




版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
12兩之間線段最短求最值(四大類型含將軍飲馬)
(知識(shí)解讀)
【專莖說(shuō)跚】
“兩點(diǎn)之間,線段最短”是初中數(shù)學(xué)中的基本定理之一,也是人們?cè)谏钪姓J(rèn)識(shí)到的基
本事實(shí),而對(duì)于數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題,學(xué)生往往無(wú)從下手,其實(shí)往往就是這個(gè)基本定理的應(yīng)
用。
【方法技巧】
模型一“一線兩點(diǎn)”型(一動(dòng)+兩定)
類型一異側(cè)線段和最小值問(wèn)題
問(wèn)題:兩定點(diǎn)A,B位于直線1異側(cè),在直線1上找一點(diǎn)P,使PA+PB值最小.
【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,PA+PB的最小值即為線段AB的長(zhǎng).連接
AB交直線1于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.
A連接46交直A
,線/于點(diǎn)P\p
----------1------------------弋—I
?R
類型二同側(cè)線段和最小值問(wèn)題(將軍飲馬模型)
問(wèn)題:兩定點(diǎn)A,B位于直線1同側(cè),在直線1上找一點(diǎn)P,使得PA+PB值最小.
【解題思路】將兩定點(diǎn)同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)問(wèn)題,同類型一即可解決.作點(diǎn)B關(guān)于1
的對(duì)稱點(diǎn)夕,連接AB',與直線1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.
作8關(guān)于直線/
的對(duì)稱點(diǎn)8',連
?A§接4夕,與直線/\AB
?交于點(diǎn)夕
----1------\z
R'
類型三同側(cè)差最大值問(wèn)題
問(wèn)題:兩定點(diǎn)A,B位于直線I同側(cè),在直線I上找一點(diǎn)P,使得|PA—PB|的值最
大.
【解題思路】根據(jù)三角形任意兩邊之差小于第三邊,|PA—PB|WAB,當(dāng)A,B,P
三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,即|PA—PB|的最大值為線段AB的長(zhǎng).連接AB并延長(zhǎng),
與直線I的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.
4連接48&
?.B并延長(zhǎng):
1與直線J鐘
交于點(diǎn)夕
類型四異側(cè)差最大值問(wèn)題
問(wèn)題:兩定點(diǎn)A,B位于直線1異側(cè),在直線1上找一點(diǎn)P,使得|PA—PB|的值最大.
【解題思路】將異側(cè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為同側(cè),同類型三即可解決.
4作點(diǎn)8關(guān)于直線/從
,的對(duì)稱點(diǎn)8;7、產(chǎn)
B連接48'并延長(zhǎng),BP
與直線/交于點(diǎn)P
模型二“一點(diǎn)兩線”型(兩動(dòng)+一定〉
問(wèn)題:點(diǎn)P是NAOB的內(nèi)部一定點(diǎn),在0A上找一點(diǎn)M,在0B上找一點(diǎn)N,使得
△PMN周長(zhǎng)最小.
【解題思路】要使△PMN周長(zhǎng)最小,即PM+PN+MN值最小.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段
最短,將三條線段轉(zhuǎn)化到同一直線上即可.
分別作點(diǎn)P關(guān)P:A
,于04、0B的、、/
//對(duì)稱點(diǎn)P'、P",
?尸連接PP交N'T
uBOA、0B于點(diǎn)、u/v\|B
M、NP〃
模型三“兩點(diǎn)兩線”型(兩動(dòng)+兩定)
問(wèn)題:點(diǎn)P,Q是NA0B的內(nèi)部?jī)啥c(diǎn),在0A上找點(diǎn)在0B上找點(diǎn)N,使得四
邊形PQNM周長(zhǎng)最小.
【解題思路】要使四邊形PQNM周長(zhǎng)最小,PQ為定值,即求得PM+MN+NQ的最
小值即可,需將線段PM,MN,NQ三條線段盡可能轉(zhuǎn)化在一條直線上,因此想到
作點(diǎn)P關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)Q關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn).
>分別作點(diǎn)P,。病
關(guān)于。4,。8的_
Q對(duì)稱點(diǎn)P,連
08接P'Q',交。4,0N'"B
0B于點(diǎn)、M,N
【典例今新】
【典例1-1】基本模型
問(wèn)題:如圖,定點(diǎn)A,B位于動(dòng)點(diǎn)P所在直線/同側(cè)試確定點(diǎn)尸的位置,使AP+8尸的值
最小.
