2024年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-兩之間線段最短求最值(四大類型含將軍飲馬)(知識(shí)解讀)_第1頁(yè)
2024年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-兩之間線段最短求最值(四大類型含將軍飲馬)(知識(shí)解讀)_第2頁(yè)
2024年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-兩之間線段最短求最值(四大類型含將軍飲馬)(知識(shí)解讀)_第3頁(yè)
2024年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-兩之間線段最短求最值(四大類型含將軍飲馬)(知識(shí)解讀)_第4頁(yè)
2024年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-兩之間線段最短求最值(四大類型含將軍飲馬)(知識(shí)解讀)_第5頁(yè)
已閱讀5頁(yè),還剩22頁(yè)未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

12兩之間線段最短求最值(四大類型含將軍飲馬)

(知識(shí)解讀)

【專莖說(shuō)跚】

“兩點(diǎn)之間,線段最短”是初中數(shù)學(xué)中的基本定理之一,也是人們?cè)谏钪姓J(rèn)識(shí)到的基

本事實(shí),而對(duì)于數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題,學(xué)生往往無(wú)從下手,其實(shí)往往就是這個(gè)基本定理的應(yīng)

用。

【方法技巧】

模型一“一線兩點(diǎn)”型(一動(dòng)+兩定)

類型一異側(cè)線段和最小值問(wèn)題

問(wèn)題:兩定點(diǎn)A,B位于直線1異側(cè),在直線1上找一點(diǎn)P,使PA+PB值最小.

【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,PA+PB的最小值即為線段AB的長(zhǎng).連接

AB交直線1于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.

A連接46交直A

,線/于點(diǎn)P\p

----------1------------------弋—I

?R

類型二同側(cè)線段和最小值問(wèn)題(將軍飲馬模型)

問(wèn)題:兩定點(diǎn)A,B位于直線1同側(cè),在直線1上找一點(diǎn)P,使得PA+PB值最小.

【解題思路】將兩定點(diǎn)同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)問(wèn)題,同類型一即可解決.作點(diǎn)B關(guān)于1

的對(duì)稱點(diǎn)夕,連接AB',與直線1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

作8關(guān)于直線/

的對(duì)稱點(diǎn)8',連

?A§接4夕,與直線/\AB

?交于點(diǎn)夕

----1------\z

R'

類型三同側(cè)差最大值問(wèn)題

問(wèn)題:兩定點(diǎn)A,B位于直線I同側(cè),在直線I上找一點(diǎn)P,使得|PA—PB|的值最

大.

【解題思路】根據(jù)三角形任意兩邊之差小于第三邊,|PA—PB|WAB,當(dāng)A,B,P

三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,即|PA—PB|的最大值為線段AB的長(zhǎng).連接AB并延長(zhǎng),

與直線I的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

4連接48&

?.B并延長(zhǎng):

1與直線J鐘

交于點(diǎn)夕

類型四異側(cè)差最大值問(wèn)題

問(wèn)題:兩定點(diǎn)A,B位于直線1異側(cè),在直線1上找一點(diǎn)P,使得|PA—PB|的值最大.

【解題思路】將異側(cè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為同側(cè),同類型三即可解決.

4作點(diǎn)8關(guān)于直線/從

,的對(duì)稱點(diǎn)8;7、產(chǎn)

B連接48'并延長(zhǎng),BP

與直線/交于點(diǎn)P

模型二“一點(diǎn)兩線”型(兩動(dòng)+一定〉

問(wèn)題:點(diǎn)P是NAOB的內(nèi)部一定點(diǎn),在0A上找一點(diǎn)M,在0B上找一點(diǎn)N,使得

△PMN周長(zhǎng)最小.

【解題思路】要使△PMN周長(zhǎng)最小,即PM+PN+MN值最小.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段

最短,將三條線段轉(zhuǎn)化到同一直線上即可.

