高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 立體幾何中的向量方法

專題8.7立體幾何中的向量方法

1.理解直線的方向向量與平面的法向量.

2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.

新課程考試要求

3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）.

4.會(huì)用向量方法求解兩異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的問題.

核心素養(yǎng)本節(jié)涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等.

（1）以幾何體為載體，綜合考查平行或垂直關(guān)系證明，以及角與距離的計(jì)算.

（2）利用幾何法證明平行、垂直關(guān)系，利用空間向量方法求角或距離.

（3）利用空間向量證明平行或垂直是高考的熱點(diǎn)，內(nèi)容以解答題中的一問為主，主要

圍繞考查空間直角坐標(biāo)系的建立、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算能力和分析解決問題的能力命制

試題，以多面體為載體、證明線面（面面）的平行（垂直）關(guān)系是主要命題方向.空間的角

考向預(yù)測(cè)

與距離的計(jì)算（特別是角的計(jì)算）是高考熱點(diǎn)，一般以大題的條件或一小間形式呈現(xiàn)，

考查用向量方法解決立體兒何問題，將空間幾何元素之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，

并通過計(jì)算解決立體幾何問題.距離問題往往在與有關(guān)面積、體積的計(jì)算中加以考查.此

類問題往往屬于“證算并重”題，即第一問用幾何法證明平行關(guān)系或垂直關(guān)系，第二問

則通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法進(jìn)一步求角或距離.

【知識(shí)清單】

知識(shí)點(diǎn)1.利用空間向量證明平行問題

1.直線的方向向量與平面的法向量的確定

①直線的方向向量：，是空間一直線，A,8是直線，上任意兩點(diǎn)，則稱葩為直線，的方向向量，與誦平行

的任意非零向量也是直線/的方向向量.

②平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a,6是平面。內(nèi)兩不共線向量，〃為平面。的法向量，則求法向

n?c?=0,

量的方程組為‘八

〃?6=0.

2.用向量證明空間中的平行關(guān)系

①設(shè)直線4和A的方向向量分別為火和v2,則乙〃人（或乙與A重合）=%〃心

②設(shè)直線/的方向向量為％與平面。共面的兩個(gè)不共線向量外和心則/〃?；?u存在兩個(gè)實(shí)數(shù)X,

y,使v—xvi+yvz.

③設(shè)直線1的方向向量為V,平面a的法向量為u,則1//a或/ua=

④設(shè)平面。和￡的法向量分別為u”u2,則a〃￡=u,〃①.

知識(shí)點(diǎn)2.利用空間向量證明垂直問題

1.用向量證明空間中的垂直關(guān)系

①設(shè)直線上和的方向向量分別為匕和V2,則!<<=>Vt-V2=0.

②設(shè)直線/的方向向量為片平面a的法向量為u,則7±a=

③設(shè)平面。和￡的法向量分別為s和5,則a±?如=0.

2.共線與垂直的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(a”a2,a),b=(b”bi,&),則a〃/x=?a=幺Zx=>ai=乂b,a2=bi,ai=A&(4GR),

a上b^a,b=Q<^a\b\-\-a-ibi-Vasbi=Q^a,6均為非零向量).

知識(shí)點(diǎn)3.異面直線所成的角

1.兩條異面直線所成的角

①定義：設(shè)。，匕是兩條異面直線，過空間任一點(diǎn)。作直線a'//a,b'//b,則加與從所夾的銳角或直

角叫做。與b所成的角.

②范圍：兩異面直線所成角e的取值范圍是(0,幺］.

2

/7?h

③向量求法：設(shè)直線a,6的方向向量為Q,從其夾角為夕，則有cos6=|cos9|=|———|.

1。1?網(wǎng)

知識(shí)點(diǎn)4.直線與平面所成角

1.直線和平面所成角的求法：如圖所示，設(shè)直線/的方向向量為e,平面a的法向量為w,直線/與平面a

所成的角為夕，兩向量e與"的夾角為仇則有sin0=|cos4=春4

知識(shí)點(diǎn)5.二面角

1.求二面角的大小

(1)如圖1,AB.CD是二面角a—/一夕的兩個(gè)面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小。=(AB,CD).

(2)如圖2、3,%,%分別是二面角a-/一￡的兩個(gè)半平面a,4的法向量，則二面角的大小9=<勺,%>(或

7r-<n],n2>).

知識(shí)點(diǎn)6.利用向量求空間距離

1.空間向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算

(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)。2，。3)，b=(h\tZ?2，〃3)，

則①吊功=3土方i，a2m2,a3m3);

②2。=(2。],2a2，2a3);

@a'b=a]b]+s歷+〃383.