解題思路:
一找:作點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)5,連接AB,,與直線/交于點(diǎn)P;
二證:驗(yàn)證當(dāng)A,P,8'三點(diǎn)共線時(shí),4尸+2尸取得最小值.
三計(jì)算.
請(qǐng)寫(xiě)出【基本模型】中解題思路“二證”的過(guò)程.
A(定點(diǎn))
\VB(定.點(diǎn))
P
【典例1-2]模型演變
問(wèn)題:如圖,定點(diǎn)A,B位于動(dòng)點(diǎn)P所在直線/同側(cè),在直線/上確定點(diǎn)尸的位置,使|必
-尸初的值最大.
解題思路:
一找:連接并延長(zhǎng),交直線/于點(diǎn)尸;
二證:驗(yàn)證當(dāng)A,B,尸三點(diǎn)共線時(shí),|加-尸2|取得最大值.
三計(jì)算.
請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程.
A?
B?
P
【典例1-3]模型演變
問(wèn)題:如圖,定點(diǎn)A,2位于動(dòng)點(diǎn)尸所在直線/的兩側(cè),試確定點(diǎn)尸的位置,使AP+BP
的值最小.
解題思路:
一找:連接AB交直線/于點(diǎn)P;
二證:驗(yàn)證當(dāng)A,P,3三點(diǎn)共線時(shí),AP+8P取得最小值.
三計(jì)算.
請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程.
【典例1-4]模型演變
問(wèn)題:如圖,定點(diǎn)A,2位于動(dòng)點(diǎn)尸所在直線/的兩側(cè),試確定點(diǎn)尸的位置,使|力-尸8|
的值最大.
解題思路:
一找:作點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)方,連接并延長(zhǎng),交直線于點(diǎn)P;
二證:驗(yàn)證當(dāng)A,B,,P三點(diǎn)共線時(shí),|E4-尸為取得最大值.
三計(jì)算.
請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程.
?A
-----------
?B
【變式1-1]如圖,已知菱形ABC。的邊長(zhǎng)為4,/ABC=60°,點(diǎn)N為BC的中點(diǎn),點(diǎn)M
是對(duì)角線AC上一點(diǎn),則MB+MN的最小值為
A'D
M
【變式1-2]如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)。是對(duì)角線2。的中點(diǎn),E是AB
邊上一點(diǎn),且AE=1,尸是CO邊上一點(diǎn),則|PE-尸O|的最大值為
【變式1-3]如圖,在菱形ABC。中,AB=12,ZDAB^60°,對(duì)角線AC,2D交于點(diǎn)0,
點(diǎn)、E,P分別在BD,AB±,且BP=OE=4.點(diǎn)尸為AC上一點(diǎn),則|PF-PE|的最大值
為.
【變式1-4]結(jié)論:如圖,拋物線y=a/-6x-4與x軸交于,A(-1,0),8(4,0)兩
點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線/為該拋物線的對(duì)稱軸,點(diǎn)M為直線/上的一點(diǎn),則MA+MC
的最小值為.
【典例2】模型分析
問(wèn)題:點(diǎn)尸是/AOB內(nèi)的一定點(diǎn),點(diǎn)M,N分別為OA,上的動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)M,N
的位置,使△PMN的周長(zhǎng)最小.
解題思路:
一找:分別作點(diǎn)尸關(guān)于。4,的對(duì)稱點(diǎn)P,P",連接PP“,分別交0A,于點(diǎn)
M,N;
二證:驗(yàn)證當(dāng)P',M,N,P"四點(diǎn)共線時(shí),△PMN的周長(zhǎng)最小.
三計(jì)算.
注:當(dāng)三個(gè)點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)時(shí),先假定一個(gè)點(diǎn)為定點(diǎn),再將其特化為“一定兩動(dòng)”問(wèn)題
請(qǐng)寫(xiě)出【模型分析】中解題思路“二證”的過(guò)程.
【變式2-1]如圖,在四邊形ABCD中,ZBAD=121°,NB=/D=90°,點(diǎn)M、N分別
在BC、CO上,
(1)當(dāng)NWW=NC時(shí),ZAMN+ZANM=°;
(2)當(dāng)△AAfN周長(zhǎng)最小時(shí),ZAMN+ZANM=°.