分別作點(diǎn)P關(guān)P:A

,于04、0B的、、/

//對(duì)稱點(diǎn)P'、P",

?尸連接PP交N'T

uBOA、0B于點(diǎn)、u/v\|B

M、NP〃

模型三“兩點(diǎn)兩線”型(兩動(dòng)+兩定)

問(wèn)題:點(diǎn)P,Q是NA0B的內(nèi)部?jī)啥c(diǎn),在0A上找點(diǎn)在0B上找點(diǎn)N,使得四

邊形PQNM周長(zhǎng)最小.

【解題思路】要使四邊形PQNM周長(zhǎng)最小,PQ為定值,即求得PM+MN+NQ的最

小值即可,需將線段PM,MN,NQ三條線段盡可能轉(zhuǎn)化在一條直線上,因此想到

作點(diǎn)P關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)Q關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn).

>分別作點(diǎn)P,。病

關(guān)于。4,。8的_

Q對(duì)稱點(diǎn)P,連

08接P'Q',交。4,0N'"B

0B于點(diǎn)、M,N

【典例今新】

【典例1-1】基本模型

問(wèn)題:如圖,定點(diǎn)A,B位于動(dòng)點(diǎn)P所在直線/同側(cè)試確定點(diǎn)尸的位置,使AP+8尸的值

最小.

解題思路:

一找:作點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)5,連接AB,,與直線/交于點(diǎn)P;

二證:驗(yàn)證當(dāng)A,P,8'三點(diǎn)共線時(shí),4尸+2尸取得最小值.

三計(jì)算.

請(qǐng)寫(xiě)出【基本模型】中解題思路“二證”的過(guò)程.

A(定點(diǎn))

\VB(定.點(diǎn))

P

【典例1-2]模型演變

問(wèn)題:如圖,定點(diǎn)A,B位于動(dòng)點(diǎn)P所在直線/同側(cè),在直線/上確定點(diǎn)尸的位置,使|必

-尸初的值最大.

解題思路:

一找:連接并延長(zhǎng),交直線/于點(diǎn)尸;

二證:驗(yàn)證當(dāng)A,B,尸三點(diǎn)共線時(shí),|加-尸2|取得最大值.

三計(jì)算.

請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程.

A?

B?

P

【典例1-3]模型演變

問(wèn)題:如圖,定點(diǎn)A,2位于動(dòng)點(diǎn)尸所在直線/的兩側(cè),試確定點(diǎn)尸的位置,使AP+BP

的值最小.

解題思路:

一找:連接AB交直線/于點(diǎn)P;

二證:驗(yàn)證當(dāng)A,P,3三點(diǎn)共線時(shí),AP+8P取得最小值.

三計(jì)算.

請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程.

【典例1-4]模型演變

問(wèn)題:如圖,定點(diǎn)A,2位于動(dòng)點(diǎn)尸所在直線/的兩側(cè),試確定點(diǎn)尸的位置,使|力-尸8|

的值最大.

解題思路:

一找:作點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)方,連接并延長(zhǎng),交直線于點(diǎn)P;

二證:驗(yàn)證當(dāng)A,B,,P三點(diǎn)共線時(shí),|E4-尸為取得最大值.

三計(jì)算.

請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程.

?A

-----------

?B

【變式1-1]如圖,已知菱形ABC。的邊長(zhǎng)為4,/ABC=60°,點(diǎn)N為BC的中點(diǎn),點(diǎn)M

是對(duì)角線AC上一點(diǎn),則MB+MN的最小值為

A'D

M

【變式1-2]如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)。是對(duì)角線2。的中點(diǎn),E是AB

邊上一點(diǎn),且AE=1,尸是CO邊上一點(diǎn),則|PE-尸O|的最大值為

【變式1-3]如圖,在菱形ABC。中,AB=12,ZDAB^60°,對(duì)角線AC,2D交于點(diǎn)0,

點(diǎn)、E,P分別在BD,AB±,且BP=OE=4.點(diǎn)尸為AC上一點(diǎn),則|PF-PE|的最大值

為.

