福建省漳州市高三畢業(yè)班第二次質量檢測數(shù)學試題

漳州市2024屆高三畢業(yè)班第二次質量檢測

數(shù)學試題

本試題卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

考生注意：

1.答題前，考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號、姓名.考生要認真核

對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，用0.5mm黑色簽字筆將答

案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1,已知集合A,8,若4=卜|1。84心1},且A8=（0,3],則集合B可以為（）

A.{y|y=A/3-X}B.{x[y=J3-x}C.lx\2'<8）D.xX<0>

iIx—3

【答案】B

【解析】

【分析】計算求得集合A,根據(jù)選項計算求得集合由A3=（0,3],依次判斷即可.

【詳解】因為log4X<l,所以0<xW4,所以集合A=（0,4].

對于A選項，3={y|y=JE}=[0,+s）,則A8H（0,3],所以A選項不合題意；

對于B選項，B={x\y=y/3-x）=（-co,3],則A3=（0,3],所以B選項符合題意；

對于C選項，B={x|2l<8}=（-w,3）,則A5^（0,3],所以C選項不合題意；

xX—3H0,

對于D選項，不等式——W0等價于（、解得8=[0,3）,則A5^（0,3],所以D選項不合

x-33）<0,

題意.

故選:B.

2.若三。€[0,+8）,COS1<7〃為真命題，則實數(shù)加的取值范圍為（）

A.m>lB.加>1C.m>—\D.m>—1

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可知，只需7〃>(COSa)min即可.

【詳解】若三。e［0,+?),cosa<7〃為真命題，則根〉(cosa)min.

因為cos(Z在［0,+00)上的最小值為-1,所以加>—1,

故選：D.

3.已知向量a=(—1,根)，向量人=(",—2),向量c=(LD,若a與〃共線，匕10,則()

A.m=-lB.n=—2

C.m+n=3D.m—n=l

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量共線以及垂直的坐標表示，列出關于機,〃的方程組，求解即可.

【詳解】因為d與匕共線，所以(-l)x(—2)—加〃=0,解得癡=2.

又b，c，所以〃xl+(—2)xl=0,解得”=2,所以%=1,所以和+“=3.

故選：C.

4.公元656年，唐代李淳風注《九章》時提到祖迪的“開立圓術”.祖胞在求球的體積時，使用一個原

理：“累勢既同，則積不容異”.“累”是截面積，“勢”是立體的高，意思是兩個同高的立體，如在等高

處的截面積相等，則體積相等.更詳細點說就是，介于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩個

平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等.上述原理在中國被稱為“祖迪原

理”.3D打印技術發(fā)展至今，已經(jīng)能夠滿足少量個性化的打印需求，現(xiàn)在用3D打印技術打印了一個“睡

美人城堡”.如圖，其在高度為九的水平截面的面積S可以近似用函數(shù)5(3=無(9-4,人?0,9］擬合,

則該“睡美人城堡”的體積約為()

A.27兀B.817CC.10871D.243兀

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)祖瞄原理知，該“睡美人城堡”的體積與一個底面圓半徑為9,高為9的圓錐的體積近似相等，

利用錐體的體積公式可求得該“睡美人城堡”的體積.

【詳解】如下圖所示：

圓錐PO的高和底面半徑為9,平行于圓錐P0底面的截面角圓錐P0的母線PB于點C,

設截面圓圓心為點O',且則=OO'=9—力，

易知△PO'Cs△尸03,貝|］上PO'=匕O'）C，即9Z_-h=匕O'匕C，可得。c=9—為，

PO0B99

所以，截面圓圓。的半徑為9一"，圓O'的面積為兀（9一人）2,

又因為S（/z）=兀（9—域,

根據(jù)祖迪原理知，該“睡美人城堡”的體積與一個底面圓半徑為9,

高為9的圓錐的體積近似相等，

1,

所以該“睡美人城堡”的體積約為一X兀義92><9=243兀，

3

故選：D.