【變式2-2]如圖,在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中,點(diǎn)P,M,N分別是BC,AB,AC上的動(dòng)
點(diǎn),則△尸MN周長(zhǎng)的最小值為
A
【典例3】模型分析
問(wèn)題:點(diǎn)P,。是/AOB內(nèi)部的兩定點(diǎn),點(diǎn)M,N分別是。4,0B上的動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)
M,N的位置,使四邊形尸MNQ的周長(zhǎng)最小.
解題思路:
一找:作點(diǎn)P關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)P,點(diǎn)。關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)Q',連接PQ',分別交
0A,于點(diǎn)M,N;
二證:驗(yàn)證當(dāng)P',M,N,Q/四點(diǎn)共線時(shí),四邊形尸QVM的周長(zhǎng)最小.
三計(jì)算.
請(qǐng)寫(xiě)出【模型分析】中解題思路“二證”的過(guò)程.
【變式3-1]如圖,已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為5,AE=2DF=2,點(diǎn)、G,H分別在CD,BC
邊上,則四邊形MGH周長(zhǎng)的最小值為.
【變式3-2]如圖,在矩形ABC。中,AB=6,BC=3,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),若點(diǎn)尸,。分別
是邊BC,CO上的動(dòng)點(diǎn),則四邊形AEP。周長(zhǎng)的最小值為.
【典例4-1】基本模型
問(wèn)題:
如圖,點(diǎn)A,8為直線/同側(cè)兩定點(diǎn),M,N為直線/上的動(dòng)點(diǎn),且MN的長(zhǎng)度為定值,
試確定點(diǎn)M,N的位置,使AM+MN+BN的值最小.
解題思路:
一找:以AM,MN為鄰邊.構(gòu)造團(tuán),作點(diǎn)A'關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A“,連接A
“B,交直線/于點(diǎn)N,再確定點(diǎn)M;
二證:驗(yàn)證當(dāng)A“,N,8三點(diǎn)共線時(shí),AM+腦V+BN的值最小.
三計(jì)算.
請(qǐng)寫(xiě)出【基本模型】中解題思路“二證”的過(guò)程.
【典例4-2】模型演變
問(wèn)題:如圖,直線?!?,定點(diǎn)A,B分別位于直線。的上方和直線6的下方,M,N分別
為直線m6上的動(dòng)點(diǎn),且MNLa,試確定點(diǎn)M,N的位置,使AM+MN+BN的值最小.
解題思路:
一找:以AM腦V為鄰邊構(gòu)造13AMNA',連接A'8;
二證:驗(yàn)證當(dāng)A,N,B三點(diǎn)共線時(shí),AM+MN+BN的值最小.
三計(jì)算.
請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程.
【變式4-1]如圖,正方形ABCO內(nèi)接于。0,線段在對(duì)角線8。上運(yùn)動(dòng),若。。的面
積為2TT,MN=\,則AM+CN的最小值為
【變式4-2]如圖,在矩形A3CD中,AB=M,BC=1,將△A3。沿射線方向平移得
到△AE。,連接8C,D'C,求BC+DC的最小值.
12兩之間線段最短求最值(四大類型含將軍飲馬)
(知識(shí)解讀)
【I觀說(shuō)明】
“兩點(diǎn)之間,線段最短”是初中數(shù)學(xué)中的基本定理之一,也是人們?cè)谏钪姓J(rèn)識(shí)到的基
本事實(shí),而對(duì)于數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題,學(xué)生往往無(wú)從下手,其實(shí)往往就是這個(gè)基本定理的應(yīng)
用。
【方法技巧】
模型一“一線兩點(diǎn)”型(一動(dòng)+兩定)
類型一異側(cè)線段和最小值問(wèn)題
問(wèn)題:兩定點(diǎn)A,B位于直線1異側(cè),在直線1上找一點(diǎn)P,使PA+PB值最小.
【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,PA+PB的最小值即為線段AB的長(zhǎng).連接
AB交直線1于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.
A連接48交直A
,線/于點(diǎn)p\p
----------1------------------弋—I
?R
類型二同側(cè)線段和最小值問(wèn)題(將軍飲馬模型)
問(wèn)題:兩定點(diǎn)A,B位于直線1同側(cè),在直線1上找一點(diǎn)P,使得PA+PB值最小.
【解題思路】將兩定點(diǎn)同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)問(wèn)題,同類型一即可解決.作點(diǎn)B關(guān)于1
的對(duì)稱點(diǎn)玄,連接AB',與直線1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.