【變式1-4]結(jié)論:如圖,拋物線y=a/-6x-4與x軸交于,A(-1,0),8(4,0)兩

點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線/為該拋物線的對(duì)稱軸,點(diǎn)M為直線/上的一點(diǎn),則MA+MC

的最小值為.

【典例2】模型分析

問(wèn)題:點(diǎn)尸是/AOB內(nèi)的一定點(diǎn),點(diǎn)M,N分別為OA,上的動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)M,N

的位置,使△PMN的周長(zhǎng)最小.

解題思路:

一找:分別作點(diǎn)尸關(guān)于。4,的對(duì)稱點(diǎn)P,P",連接PP“,分別交0A,于點(diǎn)

M,N;

二證:驗(yàn)證當(dāng)P',M,N,P"四點(diǎn)共線時(shí),△PMN的周長(zhǎng)最小.

三計(jì)算.

注:當(dāng)三個(gè)點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)時(shí),先假定一個(gè)點(diǎn)為定點(diǎn),再將其特化為“一定兩動(dòng)”問(wèn)題

請(qǐng)寫(xiě)出【模型分析】中解題思路“二證”的過(guò)程.

【變式2-1]如圖,在四邊形ABCD中,ZBAD=121°,NB=/D=90°,點(diǎn)M、N分別

在BC、CO上,

(1)當(dāng)NWW=NC時(shí),ZAMN+ZANM=°;

(2)當(dāng)△AAfN周長(zhǎng)最小時(shí),ZAMN+ZANM=°.

【變式2-2]如圖,在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中,點(diǎn)P,M,N分別是BC,AB,AC上的動(dòng)

點(diǎn),則△尸MN周長(zhǎng)的最小值為

A

【典例3】模型分析

問(wèn)題:點(diǎn)P,。是/AOB內(nèi)部的兩定點(diǎn),點(diǎn)M,N分別是。4,0B上的動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)

M,N的位置,使四邊形尸MNQ的周長(zhǎng)最小.

解題思路:

一找:作點(diǎn)P關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)P,點(diǎn)。關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)Q',連接PQ',分別交

0A,于點(diǎn)M,N;

二證:驗(yàn)證當(dāng)P',M,N,Q/四點(diǎn)共線時(shí),四邊形尸QVM的周長(zhǎng)最小.

三計(jì)算.

請(qǐng)寫(xiě)出【模型分析】中解題思路“二證”的過(guò)程.

【變式3-1]如圖,已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為5,AE=2DF=2,點(diǎn)、G,H分別在CD,BC

邊上,則四邊形MGH周長(zhǎng)的最小值為.

【變式3-2]如圖,在矩形ABC。中,AB=6,BC=3,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),若點(diǎn)尸,。分別

是邊BC,CO上的動(dòng)點(diǎn),則四邊形AEP。周長(zhǎng)的最小值為.

【典例4-1】基本模型

問(wèn)題:

如圖,點(diǎn)A,8為直線/同側(cè)兩定點(diǎn),M,N為直線/上的動(dòng)點(diǎn),且MN的長(zhǎng)度為定值,

試確定點(diǎn)M,N的位置,使AM+MN+BN的值最小.

解題思路:

一找:以AM,MN為鄰邊.構(gòu)造團(tuán),作點(diǎn)A'關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A“,連接A

“B,交直線/于點(diǎn)N,再確定點(diǎn)M;

二證:驗(yàn)證當(dāng)A“,N,8三點(diǎn)共線時(shí),AM+腦V+BN的值最小.

三計(jì)算.

請(qǐng)寫(xiě)出【基本模型】中解題思路“二證”的過(guò)程.

【典例4-2】模型演變

問(wèn)題:如圖,直線?!?,定點(diǎn)A,B分別位于直線。的上方和直線6的下方,M,N分別

為直線m6上的動(dòng)點(diǎn),且MNLa,試確定點(diǎn)M,N的位置,使AM+MN+BN的值最小.

