概率初步單元復習與鞏固1

概率初步單元復習與穩(wěn)固

撰稿：莊永春審稿：嚴春梅責編：張楊

一、知識框圖二、目標認知學習目標

1．理解并掌握確定事件和不確定事件，必然發(fā)生的事件和不可能發(fā)生的事件.知道必然發(fā)生的事件概率

為1，不可能發(fā)生事件的概率為0，隨機事件發(fā)生的概率在0和1之間；

2．會用列表法和樹形圖法解決隨機事件的概率，并注意二者的區(qū)別與聯(lián)系；

3．用頻率去估計實際概率要注意試驗的次數(shù)必須足夠多.

重點

1．隨機事件、必然事件、不可能事件等的判斷；

2．用列舉法求概率；

3．利用穩(wěn)定后的頻率值來估計概率的大小.

難點

1．用試驗得出概率；

2．列表法與樹形圖法的選擇使用；

3．利用穩(wěn)定后的頻率值來估計概率的大小.

三、知識要點梳理(一)概率的有關概念：1.概率的定義：

某種事件在同一條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，但可以知道它發(fā)生的可能性的大小，我們把刻劃事件發(fā)生的可能性的大小的量叫做概率.

2.概率論：

研究概率的科學叫概率論.概率主要研究不確定現(xiàn)象，概率論作為一門科學，和人們的日常生活有著緊密的聯(lián)系，比方：各種彩票、抽獎等等.人們用概率知識解決了許多生產(chǎn)實際問題.

3.必然事件：

有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，這些事情稱為必然事件.

4.不可能事件：

有些事情我們事先肯定它一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件.

5.不確定事件：

許多事情我們無法確定它會不會發(fā)生，這些事情稱為不確定事件.

必然事件、不可能事件都是在事先能肯定它們會發(fā)生，或事先能肯定它們不會發(fā)生的事件，因此它們也可以稱為確定性事件.

(二)概率的計算：

概率的計算有理論計算和實驗計算兩種方式，根據(jù)概率獲得的方式不同，它的計算方法也不同.

當試驗次數(shù)很大時，一個事件發(fā)生的頻率也穩(wěn)定在相應的概率附近.因此，我們可以通過屢次試驗，用一個事件發(fā)生的頻率來估計這一事件發(fā)生的概率.

對于某些特殊類型的試驗，實際上不需要作大量重復的試驗，而通過列舉法進行分析就能得到事件的概率.例如擲一個骰子(骰子的構造相同，質地均勻)，向上的一面的點數(shù)有6種可能，即1，2，3，4，5，6.因此每種結果的可能性相等，都是.或從分別標有1，2，3，4，5號的5根紙簽中隨機地抽取一根(紙簽的形狀，大小相同)，抽出的簽上的號碼有5種可能，即1，2，3，4，5.因此每個號被抽到的可能性相等，都是.

以上兩個試驗的共同特點是：

1．一次試驗中，可能出現(xiàn)的結果有限多個；

2．一次試驗中，各種結果發(fā)生的可能性相等.

具有這些特點的試驗稱為古典概型.

如何求具有上述特點的隨機事件的概率呢？

如果一次試驗中共有n種可能出現(xiàn)的結果，而且這些結果出現(xiàn)的可能性都相同，其中事件A包含的結果有m種，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=，可以利用列表法或樹狀圖來球其中的m、n，從而得到事件A的概率.

由此我們可以得到：

不可能事件發(fā)生的概率為0，即P(不可能事件)=0；

必然事件發(fā)生的概率為1，即P(必然事件)=1；

如果A為不確定事件，那么0<P(A)<1.

四、規(guī)律方法指導

1．生活中的隨機事件分為確定事件和不確定事件，確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，

①必然事件發(fā)生的概率為1，即P(必然事件)=1；

②不可能事件發(fā)生的概率為0，即P〔不可能事件〕=0；

③如果A為不確定事件，那么0<P(A)<1.

2．隨機事件發(fā)生的可能性〔概率〕的計算方法：

①理論計算又分為如下兩種情況：

第一種：只涉及一步實驗的隨機事件發(fā)生的概率，如：根據(jù)概率的大小與面積的關系，對一類概率模型

進行的計算；

第二種：通過列表法、列舉法、樹狀圖來計算涉及兩步或兩步以上實驗的隨機事件發(fā)生的概率，

如：配紫色，對游戲是否公平的計算.