作8關(guān)于直線/
的對(duì)稱點(diǎn)8',連
?AB接4夕,與直線/4B
?交于點(diǎn)夕
-------1---------
R'
類型三同側(cè)差最大值問(wèn)題
問(wèn)題:兩定點(diǎn)A,B位于直線I同側(cè),在直線I上找一點(diǎn)P,使得|PA—PB|的值最
大.
【解題思路】根據(jù)三角形任意兩邊之差小于第三邊,|PA—PB|WAB,當(dāng)A,B,P
三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,即|PA—PB|的最大值為線段AB的長(zhǎng).連接AB并延長(zhǎng),
與直線I的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.
A連接48A
..B并延長(zhǎng):
1與直線JP~l
交于點(diǎn)、P
類型四異側(cè)差最大值問(wèn)題
問(wèn)題:兩定點(diǎn)A,B位于直線1異側(cè),在直線1上找一點(diǎn)P,使得|PA—PB|的值最大.
【解題思路】將異側(cè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為同側(cè),同類型三即可解決.
A作點(diǎn)8關(guān)于直線/4
"的對(duì)稱點(diǎn)8:
B連接48'并延長(zhǎng),BP
與直線/交于點(diǎn)P
模型二“一點(diǎn)兩線”型(兩動(dòng)+一定〉
問(wèn)題:點(diǎn)P是NAOB的內(nèi)部一定點(diǎn),在0A上找一點(diǎn)M,在0B上找一點(diǎn)N,使得
△PMN周長(zhǎng)最小.
【解題思路】要使周長(zhǎng)最小,即PM+PN+MN值最小.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段
最短,將三條線段轉(zhuǎn)化到同一直線上即可.
分別作點(diǎn)P關(guān)P'
于。4、0B的
對(duì)稱點(diǎn)P'、R
連接P'P"交
BOA、0B于點(diǎn),
M、N
模型三“兩點(diǎn)兩線”型(兩動(dòng)+兩定)
問(wèn)題:點(diǎn)P,Q是NAOB的內(nèi)部?jī)啥c(diǎn),在0A上找點(diǎn)M,在0B上找點(diǎn)N,使得四
邊形PQNM周長(zhǎng)最小.
【解題思路】要使四邊形PQNM周長(zhǎng)最小,PQ為定值,即求得PM+MN+NQ的最
小值即可,需將線段PM,MN,NQ三條線段盡可能轉(zhuǎn)化在一條直線上,因此想到
作點(diǎn)P關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)Q關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn).
>分別作點(diǎn)2。病
Q對(duì)稱點(diǎn)P,0,連
08接P'Q',交。4,0N'lB
于點(diǎn)
【尊例合新】
【典例1-1]基本模型
問(wèn)題:如圖,定點(diǎn)A,B位于動(dòng)點(diǎn)P所在直線/同側(cè)試確定點(diǎn)P的位置,使AP+8尸的值
最小.
解題思路:
一找:作點(diǎn)3關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)8,連接A",與直線/交于點(diǎn)尸;
二證:驗(yàn)證當(dāng)A,P,8三點(diǎn)共線時(shí),AP+BP取得最小值.
三計(jì)算.
請(qǐng)寫(xiě)出【基本模型】中解題思路“二證”的過(guò)程.
A(定點(diǎn))
\B(定點(diǎn))
P
【解答】解:如圖,???點(diǎn)8與點(diǎn)次關(guān)于直線/對(duì)稱,
:.PB=PB
:.PA+PB=PA+PB'=AB',
此時(shí)PA+PB的值最小.
問(wèn)題:如圖,定點(diǎn)A,2位于動(dòng)點(diǎn)尸所在直線/同側(cè),在直線/上確定點(diǎn)尸的位置,使|以
-尸目的值最大.
解題思路:
一找:連接AB并延長(zhǎng),交直線/于點(diǎn)尸;
二證:驗(yàn)證當(dāng)A,B,尸三點(diǎn)共線時(shí),|B4-尸司取得最大值.
二計(jì)算.
請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程.
A.
B.
--------P----------,
【解答】證明:如圖,P為/上異于P的一點(diǎn),連接P'4P'B,
在△ABP中,由三角形的三邊關(guān)系得:\P'A-P'B\<AB,
,:PA-PB=AB,
:.\P'A-PB\<\PA=PB\,
...當(dāng)4、B、P三點(diǎn)共線時(shí),的值最大.
