2015年中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編圓(六)

2015中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：圓（6）

-?填空題（共19小題）

1.（2015?北海）用一個圓心角為120'半徑為6的扇形作一

個圓錐的側(cè)面，這個圓錐的

底面圓的半徑是.

2.（2015?呼和浩特）一個圓錐的側(cè)面積為8n,母

線長為4,則這個圓錐的全面積

為.

3.（2015?揚州）已知一個圓錐的側(cè)面積是2nciA

它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓

椎的高為______________cm

（結(jié)節(jié)窗聘XA

4./^15?煙上＞8^,將/\

弧上6n,圓心角為痛則圓/\

形紙評型圍吵椎彩紙帽，4-------A

扇形的兩條半徑OA與OB重

合（粘連部分忽略不計）則圓錐形紙帽的高是______________________________________________

5.（2015?黃岡）如圖所示的扇形是一個圓錐的側(cè)面展開圖，若/AOB=120°弧AB的長

為12ncm則該圓錐的側(cè)面積為cm2.

6.

（2015?齊齊哈爾）底面周長為10ncm高為12cm的圓錐的側(cè)面積為.

7.

（2015?鄂州）圓錐體的底面周長為6n,側(cè)面積為12n則該圓錐體的高為

&（2015?貴港）如圖，已知圓錐的底面OO的直徑BC=6，高OA=4＞則該圓錐的側(cè)面展

開圖的面積為.

9.（2015?湘潭）小華為參加畢業(yè)晚會演出，準(zhǔn)備制一頂圓錐形彩色紙帽，如圖所示，如果

紙帽的底面半徑為8cm,母線長為25cm，那么制作這頂紙帽至少需要彩色紙板的面積為cm?.（結(jié)

果保留n）

10.（2015?常德）一個圓錐的底面半徑為1厘米，母

線長為2厘米，則該圓錐的側(cè)面積是

厘米2（結(jié)果保留n）.

時，點N相應(yīng)移動的路經(jīng)長為

11.（2015?珠海）用半徑為12cm,圓心角為90的扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽

略不計），則該圓錐底面圓的半徑為cm.

12.（2015?徐州）用一個圓心角為90'半徑為4的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，該圓錐底

面圓的半徑______________.

13.（2015?孝感）已知圓錐的側(cè)面積等于

60nci2，母線長10cm，則圓錐的高是

cm.

14.（2015?黑龍

江）如圖，從直徑是2米的圓形鐵皮上剪出一個圓心角是90的扇形ABC

（A、B、C三點在OO上），將剪下來的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面圓的

半徑是_____________米.

15.（2015?大慶）底面直徑和高都是1的圓柱側(cè)面積為.

16.（2015?福州）一個工件，外部是圓柱體，內(nèi)部凹槽是正方體，如圖所示，其中，正方

體一個面的四個頂點都在圓柱底面的圓周上，若圓柱底面周長為2ncm則正方體的體積為

3

cm.

17.（2015?嘉興）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（0.1）,點P在線段OA上，以AP為半

徑的OP周長為1.點M從A開始沿0P按逆時針方向轉(zhuǎn)動，射線AM交x軸于點N（n.0），設(shè)

點M轉(zhuǎn)過的路程為m（Ovmv1）.

(1)當(dāng)mA—時>n=

4

（2）隨著點M的轉(zhuǎn)動，當(dāng)m從變化到：時，點N相應(yīng)移動的路徑長為

33

18.（2015?舟山）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A

(0,1)，點P在線段OA上，

以AP為半徑的OP周長為1,點M從A開始沿OP按逆時針方向轉(zhuǎn)動，射線AM交x軸于

19

點N(n.0).設(shè)點M轉(zhuǎn)過的路程為m(0vmv1)，隨著點M的轉(zhuǎn)動，當(dāng)m從〔變化到：

時，點N相應(yīng)移動的路經(jīng)長為

ABCD的邊長為1，以AB為直徑作半圓，點P是CD中點，

BP與半圓交于點Q,連結(jié)PQ,給出如下結(jié)論：①DQ=1；②上

=；?S"DQ"；④COS

BQ28

二.解答題（共11小題）

20.（2015?永州）如圖，已知AABC內(nèi)接于00.且AB=AC，直

徑AD交BC于點E,F是OE上的一點，使CF//BD.

