2024屆新疆喀什地區(qū)高三下學期4月適應性檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2新疆喀什地區(qū)2024屆高三下學期4月適應性檢測數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，所以.故選：D.2.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)的共軛復數(shù)的模（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以，所以.故選：B.3.已知正項等比數(shù)列的前項的和為，滿足，則公比（）A.1或3 B. C.1或 D.1〖答案〗D〖解析〗正項等比數(shù)列的公比，由，得，整理得，即，所以，（負值舍）.故選：D4.已知函數(shù)，滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗當時，，此時單調(diào)遞增，當時，，此時單調(diào)遞增，且，則時，單調(diào)遞增，若有，則有，解得，故選：A.5.在直角梯形中，且與交于點，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在直角梯形中，且，過作于，則，故，從而.因此，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得.故選：B7.數(shù)學中，懸鏈線指的是一種曲線，是兩端固定的一條（粗細與質(zhì)量分布）均勻、柔軟（不能伸長）的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀，它被廣泛應用到現(xiàn)實生活中，比如計算山脈的形狀、婲述星系的形態(tài)、研究植物的生長等等．在合適的坐標系中，這類曲線可用函數(shù)（其中為非零常數(shù)，）來表示，當取到最小值為2時，下列說法正確的是（）A.此時 B.此時的最小值為2C.此時的最小值為2 D.此時的最小值為0〖答案〗B〖解析〗函數(shù)，為非零常數(shù)，，由取到最小值為2，得，對于A，，則，當且僅當，即時取等號，此時，，A錯誤；對于B，，當且僅當取等號，B正確；對于C，，當且僅當取等號，C錯誤；對于D，，當且僅當取等號，D錯誤.故選：B8.已知函數(shù)的定義域均為為的導函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（）A.2 B.1 C.0 D.-1〖答案〗A〖解析〗由題意，可知，①，令可得，，所以.又因為為偶函數(shù)，所以，兩邊同時求導可得，②令可得，，所以，聯(lián)立①②可得，，化簡可得，所以是周期為2的函數(shù)，所以，，又因為，所以，所以，所以.故選：A.二、選擇題9.下列說法正確的是（）A.已知隨機變量服從二項分布，則B.設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則C.已知一組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，則它的第70百分位數(shù)為7D.若事件滿足，則事件相互獨立〖答案〗AD〖解析〗因為隨機變量服從二項分布，則，故A正確；因為隨機變量服從正態(tài)分布，則對稱軸為，，故B錯誤；這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，故C錯誤；因為，所以，所以事件相互獨立.故選：AD.10.如圖圓臺，在軸截面中，，下面說法正確的是（）A.線段B.該圓臺的表面積為C.該圓臺體積為D.沿著該圓臺表面，從點到中點的最短距離為5〖答案〗ABD〖解析〗顯然四邊形是等腰梯形，，其高即為圓臺的高對于A，在等腰梯形中，，A正確；對于B，圓臺的表面積，B正確；對于C，圓臺的體積，C錯誤；對于D，將圓臺一半側(cè)面展開，如下圖中扇環(huán)且為中點，而圓臺對應的圓錐半側(cè)面展開為且，又，在△中，，斜邊上的高為，即與弧相離，所以C到AD中點的最短距離為5cm，D正確.故選：ABD11.對于數(shù)列，定義：，稱數(shù)列是的“倒和數(shù)列”．下列說法正確的有（）A.若數(shù)列單調(diào)遞增，則數(shù)列單調(diào)遞增B.若，則數(shù)列有最小值2C.若，則數(shù)列有最小值D.若，且，則〖答案〗CD〖解析〗函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，對于A，由于函數(shù)在定義域上不單調(diào)，則由數(shù)列單調(diào)遞增，無法判斷數(shù)列單調(diào)性，A錯誤；對于BC，，則數(shù)列有最小值，B錯誤，C正確；對于D，由，得，，整理得，而，因此，D正確.故選：CD.三、填空題12.已知圓和圓，則兩圓公共弦所在直線的方程為________．〖答案〗〖解析〗圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，顯然，因此圓相交，所以兩圓公共弦所在直線的方程為，即.故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)，其中，滿足，則________．〖答案〗〖解析〗因為，，所以，所以，即，所以，又因為，所以，即.故〖答案〗為：.14.“蒙旦圓”涉及的是幾何學中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓．若橢圓的離心率為，則該橢圓的蒙日圓方程為________．〖答案〗〖解析〗由橢圓的離心率為，得，解得，橢圓在頂點處的切線分別為，它們交于點，顯然點在橢圓的蒙日圓上，因此，所以橢圓的蒙日圓方程為.故〖答案〗為：四、解答題15.已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）設函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間．解：（1）函數(shù)，求導得，則，而，所以曲線在處的切線方程是.