(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示

設(shè)。=(。1，。2，的)，b=(b、,岳，生)，

則?！?0標(biāo)=勸04]=〃?1，。2=勸2，〃3=2b3(2￡R),

〃，/>0。2=000歷+。2岳+。3必=0(〃'b均為非零向量).

(3)模、夾角和距離公式

設(shè)a=3i，。2,。3),b=(bI,b?,Z?3)>

則⑷=y[a*a=\/屆+星+=，

。1加+〃2歷+。363

COS〈。，b)

⑷網(wǎng)#吊+/+而々屏+、+員

設(shè)bi,a),Bg，岳，6),

222

則ZB=|AB|=7(?2-?,)+(^-^)+(C2-C,).

2.點(diǎn)面距的求法

如圖，設(shè)AB為平面a的一條斜線段，〃為平面a的法向量，則B到平面a的距離4=嚕臼

【考點(diǎn)分類剖析】

考點(diǎn)一：利用空間向量證明平行問題

【典例1】(湖北高考真題)如圖，在棱長為2的正方體43。一A百G"中，E,￡M,N分別是棱

AB,AD,A綜AA的中點(diǎn)，點(diǎn)P,Q分別在棱DD,,8^上移動(dòng)，且。P=BQ=4(0<2<2).

(1)當(dāng);1=1時(shí)，證明：直線BG〃平面EFPQ.

【答案】直線BG〃平面EFPQ.

【解析】以。為原點(diǎn)，射線04,DC,分別為x,y,z軸的正半軸建立如圖3的空間直角坐標(biāo)系。-型，

由已知得8(2,2,0),G(0,2,2),F(l,0,0),P(0,0,4),

所以BCt=(-2,0,2),FP=(-1,0,2),FE=(1,1,0),

(1)證明：當(dāng)/l=l時(shí)，麗=(一1,0,1),因?yàn)閷?(一2,0,2),

所以屬=2而，即BCJ/FP,

而"u平面EFPQ,且BQZ平面EFPQ,

故直線BG〃平面EFPQ.

【規(guī)律方法】

利用空間向量證明平行的方法

線線平行證明兩直線的方向向量共線

①證明該直線的方向向量與平面的某一法

向量垂直；

線面平行

②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的

方向向量平行

①證明兩平面的法向量為共線向量；

面面平行

②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題

【變式探究】

（選自天津高考真題）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA，底面ABC,NB4C=90°.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,

PC,BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.

（I）求證：MN〃平面BDE；

【答案】（I）證明見解析

【解析】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以A8,4C,AP方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

依題意可得

A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N

(1,2,0).

(I)證明：DE=(0,2,0),DB=(20,-2).設(shè)〃=(x,y,z),為平面BDE的法向量，

n-DE=0[2v=0

則4，即'.不妨設(shè)z=l,可得"=(1,0,1).又MN-(1,2,-1),可得MM"=0.

n-DB=Q[2x-2z=0

因?yàn)镸V(z平面BDE,所以MN〃平面BDE.

【總結(jié)提升】

證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平

面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為了數(shù)量的計(jì)

算問題.

考點(diǎn)二：利用空間向量證明垂直問題

【典例2】(2021?浙江高二期末)已知正方體ABCD-ABGA,E是棱BC的中點(diǎn)，則在棱CQ上存在點(diǎn)尸，

使得()

A.AF//DtEB.AF1D.E

C.A/〃平面CQED.AF_L平面CQE

【答案】B

【解析】

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1,寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，用向量法確定線線平行與垂直，由向

量與平行法向量的平行與垂直確定線面的平行與垂直.

【詳解】

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1,則A(l，0,0)，R(0,0,1)，嗎,1,0),設(shè)尸(0,1m)((04241),

則￡)￡=(《,1,一1),AF=(-l,l,z),

1

因?yàn)?.1，所以不可能平行，即AF,RE不可能平行，

-1T

1|

￡=--+l-z=O,z=-,囚此八A〃￡可以亞H，l!|JAF匕，￡K能垂：直.

G(0,1,1),RG=(0,1,0),

設(shè)平面GRE的一個(gè)法向量為"=(x,y,z),

n?D[C]=y=0

則[1,取x=2,則〃=(2,0,1),

n-DtE=—x+y-z=0

AF與〃不可能平行，因此AF與平面G〃E不可能垂直，

AF-n=-2+ze[-2,-l],因此A尸與〃不可能垂直，因此AF與平面GRE不可能平行,

故選：B.