解題思路:

一找:以AM腦V為鄰邊構(gòu)造13AMNA',連接A'8;

二證:驗(yàn)證當(dāng)A,N,B三點(diǎn)共線時(shí),AM+MN+BN的值最小.

三計(jì)算.

請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程.

【變式4-1]如圖,正方形ABCO內(nèi)接于。0,線段在對(duì)角線8。上運(yùn)動(dòng),若。。的面

積為2TT,MN=\,則AM+CN的最小值為

【變式4-2]如圖,在矩形A3CD中,AB=M,BC=1,將△A3。沿射線方向平移得

到△AE。,連接8C,D'C,求BC+DC的最小值.

12兩之間線段最短求最值(四大類型含將軍飲馬)

(知識(shí)解讀)

【I觀說(shuō)明】

“兩點(diǎn)之間,線段最短”是初中數(shù)學(xué)中的基本定理之一,也是人們?cè)谏钪姓J(rèn)識(shí)到的基

本事實(shí),而對(duì)于數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題,學(xué)生往往無(wú)從下手,其實(shí)往往就是這個(gè)基本定理的應(yīng)

用。

【方法技巧】

模型一“一線兩點(diǎn)”型(一動(dòng)+兩定)

類型一異側(cè)線段和最小值問(wèn)題

問(wèn)題:兩定點(diǎn)A,B位于直線1異側(cè),在直線1上找一點(diǎn)P,使PA+PB值最小.

【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,PA+PB的最小值即為線段AB的長(zhǎng).連接

AB交直線1于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.

A連接48交直A

,線/于點(diǎn)p\p

----------1------------------弋—I

?R

類型二同側(cè)線段和最小值問(wèn)題(將軍飲馬模型)

問(wèn)題:兩定點(diǎn)A,B位于直線1同側(cè),在直線1上找一點(diǎn)P,使得PA+PB值最小.

【解題思路】將兩定點(diǎn)同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)問(wèn)題,同類型一即可解決.作點(diǎn)B關(guān)于1

的對(duì)稱點(diǎn)玄,連接AB',與直線1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

作8關(guān)于直線/

的對(duì)稱點(diǎn)8',連

?AB接4夕,與直線/4B

?交于點(diǎn)夕

-------1---------

R'

類型三同側(cè)差最大值問(wèn)題

問(wèn)題:兩定點(diǎn)A,B位于直線I同側(cè),在直線I上找一點(diǎn)P,使得|PA—PB|的值最

大.

【解題思路】根據(jù)三角形任意兩邊之差小于第三邊,|PA—PB|WAB,當(dāng)A,B,P

三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,即|PA—PB|的最大值為線段AB的長(zhǎng).連接AB并延長(zhǎng),

與直線I的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

A連接48A

..B并延長(zhǎng):

1與直線JP~l

交于點(diǎn)、P

類型四異側(cè)差最大值問(wèn)題

問(wèn)題:兩定點(diǎn)A,B位于直線1異側(cè),在直線1上找一點(diǎn)P,使得|PA—PB|的值最大.

【解題思路】將異側(cè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為同側(cè),同類型三即可解決.

A作點(diǎn)8關(guān)于直線/4

"的對(duì)稱點(diǎn)8:

B連接48'并延長(zhǎng),BP

與直線/交于點(diǎn)P

模型二“一點(diǎn)兩線”型(兩動(dòng)+一定〉

問(wèn)題:點(diǎn)P是NAOB的內(nèi)部一定點(diǎn),在0A上找一點(diǎn)M,在0B上找一點(diǎn)N,使得

△PMN周長(zhǎng)最小.

【解題思路】要使周長(zhǎng)最小,即PM+PN+MN值最小.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段

最短,將三條線段轉(zhuǎn)化到同一直線上即可.

