2024屆陜西省西安市高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（理）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2陜西省西安市2024屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試卷（理）第I卷一?選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，解得，，所以，故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以.故選：A.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，，所以.故選：D.4.學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出（單位：元）情況，抽取了一個容量為的樣本，并將得到的數(shù)據(jù)分成，，，四組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中支出在的同學(xué)有24人，則（）A.80 B.60 C.100 D.50〖答案〗A〖解析〗由頻率分布直方圖可得，支出在頻率為.根據(jù)題意得，解得.故選：A.5.已知雙曲線與拋物線有相同的焦點，點到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知拋物線的焦點為，所以.又因為點到雙曲線的一條漸近線的距離為2，所以，從而，.故選：D.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為4，則輸入的的可能值有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗C〖解析〗由題意得，若輸出的的值為4，則，或，或，解得或或，所以輸入的的可能值有3個.故選：C.7.十二生肖是十二地支的形象化代表，即子（鼠）、丑（牛）、寅（虎）、卯（兔）、辰（龍）、巳（蛇）、午（馬）、未（羊）、申（猴）、酉（雞）、戌（狗）、亥（豬），每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物中的一種，即自己的屬相.現(xiàn)有印著十二生肖圖案的毛絨娃娃各一個，小張同學(xué)的屬相為馬，小李同學(xué)的屬相為羊，現(xiàn)在這兩位同學(xué)從這十二個毛絨娃娃中各隨機取一個（不放回），則這兩位同學(xué)都拿到自己屬相的毛絨娃娃的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗小張、小李同學(xué)各取一個毛絨娃娃，共有12×11種取法，這兩位同學(xué)都拿到自己屬相的毛絨娃娃有1種取法，故所求概率.故選：B.8.圓被直線截得的弦長的最小值為（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗直線可化為，故直線恒過點.圓的圓心為，半徑為當(dāng)直線垂直于直線時，截得的弦長最短，此時弦長.故選：B.9.將函數(shù)圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若直線是的圖象的一條對稱軸，則（）A.為奇函數(shù) B.為偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增〖答案〗C〖解析〗由題意知，因為直線是的圖象的一條對稱軸，所以，故，因為，所以，為非奇非偶函數(shù)，所以A選項錯誤.因為，則，所以在上單調(diào)遞減，所以C選項正確.因為，所以為奇函數(shù)，所以B選項錯誤.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以D選項錯誤..故選：C10.已知某圓柱的底面直徑與某圓錐的底面半徑相等，且它們的表面積也相等，圓錐的底面積是圓錐側(cè)面積的一半，則此圓錐與圓柱的體積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，則，即，所以圓錐的高，圓錐的體積.由題意，知圓柱的底面半徑為，設(shè)圓柱的高為，因為圓錐與圓柱的表面積相等，所以，解得，所以圓柱的體，故.故選：A.11.已知數(shù)列的首項，則（）A.7268 B.5068 C.6398 D.4028〖答案〗C〖解析〗易知，因為，所以，即，是以3為公差，以2為首項的等差數(shù)列.所以，即.故選：C.12.在正方體中，分別為線段的中點，為四棱錐的外接球的球心，點分別是直線上的動點，記直線與所成角為，則當(dāng)最小時，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，設(shè)分別為棱和的中點，則四棱錐的外接球即三棱柱的外接球，因為三棱柱為直三棱柱，所以其外接球球心為上、下底面三角形外心和連線的中點.由題意，是平面內(nèi)的一條動直線，所以的最小值是直線與平面所成角，即問題轉(zhuǎn)化為求直線與平面所成角的正切值.不妨設(shè)正方體的棱長為2，則.因為為等腰三角形，所以外接圓的直徑為，則，從而.如圖，以為原點，以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，因為，所以，則.故選：D.第II卷二?填空題13.已知向量，若，則__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，解得.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的圖象在點處的切線斜率為__________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時，，則，此時，所以，所以.故〖答案〗為：15.已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)的公比為，則，解得或（舍去）.所以.故〖答案〗為：16.已知的展開式中第9項是常數(shù)項，則展開式中的系數(shù)為___________；展開式中系數(shù)的絕對值最大的項的系數(shù)為___________.〖答案〗15〖解析〗因為，所以當(dāng)時，，則；令，得，所以的系數(shù)為.設(shè)的系數(shù)的絕對值最大，則，解得，因為，，所以，故系數(shù)的絕對值最大的項的系數(shù)為.故〖答案〗為：；.三?解答題（一）必考題17.在中，內(nèi)角的對邊分別為,且.（1）求；（2）若，求的面積.解：（1）由及正弦定理，得，∴，∴.∵，為三角形的內(nèi)角，∴，∴.∵，∴.（2）由知，由余弦定理得，∴，∴，∴.18.