【規(guī)律方法】

用空間向量證明垂直問題的方法

線線垂證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它

直問題們的數(shù)量積為零

線面垂直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用

直問題線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直

面面垂兩個(gè)平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判

直問題定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直

【變式探究】

在邊長是2的正方體ABCD-AAGR中，E,F分別為

AB,A,C的中點(diǎn).應(yīng)用空間向量方法求解下列問題.

⑴求EF的長

(2)證明：石尸〃平面

⑶證明：防，平面AC。.

【答案】(1)72.(2)見解析；(3)見解析.

【解析】

(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系

z

A=(2,0,2),A=(2,0,0),8=(2,2,0),。=(0,2,0),。=(0,0,2)

E=(2,l,0),F=(1,1,1)

EF=(-1,0,1),\EF\=424分

(2)ADt=(—2,0,2)AD,\EF

而EF<Z面ADD|A]

...EF//平面A4QQ8分

(3)EFCD=0,EFA|D=0.\EF±CD,EFlAjD

又CDcAQ=D

.?.￡F_L平面4co.

【總結(jié)提升】

1.證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)

化為直線與直線垂直證明.

2.要證明兩線垂直，需轉(zhuǎn)化為兩線對(duì)應(yīng)的向量垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明兩向量的數(shù)量積為零，這是證明兩

線垂直的基本方法，線線垂直是證明線面垂直，面面垂直的基礎(chǔ).

3.證明線面垂直，可利用判定定理.如本題解法.

4.用向量證明兩個(gè)平面垂直，關(guān)鍵是求出兩個(gè)平面的法向量，把證明面面垂直轉(zhuǎn)化為法向量垂直.

考點(diǎn)三：異面直線所成的角

【典例3】(2021?天津高二期末)如圖，在棱長為1的正方體A8CO-AIBIGOI中，E,尸分別為。Di,BD

的中點(diǎn)，點(diǎn)G在。上，且CG'CD

（1）求證：EF_LBiC；

（2）求EF與CiG所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）叵

17

【解析】

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，（1）利用空間向量證明，（2）利用空間向量求解

【詳解】

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

則E(0,0$),1,0),C(0,1,0),,8,(1,1,1),C,(0,1,1),G(0,1,0),

(1)V￡F=(p^,-^),4c=(—1,0,—1),

UlllUUU

VEF?B￡=0:.EF上B。,

UUU-I

（2）由（1）知。0=（0,一7一1），

uuir+（-匹姮

/.|C,G|=j02

Ul?

\EF\=

uiuuuu*iii|3

EF.C1G=-xO+-x(--)+(--)x(-l)=-)

設(shè)EF與GG所成角為0,則

3

EF-C\G回

cosd=8

|EF||C,G|~

24

故EF馬CiG所成角的余弦值為叵

【特別提醒】

提醒：兩異面直線所成角0的范圍是（0,y,兩向量的夾角。的范圍是［0,〃，當(dāng)兩異面直線的方向向

量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是這兩條異面直線所成的角；當(dāng)兩異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其

補(bǔ)角才是兩異面直線所成的角.

【變式探究】

（2021?江蘇省蘇州第十中學(xué)校高一月考）由兩塊直角三角形拼成如圖所示的空間立體圖形，其中

^ADC=/4CB=90,DC=3,AC=BC=5,當(dāng)。8=取時(shí)，此時(shí)A&G。四點(diǎn)外接球的體積為

異面直線AB,CD所成角的余弦為.

【解析】

求得NADB=90°，取AB的中點(diǎn)。，由O￡>=OC=。4=O3得點(diǎn)。是四面體MCZ）外接球的球心，外接球半

徑R=]AB,進(jìn)而可得外接球的體積；證得BCL平面ACQ,建系如圖，由空間向量的夾角公式可得結(jié)果.

【詳解】

依題意可知A￡>=4,AB=5近,當(dāng)08=后時(shí)，AD2+DB2=AB2-則/4￡>3=90"，取AB的中點(diǎn)。，則

OD=OA=OB-,又NAQ?=90，則OC=OA=O8,所以O(shè)D=OC=OA=O8,即點(diǎn)。是四面體ABC。外接

球的球心，外接球半徑R=1AB=逑，故外接球的體積丫=3萬R3=±%X125夜

2233

依題意DC=3,BC=5,當(dāng)OB=衣時(shí)，DC2+BC2=DB2.則8C_LO),又8CJ_AC,且C￡H4C=C,

所以BC_L平面ACD.以點(diǎn)C為原點(diǎn)，C4,C8為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

過點(diǎn)。作0HLAC于點(diǎn)”，由A￡)x￡)C=ACxHD得HD：/,則07=卜-(同=|,所以

又C(0,0,0),71(5,0,0),3(0,5,0),則A3=(—5,5,0),CD=^,0,yj.