②實驗估算又分為如下兩種情況：

第一種：利用實驗的方法進行概率估算.要知道當實驗次數(shù)非常大時，實驗頻率可作為事件發(fā)生的概率

的估計值，即大量實驗頻率穩(wěn)定于理論概率.

第二種：利用模擬實驗的方法進行概率估算.如，利用計算器產(chǎn)生隨機數(shù)來模擬實驗.

綜上所述，目前掌握的有關于概率模型大致分為三類；第一類問題沒有理論概率，只能借助實驗模擬獲得其估計值；第二類問題雖然存在理論概率但目前尚不可求，只能借助實驗模擬獲得其估計值；第三類問題那么是簡單的古典概型，理論上容易求出其概率.

這里要引起注意的是，雖然我們可以利用公式計算概率，但在學習這局部知識時，更重要的是要體會概率的意義，而不只是強化練習套用公式進行計算.

3．你知道概率有哪些應用嗎？

通過設計簡單的概率模型，在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實際生活聯(lián)系密切，通過理解什么是游戲對雙方公平，用概率的語言說明游戲的公平性，并能按要求設計游戲的概率模型，以及結合具體實際問題，體會概率與統(tǒng)計之間的關系，可以解決一些實際問題.經(jīng)典例題透析類型一：隨機事件1．選擇題：4個紅球、3個白球和2個黑球放入一個不透明袋子里，從中摸出8個球，恰好紅球、白球、黑球都摸到，這件事情()

A.可能發(fā)生B.不可能發(fā)生C.很可能發(fā)生D.必然發(fā)生

思路點撥：共有9個小球，從中摸出8個還剩下一個，不管剩下什么顏色的球，這8個球中必然紅、白、黑都有，應選D.

答案：D.

舉一反三

【變式1】以下事件是必然事件的是()

A.中秋節(jié)晚上能看到月亮B.今天考試小明能得總分值

C.早晨太陽會從東方升起D.明天氣溫會升高

答案：C.

【變式2】在100張獎券中，有4張中獎.某人從中任意抽取1張，那么他中獎的概率是()

A.B.C.D.答案：A.

類型二：概率的意義：2．有如下事件，其中“前100個正整數(shù)”是指把正整數(shù)按從小到大的順序排列后的前面100個.

事件1：在前100個正整數(shù)中隨意選取一個數(shù)，不大于50；

事件2：在前100個正整數(shù)中隨意選取一個數(shù)，恰好為偶數(shù)；

事件3：在前100個正整數(shù)中隨意選取一個數(shù)，它的2倍仍在前100個正整數(shù)中；

事件4：在前100個正整數(shù)中隨意選取一個數(shù)，恰好是3的倍數(shù)或5的倍數(shù).

在這幾個事件中，發(fā)生的概率恰好等于的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

思路點撥：事件是從前100個正整數(shù)中隨意選取一個數(shù)，其中任何一個數(shù)被選取出來的可能性都是一樣的，所以有100個可能的結果，而從中隨意選取一個，只有一種結果，所以其中每個數(shù)被選取的概率都是.

解：事件1：在前100個正整數(shù)中，不大于50的數(shù)共有50個(1，2.…，50)，

因此，事件1發(fā)生的概率為而；

事件2：在按順序排列好的一列正整數(shù)中，奇偶相間，所以前100個正整數(shù)中恰好有50個偶數(shù)，

因此，事件2發(fā)生的概率也是.

事件3：1到50這50個正整數(shù)的2倍都在前100個正整數(shù)之中，且只有這50個正整數(shù)符合這一要求，

因此，事件3發(fā)生的概率仍然是.

事件4：前100個正整數(shù)3的倍數(shù)有33個(3，6，…，99)，5的倍數(shù)有20個(5，10，…，100)，

既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)有6個(15，30，…，90).

所以前100個正整數(shù)中恰好是3的倍數(shù)或5的倍數(shù)有33+20-6=47(個)，而47≠50，

因此，事件4發(fā)生的概率不是.