5.甲、乙兩名大學生利用假期時間參加社會實踐活動，可以從A,B,C,。四個社區(qū)中隨機選擇一個

社區(qū)，設事件加為“甲和乙至少一人選擇了A社區(qū)"，事件N為“甲和乙選擇的社區(qū)不相同”，則

P（N\M）=（）

5675

A.-B.-C.-D.一

6789

【答案】B

【解析】

【分析】由古典概型、條件概率計算公式即可得解.

【詳解】甲、乙兩名大學生從四個社區(qū)中隨機選擇一個社區(qū)的情況共有42=16（種），

事件/發(fā)生的情況共有16-32=7（種），事件"和事件N同時發(fā)生的情況共有6種,

6

所以。3也）=爺篝=3=：.

16

故選：B.

137r一八

6.若銳角。滿足百cos2，-&sin=0,則cos—+26>)

、2V2c1DV3

3333

【答案】A

【解析】

【分析】借助三角恒等變換公式化簡原式計算可得cose-sinJ=3,結合二倍角的正弦公式與誘導公式計

3

算即可得.

【詳解】13A/3COS20—yflsin—，]=0,

所以石(cos?6,-sin2e)-(cose+sin。)=0,

即[指(cos0-sin8)-1](cos8+sin8)=0,

解得cos6-sin9=或cos0+sine=0,

3

又。為銳角，所以cos"sine=q,貝u(cos"sin8)2=L

12

即1—sin26=—,解得sin20=W,

33

所以cos[^^+2〃]=-sin2〃=-g.

故選：A.

7.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，等比數(shù)列抄"｝的公比與｛4｝的公差均為2,且滿足仇=4+1,

4=4+1，則使得b6>Sn成立的n的最大值為()

A.6B.7C,8D.9

【答案】B

【解析】

【分析】先求得q，4由此求得%,由此解不等式包＞5“，求得正確答案.

【詳解】由題意得。4=%+6,4=4仇.

又仿=1+1,b3-a4+l,所以a1+7=4(4+1),解得4=1，

所以仇=2,所以a=2",an=2n-l,所以S,=〃2.

若《〉S"，則64＞川.又〃eN*，則〃的最大值為7,

故選：B.

Inx—,%＞0

8.已知函數(shù)/(%)=：x,則函數(shù)g(x)=/(/(%)T)的零點個數(shù)為()

—|x+1|+1,%0

A.3B.5C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】令/(%)—1=，，求出方程/⑺=0的根，再結合圖象求出/(x)=f+l的解的個數(shù)即可.

【詳解】依題意，函數(shù)g(x)=/(/(x)—1)零點的個數(shù)，即為方程了(/(X)—1)=。解的個數(shù)，

令=則/(。=0,當/>0時，lnf-1=0,令/z?)=ln/-L/>0,

tt

函數(shù)y=In/,y=—；在(0,+s)上單調(diào)遞增，于是函數(shù)h(t)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又力(1)=-1<0,A(e)=l-->0,則存在%e(l,e),使得/78)=0；

e

當，<0時，—上+1|+1=。，解得，=0或—2,

Inx--,%>0

作函數(shù)了(%)=《%的大致圖象，如圖：

—1%+1|+1,

又/(%)—1=/,則/(%)=/+1,

當/=0時，/。)=1,由y=/(x)的圖象知，方程/(x)=l有兩個解；

當/=—2時，/(幻=-1,由y=/(x)的圖象知，方程/(%)=-1有兩個解；

當/=%,%e(l,e)時，/(%)=。+1,由y=/(x)的圖象知，方程/(x)=%+1有一個解，

綜上所述，函數(shù)g(?=/(/(x)-1)的零點個數(shù)為5.

故選：B

【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出人尤)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)7U)

的圖象，觀察與X軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它

們的公共點個數(shù).