19.（2015?南充）如圖，正方形

（1）求證:BE=CE;

（2）試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由；

/ADQ=.；,其中正確結(jié)論是（填寫序號）

21.（2015?煙臺）如圖，以AABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC,BC的交點分

別為D、E,且「，平.

（1）試判斷AABC的形狀，并說明理由.

（2）已知半圓的半徑為5.BC=12，求sin/ABD的值.

D,

22.(2015?安徽)在O。中，直徑AB=6,BC是弦，/ABC=30。點P在BC上，點Q在OO上，

且OP_LPQ.

(1)如圖1,當(dāng)PQ〃AB時，求PQ的長度；

(2)如圖2,當(dāng)點P在藕的最大值.

圖1

23.(2015?無錫)已知：如圖，AB為OO的直徑，點C、D在0。上，且BC=6cm,AC=8cm,/

ABD=45°.(1)求8口的長；

(2)求圖中陰影部分的面積.

24.(2015?德州)如圖，00的半徑為1,A,P,B,C是OO上的四個點＞/APC=ZCPB=60

(1)判斷aABC的形狀：；

(2)試探究線段PA.PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)當(dāng)點P位于小的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積.

備用圖

25.(2015?濱州)如圖，00的直徑AB的長為10,弦AC的長為5，/ACB的平分線交00于點

D.

(1)求?「的長.

(2)求弦BD的長.

26.(2015?

佛山)如圖，OO的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E-F.

(1)若/E=ZF口寸，求證：/ADC=ZABC;

(2)若/E=ZF=42。時，求/A的度數(shù)；

(3)若/E=a/F=3,且a亡B.請你用含有aB的代數(shù)式表示/A的大小.

27.(2015?南京)如圖，四邊形ABCD是OO的內(nèi)接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點

E,且DC=DE.

(1)求證：/A=ZAEB;

(2)連接OE，交CD于點F,OE_LCD，求證：AABE是等邊三角形.

28.(2015?杭州)如圖1,00的半徑為r(r>0),若點P在射線OP上，滿足OPOP=r2,則稱點P

是點P關(guān)于。。的反演點”.

如圖2,00的半徑為4,點B在00上，/BOA=60OA=8,若點A，，B，分別是點A,B

關(guān)于。。的反演點，求人3'的反.

29.(2015?荷澤)如圖，在人人8(3中，8人=8(：,以人8為直徑的00分別交人(：、8(3于點口、E,

BC的延長線于OO的切線AF交于點F.

(1)求證：/ABC=2/CAF;

(2)若AC=2I,CE：EB=1：4，求CE的長.

D

30.（2015?孝感）如圖，AB為OO的直徑，P是BA延長線上一點，PC切OO于點C,

CG是OO的弦，CG_LAB,垂足為D.

（1）求證：/PCA=ZABC;

（2）過點A作AE〃PC,交。0于點E,交CD于點F，連接BE.若sin/P==CF=5，求

BE的長.

2015中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：圓（6）

參考答案與試題解析

-?填空題（共19小題）

1.（2015?北海）用一個圓心角為120°半徑為6的扇形作一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐的底面圓的

半徑是2.

考點：圓錐的計算.

分析：易得扇形的弧長，除以2n即為圓錐的底面半徑.

解答：解：扇形的弧長=；=4n,

180

?一圓錐的底面半徑為4n+2TF2.

故答案為：2.

點評：考查了扇形的弧長公式；圓的周長公式；用到的知識點為：圓錐的弧長等于底面周

長.

解答：解：「工=8必

2.（2015?呼和浩特）一個圓錐的側(cè)面積為8n,母線長為4，則這個圓錐的全面積為12n

考點：圓錐的計算.

分析：據(jù)扇形的面積公式求出扇形的圓心角，再利用弧長公式求出弧長，再利用圓的面積

公式求出底面半徑，求得底面積后即可求得全面積.

?解得n=180

360

則弧長==4n

180

2n=4n

解得r=2,

???底面積為4n

???全面積為12n

故答案是：12n

點評：本題考查了圓錐的計算，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式得到圓錐的底面半徑的求

法.