分別作點(diǎn)P關(guān)P'

于。4、0B的

對(duì)稱點(diǎn)P'、R

連接P'P"交

BOA、0B于點(diǎn),

M、N

模型三“兩點(diǎn)兩線”型(兩動(dòng)+兩定)

問(wèn)題:點(diǎn)P,Q是NAOB的內(nèi)部?jī)啥c(diǎn),在0A上找點(diǎn)M,在0B上找點(diǎn)N,使得四

邊形PQNM周長(zhǎng)最小.

【解題思路】要使四邊形PQNM周長(zhǎng)最小,PQ為定值,即求得PM+MN+NQ的最

小值即可,需將線段PM,MN,NQ三條線段盡可能轉(zhuǎn)化在一條直線上,因此想到

作點(diǎn)P關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)Q關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn).

>分別作點(diǎn)2。病

Q對(duì)稱點(diǎn)P,0,連

08接P'Q',交。4,0N'lB

于點(diǎn)

【尊例合新】

【典例1-1]基本模型

問(wèn)題:如圖,定點(diǎn)A,B位于動(dòng)點(diǎn)P所在直線/同側(cè)試確定點(diǎn)P的位置,使AP+8尸的值

最小.

解題思路:

一找:作點(diǎn)3關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)8,連接A",與直線/交于點(diǎn)尸;

二證:驗(yàn)證當(dāng)A,P,8三點(diǎn)共線時(shí),AP+BP取得最小值.

三計(jì)算.

請(qǐng)寫(xiě)出【基本模型】中解題思路“二證”的過(guò)程.

A(定點(diǎn))

\B(定點(diǎn))

P

【解答】解:如圖,???點(diǎn)8與點(diǎn)次關(guān)于直線/對(duì)稱,

:.PB=PB

:.PA+PB=PA+PB'=AB',

此時(shí)PA+PB的值最小.

問(wèn)題:如圖,定點(diǎn)A,2位于動(dòng)點(diǎn)尸所在直線/同側(cè),在直線/上確定點(diǎn)尸的位置,使|以

-尸目的值最大.

解題思路:

一找:連接AB并延長(zhǎng),交直線/于點(diǎn)尸;

二證:驗(yàn)證當(dāng)A,B,尸三點(diǎn)共線時(shí),|B4-尸司取得最大值.

二計(jì)算.

請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程.

A.

B.

--------P----------,

【解答】證明:如圖,P為/上異于P的一點(diǎn),連接P'4P'B,

在△ABP中,由三角形的三邊關(guān)系得:\P'A-P'B\<AB,

,:PA-PB=AB,

:.\P'A-PB\<\PA=PB\,

...當(dāng)4、B、P三點(diǎn)共線時(shí),的值最大.

【典例1-3】模型演變

問(wèn)題:如圖,定點(diǎn)A,8位于動(dòng)點(diǎn)尸所在直線/的兩側(cè),試確定點(diǎn)尸的位置,使AP+B尸

的值最小.

解題思路:

一找:連接交直線/于點(diǎn)P;

二證:驗(yàn)證當(dāng)A,P,3三點(diǎn)共線時(shí),AP+3尸取得最小值.

三計(jì)算.

請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程.

【解答】解:圖形如圖所不:

,:P'A+P'BNAB,AB=PA+PB,

:.P'A+P'B^PA+PB,

:.AP+PB的值最小.

【典例1-4]模型演變

問(wèn)題:如圖,定點(diǎn)A,2位于動(dòng)點(diǎn)P所在直線/的兩側(cè),試確定點(diǎn)尸的位置,使|%-尸8|

的值最大.

解題思路:

一找:作點(diǎn)2關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)5,連接A3并延長(zhǎng),交直線于點(diǎn)尸;

二證:驗(yàn)證當(dāng)A,B',P三點(diǎn)共線時(shí),|E4-尸8|取得最大值.

三計(jì)算.