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知直線/經(jīng)過拋物線C:y2=2px(0>O)的焦點，且與。交于A,B兩點，以線段A3為直徑的1。與

C的準線相切于點尸(-2,-1)，則()

A.直線/的方程為4x+y-8=0B.點。的坐標為1]

_17

C.。的周長為萬兀D.直線4x+2y+9=0與c。相切

【答案】AC

【解析】

【分析】A選項，根據(jù)題意得到拋物線方程，設出直線/的方程x=次+2,聯(lián)立拋物線方程，得到兩

根之和，兩根之積，根據(jù)=0列出方程，求出/=-1，得到直線方程；B選項，求出點。的縱坐

4

17

標為-1,從而代入4x+y-8=0求出橫坐標，得到B正確；C選項，由焦點弦公式得至川=萬，求出

。的半徑和周長；D選項，利用圓心到直線距離公式和半徑相比，得到答案.

【詳解】A選項，依題意，拋物線C的準線方程為x=—2,即x=—3=—2,所以p=4,

2

即拋物線C的方程為y2=8x,則拋物線C的焦點為(2,0).

設直線/方程為x=iy+2,4(%,%)，5(%2，%)，

聯(lián)立《2,消去無整理得83—16=0,A=64/+64>0恒成立，

y=8羽

則%+%=阮%%=-16,

則=M％+%)+4=8/+4,=4,

又因為線段A5為。的直徑，。與。的準線相切于點尸(-2,-1),

所以AP,BP=(―2-石,-1—%)?(—2-9,—1—%)

=(2+%)(2+/)+(1+%)。+%)=。,

整理得4+2(%+/)+%々+1+%+%+%%=0，

即4+2(8廠+4)+4+1+8f—16=0,

即(期+1)2=0,解得。=一工，所以直線/的方程為4x+y—8=0,所以A正確；

4

B選項，因為OP垂直于準線，且尸(-2,-1),所以點。的縱坐標為T,

9

代入直線/的方程4x+y—8=0,即4x—1—8=0,解得x=—,

4

可得點所以B錯誤；

1717

C選項，根據(jù)拋物線的定義可得|43|二%+%2+4=5，所以。。的半徑為了，

17

所以。的周長為一兀，所以C選項正確；

2

9

4x--2+9

D選項，圓心。1到直線4x+2y+9=0的距離為48亞17,

=----<——

2石54

所以直線4x+2y+9=0與〔。相交，不相切，所以D錯誤.

故選：AC.

【點睛】結論點睛：拋物線的相關結論，

(1)V=2px中，過焦點P的直線與拋物線交于A,3兩點，則以4尸,6尸為直徑的圓與y軸相切，以

A5為直徑的圓與準線相切；

(2)好=2。》中，過焦點P的直線與拋物線交于A3兩點，則以4尸,5尸為直徑的圓與x軸相切，以

AB為直徑的圓與準線相切.

10.關于函數(shù)/(x)=J5sin17—的圖象與性質，下列說法正確的是()

5兀

A.%=——是函數(shù)/(九)圖象的一條對稱軸

2

B.、刀］是函數(shù)Ax)圖象的一個對稱中心

I-XJT

C.將函數(shù)y=&cos5的圖象向右平移,個單位長度可得到函數(shù)y=/(x)的圖象

D.當xe(0,2兀)時，/(x)e(-l,l)

【答案】ABC

【解析】

【分析】由正弦型函數(shù)的解析式判定函數(shù)的相關性質時，一般先將相位角。尤+。中的。化成正值，再將其

看成整體角z,最后結合正弦函數(shù)y=sinz的圖象的相關性質判斷即得.

【詳解】/(x)=V2sin1j=-72sin

XTT5JTSir

對于A項，令------=k7i+~,kwZ,則x=2E+—,左eZ,當左=0時，x=—,

24222

5兀

所以x=—是函數(shù)，(幻圖象的一條對稱軸，故A項正確；

2

對于B項，令------=kit,keZ,則％=---,keZ,當左二—1時，x——,

2422

所以一5'°是函數(shù),⑺圖象的一個對稱中心，故B項正確;

顯然將函數(shù)y=V2cos|的圖象向右平移:個單位長度可得到函數(shù)y=V2cos的圖象，即函

數(shù)人力的圖象，故C項正確;

對于D項，/(x)=&sin+一￡當xe(0,2兀)時，'9-：卓

結合正弦函數(shù)的圖像可知函數(shù)"X)的值域為(-L&],故D項錯誤.