3.（2015?揚州）已知一個圓錐的側(cè)面積是2nci"它的

側(cè)面展開圖是一個半圓,則這個圓

錐的高為一j_cm（結(jié)果保留根號）.

考點：圓錐的計算.

分析：利用扇形的面積公式可得圓錐的母線長，進而求得扇形的弧長，除以2n即為圓錐

的底面圓半徑，利用勾股定理求得圓錐的高即可.

解答：解：設(shè)圓錐的母線長為R,

2

n>R—2=2,

解得:R=2,

?圓錐側(cè)面展開圖的弧長為：2n

?圓錐的底面圓半徑是2n2Tl=1,

?圓錐的高為

故答案為二.

點評：考查了扇形的弧長公式；圓的周長公式；用到的知識點為：圓錐的弧長等于底面周

長.

4.（2015?

煙臺）如圖，將弧長為6n,圓心角為120的圓形紙片AOB圍成圓錐形紙帽，使扇形的兩條半徑OA

與OB重合（粘連部分忽略不計）則圓錐形紙帽的高是_

分析：根據(jù)弧長求得圓錐的底面半徑和扇形的半徑，利用勾股定理求得圓錐的高即可.

解答：解：???弧長為6n?底面半徑為6n*2T=3,

???圓心角為120,

解得：R=9,?圓錐的高為「丁-;=6一，故答案為：6

點評：本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是能夠利用圓錐的底面周長等于側(cè)面展開扇形

的弧長求得圓錐的底面半徑，難度一般.

5.（2015?黃岡）如圖所示的

扇形是一個圓錐的側(cè)面展開圖，若/AOB=120°弧AB的長

為12ncm則該圓錐的側(cè)面積為108ncm2.

分析：首先求得扇形的母線長，然后求得扇形的面積即可.

解答：解：設(shè)AO=BO=R,

.../AOB=120。,弧AB的長為12ncm

?"一二=12n

180

解得:R=18,

???圓錐的側(cè)面積為-IR=_X12rX18=10&,

22

故答案為：108兀

虛評：（藻㈱髻睫播記單題的關(guān)鍵是牢記圓錐的有關(guān)計算公式，難度不大,

為圓錐的計算.10ncm高為12cm的圓錐的側(cè)面積為65ncm

分析：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：

S=al，直接代入數(shù)據(jù)求出即可.

解答：解：設(shè)圓錐的底面半徑為2

,r=];=5,

?a=」=",?圓錐的側(cè)面積=-X10X13=65,

故答案為:65ncrft.

點評：此題主要考查了圓錐側(cè)面積公式，熟練地應(yīng)用圓錐側(cè)面積公式求出是解決問題的關(guān)

鍵,

7.（2015?鄂州）圓錐體的底面周長為6n側(cè)面積為12n則該圓錐體的高為一二

考點：圓錐的計算.

分析：讓周長除以2n即為圓錐的底面半徑；根據(jù)圓錐的側(cè)面積=X側(cè)面展開圖的弧長X母

2

線長可得圓錐的母線長，利用勾股定理可得圓錐的高.

解答：解：T圓錐的底面周長為6n,

?圓錐的底面半徑為6冗十2廬3.

???圓錐的側(cè)面積=[>側(cè)面展開圖的弧長X母線長，

?母線長=2X1陸（6n=4,

???這個圓錐的高是r，

故答案為：-.

點評：考查圓錐的計算，用到的知識點為：圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的弧長；圓錐

的側(cè)面積=：x側(cè)面展開圖的弧長〉母線長.

2

&（2015?貴港）如圖，已知圓錐的底面OO的直徑BC=6，高OA=4，則該圓錐的側(cè)面展開圖的面

積為15n.

考點：圓錐的計算.

分析：根據(jù)已知和勾股定理求出AB的長，根據(jù)扇形面積公式求出側(cè)面展開圖的面積.

解答：解：OB=BC=3,OA=4,

2

由勾股定理1AB=5,

側(cè)面展開圖的面積為：X6TTX5=15t.

2

故答案為：15n

點評：本題考查的是圓錐的計算，理解圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，掌握扇形的面積的計算

公式是解題的關(guān)鍵.