請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程.

?A

-----------

?B

【解答】解:如圖,在直線乙上任意取一點(diǎn)P,連接PB',

V\P'A-P'B\^AB',

...當(dāng)A,B',P'共線時(shí),\P'A-P'2|的值最大,最大值為AB'的長(zhǎng).

【變式1-1]如圖,已知菱形ABC。的邊長(zhǎng)為4,/ABC=60°,點(diǎn)N為BC的中點(diǎn),點(diǎn)〃

是對(duì)角線AC上一點(diǎn),則Affi+MN的最小值為.

【答案】24

【解答】解:如圖,連接ON,DM,過(guò)點(diǎn)。作OHLBC交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)”.

?.?四邊形A2C。是菱形,

:.AB=CB=CD=AD,ZABC=ZADC=6Q°,

.,.△ABC,ZvinC都是等邊三角形,

:.B,。關(guān)于AC對(duì)稱,

;.MB=MD,

:.MB+MN=MD+MN》DN,

':AB//CD,

:.ZDCH=60°,

,:DH1.CH,

:.CH=CD'cos600=2,DH=2y/3,

,:BN=CN=2,C£)=4,

:.NH=CN+CH=4,

D^=VDH2+NH2=V(2\(3)2+42=2^7'

:.MB+MN/救,

:.MB+MN的最小值為277.

故答案為:20

【變式1-2]如圖,在矩形A3CD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)。是對(duì)角線3。的中點(diǎn),E是A3

邊上一點(diǎn),且AE=1,尸是CD邊上一點(diǎn),則|PE-尸。|的最大值為.

AD

--------'C

【答案】Vio

【解答】解:如圖,連接0E,過(guò)點(diǎn)0作于點(diǎn)H.

AD

:四邊形ABC。是矩形,

:.ZA=ZOHB^90°,

:.OH//AD,

':OB=OD,

:.AH=HB=2,

0H=—AD=3,

2

VA£=1,

:.EH=AH-AE=1.

0£=7EH2OH2=Vl2+32='

OP|WEO=VI5,

IPE-。尸1的最大值為

故答案為:Vio.

【變式1-3]如圖,在菱形ABCD中,AB=12,ZDAB=60°,對(duì)角線4C,BD交于點(diǎn)O,

點(diǎn)E,P分別在BZ),AB±,且BP=Z)E=4.點(diǎn)尸為AC上一點(diǎn),則|PF-尸囿的最大值

為.

D

【答案】2

【解答】解:在03上取一點(diǎn)E',使得=OE,中點(diǎn)E,作射線FE交AC于點(diǎn)P.

則PE=PE,

:.\PF-PE\=PF-PEWFE,

當(dāng)P與P重合,P\E、尸三點(diǎn)在同一直線上時(shí),|PF-PE|有最大值,即為FE的長(zhǎng),

在菱形ABCD中,ZABC=120°,

AZABD=60°,ZDAB=6Q°,

△ABO為等邊三角形.

:.AB=BD=AD=12.

00=08=6.

;BF=DE=4,

:.OE=OE'=2,

:.BE'=OB-0E'=4,

:.BF=BE'

VZABD=60°,

.,.△BE戶為等邊三角形,

:.EF=FB=2.

故|PF-PE|的最大值為2.

故答案為:2.

【變式1-4]結(jié)論:如圖,拋物線與x軸交于,A(-1,0),8(4,0)兩

點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線/為該拋物線的對(duì)稱軸,點(diǎn)M為直線/上的一點(diǎn),則MA+MC

的最小值為.

【答案】4如.

【解答】解:連接BC交直線/于點(diǎn),連接4,如圖,

當(dāng)x=0時(shí),y—ax1-bx-4=-4,貝!]C(0,-4),

:拋物線尸癥-灰^與無(wú)軸交于A(-1,0),B(4,0)兩點(diǎn),

;.A、8點(diǎn)關(guān)于直線/對(duì)稱,

:.M'B=M'A,

:.M'A+M'C=M'B+M'C=BC,

此時(shí)A+M'C的值最小,

<BC==4近,

:.M'A+M'C的最小值為4&,

當(dāng)/點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),ML+MC有最小值,最小值為4注.