答案：C

舉一反三

【變式1】從兩副拿掉大、小王的撲克牌中，各抽取一張，兩張牌都是紅桃的概率是________.

答案：.

【變式2】口袋中放有3個紅球和11個黃球，這兩種球除顏色外沒有任何區(qū)別，隨機從口袋中任取一只球，取到黃球的概率是________.

答案：.

類型三：概率的計算1.列表法3．有兩只口袋，第一只口袋中裝有紅、黃、藍三個球，第二只口袋中裝有紅、黃、藍、白四個球，求分別從兩只口袋中各取一個球，兩個球都是黃球的概率.思路點撥：如下表所示、兩球都是黃球只有一種，而所有的情況共有12種，所以兩個球都是黃球的概率是.紅黃藍白紅紅，紅紅，黃紅，藍紅，白黃黃，紅黃，黃黃，藍黃，白藍藍，紅藍，黃藍，藍藍，白解：所有可能結果共有12種，兩球都為黃球只有1種.

故P(兩球都是黃球)總結升華：列表法可以不重復、不遺漏地列舉所有可能結果.

舉一反三

【變式1】拋兩枚普通的正方體骰子，朝上一面的點數(shù)之和大于5而小于等于9的概率是多少?

思路點撥：試驗涉及的因素多，可能的結果數(shù)目較多，且要計算朝上一面的點數(shù)之和，用列表法列舉比擬容易.

解：列表如下12345611+1=21+2=31+3=41+4=51+5=61+6=722+1=32+2=42+3=52+4=62+5=72+6=833+1=43+2=53+3=63+4=73+5=83+6=944+1=54+2=64+3=74+4=84+5=94+6=1055+1=65+2=75+3=85+4=95+5=105+6=1166+1=76+2=86+3=96+4=106+5=116+6=12由表可以看出兩個向上一面的點數(shù)之和共有36種結果，符合條件的有20種.

∴P(點數(shù)之和大于5而不大于9)=.

【變式2】在生物學中，我們學習過遺傳基因，知道遺傳基因決定生男生女，如果父親的基因用X和Y來表示，母親的基因用X和X來表示，X和Y搭配表示生男孩，X和X搭配表示生女孩，那么生男孩和生女孩的概率各是多少?

解：列表如下：XXXX，XX，XYY，XY，X通過上表可知，生男孩和生女孩的概率各是.

【變式3】兩個人做游戲，每個人都在紙上隨機寫一個-2到2之間的整數(shù)(包括-2和2)，將兩人寫的整數(shù)相加，和的絕對值是1的概率是多少?

解：兩人所寫整數(shù)相加的和的所有可能如下：-2-1012-2-4-3-2-10-1-3-2-1010-2-10121-10123201234由此可知，絕對值是1的有8種.所有可能有25種.所以兩人所寫數(shù)字之和的絕對值是1的概率是.

【變式4】有兩組卡片，第一組的三張卡片上分別寫有A、C、C；第二組的五張卡片分別寫有A、B、B、C、C，那么從每組卡片中各抽出一張，兩張都是C的概率是多少？

解：列表如下：ABBCCAA，BA，BA，BA，CA，CCC，AC，BC，BC，CC，CCC，AC，BC，BC，CC，C從表中可看出兩張都是C的情況有4種，所有可能情況有15種，所以兩張都是C的概率是.

2.樹形圖法4．將分別標有數(shù)字1、2、3的三張卡片洗勻后.背而朝上放在桌面上.

(1)隨機地抽取一張，求P(奇數(shù))；

(2)隨機地抽取一張作為十位上的數(shù)字(不放回)，再抽取一張作為個位上數(shù)字，能組成哪些兩位數(shù)？恰

好是“32”的概率為多少？

解：(1)P(奇數(shù))=.

(2)從樹形圖中得到所組成的兩位數(shù)有6個：12，13，21，23，31，32.恰好是32的概率是.

舉一反三

【變式1】兩名同學玩“石頭、剪子、布”的游戲，假定兩人都是等可能地取“石頭、剪子、布”三個中的一個，那么一個回合不能決定勝負的概率是多少？

思路點撥：可列出下面的樹形圖，如下圖.