I/?\AB-Cd|-9|3應(yīng)

設(shè)異面直線AB,8所成的角為。，則cos，=kos(AB,CQ=一=笠.

|AB|.|CD|50X310

故答案為：①經(jīng)述;T；②述.

【總結(jié)提升】

向量法求兩異面直線所成角的步驟

(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系;

(2)求出兩直線的方向向量Ki,外;

(3)代入公式|COS<Fi,V。I=JJ,求解.

IKi|\V2\

考點(diǎn)四：直線與平面所成角

【典例4】(2021?浙江高考真題)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是平行四邊形，

ZABC=]20°,AB=},BC=4,PA=y/]5,M,N分別為BC,尸C的中點(diǎn)，PDLDC,PM1MD.

p

(1)證明：

(2)求直線AN與平面POW所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)巫.

6

【解析】

(1)要證可證DCJ-PM,由題意可得，PDVDC,易證ZWJ_Z)C,從而。。_1_平面口!做，

即有￡>C_LPM,從而得證：

(2)取中點(diǎn)E,根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)”為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)

系，再分別求出向量AN和平面燈陽的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出.

【詳解】

(1)在△DCM中，DC=l,CM=2,ZDCM=60,由余弦定理可得。仞=出，

所以DW'+ZX^=?！?,...DMJ_￡)C.由題意DC_LPD且PE)cOW=r),r.OCJ■平面PDW,而PMu平

面PDW,所以DCJ_PM,又他〃DC,所以ABJ_PM.

(2)由PM_LM￡),鉆J_PM,而AB與O"相交，所以PM_L平面ABCD，因?yàn)锳W=不，所以PM=20，

取AO中點(diǎn)E,連接ME,則ME,DM,PM兩兩垂直，以點(diǎn)A7為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(-V3,2,0),P(0,0,2夜),D電,0,0).M(0,0,0),C(6,-1,0)

乂N為尸C中點(diǎn)，所以夜=.

由(I)得CD,平面PQM,所以平面PDM的一個(gè)法向量〃=(0,1,0)

5

一.c\AN-n\2

從而直線AN與平面PDM所成角的正弦值為sin0==//

I曲㈤但+至+2

V44

【規(guī)律方法】

利用向量法求線面角的方法

（1）分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角（或其補(bǔ)角）；

（2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角（鈍角時(shí)取其補(bǔ)角），取其余角

就是斜線和平面所成的角.

【變式探究】

（2020?北京高考真題）如圖，在正方體ABC。-AfCQi中，￡為8用的中點(diǎn).

（I）求證：8C1//平面A"￡；

（II）求直線與平面AQE所成角的正弦值.

【答案】（I）證明見解析；（II）

【解析】

（1）如下圖所示:

在正方體ABCD-44GA中，AB//A.B,且AB=AyB},ABJ/CR且=CR,

:.AB//CR且AB=@口,所以，四邊形A8GA為平行四邊形，則

8a仁平面4?！?4。＜=平面4?！?；.3?！捌矫?。山；

（H）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD.A3、A4所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐

標(biāo)系A(chǔ)一町z,

設(shè)正方體ABCD—A4Gq的棱長為2,則A（0,0,0）、A（0,0,2）、D,（2,0,2）,￡（0,2,1）,

AD}=（2,0,2）,AE=（O,2,l）,

n-AD.=02x+2z=0

設(shè)平面的法向量為“=（x,y,z）,由',得

n-AE=Q2y+z=0

令z=—2,則尤=2,y=l,則“=（2,1,—2）.

..n-A4,42

cos<n,AA>=,；~~；~~；----r

H-hl3^23,

2

因此，直線A4與平面A"E所成角的正弦值為

考點(diǎn)五：二面角

【典例5】(江蘇省揚(yáng)州市2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題)已知在四棱錐尸-ABCD中，PD±

平面ABCD,AD±DC,AB//DC,DC=2AB,。為PC的中點(diǎn).

(1)求證;8Q//平面

(2)若PD=1,BC=a,BCLBD,求銳二面角。-3O-C的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)亞.

3

【解析】

(1)取尸。的中點(diǎn)為G,分別連接AG,QG,證明5Q//AG后可得線面平行：

(2)以分別為z軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角.