故答案為:472.

問(wèn)題:點(diǎn)尸是/AOB內(nèi)的一定點(diǎn),點(diǎn)M,N分別為。4,上的動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)M,N

的位置,使△PMN的周長(zhǎng)最小.

解題思路:

一找:分別作點(diǎn)P關(guān)于OA,。8的對(duì)稱點(diǎn)P,尸“,連接PP“,分別交OA,08于點(diǎn)

M,N;

二證:驗(yàn)證當(dāng)P,M,N,P"四點(diǎn)共線時(shí),△PMN的周長(zhǎng)最小.

三計(jì)算.

注:當(dāng)三個(gè)點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)時(shí),先假定一個(gè)點(diǎn)為定點(diǎn),再將其特化為“一定兩動(dòng)”問(wèn)題

請(qǐng)寫(xiě)出【模型分析】中解題思路“二證”的過(guò)程.

【解答】解:分別作點(diǎn)P關(guān)于。4、。8的對(duì)稱點(diǎn)P〃、P',連接PP〃,交0A于

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得MP=P"PN=P'N,

...△PMN的周長(zhǎng)的最小值=〃P".

【變式2-1]如圖,在四邊形ABCD中,ZBAD=m°,/。=90°,點(diǎn)M、N分別

在BC、CD上,

(1)當(dāng)/M4N=/C時(shí),ZAMN+ZANM=°;

(2)當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí),/AMN+NANM=°.

【答案】⑵,118

【解答】解:(1),:ZBAD=nr,ZB=ZD=90°,

;./C=180°-121°=59°,

:.ZMAN=ZC=59°,

:.AMN+ZANM=1800-ZMAN=180°-59°=121°,

故答案為121.

(2)如下圖,作A關(guān)于BC和CO的對(duì)稱點(diǎn)A',A",

連接A'A",交2C于交,CD于N,

貝IJA'A〃即為△AMN的周長(zhǎng)最小值.

作DA延長(zhǎng)線AH,

vZDAB^nr,

:.ZHAA'=59°,

AZA4,M+ZA"=ZHAA'=59°,

':ZMA'A=ZMAA',ZNAD=ZA",

S.ZMA'A+ZMAA'=NAMN,

ZNAD+ZA"=ZANM,

:.NAMN+/ANM

=ZMA'A+ZMAA'+ZNAD+ZA"

=2(ZA4zM+ZA")=2X59°=118°.

故答案為:118.

【變式2-2]如圖,在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中,點(diǎn)P,M,N分別是BC,AB,AC上的動(dòng)

點(diǎn),則△PMN周長(zhǎng)的最小值為

A

【答案】3

【解答】解:如圖,連接AP,作點(diǎn)P關(guān)于AB,AC的對(duì)稱點(diǎn)P,P〃,連接AP,AP",

P'P",P'P"分別交4B,AC于點(diǎn)M,N,連接尸M,PN,此時(shí)△2〃可的周長(zhǎng)最小,

最小值=P尸"的長(zhǎng).過(guò)點(diǎn)A作AHLPP"于點(diǎn)

':AP=AP'=AP",NMB=/P'AB,ZPAC=ZP"AC,

:.ZP'AP"=2ZPAB+2ZR\C=2(NE4B+NB4C)=120°,

:.ZP'=ZP"=30°,

\'AH.LP'P",

:.P'H=P"H=PA'?cos30°=近必,

2

:.P'P"=MPA,

...用最小時(shí),p'p"的值最小,

:當(dāng)E4L2C時(shí),E4的值最小,此時(shí)E4=?,

:.P'P"的最小值為3,

:.4PMN的周長(zhǎng)的最小值為3,

故答案為:3.