9.（2015?湘潭）小華為參加畢業(yè)晚會演出，準(zhǔn)備制一頂圓錐形彩色紙帽，如圖所示，如果

紙帽的底面半徑為8cm,母線長為25cm，那么制作這頂紙帽至少需要彩色紙板的面積為

200ncm2.（結(jié)果保留n）

考點：圓錐的計算.

分析：圓錐的側(cè)面積=底面周長>母線長+2

解答：解：底面半徑為8cm,

則底面周長=16n

側(cè)面面積=-X1&X25=20Qtcrfi.

2

故答案為200n

點評：本題考查了圓錐的計算，利用了圓的周長公式和扇形面積公式，熟練記憶圓錐的側(cè)

面積計算公式是解決本題的關(guān)鍵.

10.（2015?常德）一個圓錐的底面半徑為1厘米，母

線長為2厘米，則該圓錐的側(cè)面積是

2n厘米2（結(jié)果保留n）.

考點：圓錐的計算.

分析：根據(jù)圓錐側(cè)面積的求法：？2n?l=i1r，把r=1厘米，1=2厘米代入圓錐的側(cè)面

2

積公式，求出該圓錐的側(cè)面積是多少即可.

解答：解：該圓錐的側(cè)面積是：

S解?2n?l=n=nX1X2=（厘米2）.

2

故答案為：2兀

點評：此題主要考查了圓錐的側(cè)面積的計算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：S

?1=?2n?l=nrl

2

11.（2015?珠海）用半徑為12cm,圓心角為90。的扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不

計），則該圓錐底面圓的半徑為3cm.

考點：圓錐的計算.

分析：根據(jù)扇形的弧長等于圓錐的底面周長，利用扇形的弧長公式即可求得圓錐的底面周

長，然后根據(jù)圓的周長公式即可求解.

解答：解：圓錐的底面周長是：=6n

180

設(shè)圓錐底面圓的半徑是r，則2n=6兀

解得:r=3.

故答案是：3.

點評：本題考查了圓錐的計算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解

決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長.

12.（2015?徐州）用一個圓心角為90"半徑為4的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，該圓錐底面圓的半

鼠J_.

考點：圓錐的計算.

分析：正確理解圓錐側(cè)面與其展開得到的扇形的關(guān)系：圓錐的底面周長等于扇形的弧長.

解答：解：根據(jù)扇形的弧長公式『：：=—=2n

180180

設(shè)底面圓的半徑是r,

則2n=2nr

/?r=1.

故答案為：1.

點評：本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計算.解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住

兩者之間的兩個對應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底

面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長.正確對這兩個關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵.

13.（2015?孝感）已知圓錐的側(cè)面積等于60n靠

母線長10cm,則圓錐的圖是8cm.

考點：圓錐的計算.

專題：計算題.

分析：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等

于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形面積公式得到，?2總「?10=60

n解

得r=6，然后根據(jù)勾股定理計算圓錐的高.

解答：解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,

根據(jù)題意得’?2n?r?10=60n,

2

解得r=6,

所以圓錐的高=：：-8(cm).

故答案為8.

點評：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底

面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.

14.(2015?黑龍江)如圖，從直徑是2米的圓形鐵皮上

剪出一個圓心角是90的扇形ABC

(A、B、C三點在OO上)，將剪下來的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面圓的

半徑是匚米.

—4—

分析：圓的半徑為1，那么過圓心向AC引垂線，利用相應(yīng)的三角函數(shù)可得AC的一半的長度，進而

求得AC的長度，利用弧長公式可求得弧BC的長度，圓錐的底面圓的半徑=圓錐的弧長*2兀

解答：解：作ODLAC于點D，連接。A,

???/OAD=45'AC=2AD,

???AC=2(OA>Cos45=逅

.9071XV2_V2

...=n

1302

?圓錐的底面圓的半徑一二n+(2n)=空二.

24

故答案為：=:.

4

點評：本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計算.解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住

兩者之間的兩個對應(yīng)關(guān)系：(1)圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；(2)圓錐的底

面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長.正確對這兩個關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵.

15.（2015?大慶）底面直徑和高都是1的圓柱側(cè)面積為一.