所以一個回合不能決定勝負的概率為.

3.用頻率估計概率5．某籃球運發(fā)動在最近的幾場大賽中罰球投籃的結果如下：投籃次數(shù)n8101291610進球次數(shù)m6897127進球頻率(1)計算表中各次比賽進球的頻率；

(2)這位運發(fā)動投籃一次，進球的概率約為多少？

解：(1)0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7；

(2)0.75．

總結升華：此題中將同一運發(fā)動在不同比賽中的投籃視為同等條件下的重復試驗，所求出的概率只是近似值．

舉一反三

【變式1】某射擊運發(fā)動在同一條件下的射擊成績記錄如下：射擊次數(shù)1020304050607080射中8環(huán)以上的頻數(shù)617253139496580射中8環(huán)以上的頻率(1)計算表中相應的頻率.(精確到0.01)

(2)估計這名運發(fā)動射擊一次“射中8環(huán)以上”的概率.(精確到0.1)

思路點撥：用頻率估計概率的方法是根據(jù)試驗中，試驗次數(shù)增多時，頻率值穩(wěn)定在哪個常數(shù)附近.

解：(1)表中頻率依次為0.60，0.85，0.83，0.78，0.78，0.82，0.81，0.80

(2)可以看出：隨著射擊次數(shù)的增多，該運發(fā)動射中8環(huán)以上的頻率穩(wěn)定在0.8左右，從而估計，

他隨機射擊一次，“射中8環(huán)以上”的概率約為0.8.

總結升華：用頻率估計概率實質上看頻率的變化趨勢.

類型四：概率的思想方法6．一個口袋中有10個紅球和假設干個白球，請通過以下試驗估計口袋中白球的個數(shù).從口袋中隨機摸出一個球，記下其顏色，再把它放回袋中，不斷重復上述試驗過程，試驗中總共摸了200次，其中有50次摸到紅球.解：解法1：設口袋中有x個白球，由題意得，解得，

經(jīng)檢驗知是原方程的根.

答：口袋中大約有30個白球.

解法2：因為P(50次摸到紅球)，所以.

所以白球的個數(shù)為40-10=30.

答：口袋中大約有30個白球.

7．王老漢為了與顧客簽訂購銷合同，對自己魚塘中魚的總質量進進了估計，第一次撈出100條，稱得質量為184千克.并將每條魚做上記號后放入水中，當它們完全混合于魚群后，又撈出200條，稱得質量為416千克，且?guī)в杏浱柕聂~有20條，王老漢的魚塘中估計有魚________條，總質量為________千克.思路點撥：根據(jù)第二個樣本有魚200條，其中有20條魚帶有記號，說明捕撈得到帶標記魚的概率為，那么魚塘中魚的總條數(shù)是第一個樣本中的100條魚的10倍，算出魚塘中每條魚的平均質量，即可估算出魚塘中魚的總質量.

解：由題意可知：第一次撈出的魚的條數(shù)占魚塘中魚的總條數(shù)的.

所以估計魚塘中的魚的總條數(shù)為(條)，

魚塘中每條魚的平均質量為：(千克)，

∴魚塘中估計有1000條魚，總質量為2.011×1000=2011(千克).

總結升華：此題的信息引導學生用數(shù)學的方法去分析，看待身邊的事物，有利于提高數(shù)學意識和應用數(shù)學的能力.

類型五：概率的綜合應用8．有5條線段，長度分別為2，4，6，8，10，從中任取3條線段.

(1)一定能構成三角形嗎？

(2)猜測一下，能構成三角形的時機有多大？

(3)請設計一種模擬方案.

思路點撥：(1)三角形的構成必須符合任意兩邊之和大于第三邊，如2，4，6就不可以.

(2)2，4，6，8，10這5個數(shù)中抽3個數(shù)組成一組總共有10種情況.而能構成三角形條件的共有3種，即時機為.

(3)模擬實驗的方法有很多，如紙片、小球、撲克牌等，只要合情合理即可.

解：(1)不一定；

(2)30%；

(3)在5只球上分別寫上2，4，6，8，10，放在一個不透明的袋中，閉上眼睛任摸3只，