【典例3】模型分析

問(wèn)題:點(diǎn)、P,。是NAOB內(nèi)部的兩定點(diǎn),點(diǎn)、M,N分別是04,08上的動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)

M,N的位置,使四邊形PMN。的周長(zhǎng)最小.

解題思路:

一找:作點(diǎn)P關(guān)于04的對(duì)稱點(diǎn)P,點(diǎn)Q關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)Q',連接P'Q1,分別交

OA,OB于點(diǎn)Af,N;

二證:驗(yàn)證當(dāng)P,M,N,Q'四點(diǎn)共線時(shí),四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小.

三計(jì)算.

請(qǐng)寫(xiě)出【模型分析】中解題思路“二證”的過(guò)程.

【解答】解:如圖,分別作點(diǎn)P,。關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P、Q',連接。Q'

交04于M,交OB于N,

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得M,QN=Q'N,

.,?四邊形PQNM周長(zhǎng)的最小值=PQ'.

【變式3-1]如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,AE=2DF=2,煎G,〃分別在CD,BC

邊上,則四邊形所G8周長(zhǎng)的最小值為

【答案】10+2&.

【解答】解:作點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E',作點(diǎn)廠關(guān)于C。的對(duì)稱點(diǎn)尸',,連接£'

F交BC、CZ)于點(diǎn)X、G,則EH=EH,GF=GF,此時(shí)四邊形斯G8周長(zhǎng)取最小值,

EFGH周長(zhǎng)=EF+EH+HG+FG=EF+EH+HG+FG=EF+EF

':AE=2DF=1,

:.DF=1,AF=5-1=4,DF=\,BE=5-2=3,

尸=5+1=6,AE=5+3=8,

:.EF=10f

EF=>/AE2+AF2=722+42=2泥.

【變式3-2]如圖,在矩形ABC。中,AB=6,BC=3,點(diǎn)E是A3的中點(diǎn),若點(diǎn)P,。分別

是邊BC,CQ上的動(dòng)點(diǎn),則四邊形AEP。周長(zhǎng)的最小值為.

【答案】3后+3

【解答】解:如圖所示,作出點(diǎn)A關(guān)于CO的對(duì)稱點(diǎn)4作出點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E'

連接A'E',分別交C。、BC于點(diǎn)、Q、P,

:.AQ=A'Q,EP=E'P,

,四邊形AEP。的周長(zhǎng)=A'Q+PQ+E/P+AE=A'E'+AE,此時(shí)周長(zhǎng)最小,

:AB=6,BC=3,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),

:.AD=3,AE=BE=3,

':AD=AD'=3,AE=BE=BE'=3,

VAA/=6,AE'=9,

?'-A,E'=VAA72+AE72==3V13>

四邊形4EPQ的周長(zhǎng)=3,15+3,

故答案為:3g+3.

A

問(wèn)題:

如圖,點(diǎn)A,8為直線/同側(cè)兩定點(diǎn),M,N為直線/上的動(dòng)點(diǎn),且的長(zhǎng)度為定值,

試確定點(diǎn)M,N的位置,使AM+MN+BN的值最小.

解題思路:

一找:以AM,MN為鄰邊.構(gòu)造團(tuán),作點(diǎn)A'關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A“,連接A

“B,交直線/于點(diǎn)N,再確定點(diǎn)M;

二證:驗(yàn)證當(dāng)A“,N,3三點(diǎn)共線時(shí),AM+AW+BN的值最小.

三計(jì)算.

請(qǐng)寫(xiě)出【基本模型】中解題思路“二證”的過(guò)程.

【解答】解:如圖,

?..四邊形AM7VA'為平行四邊形,

:.AA'=MN,AM=A'N,

..?點(diǎn)A'與點(diǎn)A”關(guān)于直線/對(duì)稱,

:.NA'=NA",

:.AM+BN=A'N

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論