考點：圓柱的計算.

分析：圓柱的側(cè)面積=底面周長稿.

解答：解：圓柱的底面周長=nX1=n

圓柱的側(cè)面積=底面周長稿=nXl=n

故答案是：n

點評：本題考查了圓柱的計算，熟記公式即可解答該題.

16.(2015?福州)一個工件，外部

是圓柱體，內(nèi)部凹槽是正方體，如圖所示，其中，正方體一個面的四個頂點都在圓柱底面的圓周上，

若圓柱底面周長為2ncm則正方體的體積為

2心cm3.

考點：圓柱的計算.

分析：作出該幾何體的俯視圖，然后確定底面圓的半徑，從而求得正方體的棱長，最后求得體

積.

解答：解：該幾何體的俯視圖如圖：

???圓柱底面周長為2ncm

…OA=OB=1cm,

???/AOB=90

?AB=：OA='",

?該正方體的體積為(「)3=2「，

故答案為：2點.

點評：本題考查了圓柱的計算，解題的關(guān)鍵是確定底面圓的半徑，這是確定正方體的棱長

的關(guān)鍵，難度不大.

17.(2015?嘉興)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,1),點P在線段0A上，以AP為半徑

的OP周長為1.點M從A開始沿0P按逆時針方向轉(zhuǎn)動，射線AM交x軸于

點N(n.0)，設(shè)點M轉(zhuǎn)過的路程為m(Ovmv1)

(1)當(dāng)m=■時>n=—1

4

1?

(2)隨著點M的轉(zhuǎn)動，當(dāng)。從?變化到時，點N相應(yīng)移動的路徑長為

考點：圓的綜合題；等腰三角形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.

分析：（1）當(dāng)m=】時，連接PM,如圖1，點M從點A繞著點P逆時針旋轉(zhuǎn)了一周的±,

44

從而可得到旋轉(zhuǎn)角/APM為90"根據(jù)PA=PM可得/PAM=ZPMA=45則有N0=A0=1,

即可得到n=-1;

（2）當(dāng)m從一變化到：時，點N相應(yīng)移動的路經(jīng)是一條線段，只需考慮始點和終點位置即

33

可解決問題.當(dāng)m「時，連接PM，如圖2，點M從點A繞著點P逆時針旋轉(zhuǎn)了一周的-,

33

從而可得到旋轉(zhuǎn)角為120'則/APM=120。,根據(jù)PA=PM可得/PAM=30'在RtAAON中

運用三角函數(shù)可求出ON的長；當(dāng)m=:時，連接PM,如圖3，點M從點A繞著點P逆時

3

針旋轉(zhuǎn)了一周的2,從而可得到旋轉(zhuǎn)角為240則/APM=120。,同理可求出ON的長，問

3

題得以解決.

解答：解：（1）當(dāng)01=時，連接PM，如圖1,

則有/APM=X360=90°.

4

?/PA=PM,???/PAM=ZPMA=45°???NO=AO=1,

?n=-1.

故答案為-1;

L)①當(dāng)口勺時，連接用，如圖2,

3

/APM±X360°=120°.

3

?/PA=PM,?/PAM=ZPMA=30°.

在RtAAON中，NO=AO?tan/OAN=1

/APM=360°-Ax360=120°,

3

同理可得：NO=

3

綜合①、②可得：點N相應(yīng)移動的路經(jīng)長為二+=-

333

故答案為一，

3

點評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)角、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識，若動點的運動路徑是一條

線段，常常可通過考慮臨界位置(動點的始點和終點)來解決.

18.(2015?舟山)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0.1),點P在線段0A上，

以AP為半徑的。P周長為1,點M從A開始沿。P按逆時針方向轉(zhuǎn)動，射線AM交x軸于點N(n,

0).設(shè)點M轉(zhuǎn)過的路程為m(0vmv1),隨著點M的轉(zhuǎn)動，當(dāng)m從變化到‘

33

時，點N相應(yīng)移動的路經(jīng)長為

0\X

考點：圓的綜合題；軌跡.