故選:ABC.

11.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為"，若q=%=4,且對V"之2,”6曰都有40-凡_])=,+1，則

()

A.⑸―2Sa｝等比數(shù)列B.$6=128

4,〃=1[4,n=1

C.0二〈￡*D.(=〈*

”[2n+1-4,H>2,neN”[2,l,n>2,neN

【答案】BD

【解析】

【分析】由邑一21=0可判斷A選項；推導出S"=2S,i(〃22,"eN*),可知數(shù)列⑸｝為等比數(shù)列，確

定該數(shù)列的首項和公比，可求出數(shù)列｛S,｝的通項公式，可判斷B選項；由4與S”的關系求出數(shù)列｛4｝的

通項公式，可判斷D選項.

【詳解】因為S2—2S]=(4+—2<2[=4x2—2x4=0,

所以｛S“—2S,i｝不是等比數(shù)列，所以A選項錯誤；

由46-S〃T)=S“+i，得S.+]-2S“=2Sn-4S〃T=26,n>2,neN*，

以及§2-251=0,可得S3-252=0,S4-2S3=0,L,

以此類推可知，S〃—2S“T=0（〃22,〃eN*）,則S“=2S,i（〃22,〃eN*）,

又H=4=4,所以數(shù)列｛S“｝是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以S"=4x2"T=2向，所以§6=26M=27=128,所以B選項正確；

n+1nn

當〃22時，an=Sn-Sn_,=2-2=2,

f4,n=1

當”=1時，q=Si=4,q=4不滿足a“=20,故cz-，

2,n>2,HeN

所以C選項錯誤，D選項正確，

故選：BD.

12.在正四棱柱ABC?！狝/G，中，"=2延，￡,口分別為棱A5,CCX中點，過，，￡,

尸三點作該正四棱柱的截面a,則下列判斷正確的是（）

A.異面直線E尸與直線8用所成角的正切值為更

2

B.截面a為六邊形

C.若AB=2,截面a的周長為20+3厲

D.若AB=2,截面e的面積為1b叵

6

【答案】AD

【解析】

【分析】A項，通過作圖得出面直線所與直線8片所成角，即可求出角度正切值；B項，通過作圖即可得

出截面a的形狀；C項，求出截面與四棱柱相交的5邊的各邊長，即可得出截面的周長；求出S和SKD、H

的面積，即可得出截面面積.

【詳解】由題意，

設AB=2,則用=4,

對于A選項，異面直線所與直線8及所成的角，即為直線所與直線CG所成的角，

連接EC,如下圖，則NEFC即為直線所與直線CG所成的角或其補角.

易得EC,CG，在Rt△所。中，F(xiàn)C=1CC1=2,ECEEB'BC?=亞，

所以tanNEFC=g￡=好，所以A選項正確；

FC2

對于B選項，如下圖，延長。C交。/于點”，連接交于點/,延長H石交94于點K，連接

RK交A4于點1,連接口，EJ,

則五邊形D.FIEJ即為平面DXEF截該四棱柱得到的截面,

即截面0為五邊形，所以B選項錯誤;

HCFC

對于c選項，易知志―=不方Dp=2逝,所以HC=CD=2,即。H=4.

rlDDD,

AFKA1?72

又——二——二—,所以KA=_,所以K0=_+2=_

HDKD4333

又_2_="，所以C/=LKD=±,所以B/=2—3=2,

KDHD2333

半所以班=由講

FI=^FC2+CI2

3

在RtAKDQ中，KD[=^KD?+DD；=

KJAJKA13i—

又K==—=—，所以DJ=_KDI=而,AJ=1,

11

KD】DD{KD44

所以JE=JA/2+AE?=友，

2而而

所以截面a的周長為2R+f7+E/+JE+DJ=2后+------+-----+忘+厲=3忘+2厲,

33

所以C選項錯誤;

因為=#3,所以KD]=KH,所以為等腰三角形.