（2）由（1）知，的定義域為R，求導得，由，得或，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.16.已知在中，角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若，點為的中點，求．解：（1）在中，由正弦定理及，得，而，則，又，即，于是，又，所以.（2）由（1）知，，由余弦定理得，即，而，解得，由為的中點，得，所以.17.如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，且平面平面為的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取的中點，連接，，而為的中點，則且，又且，則且，于是四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.（2）解：取中點為，連接，由為等腰梯形，得，由平面平面，平面平面，平面，得平面，在平面內(nèi)，過點作直線的垂線，以點原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，等腰梯形中，，，則，由，，得，于是，，，，，，，，，設平面的法向量為，則，令，得，設平面的法向量為，則，令，得，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知橢圓的左焦點，點在橢圓上，過點的兩條直線分別與橢圓交于另一點，且直線的斜率滿足．（1）求橢圓的方程；（2）證明直線過定點．（1）解：由點在橢圓上，得，由為橢圓的左焦點，得，所以橢圓的方程為.（2）證明：依題意，直線不垂直于坐標軸，設其方程為，，，由消去y并整理得，，，，由得，即，整理得，即有，而，解得，滿足，直線：過定點，所以直線過定點.19.為了解居民體育鍛煉情況，某地區(qū)對轄區(qū)內(nèi)居民體育鍛煉進行抽樣調(diào)查，統(tǒng)計其中400名居民體育鍛煉的次數(shù)與年齡，得到如下的頻數(shù)分布表．年齡次數(shù)每周0～2次70553659每周3～4次25404431每周5次及以上552010（1）若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關聯(lián)；（2）從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機抽樣，抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為，求的分布列與期望；（3）已知小明每周的星期六、星期天都進行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運動項目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運動項目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為，求小明星期天選擇跑步的概率．參考公式：．附：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設：體育鍛煉頻率的高低與年齡無關，由題得列聯(lián)表如下：青年中年合計體育鍛煉頻率低12595220體育鍛煉頻率高75105180合計200200400，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗推斷不成立，即認為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.（2）由數(shù)表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在內(nèi)的人數(shù)分別為1，2，依題意，的所有可能取值分別為為0，1，2，所以，，，所以的分布列：：012所以的數(shù)學期望為.（3）記小明在某一周星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，分別為事件A，B，C，星期天選擇跑步為事件，則，，則，所以小明星期天選擇跑步的概率為.

新疆喀什地區(qū)2024屆高三下學期4月適應性檢測數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，所以.故選：D.2.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)的共軛復數(shù)的模（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以，所以.故選：B.3.已知正項等比數(shù)列的前項的和為，滿足，則公比（）A.1或3 B. C.1或 D.1〖答案〗D〖解析〗正項等比數(shù)列的公比，由，得，整理得，即，所以，（負值舍）.故選：D4.已知函數(shù)，滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗當時，，此時單調(diào)遞增，當時，，此時單調(diào)遞增，且，則時，單調(diào)遞增，若有，則有，解得，故選：A.5.在直角梯形中，且與交于點，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在直角梯形中，且，過作于，則，故，從而.因此，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得.故選：B7.數(shù)學中，懸鏈線指的是一種曲線，是兩端固定的一條（粗細與質(zhì)量分布）均勻、柔軟（不能伸長）的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀，它被廣泛應用到現(xiàn)實生活中，比如計算山脈的形狀、婲述星系的形態(tài)、研究植物的生長等等．在合適的坐標系中，這類曲線可用函數(shù)（其中為非零常數(shù)，）來表示，當取到最小值為2時，下列說法正確的是（）A.此時 B.此時的最小值為2C.此時的最小值為2 D.