19

分析：當(dāng)m從〔變化到：時，點N相應(yīng)移動的路經(jīng)是一條線段，只需考慮始點和終點位置

■Jo

即可解決問題.當(dāng)三〕時，連接用，如圖；點"從點''繞著點「逆時針旋轉(zhuǎn)了一周的從而可得到旋轉(zhuǎn)角為

120。則/APM=120。,根據(jù)PA=PM可得/PAM=30。,在RtAAON中

運用三角函數(shù)可求出ON的長；當(dāng)m=:時，連接PM,如圖2，點M從點A繞著點P逆時

3

針旋轉(zhuǎn)了一周的，從而可得到旋轉(zhuǎn)角為240m/APM=120。,同理可求出ON的長，問

3

題得以解決.

解答：解：①當(dāng)m=?時，連接PM,如圖1,3

/APM=1X360=120°.

3

?/PA=PM,-/PAM=ZPMA=30°.

在RtAAON中，NO=AO?tan/OAN=lX,=

33

②當(dāng)m=■時，連接PhJ\，如圖2,

Ao\~

圖2

/APM=360°—_LX360=120°,

3

同理可得：N0=-：.

3

綜合①、②可得：點'相應(yīng)移動的路經(jīng)長為,=:故答案為點評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)角、等腰三角

形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識，若動點的運動路徑是一條線段，常?？赏ㄟ^考慮臨界位置（動點的始

點和終點）來解決.

19.（2015?南充）如圖，正方形ABCD的邊長為1，以AB為直徑作半圓，點P是CD中點，BP與

半圓交于點Q,連結(jié)PQ,給出如下結(jié)論：①DQ=1:②.」=；;③S仲OQ=:④cos

BQ28

/ADQ=：，其中正確結(jié)論是恒④（填寫序號）

考點：圓的綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；平行線分線段

成比例；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.

專題：推理填空題.

分析：①連接OQQD，如圖1.易證四邊形DOBP是平行四邊形，從而可得DO〃BP.結(jié)合

OQ=OB，可證到/AOD=ZQOD，從而證到AAODQOD，則有DQ=DA=1；

②連接AQ,如圖2,根據(jù)勾股定理可求出BP.易證RtAAQBsRtABCP,運用相似三角形的性質(zhì)可求

出BQ.從而求出PQ的值，就可得到的值；

BQ

③過點Q作QHJ_.DC于H，如圖3.易證APHQPCB，運用相似三角形的性質(zhì)可求出

QH■從而可求出SZDPQ的值；

④過點Q作QN，AD于N，如圖4?易得DP〃NQ//AB＞根據(jù)平行線分線段成比例可得

?"=「，」=，，把AN=1-DN代人，即可求出DN，然后在RtADNQ中運用三角函數(shù)的定義，

ANBQ2

就可求出cos/ADQ的值.

解答：解：正確結(jié)論是①②④.

提示：①連接OQ,OD,如圖1.

易證四邊形DOBP是平行四邊形，從而可得DO//BP.

結(jié)合OQ=OB，可證到/AOD=/QOD，從而證到△AODOQQOD,則有DQ=DA=1.

故①正確；

②連接AQ,如圖2.

運用相似三角形的性質(zhì)可求得BQ=

5

貝yPQ==

2A10

?:±;

BQ2

③過點Q作QH_LDC于H,如圖3.

易證APHQsAPCB,

運用相似三角形的性質(zhì)可求得QH=2

5

???SADPQ=——DP?QH=.I.XX=-,

故③錯誤；

④過點Q作QN_LAD于N，如圖4.

易得DP//NQ//AB,

根據(jù)平行線分線段成比例可得：rJ=：=：

AWBQ2

則有“產(chǎn)'，

1-DN2

解得：DN=；.

5

由DQ=1,得cos/ADQ=N=；.

DQ5

故④正確.

綜上所述：正確結(jié)論是①②④

故答案為：①②④.

點評：本題主要考查了圓周角定理'平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)'

全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、銳角

三角函數(shù)的定義'勾股定理等知識，綜合性比較強，常用相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)的

定義來建立等量關(guān)系，應(yīng)靈活運用.

二.解答題(共11小題)

20.(2015?永州)如圖，已知AABC內(nèi)接于OO,且AB=AC＞直徑AD交BC于點E,F是

OE上的一點，使CF〃BD.