又D[H=4氏,所以FH=gD[H=26,

連接KF,

則KF=^KH2-FH2=漢可,

3

所以S

A￡7]/l21233

易知八KDIHSAIFH,所以白以=；,則叵，

4,FH

SK0tH-3

同理可得5燈尸=典，所以截面a的面積為SK?"—S獷"―SK獷=業(yè)7,所以D選項正確；

AJc6Lrri.KJ匕

故選：AD.

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是根據(jù)平面的性質求截面戊形狀，進而求截面夕的周長和面積.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

22

13.已知橢圓C：——=1,meZ,則。的離心率為.（寫出一個符合題目要求的即

6—m2m—3

可）

【答案】也（填也，姮，立1三者中任何一個即可）

2257

【解析】

【分析】按焦點位置分類討論求解即可.

【詳解】①當橢圓。的焦點在x軸上時，

3

可得6>2機—3>0,解得一<相<3.

2

又meZ,所以相=2,此時橢圓C的方程為二+丁=1,

4

則/=4,k=1,所以/=〃2—）2=3,則〃=2,c=J§\離心率e=

2

故橢圓C離心率為走；

2

②當橢圓。的焦點在>軸上時，可得2加一3>6-機>0,解得3</n<6.

又meZ,所以加=4或加=5.

22

當m=4時，此時橢圓C的方程為？-+土=1,

52

則/=56=2,所以。2=/-2=3,

V3_V15

則a=亞,c=^3，離心率e=

故橢圓。的離心率為

當771=5時，此時橢圓。的方程為工+/=1,

7

則6=7力2=1,所以02=4—52=6,

綜上所述，c離心率為也或姮或立2

257

GA/15,32三者中任意一個即可.)

故答案為：—(可以填-,--

27

14.在二項式—2］的展開式中，第三項為常數(shù)項，展開式中二項式系數(shù)和為。，所有項的系數(shù)和為

b,貝1。一/7=.

【答案】63

【解析】

【分析】由二項式定理的展開式通項公式和條件先求得”的值，再根據(jù)展開式的二項式系數(shù)和與所有項的系

數(shù)和的含義分別求解即得.

令r=2,則可得〃一3x2=0,所以〃=6,所以二項式—2］的展開式中二項式系數(shù)和a=26=64,

令x=l,可得所有項的系數(shù)和6=(—I,=1,則。一。=64—1=63.

故答案為：63.

15.已知復數(shù)Z-Z2滿足4+2%=-3—i,上2-zj=1,貝1|22+2i|的最大值為.

【答案】A^O+I##I+7W

【解析】

【分析】設4=x+yi,根據(jù)題意求得z—根據(jù)復數(shù)的幾何意義求得Z2對應點的軌跡，再根據(jù)幾何意義求

目標式的最大值.

【詳解】令復數(shù)4=x+yi,x,yeR,則彳=x—yi,

所以4+2%=3x-yi=-3—i,所以％=-1,y=l,即馬=一1+1

又因為肉-二=1,即在復平面內(nèi)，復數(shù)Z2所對應的點的軌跡是以(-M)為圓心，1為半徑的圓.

又點(-U)到點(0,-2)的距離為J(—1—0)2+(1+23=回,

所以卜+2胃的最大值為癡+1.

故答案為：V10+1.

16.已知廣(無)是定義域為R的函數(shù)/(x)的導函數(shù)，曲線關于(1,0)對稱，且滿足

f(x)-f(6-x)=3-x,則了(2022)+/(2028)=；1(一2025)=.