每個國家對退休年齡都有不一樣的規(guī)定，2018年開始，我國關(guān)于延遲退休的話題一直在網(wǎng)上熱議，為了了解市民對“延遲退休”的態(tài)度，現(xiàn)從某地市民中隨機選取100人進行調(diào)查，調(diào)查情況如下表：年齡段（單位：歲）被調(diào)查的人數(shù)101520255贊成的人數(shù)61220122（1）從贊成“延遲退休”的人中任選1人，此年齡在的概率為，求出表格中，的值；（2）若從年齡在的參與調(diào)查的市民中按照是否贊成“延遲退休”進行分層抽樣，從中抽取10人參與某項調(diào)查，然后再從這10人中隨機抽取4人參加座談會，記這4人中贊成“延遲退休”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）因為總共抽取100人進行調(diào)查，所以，因為從贊成“延遲退休”的人中任選1人，其年齡在的概率為，所以．（2）從年齡在中按分層抽樣抽取10人，贊成的抽取人，不贊成的抽取2人，再從這10人中隨機抽取4人，則隨機變量的可能取值為2，3，4.則，，．所以的分布列為234所以19.如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,平面底面,為的中點,是棱的中點，.（1）證明：平面平面.（2）求二面角的大小.（1）證明：∵，，為的中點，∴四邊形為平行四邊形，∴.∵，∴，即.又∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面.∵平面，平面平面.（2）解：由（1）可知，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點，以方向為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，.設(shè)平面的一個法向量為，則令，得.取平面的法向量，記二面角為，則.由圖可知為鈍角，所以二面角的大小為.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的最值；（2）當(dāng)時，若的兩個零點分別為，證明：.（1）解：當(dāng)時，，定義域為，，當(dāng)時，；當(dāng)時，.可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，無最大值.（2）證明：，因為，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以的最小值為，因為，所以在上存在一個零點；因為，可知在上也存在一個零點；所以，故.21.已知，點是圓上一動點，動點滿足，點在直線上，且.（1）求點的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點在直線上，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，記點到直線的距離分別為，求的最大值，并求出此時點的坐標(biāo).解：（1）由，可知為線段的中點，又，所以是線段的垂直平分線，故.因為點在直線上，所以.由橢圓的定義可知，點軌跡是以為焦點，以4為長軸長的橢圓，即，解得，另當(dāng)點坐標(biāo)為時，與重合，不符合題意，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，所以曲線點處的切線的方程為，又因為切線過，所以.同理可得，故直線的方程為.所以.因為直線的方程為，所以，.又因為在直線的兩側(cè)，所以，所以，令，，則，當(dāng)，即時，有最大值，此時點的坐標(biāo)為.（二）選考題【選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線與曲線相交于點，將逆時針旋轉(zhuǎn)后，與曲線相交于點，且，求的值.解：（1）由曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），可得其普通方程，由，得曲線的極坐標(biāo)方程，由，得曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）將代入，得.將逆時針旋轉(zhuǎn)，得極坐標(biāo)方程為，代入曲線的極坐標(biāo)方程，得.由，得，.即，解得.因為，所以.【選修4一5：不等式選講】23已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值為m，正實數(shù)a，b滿足，證明：.（1）解：.即，或，或解得或，所以原不等式的解集為或.（2）證明：由（1）知當(dāng)時，有最小值，所以，.因為，所以，因為，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號.陜西省西安市2024屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試卷（理）第I卷一?選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，解得，，所以，故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以.故選：A.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，，所以.故選：D.4.學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出（單位：元）情況，抽取了一個容量為的樣本，并將得到的數(shù)據(jù)分成，，，四組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中支出在的同學(xué)有24人，則（）A.80 B.60 C.100 D.50〖答案〗A〖解析〗由頻率分布直方圖可得，支出在頻率為.根據(jù)題意得，解得.故選：A.5.已知雙曲線與拋物線有相同的焦點，點到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知拋物線的焦點為，所以.又因為點到雙曲線的一條漸近線的距離為2，所以，從而，.故選：D.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為4，則輸入的的可能值有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗C〖解析〗由題意得，若輸出的的值為4，則，或，或，解得或或，所以輸入的的可能值有3個.故選：C.7.十二生肖是十二地支的形象化代表，即子（鼠）、丑（牛）、寅（虎）、卯（兔）、辰（龍）、巳（蛇）、午（馬）、未（羊）、申（猴）、酉（雞）、戌（狗）、亥（豬），每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物中的一種，即自己的屬相.