⑴求證：BE=CE;

(2)試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由；

(3)若BC=8,AD=10,求CD的長

考點：垂徑定理：勾股定理；菱形的判定.

分析：⑴證明AABDACD，得到/BAD=/CAD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明；

(2)菱形，證明ABFECDE，得到BF=DC，可知四邊形BFCD是平行四邊形，易證BD=CD,可證

明結(jié)論；

(3)設(shè)DE=x，則根據(jù)CE2=DE?AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD.

解答：(1)證明：TAD是直徑，

???/ABD=/ACD=90°

在RtAABD和RtmCD中，

/AB=AC

\AD=AD'

?RtAABD也RtAACD,

???/BAD=/CAD,

?/AB=AC,

?BE=CE；

(2)四邊形BFCD是菱形.

證明：?…AD是直徑，AB=AC,

?AD±BC,BE=CE,

?/CF//BD,

?/FCE=/DBE,

在Z\BED和Z\CEF中

rZFCE：=ZDBE

“BE=CE，

ZBED=ZCEF=90"

???△BED@ZiCEF,

…CF=BD,

?四邊形BFCD是平行四邊形，

???/BAD=ZCAD,

?BD=CD,

?四邊形BFCD是菱形；

(3)角軍：TAD是直徑，AD±BC,BE=CE,

2

-CE=DE?AE.

設(shè)DE=x,

?/BC=8,AD=10,

?4=x(10-x),

解得：x=2或x=8(舍去)

在RtACED中，

e="dJ■-

點評：本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)：垂徑定理、圓周角定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，菱形的

判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，熟悉圓的有關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

21.(2015?煙臺)如圖，以AABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC,BC的交點分別為D、

E,且

(I)試判斷4ABC的形狀，并說明理由.

(2)已知半圓的半徑為5,BC=12,求sin/ABD的值.

考點：圓周角定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

專題：計算題.

分析：（1）連結(jié)AE,如圖，根據(jù)圓周角定理，由飛=牛得/DAE=/BAE，由AB為直徑得/

AEB=90,根據(jù)等腰三角形的判定方法即可得AABC為等腰三角形；

（2）由等腰三角形的性質(zhì)得BE=CE=「BC=6，再在RtAABE中利用勾股定理計算出AE=8,

2

接著由AB為直徑得到/ADB=90。，則可利用面積法計算出BD竺,然后在RtAABD中利用

5

勾股定理計算出AD"',再根據(jù)正弦的定義求解.

5

解答：解：（1）AABC為等腰三角形?理由如下：

連結(jié)AE＞如圖，

???/DAE=ZBAE，即AE平分/BAC,

?/AB為直徑，

???/AEB=90

?AE±BC.

?△ABC為等腰三角形；

(2)???△ABC為等腰三角形，AEJ_BC,

,BE=CE=BC=X12=6

22

在RtAABE中，TAB=10,BE=6,

?&〔T「二3

?/AB為直徑，

?/ADB=90

??二AE?BC=—BD?AC,

22

?BD===1；，

105

在RtAABD中，TAB=10,BD=_L；，

5

?AD4J「|小二，

n

?sin/ABD=n=A=

AB1025

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于

這條弧所對的圓心角的一半?推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，對的弦是90°勺圓周角所

直徑.也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理.

22.(2015?安徽)在00中，直徑AB=6,BC是弦，/ABC=300點P在BC上，點Q在OO上，

且OP，PQ.

(1)如圖1,當(dāng)PQ〃AB時■求PQ的長度；

(2)如圖2,當(dāng)點P在BC上移動時，求PQ長的最大值.

考點：圓周角定理；勾股定理；解直角三角形.

專題：計算題.

