2023-2024學(xué)年浙江省臺(tái)金七校聯(lián)盟高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2浙江省臺(tái)金七校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：（本題共8小題，每題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1已知復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗，.故選：B.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.3.已知向量，，，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.4.在中，N是上的點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知三點(diǎn)共線，設(shè)，所以，又因?yàn)?，所?故選：C.5.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M，N分別為，的中點(diǎn)，P在線段上運(yùn)動(dòng)（包含兩個(gè)端點(diǎn)），以下說法正確的是（）.A.存在點(diǎn)P，使得與異面B.三棱錐的體積與P點(diǎn)位置無關(guān)C.若P為中點(diǎn)，三棱錐的體積為D.若P與重合，則過點(diǎn)M、N、P作正方體的截面，截面為三角形〖答案〗B〖解析〗正方體中，，與都在平面內(nèi)，所以與不可能異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；三棱錐，底面積，棱錐的高，則，由，所以三棱錐的體積為定值，與P點(diǎn)位置無關(guān)，B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若P與重合，則過點(diǎn)M、N、P作正方體的截面，截面梯形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.6.雷鋒塔，位于浙江省杭州市西湖區(qū)，是“西湖十景”之一、中國九大名塔之一，為中國首座彩色銅雕寶塔.如圖，某同學(xué)為測(cè)量雷鋒塔的高度，在雷鋒塔的正西方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點(diǎn)E處（A，C，E三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部B，雷鋒塔頂部D的仰角分別為和，在B處測(cè)得塔頂部D的仰角為，則雷鋒塔的高度約為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，；在中，；由圖可知，易知，在中，，根據(jù)正弦定理可得：，則.故選：C.7.設(shè)O為的內(nèi)心，，，，則（）.A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中點(diǎn)，連，因?yàn)?，，所以，，所以的?nèi)心在線段上，為內(nèi)切圓的半徑，因?yàn)?，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所?故選：B.8.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，S為的面積，且，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由三角形面積公式及余弦定理可得：，即，可得，由，可知，所以，所以，即，由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，解得，又，所以.故選：D.二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的部分得分.）9.下列命題正確的是（）A.已知，是兩個(gè)不共線的向量，，，則與可以作為平面向量的一組基底B.在中，，，，則這樣的三角形有兩個(gè)C.已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其直觀圖的面積為D.已知，，若與的夾角為鈍角，則k的取值范圍為〖答案〗ABC〖解析〗因?yàn)?，是兩個(gè)不共線的向量，且，，所以與不共線，則與可以作為平面向量的一組基底，故A正確；因?yàn)樵谥?，，，，由正弦定理可得，所以，即有兩個(gè)角，故B正確；因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，則，設(shè)其直觀圖的面積為，因?yàn)橹庇^圖的面積與平面圖形的面積比為，即，故C正確；因?yàn)?，，則，設(shè)與的夾角為，則，且，解得且，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（）A.B.若，則C.D.若，則點(diǎn)z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)，，對(duì)于A，，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，當(dāng)為虛數(shù)時(shí)，可以比較大小，不能比較大小，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C，由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)可知，，，，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若，則復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)z的集合所構(gòu)成的圖形是以為圓心，半徑為1和的兩圓之間的圓環(huán)，面積為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)均位于一個(gè)半徑為2的球的球面上，，，則該直三棱柱的體積可能是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)底面外接圓的半徑為，則，，設(shè)直三棱柱的高為，外接球的半徑為，則，則，在中，分別為角所對(duì)的邊，，，由正弦定理得，則，，∴，，則，，，，，即，∴，所以.故選：BCD.三、填空題：（本題共3題，每小題5分，共15分.）12.已知，，則向量在向量上的投影向量為________.（用坐標(biāo)表示）〖答案〗〖解析〗向量在向量上的投影向量為.故〖答案〗為：.13.已知圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖是四分之一的圓，則圓錐的體積為________.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，由側(cè)面展開圖是四分之一的圓知，故，則側(cè)面積，解得，則，圓錐的高，所以圓錐的體積為.故〖答案〗為：.14.