現(xiàn)有印著十二生肖圖案的毛絨娃娃各一個，小張同學(xué)的屬相為馬，小李同學(xué)的屬相為羊，現(xiàn)在這兩位同學(xué)從這十二個毛絨娃娃中各隨機取一個（不放回），則這兩位同學(xué)都拿到自己屬相的毛絨娃娃的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗小張、小李同學(xué)各取一個毛絨娃娃，共有12×11種取法，這兩位同學(xué)都拿到自己屬相的毛絨娃娃有1種取法，故所求概率.故選：B.8.圓被直線截得的弦長的最小值為（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗直線可化為，故直線恒過點.圓的圓心為，半徑為當(dāng)直線垂直于直線時，截得的弦長最短，此時弦長.故選：B.9.將函數(shù)圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若直線是的圖象的一條對稱軸，則（）A.為奇函數(shù) B.為偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增〖答案〗C〖解析〗由題意知，因為直線是的圖象的一條對稱軸，所以，故，因為，所以，為非奇非偶函數(shù)，所以A選項錯誤.因為，則，所以在上單調(diào)遞減，所以C選項正確.因為，所以為奇函數(shù)，所以B選項錯誤.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以D選項錯誤..故選：C10.已知某圓柱的底面直徑與某圓錐的底面半徑相等，且它們的表面積也相等，圓錐的底面積是圓錐側(cè)面積的一半，則此圓錐與圓柱的體積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，則，即，所以圓錐的高，圓錐的體積.由題意，知圓柱的底面半徑為，設(shè)圓柱的高為，因為圓錐與圓柱的表面積相等，所以，解得，所以圓柱的體，故.故選：A.11.已知數(shù)列的首項，則（）A.7268 B.5068 C.6398 D.4028〖答案〗C〖解析〗易知，因為，所以，即，是以3為公差，以2為首項的等差數(shù)列.所以，即.故選：C.12.在正方體中，分別為線段的中點，為四棱錐的外接球的球心，點分別是直線上的動點，記直線與所成角為，則當(dāng)最小時，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，設(shè)分別為棱和的中點，則四棱錐的外接球即三棱柱的外接球，因為三棱柱為直三棱柱，所以其外接球球心為上、下底面三角形外心和連線的中點.由題意，是平面內(nèi)的一條動直線，所以的最小值是直線與平面所成角，即問題轉(zhuǎn)化為求直線與平面所成角的正切值.不妨設(shè)正方體的棱長為2，則.因為為等腰三角形，所以外接圓的直徑為，則，從而.如圖，以為原點，以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，因為，所以，則.故選：D.第II卷二?填空題13.已知向量，若，則__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，解得.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的圖象在點處的切線斜率為__________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時，，則，此時，所以，所以.故〖答案〗為：15.已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)的公比為，則，解得或（舍去）.所以.故〖答案〗為：16.已知的展開式中第9項是常數(shù)項，則展開式中的系數(shù)為___________；展開式中系數(shù)的絕對值最大的項的系數(shù)為___________.〖答案〗15〖解析〗因為，所以當(dāng)時，，則；令，得，所以的系數(shù)為.設(shè)的系數(shù)的絕對值最大，則，解得，因為，，所以，故系數(shù)的絕對值最大的項的系數(shù)為.故〖答案〗為：；.三?解答題（一）必考題17.在中，內(nèi)角的對邊分別為,且.（1）求；（2）若，求的面積.解：（1）由及正弦定理，得，∴，∴.∵，為三角形的內(nèi)角，∴，∴.∵，∴.（2）由知，由余弦定理得，∴，∴，∴.18.每個國家對退休年齡都有不一樣的規(guī)定，2018年開始，我國關(guān)于延遲退休的話題一直在網(wǎng)上熱議，為了了解市民對“延遲退休”的態(tài)度，現(xiàn)從某地市民中隨機選取100人進行調(diào)查，調(diào)查情況如下表：年齡段（單位：歲）被調(diào)查的人數(shù)101520255贊成的人數(shù)61220122（1）從贊成“延遲退休”的人中任選1人，此年齡在的概率為，求出表格中，的值；（2）若從年齡在的參與調(diào)查的市民中按照是否贊成“延遲退休”進行分層抽樣，從中抽取10人參與某項調(diào)查，然后再從這10人中隨機抽取4人參加座談會，記這4人中贊成“延遲退休”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）因為總共抽取100人進行調(diào)查，所以，因為從贊成“延遲退休”的人中任選1人，其年齡在的概率為，所以．（2）從年齡在中按分層抽樣抽取10人，贊成的抽取人，不贊成的抽取2人，再從這10人中隨機抽取4人，則隨機變量的可能取值為2，3，4.則，，．所以的分布列為234所以19.如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,平面底面,為的中點,是棱的中點，.（1）證明：平面平面.（2）求二面角的大小.（1）證明：∵，，為的中點，∴四邊形為平行四邊形，∴.∵，∴，即.又∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面.∵平面，平面平面.（2）解：由（1）可知，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點，以方向為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，.設(shè)平面的一個法向量為，則令，得.取平面的法向量，記二面角為，則.由圖可知為鈍角，所以二面角的大小為.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的最值；（2）當(dāng)時，若的兩個零點分別為，證明：.（1）解：當(dāng)時，，定義域為，，當(dāng)時，；當(dāng)時，.可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，無最大值.（2）證明：，因為，所以在上單調(diào)遞增，又因為