【答案】①.—2025；②.--##0.5

2

【解析】

【分析】構造函數(shù)g(x)=/(x)+T，根據(jù)已知條件判斷g(x)的奇偶性和周期性，從而求得

g(2022)+g(2028),進而去求了(2022)+/(2028)；再結合g'(x)的周期性，從而求得/''(—2025).

【詳解】因為曲線了(無一1)關于(L0)對稱，

所以曲線一(X)關于坐標原點對稱，即函數(shù)/a)為奇函數(shù).

又因為九GR,所以/(。)=。，f(0)-f(6)=3,所以"6)=-3.

因為了(尤)_/(6_盼=3-％,整理得/(尤)+2=/(6—乃+三，

Y

令g(x)=/(%)+5，則函數(shù)g(x)為R上的可導奇函數(shù)，g(0)=0,且g(x)=g(6-尤).

又g(6-x)=-g(x-6),所以g(x)=-g(x-6)=g(12),

所以函數(shù)g(x)的圖象關于直線％=3對稱，且12為函數(shù)g(x)的一個周期，

所以g(2022)+^(2028)=^(168x12+6)+^(169x12+0)=g(6)+g(0)=/(6)+j=0,

則了(2022)+/(2028)=g(2022)—-+g(2028)--=-2025.

因為g(x)=g(6-x)=-g(九—6),所以<(x)=-g'(6-x)=-g'(x-6),

所以g，(3)=一>(3)=—g'(—3),所以g'(3)=_g<3)=—g'(—3)=0.

又g(x)=g(x-12),所以g'(x)=g,a—12),所以函數(shù)g'Q)也是以12為周期的周期函數(shù).

YI

因為F(x)=g(x)—5,所以1(x)=g'(x)—5,

所以r(2025)=^(2025)-1=g，(169xl2-3)-1=g，(—3)—g=—g.

因為/(x)+/(—x)=0,所以廣(x)-7(一x)=0,即為(t)w廣(x),

所以「(-2025)=1(2025)=.

故答案為：-2025；

2

Y

【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)奇偶性和周期性；處理問題的關鍵一是構造函數(shù)g(x)=/(x)+5；

二是能夠數(shù)量掌握函數(shù)奇偶性和周期性的判斷方法；三是準確的進行求導；屬綜合困難題.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

C

17.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，滿足a,+i—-^="+l(〃eN*),且應為電，%的等比中項.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設7；為數(shù)列的前九項和，證明：T>-.

1%%J8n

【答案】(1)an=2n,〃eN*

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)借助｛4｝與S“的關系與等比中項的性質計算即可得；

(2)借助裂項相消法可求得7；,結合函數(shù)的單調(diào)性即可得證.

【小問1詳解】

s

因為%+i一一-=n+l,所以〃a”+i=S“+〃(〃+l),①

n

當2時，(〃一1)4=3〃_1+〃(九一1),②

①一②得幾。計1_(幾—1)?！?冊+2幾，化簡可得4+1-%=2,n>2,

且當〃=1時，=2滿足上式，

所以數(shù)列｛%｝是公差為2的等差數(shù)列，

由題可得。2。8=4，故(弓+2)(弓+14)=(q+6)2,解得q=2,

所以a'=6+("-l)x2=2",neN*:

【小問2詳解】

1_1

證明：令勿

44+12〃.25+1)41〃〃+1

所以北=4+4+偽+,+2

又函數(shù)y=l――匚在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以7；27；=1

X+18

JT7T

18.如圖，在四邊形A3CD中，ZDAB=-,B」,且」WC的外接圓半徑為4.

26

⑴若BC=4應，AD=2y/2>求」ACD的面積；

(2)若。=——，求5C—AD的最大值.

3

【答案】(1)4；(2)述.

3

【解析】

【分析】(1)在三角形ABC中，根據(jù)正弦定理求得ACNC鉆，再在三角形ADC中，利用三角形面積公

式即可求得結果；

(2)設立D4C=6>,在三角形ADC,ABC中分別用正弦定理表示BC,A。，從而建立BC—A。關于。的

三角函數(shù)，進而求三角函數(shù)的最大值，即可求得結果.