分析：。)連結(jié)OQ，如圖1,由PQ/AB.OP±PQ得至IJOP_LAB,在RtAOBP中，利用正切定

義可計算出OP=3tan3(T=二，然后在RMOPQ中利用勾股定理可計算出PQ=二；

(2)連結(jié)0Q.如圖2，在Rt八OPQ中，根據(jù)勾股定理得到PQ=[|，則當(dāng)0P的長

最小時，PQ的長最大，根據(jù)垂線段最短得到OPJ_BC,則0P=,0B=：，所以PQ長的最大

值=2^

2

解答：解：(1)連結(jié)。0，如圖1,

?/PQ//AB,0P±PQ,

???OP±AB,

np

在RtAOBP中，…tan/B=—,

?OP=3tan30徒，

在RtAOPQ中，T。「=二，0Q=3,

??「：i]'=S

(2)連結(jié)OQ，如圖2,

在RtAOPQ中,PQ=『「-

當(dāng)OP的長最小時，PQ的長最大，

13

此時OP_LBC,貝UOP=OB=,,

?PQ長的最大值為‘I二’

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于

這條弧所對的圓心角的一半,也考查了勾股定理和解直角三角形.

23.(2015?無錫)已知：如圖，AB為OO的直徑，點C、D在00上，且BC=6cm,AC=8cm,/

ABD=45°.(1)求BD的長；

(2)求圖中陰影部分的面積.

考點：圓周角定理；勾股定理；扇形面積的計算.

分析：(1)由人8為OO的直徑，得到/ACB=90。,由勾股定理求得AB,OB=5cm.連

OD，得到等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)S映=Sa^-SAOBD即可得到結(jié)論.

解答：解：(1)AB為0。的直徑，

???/ACB=90°

■/BC=6cm,AC=8cm,

?AB=10cm.

?0B=5cm.

連OD,

?/OD=OB,

?/ODB=ZABD=45°.

?/BOD=90°.

?即=「J二-廠二二5■:cm.

(2)S陽影=S儂陰—SSBD=nn?52—■X5X5='cm2.

3602/

C

點評：本題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積，三角形

的面積，連接0D構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

24.(2015?德州)如圖，00的半徑為1,A,P,B,C是OO上的四個點，/APC=/CPB=60

(1)判斷AABC的形狀：等邊三角形

(2)試探究線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)當(dāng)點P位于小的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積.

考點：圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理.

分析：f1)利用圓周角定理可得/BAC=ZCPB>/ABC=ZAPC-而/APC=ZCPB=60

所以/BAC=ZABC=60。,從而可判斷AABC的形狀；

(2)在PC上截取PD=APJUMPD是等邊三角形，然后證明AAPBADC，證明BP=CD,即可證

得；

(3)過點P作PE，AB,垂足為E,過點C作CF_LAB，垂足為F，把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為

兩個三角形的面積進行計算，當(dāng)點P為小的中點時，PE+CF=PC從而得出最大面積.

解答：證明：(1)AABC是等邊三角形.

證明如下：在O。中

???/BAC與/CPB是；所對的圓周角，/ABC與/APC是「所對的圓周角，

???/BAC=ZCPB,ZABC=ZAPC,

又…/APC=ZCPB=60°,

???/ABC=ZBAC=60°

?△ABC為等邊三角形；

(2)在PC上截取PD=AP，如圖1,

又???/APC=60

?△APD是等邊三角形，

-AD=AP=PD，/ADP=60°JP/ADC=120°,又…/APB=ZAPC+ZBPC=120。，

???/ADC=ZAPB,

在AAPB和AADC中，

'ZAPD-ZADC

?ZABP-ZACP,

[AP二AD

?△APB?ZiADC(AAS),

?BP=CD,

又PD=AP,

…CP=BP+AP;

(3)當(dāng)點P為：I的中點時，四邊形APBC的面積最大.

理由如下，如圖2,過點P作PEJ.AB，垂足為E.過點C作CFJ_AB,垂足為F.

TS*E=AB?PE,SAABC=AB?CF,

:■:

,Hair；APBC=AB?(PE+CF),

2

當(dāng)點P為二，的中點時，PE+CF=PC,PC為OO的直徑，

?此時四邊形APBC的面積最大.

又TO。的半徑為1,

???其內(nèi)接正三角形的邊長AB=7,

,S網(wǎng)邊彩APBC=X2X==二.

2

圖1

點評：本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的面積公式以及三角形的全等

的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，證明AAPBADC是關(guān)鍵.

25.(2015?濱州)如圖，00的直徑AB的長為10,弦AC的長為5,/ACB的平分線交

0。于點D.

(1)求H的長.

(2)求弦BD的長.

考點：四周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧長的計算.

%