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第67練雙曲線[基礎(chǔ)保分練]1.(2019·湛江調(diào)研)雙曲線eq\f(x2,4)-y2=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()A.2B.eq\r(2)C.1D.32.若雙曲線E:eq\f(x2,9)-eq\f(y2,16)=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在雙曲線E上,且|PF1|=3,則|PF2|等于()A.11B.9C.5D.33.下列方程表示的雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y=±2x的是()A.x2-eq\f(y2,4)=1 B.eq\f(x2,4)-y2=1C.eq\f(y2,4)-x2=1 D.y2-eq\f(x2,4)=14.(2016·全國Ⅰ)已知方程eq\f(x2,m2+n)-eq\f(y2,3m2-n)=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是()A.(-1,3) B.(-1,eq\r(3))C.(0,3) D.(0,eq\r(3))5.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1的左、右焦點(diǎn),若雙曲線上存在點(diǎn)A,使∠F1AF2=90°且|AF1|=3|AF2|,則雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(\r(10),2)C.eq\f(\r(15),2)D.eq\r(5)6.(2019·青島調(diào)研)已知雙曲線C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的離心率e=2,則雙曲線C的漸近線方程為()A.y=±2x B.y=±eq\f(1,2)xC.y=±x D.y=±eq\r(3)x7.(2016·山東改編)已知雙曲線E:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四個頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個焦點(diǎn),且2|AB|=3|BC|,則E的離心率是()A.eq\r(3)B.2C.eq\r(5)D.38.P是雙曲線eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)上的點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是其左、右焦點(diǎn),雙曲線的離心率是eq\f(5,4),且PF1⊥PF2,若△F1PF2的面積是9,則a+b的值等于()A.4B.5C.6D.79.已知方程eq\f(x2,2+m)-eq\f(y2,m+1)=1表示雙曲線,則m的取值范圍是__________________.10.已知A,B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則雙曲線E的離心率為________.[能力提升練]1.如圖所示,F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的兩個焦點(diǎn),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點(diǎn)分別為A,B,且△F2AB是等邊三角形,則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(2)+1B.eq\r(3)+1C.eq\f(\r(2)+1,2)D.eq\f(\r(3)+1,2)2.如圖所示,橢圓C1,C2與雙曲線C3,C4的離心率分別是e1,e2與e3,e4,則e1,e2,e3,e4的大小關(guān)系是()A.e2<e1<e3<e4B.e2<e1<e4<e3C.e1<e2<e3<e4D.e1<e2<e4<e33.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過雙曲線eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F作圓x2+y2=a2的一條切線(切點(diǎn)為T)交雙曲線的右支于點(diǎn)P,若M為FP的中點(diǎn),則|OM|-|MT|等于()A.b-aB.a(chǎn)-bC.eq\f(a+b,2)D.a(chǎn)+b4.(2018·鄭州質(zhì)檢)已知P(x,y)(其中x≠0)為雙曲線eq\f(y2,4)-x2=1上任一點(diǎn),過點(diǎn)P向雙曲線的兩條漸近線分別作垂線,垂足分別為A,B,則△PAB的面積為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(8,25) D.與點(diǎn)P的位置有關(guān)5.(2017·全國Ⅰ)已知雙曲線C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若∠MAN=60°,則C的離心率為________.6.已知F是雙曲線C:x2-eq\f(y2,8)=1的右焦點(diǎn),P是C的左支上一點(diǎn),A(0,6eq\r(6)),當(dāng)△APF周長最小時,該三角形的面積為__________.答案精析基礎(chǔ)保分練1.C2.B3.C4.A5.B6.D7.B8.D9.(-∞,-2)∪(-1,+∞)10.eq\r(2)能力提升練1.B[連接AF1,依題意得AF1⊥AF2,∠AF2F1=30°,則|AF1|=c,|AF2|=eq\r(3)c,因此該雙曲線的離心率e=eq\f(|F1F2|,|AF2|-|AF1|)=eq\f(2c,\r(3)c-c)=eq\r(3)+1.]2.A[設(shè)橢圓的離心率為e,則e2=1-eq\f(b2,a2),故由題圖得0<e2<e1<1.設(shè)雙曲線的離心率為e′,則e′2=1+eq\f(b2,a2),故由題圖得1<e3<e4,因此0<e2<e1<1<e3<e4.]3.A[如圖,設(shè)F′是雙曲線的右焦點(diǎn),連接PF′,由雙曲線的定義得,|PF|-|PF′|=2a,又M為PF的中點(diǎn),∴|MF|-|OM|=a,即|OM|=|MF|-a.又直線PF與圓相切,∴|FT|=eq\r(|OF|2-|OT|2)=b,∴|OM|-|MT|=|MF|-a-(|MF|-|FT|)=|FT|-a=b-a.]4.C[雙曲線eq\f(y2,4)-x2=1的漸近線方程為y=±2x,因?yàn)镻A,PB分別垂直于雙曲線的兩條漸近線,故設(shè)方程y=2x的傾斜角為α,則tanα=2,所以tan∠APB=tan2α=eq\f(2tanα,1-tan2α)=-eq\f(4,3),sin∠APB=eq\f(4,5),|PA|·|PB|=eq\f(|y-2x|,\r(5))·eq\f(|y+2x|,\r(5))=eq\f(y2-4x2,5)=eq\f(4,5),因此△PAB的面積S=eq\f(1,2)|PA|·|PB|·sin∠APB=eq\f(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(4,5)=eq\f(8,25),故選C.]5.eq\f(2\r(3),3)解析如圖,由題意知點(diǎn)A(a,0),雙曲線的一條漸近線l的方程為y=eq\f(b,a)x,即bx-ay=0,∴點(diǎn)A到l的距離d=eq\f(ab,\r(a2+b2)).又∠MAN=60°,|MA|=|NA|=b,∴△MAN為等邊三角形,∴d=eq\f(\r(3),2)|MA|=eq\f(\r(3),2)b,即eq\f(ab,\r(a2+b2))=eq\f(\r(3),2)b,∴a2=3b2,∴e=eq\f(c,a)=eq\r(\f(a2+b2,a2))=eq\f(2\r(3),3).6.12eq\r(6)解析由已知得a=1,c=3,則F(3,0),|AF|=15.設(shè)F1是雙曲線的左焦點(diǎn),根據(jù)雙曲線的定義有|PF|-|PF1|=2,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PF1|+2≥|AF1|+2=17,即點(diǎn)P是線段AF1與雙曲線左支的交點(diǎn)時,|PA|+|PF|=|PA|+|PF1|+2最小,即△APF周長最小,此時sin∠OAF=eq\f(1,5),cos∠PAF=1-2sin2∠OAF=eq\f(23,25),即有sin∠PAF=eq\f(4\r(6),25).由余弦定理得|P
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