【詳解】

(1)證明：取尸。的中點(diǎn)為G,分別連接AG,QG

乂因?yàn)?。為PC的中點(diǎn)，所以GQ//OC,且GQ=gf>C

乂因?yàn)锳B〃OC,OC=2A8,所以GQ//AB,GQ=A8,

所以四邊形A8QG是平行四邊形，所以8Q//AG

乂平面PARAGu平面PAO,所以BQ〃平面PA。

(2)解：由題意QADCDP三條直線兩兩相互垂直.

以。ADC,。尸分別為z軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

因?yàn)樵谒倪呅蜛BC。中，AB//DC,AD1.DC,DC=2AB,

所以點(diǎn)B在線段CD的垂直平分線上.又因?yàn)锽C=應(yīng),BC工BD,

所以BO=BC=&,C￡>=2

所以有點(diǎn)0(0,0,0),8(1,1,0),C(0,2,0),Q(。，,)，

所以￡>Q=((M,；),BQ=(T,0,￡j

設(shè)平面的一個(gè)法向量機(jī)=(x,y,z),

in.DQ=0xx+lxy+—xz=0

則｛2]令z=2,得加=(1,一1,2)

in-BQ=-\xx+0xy+-xz=0

易知平面BCD的一個(gè)法向量為DP=(0,0,1),

因?yàn)閈m|=Vl+1+4=y/6,\DP\=\,mDP=2,

m-DP_2>/6

所以cos<m,DP>=

\m\-\DP\~7/6~^

所以銳二面角Q-BD-C的余弦值為逅.

3

【規(guī)律方法】

利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到

二面角的大小.但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.

(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則

這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.

【變式探究】

(2019年高考全國IH卷理)圖1是由矩形/龐氏和菱形版K組成的一個(gè)平面圖形，其中/廬1,

BE=BR2,ZFBe60：將其沿45,比'折起使得德與跖重合，連結(jié)a；，如圖2.

(1)證明：圖2中的4,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面平面比1陽

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

【答案】⑴見解析;(2)30.

【解析】(1)由已知得加〃龍，CG//BE,所以4VCG,故/〃，C6確定一個(gè)平面，從而4C,G,〃四點(diǎn)

共面.

由已知得｛反1?跳；ABLBC,故平面比

又因?yàn)??u平面4?。，所以平面4%」平面aZX.

(2)作EH工BC,垂足為//.因?yàn)椤?/u平面比窈，平面以選'_L平面/8G所以夕/_L平面18c.

由已知，菱形8砒的邊長為2,/EBO60',可求得用*1,E+B

以偽坐標(biāo)原點(diǎn)，”。的方向?yàn)槟系恼较颍⑷鐖D所示的空間直角坐標(biāo)系〃-xyz,

則［(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,G),CG=(1,0,6)，AC=(2,-1,0).

設(shè)平面/fCG/用法向量為爐(x,y,z),則

CGn=0,x+x/3z=0,

<即j

ACn=0,[2x-y=0.

所以可取ZF(3,6,-石).

乂'I'?血向7；/：泊；法向Q：：」取為皿0.1.0；-'?cos(/i,tn)=--——=——

|n||/n|2

因此二面角6-CC-4的大小為30°.

考點(diǎn)六：利用向量求空間距離

【典例6X2021?北京高二期末)如圖，在長方體AB。-48cA中，底面AB。是邊長為1的正方形，刈=2,

E,F分別為CG，AA的中點(diǎn).

(1)求證：DF”平面BDE;

(2)求直線RE與平面所成角的正弦值:

(3)求直線。/與平面BOE之間的距離.

【答案】(I)證明見解析；(2)四；(3)組.

33

【解析】

(1)推導(dǎo)出RF//BE,由此能證明。尸〃平面80E；

(2)以。為原點(diǎn)，為x軸，0c為，軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線RE

與平面3DE1所成角的正弦值.

(3)山。尸//平面BOE,=(0,0,2),平面的法向量加=(1,一1,D,利用向量法能求出直線。尸

與平面之間的距離.

【詳解】

解：(1)取的中點(diǎn)G,連接FG，GG.

因?yàn)锳g〃CQ,且A/|=CQ；WFG,^^=FG,

所以FG//CQ,且FG=CQ.

所以四邊形GQFG為平行四邊形.

所以DF//C。.

在矩形BCC4中，因?yàn)镋,G分別為CG，BB1的中點(diǎn)，

所以BE//CQ.所以'F//BE.

又RFU平面BDE,

所以RF//平面B￡)E.

(2)如圖建立空間宜角坐標(biāo)系。t*.

則0(0,0,0),8(1,1,0