在中，，，的外接圓為圓O，P為圓O上的點(diǎn)，則的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗，又，由，解得，由，得，則有，，則有，，則有，所以有，，的外接圓為圓O，P為圓O上的點(diǎn)，由正弦定理得的外接圓半徑，則有，，，，為中點(diǎn)，，，當(dāng)與方向相同時(shí)，有最大值，當(dāng)與方向相反時(shí)，有最小值，所以的最大值為，最小值為，即的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題：（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知平面向量，.（1）若與垂直，求k；（2）若向量，若與共線，求.解：（1）因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c垂直，所以，整理得，解得.（2）因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)榕c共線，故，所以，解得，所以，，所以.16.如圖，在直角梯形中，，，，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成一個(gè)幾何體.（1）求該幾何體的表面積；（2）一只螞蟻在形成的幾何體上從點(diǎn)A繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)A，求螞蟻爬行的最短距離.解：（1）如圖所示，滿足題意的直角梯形，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)上底面半徑為，下底面半徑，母線長(zhǎng)的圓臺(tái)，其表面積為.（2）將圓臺(tái)的側(cè)面沿母線展開，得到如圖所示的一個(gè)扇環(huán)，因?yàn)閳A臺(tái)上下底面半徑的關(guān)系為，所以，，又∵，∴，∴，設(shè)，則的弧長(zhǎng)，解得，連接，為等邊三角形，∴，所以螞蟻從點(diǎn)A繞著圓臺(tái)的側(cè)面爬行一周，回到點(diǎn)A的最短路徑即為線段，所以螞蟻爬行最短距離為6.17.已知內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且與垂直.（1）求大??；（2）若邊上的中線長(zhǎng)為，求的面積的最大值.解：（1）因?yàn)椋怪?，所?由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，，所?（2）設(shè)邊上的中線為，在中，由余弦定理得：，即①，在和中，，所以，即，，，化簡(jiǎn)得，代入①式得，，由基本不等式，∴，當(dāng)且僅當(dāng)取到“”；所以的面積最大值為.18.在三棱錐中.（1）若點(diǎn)，，，分別是棱，，，上的點(diǎn)，其中，，求證：，，三線共點(diǎn)；（2）在三棱錐中，所有棱長(zhǎng)都為.①求三棱錐的體積；②求三棱錐外接球的表面積.解：（1）∵，，∴，，，四點(diǎn)共面，并且可設(shè)，∵，，又∵平面，平面，∴平面，平面，∴為平面與平面的公共點(diǎn)，又∵平面平面，∴，即原題設(shè)得證.（2）①以四面體的各棱為面對(duì)角線還原為棱長(zhǎng)為的正方體，如圖所示：所以，同理，所以，而，所以.②三棱錐的外接球的半徑，∴外接球的表面積.19.設(shè)非空數(shù)集M，對(duì)于M中任意兩個(gè)元素，如果滿足：①兩個(gè)元素之和屬于M；②兩個(gè)元素之差屬于M；③兩個(gè)元素之積屬于M；④兩個(gè)元素之商（分母不為零）也屬于M.定義：滿足條件①②③的數(shù)集M為數(shù)環(huán)（即數(shù)環(huán)對(duì)于加、減、乘運(yùn)算封閉）；滿足④的數(shù)環(huán)M為數(shù)域（即數(shù)域?qū)τ诩?、減、乘、除運(yùn)算封閉）.（1）判斷自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C是不是數(shù)環(huán)，假如該集合是數(shù)環(huán)，那么它是不是數(shù)域（無需說明理由）；（2）若M是一個(gè)數(shù)環(huán)，證明：；若S是一個(gè)數(shù)域，證明：；（3）設(shè)，證明A是數(shù)域.解：（1）自然數(shù)集N不是數(shù)環(huán)，例如；整數(shù)集Z是數(shù)環(huán)，不是數(shù)域，例如；有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C是數(shù)環(huán)也是數(shù)域.（2）若，則，即；若，，則，即.（3）設(shè)，則，，，則，因?yàn)椋?，，所以，滿足條件①；，因?yàn)?，所以，，所以，滿足條件②；，因?yàn)?，所以，，所以，滿足條件③；，因，，所以，，所以，滿足條件④，綜上所述，A是數(shù)域.浙江省臺(tái)金七校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：（本題共8小題，每題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1已知復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗，.故選：B.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.3.已知向量，，，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.4.在中，N是上的點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知三點(diǎn)共線，設(shè)，所以，又因?yàn)?，所?故選：C.5.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M，N分別為，的中點(diǎn)，P在線段上運(yùn)動(dòng)（包含兩個(gè)端點(diǎn)），以下說法正確的是（）.A.存在點(diǎn)P，使得與異面B.三棱錐的體積與P點(diǎn)位置無關(guān)C.若P為中點(diǎn)，三棱錐的體積為D.若P與重合，則過點(diǎn)M、N、P作正方體的截面，截面為三角形〖答案〗B〖解析〗正方體中，，與都在平面內(nèi)，所以與不可能異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；三棱錐，底面積，棱錐的高，則，由，所以三棱錐的體積為定值，與P點(diǎn)位置無關(guān)，B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若P與重合，則過點(diǎn)M、N、P作正方體的截面，截面梯形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.6.雷鋒塔，位于浙江省杭州市西湖區(qū)，是“西湖十景”之一、中國九大名塔之一，為中國首座彩色銅雕寶塔.