葫蘆島市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二年級上冊期末考試試題含解析

葫蘆島市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖，在四面體O—ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,。為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，則OE可用向量

〉。7表示為()

]-171-]-171-

A.—ct~\—b~\—cB.-ci-\—b~\—c

222244

]-171-1-1-1f

C.—a+—b+—cD.一ci~\—b~\—c

424442

2.日常飲用水通常都是經(jīng)過凈化的，隨若水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加.已知"水凈化到純凈度為九％時(shí)

4000

所需費(fèi)用(單位：元)為c(x)=(80<x<100).那么凈化到純凈度為95%時(shí)所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是()

100-X

元/t.

A.120B.160

C.-160D.-100

22

3.已知圓。1：/+丫2=〃和橢圓。2：=+與=1(?！?〉0).直線y=履與圓G交于A、A兩點(diǎn)，與橢圓。2交于

ab

OB

B、81兩點(diǎn).若上eH時(shí),的取值范圍是(1,2],則橢圓的離心率為()

OA

,1

A.一RD叵.---

22

3

---D.-

24

4.若等軸雙曲線C過點(diǎn)（1,3），則雙曲線C的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為（）

B.V2

C忑D.2

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的T的值為;，則輸入的f的值可能為。

A.96B.97

C.98D.99

6.已知雙曲線￡的漸近線為y=±2x,則其離心率為（）

A.75B.占

2

C.2D.4或逐

7.與向量a=平行，且經(jīng)過點(diǎn)（4,-4）的直線方程為（）

236220

A.y=—x---B.y=——x------

7777

7°7

C.y——x—18D.y=——％+10

22

22

8.雙曲線C：土—匕=1的實(shí)軸長為（）

24

A.2&B.72

C.4D.2

9.已知尤>0,y>0,若2x+y=8孫，則孫的最小值是。

A.巫B.正

42

11

c.一D.-

84

10.命題“若X>1,則無>?！钡姆衩}是（）

A.若%>1,則％W0B.若xWl,則％(0

C.若則％<0D.若％21,則x<0

11.已知橢圓C的焦點(diǎn)為耳（—1,0）,B（L0）,過獨(dú)的直線與。交于A,5兩點(diǎn).若|A川=2|工間，|Aa二|3耳|,

則。的方程為

222

A.—+y2=1

232

2222

。土+匕=1D.土+匕=1

4354

12.等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為％前〃項(xiàng)積為力%-4=6,。5-。3=12,當(dāng)（S+正最小時(shí),〃的值為（）

A.3B.4

C.5D.6

填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若方程/+/一2%-2y+左=0表示的曲線是圓，則實(shí)數(shù)的左取值范圍是.

22

14.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、5分別是雙曲線C:二-2=1的左、右頂點(diǎn)，M是雙曲線。上不同于A、5的動點(diǎn),

43

直線AM、與y軸分別交于點(diǎn)尸、Q兩點(diǎn)，貝!印|。。|=

15.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù).他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多

類，下圖中第一行的1,3,6,10稱為三角形數(shù)，第二行的1,5,12,22稱為五邊形數(shù)，則三角形數(shù)的第10項(xiàng)為.

五邊形數(shù)的第"項(xiàng)為

16.并且傾斜角是直線y=6x的傾斜角的2倍，則直線I的方程為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知二項(xiàng)式，x+十］的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和比各項(xiàng)系數(shù)之和小240.求:

（1）〃的值；

（2）展開式中x項(xiàng)的系數(shù)；

（3）展開式中所有含x的有理項(xiàng)

18.（12分）平行六面體A3CD—A6'CZ>',

（1）若AB=4,AD=3,A4'=3,ZBAD=90°,ZBAA=60°,ZDAA=60°,求AC'長；

（2）若以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為2,且它們彼此的夾角都是60°,則AC與所成角的余弦值

19.（12分）已知公差不為。的等差數(shù)列｛4｝,前“項(xiàng)和為S”，首項(xiàng)為q=2,且%+1,%+L%+1成等比數(shù)列?