此時的最小值為0〖答案〗B〖解析〗函數(shù)，為非零常數(shù)，，由取到最小值為2，得，對于A，，則，當且僅當，即時取等號，此時，，A錯誤；對于B，，當且僅當取等號，B正確；對于C，，當且僅當取等號，C錯誤；對于D，，當且僅當取等號，D錯誤.故選：B8.已知函數(shù)的定義域均為為的導函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（）A.2 B.1 C.0 D.-1〖答案〗A〖解析〗由題意，可知，①，令可得，，所以.又因為為偶函數(shù)，所以，兩邊同時求導可得，②令可得，，所以，聯(lián)立①②可得，，化簡可得，所以是周期為2的函數(shù)，所以，，又因為，所以，所以，所以.故選：A.二、選擇題9.下列說法正確的是（）A.已知隨機變量服從二項分布，則B.設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則C.已知一組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，則它的第70百分位數(shù)為7D.若事件滿足，則事件相互獨立〖答案〗AD〖解析〗因為隨機變量服從二項分布，則，故A正確；因為隨機變量服從正態(tài)分布，則對稱軸為，，故B錯誤；這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，故C錯誤；因為，所以，所以事件相互獨立.故選：AD.10.如圖圓臺，在軸截面中，，下面說法正確的是（）A.線段B.該圓臺的表面積為C.該圓臺體積為D.沿著該圓臺表面，從點到中點的最短距離為5〖答案〗ABD〖解析〗顯然四邊形是等腰梯形，，其高即為圓臺的高對于A，在等腰梯形中，，A正確；對于B，圓臺的表面積，B正確；對于C，圓臺的體積，C錯誤；對于D，將圓臺一半側(cè)面展開，如下圖中扇環(huán)且為中點，而圓臺對應的圓錐半側(cè)面展開為且，又，在△中，，斜邊上的高為，即與弧相離，所以C到AD中點的最短距離為5cm，D正確.故選：ABD11.對于數(shù)列，定義：，稱數(shù)列是的“倒和數(shù)列”．下列說法正確的有（）A.若數(shù)列單調(diào)遞增，則數(shù)列單調(diào)遞增B.若，則數(shù)列有最小值2C.若，則數(shù)列有最小值D.若，且，則〖答案〗CD〖解析〗函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，對于A，由于函數(shù)在定義域上不單調(diào)，則由數(shù)列單調(diào)遞增，無法判斷數(shù)列單調(diào)性，A錯誤；對于BC，，則數(shù)列有最小值，B錯誤，C正確；對于D，由，得，，整理得，而，因此，D正確.故選：CD.三、填空題12.已知圓和圓，則兩圓公共弦所在直線的方程為________．〖答案〗〖解析〗圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，顯然，因此圓相交，所以兩圓公共弦所在直線的方程為，即.故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)，其中，滿足，則________．〖答案〗〖解析〗因為，，所以，所以，即，所以，又因為，所以，即.故〖答案〗為：.14.“蒙旦圓”涉及的是幾何學中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓．若橢圓的離心率為，則該橢圓的蒙日圓方程為________．〖答案〗〖解析〗由橢圓的離心率為，得，解得，橢圓在頂點處的切線分別為，它們交于點，顯然點在橢圓的蒙日圓上，因此，所以橢圓的蒙日圓方程為.故〖答案〗為：四、解答題15.已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）設函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間．解：（1）函數(shù)，求導得，則，而，所以曲線在處的切線方程是.（2）由（1）知，的定義域為R，求導得，由，得或，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.16.已知在中，角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若，點為的中點，求．解：（1）在中，由正弦定理及，得，而，則，又，即，于是，又，所以.（2）由（1）知，，由余弦定理得，即，而，解得，由為的中點，得，所以.17.如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，且平面平面為的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取的中點，連接，，而為的中點，則且，又且，則且，于是四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.（2）解：取中點為，連接，由為等腰梯形，得，由平面平面，平面平面，平面，得平面，在平面內(nèi)，過點作直線的垂線，以點原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，等腰梯形中，，，則，由，，得，于是，，，，，，，，，設平面的法向量為，則，令，得，設平面的法向量為，則，令，得，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知橢圓的左焦點，點在橢圓上，過點的兩條直線分別與橢圓交于另一點，且直線的斜率滿足．（1）求橢圓的方程；（2）證明直線過定點．（1）解：由點在橢圓上，得，由為橢圓的左焦點，得，所以橢圓的方程為.（2）證明：依題意，直線不垂直于坐標軸，設其方程為，，，由消去y并整理得，，，，由得，即，整理得，即有，而，解得，滿足，直線：過定點，所以直線過定點.19.為了解居民體育鍛煉情況，某地區(qū)對轄區(qū)內(nèi)居民體育鍛煉進行抽樣調(diào)查，統(tǒng)計其中400名居民體育鍛煉的次數(shù)與年齡，得到如下的頻數(shù)分布表．年齡次數(shù)每周0～2