如圖，某同學(xué)為測(cè)量雷鋒塔的高度，在雷鋒塔的正西方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點(diǎn)E處（A，C，E三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部B，雷鋒塔頂部D的仰角分別為和，在B處測(cè)得塔頂部D的仰角為，則雷鋒塔的高度約為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，；在中，；由圖可知，易知，在中，，根據(jù)正弦定理可得：，則.故選：C.7.設(shè)O為的內(nèi)心，，，，則（）.A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中點(diǎn)，連，因?yàn)?，，所以，，所以的?nèi)心在線段上，為內(nèi)切圓的半徑，因?yàn)?，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所?故選：B.8.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，S為的面積，且，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由三角形面積公式及余弦定理可得：，即，可得，由，可知，所以，所以，即，由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，解得，又，所以.故選：D.二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的部分得分.）9.下列命題正確的是（）A.已知，是兩個(gè)不共線的向量，，，則與可以作為平面向量的一組基底B.在中，，，，則這樣的三角形有兩個(gè)C.已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其直觀圖的面積為D.已知，，若與的夾角為鈍角，則k的取值范圍為〖答案〗ABC〖解析〗因?yàn)?，是兩個(gè)不共線的向量，且，，所以與不共線，則與可以作為平面向量的一組基底，故A正確；因?yàn)樵谥?，，，，由正弦定理可得，所以，即有兩個(gè)角，故B正確；因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，則，設(shè)其直觀圖的面積為，因?yàn)橹庇^圖的面積與平面圖形的面積比為，即，故C正確；因?yàn)?，，則，設(shè)與的夾角為，則，且，解得且，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（）A.B.若，則C.D.若，則點(diǎn)z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)，，對(duì)于A，，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，當(dāng)為虛數(shù)時(shí)，可以比較大小，不能比較大小，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C，由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)可知，，，，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若，則復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)z的集合所構(gòu)成的圖形是以為圓心，半徑為1和的兩圓之間的圓環(huán)，面積為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)均位于一個(gè)半徑為2的球的球面上，，，則該直三棱柱的體積可能是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)底面外接圓的半徑為，則，，設(shè)直三棱柱的高為，外接球的半徑為，則，則，在中，分別為角所對(duì)的邊，，，由正弦定理得，則，，∴，，則，，，，，即，∴，所以.故選：BCD.三、填空題：（本題共3題，每小題5分，共15分.）12.已知，，則向量在向量上的投影向量為________.（用坐標(biāo)表示）〖答案〗〖解析〗向量在向量上的投影向量為.故〖答案〗為：.13.已知圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖是四分之一的圓，則圓錐的體積為________.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，由側(cè)面展開圖是四分之一的圓知，故，則側(cè)面積，解得，則，圓錐的高，所以圓錐的體積為.故〖答案〗為：.14.在中，，，的外接圓為圓O，P為圓O上的點(diǎn)，則的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗，又，由，解得，由，得，則有，，則有，，則有，所以有，，的外接圓為圓O，P為圓O上的點(diǎn)，由正弦定理得的外接圓半徑，則有，，，，為中點(diǎn)，，，當(dāng)與方向相同時(shí)，有最大值，當(dāng)與方向相反時(shí)，有最小值，所以的最大值為，最小值為，即的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題：（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知平面向量，.（1）若與垂直，求k；（2）若向量，若與共線，求.解：（1）因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c垂直，所以，整理得，解得.（2）因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)榕c共線，故，所以，解得，所以，，所以.16.如圖，在直角梯形中，，，，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成一個(gè)幾何體.（1）求該幾何體的表面積；（2）一只螞蟻在形成的幾何體上從點(diǎn)A繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)A，求螞蟻爬行的最短距離.解：（1）如圖所示，滿足題意的直角梯形，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)上底面半徑為，下底面半徑，母線長(zhǎng)的圓臺(tái)，其表面積為.（2）將圓臺(tái)的側(cè)面沿母線展開，得到如圖所示的一個(gè)扇環(huán)，因?yàn)閳A臺(tái)上下底面半徑的關(guān)系為，所以，，又∵，∴，∴，設(shè)，則的弧長(zhǎng)，解得，連接，為等邊三角形，∴，所以螞蟻從點(diǎn)A繞著圓臺(tái)的側(cè)面爬行一周，回到點(diǎn)A的最短路徑即為線段，所以螞蟻爬行最短距離為6.17.已知內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且與垂直.（1）求大??；（2）若邊上的中線長(zhǎng)為，求的面積的最大值.解：（1）因?yàn)?，垂直，所?由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，，所?（2）設(shè)邊上的中線為，在中，由余弦定理得