（1）求4和S.；

（2）設(shè)以=（一1）"%+1,記雹=4+與++bn,求&

20.（12分）在等差數(shù)列｛?！埃?，a2+a6=-20,前10項(xiàng)和%=—145

（1）求列｛為｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛4+2｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，求｛包｝的前8項(xiàng)和

21.（12分）如圖，四棱錐P-ABC。的底面是正方形，平面B鉆，平面A3CD,P3=A3,E為的中點(diǎn)

（1）若N尸54=60。，證明：AErPDx

（2）求直線AE與平面PA。所成角的余弦值的取值范圍

22.（10分）某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200,預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長率為8%,且每年年底賣出100頭牛，設(shè)

牧場從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為生,%…?（參考數(shù)據(jù)：1.08屋1.8509，1.089?1.9990,

1.0810-2.1589.）

（1）寫出一個遞推公式，表示。用與耳之間的關(guān)系；

（2）將（1）中的遞推關(guān)系表示成a,,”一女=「（。“—左）的形式，其中左，r為常數(shù)；

（3）求S9=4+g+。3+-+49的值（精確到1）.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】利用空間向量的基本定理，用a,b-c表示向量OE

【詳解】因?yàn)?。是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，

OD=-（OB+OC）,OE=-（OA+OD）=-OA+-（OB+OC）=-a+-b+-c

2224244

故選：B

2、B

【解析】由題意求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后令尤=95即可求解

【詳解】因?yàn)閏(x)=400°(80<x<100),

100—x

40004000

所以d(x)=(.100-2―

(100-x)2

4000

貝!|c'(95)==160,

(100-95)2

故選：B

3、C

【解析】由題設(shè)，根據(jù)圓與橢圓的對稱性，假設(shè)在第一象限可得\O忌B\e（l,a—],結(jié)合已知有a7=2,進(jìn)而求橢圓

\OA\bb

C2的離心率.

【詳解】由題設(shè),圓與橢圓的如下圖示:

又Ze火時(shí)，在的取值范圍是（1,2],結(jié)合圓與橢圓的對稱性，不妨假設(shè)A3在第一象限,

...左從0逐漸增大至無窮大時(shí)，-OJB\e（la,-],故a7=2,

OA|bb

.cyja2-b2A/3

??e——=-----=—

aa2

故選：C.

4、A

【解析】先求出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，再求頂點(diǎn)到其漸近線的距離.

【詳解】設(shè)等軸雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為―一丁2=左化#0）,

因?yàn)辄c(diǎn)（1,6）在雙曲線上，所以F—（若『=左，解得左=—2,

22

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=

22

故上頂點(diǎn)(o,、歷)到其一條漸近線y=X的距離為d

故選：A

5、D

【解析】根據(jù)程序框圖得出T的變換規(guī)律后求解

2

【詳解】當(dāng)r=l時(shí)，7；=---1=-3,

1-2

當(dāng)/=2時(shí),T=--——1=--,

221-(-3)2

721

當(dāng)/=3時(shí),

T=-l=2

當(dāng)好4時(shí),4

1--'

3

可得輸出的T關(guān)于t的變換周期為4,而99=3+4x24,故，=99時(shí)，輸出T的值為

3

故選:D

6、D

【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程與漸近線的關(guān)系即可求解.

b

【詳解】當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，漸近線為y=±-X,故離心率為

a

叵,

當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，漸近線為y=±-x故離心率為

b92

故選：D.

7、A

【解析】利用點(diǎn)斜式求得直線方程.

【詳解】依題意可知，所求直線的斜率為方2，

所以所求直線方程為丁+4=^(%—4),即丁=^工—T

故選：A

8、A

【解析】根據(jù)雙曲線的幾何意義即可得到結(jié)果.

2222

【詳解】因?yàn)殡p曲線會-%=1的實(shí)軸長為2”，而雙曲線'—亍=1中，儲=2,所以其實(shí)軸長為2&

故選：A

9、C

【解析】對2x+y使用基本不等式，這樣得到關(guān)于孫的不等式，解出孫的最小值

【詳解】因?yàn)橛龋?,y＞0,由基本不等式得：2%+'22，而，所以8肛221而，解得：孫2：,當(dāng)且僅當(dāng)2x=y,

8

即X=L,y=L時(shí)，等號成立

4-2

故選：C

10、B

【解析】根據(jù)原命題的否命題是條件結(jié)論都要否定

【詳解】解：因?yàn)樵}的否命題是條件結(jié)論都要否定

所以命題''若尤＞1,則無＞0”的否命題是若xKl,則無＜0；

故選：B

11、B

【解析】由已知可設(shè)怩到=〃，則閭=2〃，忸￡|=|AB|=3〃，得|的|=2〃，在中求得cosN耳=；,

再在△4片月中，由余弦定理得〃=且，從而可求解.

