W2FN2-(W1+W2)

1.5=0252結(jié)論上述結(jié)果表明,當(dāng)FP從零逐漸增加時(shí)，先發(fā)生三角塊滑動(dòng)，所以,可以施加的最大力為FP=78.48N1

三角塊不滑動(dòng)，所能施加的最大力為

FP=78.48N2三角塊不翻倒，所能施加的最大力為

FP＝98.1N3

三角塊與矩形塊都不滑動(dòng)，所能施加的最大力為

FP=117.7N4

三角塊與矩形塊都不繞C翻到，所能施加的最 大力為

FP＝220.5N253

結(jié)論與討論

求解剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題需要注意的幾個(gè)問(wèn)題

正確地進(jìn)行直觀判斷，提高定性分析能力

摩擦角與自鎖的概念

求解超靜定問(wèn)題的方法簡(jiǎn)述

受力分析的重要性254

結(jié)論與討論

受力分析的重要性

讀者從本章關(guān)于單個(gè)剛體與簡(jiǎn)單剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的分析中可以看出，受力分析是決定分析平衡問(wèn)題成敗的重要部分，只有當(dāng)受力分析正確無(wú)誤時(shí)，其后的分析才能取得正確的結(jié)果。

初學(xué)者常常不習(xí)慣根據(jù)約束的性質(zhì)分析約束力，而是根據(jù)不正確的直觀判斷確定約束力。

錯(cuò)在哪里？255

結(jié)論與討論

受力分析的重要性

讀者從本章關(guān)于單個(gè)剛體與簡(jiǎn)單剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的分析中可以看出，受力分析是決定分析平衡問(wèn)題成敗的重要部分，只有當(dāng)受力分析正確無(wú)誤時(shí)，其后的分析才能取得正確的結(jié)果。

初學(xué)者常常不習(xí)慣根據(jù)約束的性質(zhì)分析約束力，而是根據(jù)不正確的直觀判斷確定約束力。

錯(cuò)在哪里？256

結(jié)論與討論

求解剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題需要注意的幾個(gè)問(wèn)題257

結(jié)論與討論

求解剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題需要注意的幾個(gè)問(wèn)題

根據(jù)剛體系統(tǒng)的特點(diǎn)，分析和處理剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題時(shí)，注意以下幾方面是很重要的：

認(rèn)真理解、掌握并能靈活運(yùn)用“系統(tǒng)整體平衡，組成系統(tǒng)的每個(gè)局部必然平衡”的重要概念。

某些受力分析，從整體上看，可以使整體保持平衡，似乎是正確的。但卻不能保證每一個(gè)局部都是平衡的，因而是不正確的。

要靈活選擇研究對(duì)象所謂研究對(duì)象包括系統(tǒng)整體、單個(gè)剛體以及由兩個(gè)或兩個(gè)以上剛體組成的子系統(tǒng)。靈活選擇其中之一或之二作為研究對(duì)象，一般應(yīng)遵循的原則是：盡量使一個(gè)平衡方程中只包含一個(gè)未知約束力，不解或少解聯(lián)立方程。

258

結(jié)論與討論

求解剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題需要注意的幾個(gè)問(wèn)題

注意區(qū)分內(nèi)約束力與外約束力、作用與反作用力。內(nèi)約束力只有在系統(tǒng)拆開(kāi)時(shí)才會(huì)出現(xiàn)，故而在考察整體平衡時(shí)，無(wú)需考慮內(nèi)約束力，也無(wú)需畫(huà)出內(nèi)約束力。當(dāng)同一約束處有兩個(gè)或兩個(gè)以上剛體相互連接時(shí)，為了區(qū)分作用在不同剛體上的約束力是否互為作用與反作用力，必須對(duì)相關(guān)的剛體逐個(gè)分析，分清哪一個(gè)剛體是施力體，哪一個(gè)是剛體受力體。

注意對(duì)主動(dòng)分布載荷進(jìn)行等效簡(jiǎn)化考察局部平衡時(shí)，分布載荷可以在拆開(kāi)之前簡(jiǎn)化，也可以在拆開(kāi)之后簡(jiǎn)化。要注意的是，先簡(jiǎn)化、后拆開(kāi)時(shí)，簡(jiǎn)化后合力加在何處才能滿(mǎn)足力系等效的要求。

259特點(diǎn)：滿(mǎn)足平衡方程的約束力有無(wú)窮多組解。FA+FB=FPCBAllFPFAFB

結(jié)論與討論

求解超靜定問(wèn)題的方法簡(jiǎn)述260

解法：不能再采用剛體模型，而必須采用變形體模型。CBAllFPFAFB

lAB+lBC=0

結(jié)論與討論

求解超靜定問(wèn)題的方法簡(jiǎn)述261第四章材料力學(xué)的基本概念6/12/20242