【小問1詳解】

因為8=JRC的外接圓半徑為4,所以/^=8,解得AC=4.

6sinB

在-ABC中，BC=4亞,則———=4應=8,解得sinNC45=4l.

sinZCABsinZCAB2

又NC43e[o,3],所以NCAB=2；

TT7T

在.ACD中，AC—4,X.DAC=——X.CAB——,AD=2^/^，

所以5AAm=LX4X2A/^X立=4.

ZX/iCL/2，2

【小問2詳解】

設/n4c=e,儀0,3.

27r7T

又。=一，所以NACD=——0.

33

TTTT

因為NZMB=2,所以NC4B=t—夕

2~2

ACAD

在△ZMC中，AC=4由正弦定理得

sinDsinZACD

.?4A/3.

=4cos，-------sin，

3

ACBC

在中，AC=4,由正弦定理得

sin3sinZCAB

4BC

即丁一,（兀d解得BC=8sin1―，=8cos。,

2（2）

^BC-ADJC^+^0\

、3,

八71

又同嗚,所以，+

717rIT

當且僅當。,即，時,sin['+§）取得最大值1，

326

所以3C—的最大值為更.

3

19.如圖，在四棱錐P-A6CD中，底面ABCD為矩形，側面B4D_L底面ABCD,側棱Q4和側棱P￡）

與底面A3CD所成的角均為60°,AD=2AB=2,。為A。中點，E為側棱P3上一點，且0E〃平面

PCD.

（1）請確定點E的位置；

(2)求平面AOE與平面R4B所成夾角的余弦值.

【答案】(1)點E的位置為PB的中點；

【解析】

【分析】(1)構造與平面PC。平行的平面OE7L通過證明平面平行證明線面平行，從而求得點E的位置；

(2)以。為坐標原點建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，再求平面夾角的余

弦值即可.

【小問1詳解】

取的中點尸，連接。尸，則OF7/CD,

過點F作EF〃PC,交PB于點、E,則E為尸3的中點.

因為OFHCD,且。產(chǎn),平面PC。，CDu平面PC。，所以OF〃平面PCD

因為EFHPC,即仁平面PC。，尸Cu平面PC。，所以瓦〃平面尸CD.

又OFcEF=F,?！?<=面.0,所以平面。瓦7/平面PCD.

又O￡u平面OE7L所以OE〃平面PC。,

所以點E的位置為PB的中點.

【小問2詳解】

因為側面PAD，底面ABCD,

所以側棱PA和側棱與底面ABCD所成的角分別為NQAE)和/PDA,

則/己4。=/?。4=60°,所以_PZM為等邊三角形,

連接PO,則PO1底面A3CD.

以。為坐標原點，分別以OF,OD,OP所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系.

因為AD=2相=2,

1h、

所以。(0,0,0),A(0,-l,0),B(l,—1,0),P(0,0,A/3),E—,——

fl1@

則

AB=(1,0,0),PA=(0,-l,-V3),OE=2，-2'V04=(0,—1,0).

\7

設平面AOE的法向量為u=(x,y,z),

-y=0,

OA,4=0,

則《即《11V3

OE?"=(),—x——yd-----z=n0,

〔222

不妨令Z=6，則x=—3,所以M=（—3,0,、行）.

設平面的法向量為v=(a,b,c),

PAv=0,\0-b-s/3c=0,

則nl〈即on＜

AB-v=0,[a=0,

不妨令c=J5,則b=—3,所以v=(0,—3,、萬).

設平面AOE與平面RIB所成夾角為。，

八\u-v\31

則cose=---------=-r=—尸二—,

|M|-|V|2百x2g4

所以平面AOE與平面所成夾角的余弦值為工.