2

【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)同同=〃,^\AF^=2n,\BF^=\AE\=3n,由橢圓的定義有

2a=\BF\+\BF^=An,:.\AF^=2a-\AF^=2n.在中，由余弦定理推論得

+9n9n

cosZFAB=^'-'=1.在△4片居中，由余弦定理得4/+4〃2—2?2〃?2〃2=4,解得〃=且

2?2n-3〃332

_22

2a=4〃=2A/3,:.a=,/.b2=a2—c1=3—1=2,.,.所求橢圓方程為――+=1,故選B

32

法二：由已知可設(shè)出3卜〃，則|A閭=2〃，忸娟=|A@=3〃，由橢圓的定義有

2〃=忸耳|+忸引=4〃，=2a—^AF2^=2n.在耳鳥和△BFJg中，由余弦定理得

4〃2+4—2?2〃?2?cos/AFF=4”？

221',又NA鳥耳，/8鳥耳互補(bǔ)，.?.cosNAEG+cosNB6片=0,兩式消去

+4-2?〃?2?cos/BF2K=9n2

cosNA名片，cosNB月耳，得3/+6=11"2，解得

n=./.2a—4〃=2^/^,a=A/3,/.b2=a2—c2=3—1=2,.'.所求橢圓方程為+-^―=1,故選B

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏

輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)

12、B

rr'"2一8〃

【解析】根據(jù)等比數(shù)列相關(guān)計(jì)算得到q=2,4=1,進(jìn)而求出S〃與7“，代入后得到—一=22,利用指數(shù)函

⑸+于

數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性得到當(dāng)〃=4時(shí)，取得最小值.

2

3

【詳解】顯然4由題意得：a?(/T)=6,a2q-a2q=12,兩式相除得：q=2,將4=2代入?一1)=6,

___.—1-2"n(n-l)

解得：出=2,所以4=1,所以s,=工了=2"-1,=1X2X22X23Xx2”T-2一1，所以

T22rr—^>n

—J=^^=2丁，其中y=2'單調(diào)遞增，所以當(dāng)九=4時(shí),七二網(wǎng)取得最小值.

(S,+l)52萬

故選:B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13-.(-8,2)

【解析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件求解

【詳解】由題意(—2)2+(—2)2—4女〉O,k<2

故答案為：(-°0,2)

14、3

【解析】求得A3坐標(biāo)，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo),求得直線AM,BM的方程，由此求得P,Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo),進(jìn)而求得|。耳?.

【詳解】依題意A(-2,0),5(2,0),

設(shè)〃（％為），則手-。=1片-44端

直線AM的方程為>=』7a+2）,則%=衛(wèi)、，

x0+2x0+2

直線aW的方程為y=』7（x—2）,則均=二當(dāng)，

x0-2玉）一2

所以|。斗|02,含，裳,3.

故答案為：3

15、①.55②.

2

【解析】對于三角形數(shù)，根據(jù)圖形尋找前后之間的關(guān)系，從而歸納出規(guī)律利用求和公式即得，對于五邊形數(shù)根據(jù)圖形

尋找前后之間的關(guān)系，然后利用累加法可得通項(xiàng)公式.

【詳解】由題可知三角形數(shù)的第1項(xiàng)為1,第2項(xiàng)為3=1+2,第3項(xiàng)為6=1+2+3,第4項(xiàng)為10=1+2+3+4,L,因此，

第10項(xiàng)為1+2+3++10=10x（1+10）=55；

2

五邊形數(shù)的第1項(xiàng)為4=1,第2項(xiàng)為2=5,第3項(xiàng)為%=12,第4項(xiàng)為%=22,…，因此，a.-4=3"+1,

所以當(dāng)時(shí)，％=q+（%_q）+（%—%）++（?！╛。〃一1）

=1+4+7++（3〃-2）---------————,

3〃2—n3/—

當(dāng)〃=1時(shí)也適合，故氏=37，即五邊形數(shù)的第〃項(xiàng)為號3n.

故答案為：55；叱三.

2

16、y=-y/3x

【解析】先求出直線y=Gx傾斜角，從而可求得直線/的傾斜角，則可求出直線/的斜率，進(jìn)而可求出直線/的方

程

【詳解】因?yàn)橹本€>=&的斜率為6,

所以直線y=6x的傾斜角為(，

所以直線/的傾斜角為日，

所以直線I的斜率為tan—=-石，

3

因?yàn)橹本€/經(jīng)過網(wǎng)6-3),

所以直線/的方程為y+3=—有(x—百)，即丁=—氐，

故答案為：y=—>/3x

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)4(2)54

(3)第1項(xiàng)81/,第3項(xiàng)54x,第5項(xiàng)一

【解析】(1)由題可得2"+240=4",解方程即得；

(2)利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，即得；

3

(3)利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令4-一reZ,即求

2

【小問1詳解】

由已知，得2"+240=4",即(2"『一2"-240=0,

所以2"=16或2"=—15(舍)，

/.n=4

【小問2詳解】

設(shè)展開式的第廠+1項(xiàng)為心=C：(3x)jj=3?等

3

令4—r=l,得r=2,

2

則含X項(xiàng)的系數(shù)為32=54

【小問3詳解】

3

由(2)可知，令4——rGZ,則有廠二0,2,4,

2

所以含X的有理項(xiàng)為第1項(xiàng)81/,第3項(xiàng)54%,第5項(xiàng)%-2

18、(1)底;

⑵近

6

【解析】⑴由AC=AB+AD+AA'，可得=|AB|2+|AD|2+\AA'^+2AB-AD+2AB-AA'+2AD-AA',

再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出；

⑵以A3,AD,AA為一組基底，設(shè)AC與所成的角為氏由cos?=cos（AC,3。）

【小問1詳解】

uuuuum9

AB-AD=Q>AB-AAf=4x3xcos60=6?ADAA=3x3xcos60=-,

AC'=AB+AD+A4'，

...=\ABI2+|ADI2+|AA,|2+2AB-AD+2AB-A4'+2AD-AA'

=16+9+9+0+12+9=55,

.-.|AC|=^；

【小問2詳解】

,?*AC=AB+AD>BD'AD'-AB=AA1+AD-AB

:.ACBD'=^AB+ADy^AA'+AD-AB^ABAA'-^AB^+ADAA'+^AD^=2x2x2xcos60=4,

V|AC|2=|AB+AD|2=|AB|2+2AB-AD+|AD|2=22+2X2X2XCOS60+22=12,

A\AC\=2百，

V|BD,|2=\AA+AD-AB\=|A4,|2+|AD|2+|AB|2+IAA-AD-2AA,-AB-2AD-AB

=3X22-2X2X2XCOS60=8,.,.即］=2應(yīng)，

|AC-5^1\/6

設(shè)AC與5。所成的角為e,則cosecos(AC,

國,町252正

._/<、-3〃+〃

19、(1)an—3n—1,Sn=-

-葉為奇數(shù)

2

⑵4=5

三,〃eN*,〃為偶數(shù)

I2

【解析】(1)由題意解得等差數(shù)列｛%｝的公差d,代入公式即可求得a“和S“；

(2)把“分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，分別去數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和Tn.

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為2,由題有(出+以=(4+1)(%+1)，

即3+3>=3(32+3),解之得。=3或o,又d±G,所以4=3,

訴NJ1'/a1c(4+4)〃3/+〃

所以a,=%+^n-l)a=3n-l,Sn=-----?=——-—?

【小問2詳解】

%=(T)%+1=(T)"(3〃T)+1，

當(dāng)〃為正奇數(shù)，(―l)"a”+(—1)"+7向=—(3〃—1)+3(〃+1)—1=3,

4=4+2++燈=(-4+%)+(-%+%)++(.~an-2+an-l)~an+n

々〃

=3x-n-1(g3〃—1)+,九=—+]

當(dāng)〃為正偶數(shù)，Tn=b｛+b2++/?〃=(一6+?)+(—/+4)++(—%一1+%)+〃=3x,+〃=-^-,

七N*,n為奇數(shù)

2

初，及cN*,n為偶數(shù)

2

20、(1)an=-3n+2.(2)347.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,解方程組＜

(2)先求出d=2"T+3〃-2,再分組求和得解.

【詳解】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

4+4=2%+6d——20,

則

Si。=lOtZj+45d=—145.

n——]

解得1，所以%=%+(n-l)tZ=-3n+2

d——3.

(2)由題意，%+b〃=lx2〃T=2〃T,所以2=2力+3幾—2

所以｛2｝的前8項(xiàng)和為(1+2+2?+…+27)+(l+4+7+…+22)=1^_+^^^=255+92=347

21、(1)證明見解析；

⑵[T-1]-

【解析】(1)取AB的中點(diǎn)F,連接力7,。7.先證明P尸，AE,DF±AE,即證隹，平面PD尸，原題即得證;

(2)分別取以,尸。的中點(diǎn)G,H,連接AH,證明NE4H為直線AE與平面上4。所成的角，設(shè)正方形ABC。的

/2_L1

邊長為1,R4=x(0<x<2),在Rf_AHE中,cosZEAH=^-=AVR,即得解.

AEy/5

【小問1詳解】

解：取A3的中點(diǎn)F,連接比；

因?yàn)镻5=AB,/PR4=60°,則為正三角形，所以

因?yàn)槠矫嫔香@，平面ABC。，則PF，平面ABC。

因?yàn)锳Eu平面ABC。，則/用，AE.①

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為正方形，E為BC的中點(diǎn)，則

RtDAF^RtABE,所以NADF=NB4石，

從而ZADF+NEAD=ZBAE+NEAD=/BAD=90°,

所以DFLAE.②

又PF。尸=尸,尸”。尸u平面PDF,

結(jié)合①②知，AEL平面PDF,所以AELPD

【小問2詳解】

解：分別取叢金。的中點(diǎn)G,H,則GH〃AD,GH=-AD