4

20.2023年12月11日至12日中央經(jīng)濟工作會議在北京舉行，會議再次強調(diào)要提振新能源汽車消費.發(fā)展新

能源汽車是我國從“汽車大國”邁向“汽車強國”的必由之路.我國某地一座新能源汽車工廠對線下的成品車要

經(jīng)過多項檢測，檢測合格后方可銷售，其中關鍵的兩項測試分別為碰撞測試和續(xù)航測試，測試的結果只有

三種等次：優(yōu)秀、良好、合格，優(yōu)秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，該型號新能源汽車在碰撞

測試中結果為優(yōu)秀的概率為良好的概率為工；在續(xù)航測試中結果為優(yōu)秀的概率為自，良好的概率為

235

2

二，兩項測試相互獨立，互不影響，該型號新能源汽車兩項測試得分之和記為短

（1）求該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格的概率；

（2）求離散型隨機變量J的分布列與期望.

3

【答案】（1）—

10

（2）分布列見解析，數(shù)學期望為Tg

【解析】

【分析】（1）設出事件，得到相應的概率，相加后得到答案；

（2）得到隨機變量J的可能取值及對應的概率，得到分布列和數(shù)學期望.

【小問1詳解】

記事件A為“該型號新能源汽車參加碰撞測試的得分為i分（/=1,3,5）”,

則P(A)=jNA)［，=

記事件及為“該型號新能源汽車參加續(xù)航測試的得分為i分?=1,3,5)”,

797?1

則尸(。)二，

P(B3)=-,PW=1---1=-.

記事件C為“該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格”，

則p(0=尸(A4)+尸(A4)+尸(4區(qū))+尸(A&)

111112123

=—X——|-—X——|——X——|——X—=——,

2535656510

3

則該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格的概率為歷.

【小問2詳解】

由題知離散型隨機變量J的所有可能取值分別為2,4,6,8,10,

P(^=2)=-x-=—,

6530

“八11122

P&=4)=-x—+—x—=—,

356515

“八1112123

=6)=—x-+-x—+-x—=—,

25653510

pc=8)=mi+gi=g,

P(^=10)=|x|=l,

則離散型隨機變量J的分布列為

自246810

12311

P

30151035

所以數(shù)學期望石(4)=2、2+4、2+6X3+8><』+10*'=些.

3015103515

21.已知函數(shù)/(x)=xe*-lnx-x+a有兩個不同的零點為，巧一

(1)求實數(shù)。的取值范圍;

(2)證明：InX[+Inx2+1<0.

【答案】(1)(-oo,-l)

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)方程/(x)=0變形為產(chǎn)皿―(lnx+x)=—a,令/(%)=x+lnx,xe(O,+s),利用單調(diào)性

轉化方程e'-/=-a有兩個不等的實根Jt2,引入函數(shù)g?)=e'-由導數(shù)確定其性質(單調(diào)性與極

值)后可得結論；

⑵記％=g(%)/2=g(Z)，可設：<0<G，則g(%)=g&),引入函數(shù)〃⑺=g?)-g(T)，

t>Q,由單調(diào)性證得。<一,2，即a+/2<0，再轉化為不，%的不等式ln(x1K2)+(%+W)<0，由基本不

等式菁+%22Jjqx?，從而有21n64+2北兀*<0,即InJ%%+,七馬<0，不等式變形為

,利用函數(shù)Kx)=x+lnx的單調(diào)性得出，/<娶，平方后取對數(shù)

<0<

即證得題設不等式成立.

【小問1詳解】

函數(shù)/(x)=xe*-lnx-x+a有兩個不同的零點，

即方程xe*—Inx—x+a=0有兩個不相等的正根，

即方程ex+lnx-(Inx+x)=-a有兩個不相等的正根.

令/(x)=x+lnx,xe(0,+oo),

易知*%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,t(x)eR,

令/=/(%)eR,則問題等價于方程e'—f=—a有兩個不等的實根彳，t2.

令g?)=e'T,?eR,則g'(/)=e'-l,

令g'(r)=e'—1=0,解得t=0,

當fe(-oo,0)時，gr(t)<0,當/e(0,+oo)時，g'(t)>。，

所以函