【典例1-3】模型演變
問(wèn)題:如圖,定點(diǎn)A,8位于動(dòng)點(diǎn)尸所在直線/的兩側(cè),試確定點(diǎn)尸的位置,使AP+B尸
的值最小.
解題思路:
一找:連接交直線/于點(diǎn)P;
二證:驗(yàn)證當(dāng)A,P,3三點(diǎn)共線時(shí),AP+3尸取得最小值.
三計(jì)算.
請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程.
【解答】解:圖形如圖所不:
,:P'A+P'BNAB,AB=PA+PB,
:.P'A+P'B^PA+PB,
:.AP+PB的值最小.
【典例1-4]模型演變
問(wèn)題:如圖,定點(diǎn)A,2位于動(dòng)點(diǎn)P所在直線/的兩側(cè),試確定點(diǎn)尸的位置,使|%-尸8|
的值最大.
解題思路:
一找:作點(diǎn)2關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)5,連接A3并延長(zhǎng),交直線于點(diǎn)尸;
二證:驗(yàn)證當(dāng)A,B',P三點(diǎn)共線時(shí),|E4-尸8|取得最大值.
三計(jì)算.
請(qǐng)寫(xiě)出【模型演變】中解題思路“二證”的過(guò)程.
?A
-----------
?B
【解答】解:如圖,在直線乙上任意取一點(diǎn)P,連接PB',
V\P'A-P'B\^AB',
...當(dāng)A,B',P'共線時(shí),\P'A-P'2|的值最大,最大值為AB'的長(zhǎng).
【變式1-1]如圖,已知菱形ABC。的邊長(zhǎng)為4,/ABC=60°,點(diǎn)N為BC的中點(diǎn),點(diǎn)〃
是對(duì)角線AC上一點(diǎn),則Affi+MN的最小值為.
【答案】24
【解答】解:如圖,連接ON,DM,過(guò)點(diǎn)。作OHLBC交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)”.
?.?四邊形A2C。是菱形,
:.AB=CB=CD=AD,ZABC=ZADC=6Q°,
.,.△ABC,ZvinC都是等邊三角形,
:.B,。關(guān)于AC對(duì)稱,
;.MB=MD,
:.MB+MN=MD+MN》DN,
':AB//CD,
:.ZDCH=60°,
,:DH1.CH,
:.CH=CD'cos600=2,DH=2y/3,
,:BN=CN=2,C£)=4,
:.NH=CN+CH=4,
D^=VDH2+NH2=V(2\(3)2+42=2^7'
:.MB+MN/救,
:.MB+MN的最小值為277.
故答案為:20
【變式1-2]如圖,在矩形A3CD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)。是對(duì)角線3。的中點(diǎn),E是A3
邊上一點(diǎn),且AE=1,尸是CD邊上一點(diǎn),則|PE-尸。|的最大值為.
AD
--------'C
【答案】Vio
【解答】解:如圖,連接0E,過(guò)點(diǎn)0作于點(diǎn)H.
AD
:四邊形ABC。是矩形,
:.ZA=ZOHB^90°,
:.OH//AD,
':OB=OD,
:.AH=HB=2,
0H=—AD=3,
2
VA£=1,
:.EH=AH-AE=1.
0£=7EH2OH2=Vl2+32='
OP|WEO=VI5,
IPE-。尸1的最大值為
故答案為:Vio.
【變式1-3]如圖,在菱形ABCD中,AB=12,ZDAB=60°,對(duì)角線4C,BD交于點(diǎn)O,
點(diǎn)E,P分別在BZ),AB±,且BP=Z)E=4.點(diǎn)尸為AC上一點(diǎn),則|PF-尸囿的最大值
為.
D
【答案】2
【解答】解:在03上取一點(diǎn)E',使得=OE,中點(diǎn)E,作射線FE交AC于點(diǎn)P.
則PE=PE,
:.\PF-PE\=PF-PEWFE,
當(dāng)P與P重合,P\E、尸三點(diǎn)在同一直線上時(shí),|PF-PE|有最大值,即為FE的長(zhǎng),
在菱形ABCD中,ZABC=120°,
AZABD=60°,ZDAB=6Q°,
△ABO為等邊三角形.
:.AB=BD=AD=12.
00=08=6.
;BF=DE=4,
:.OE=OE'=2,
:.BE'=OB-0E'=4,
:.BF=BE'
VZABD=60°,
.,.△BE戶為等邊三角形,
:.EF=FB=2.
故|PF-PE|的最大值為2.
故答案為:2.
【變式1-4]結(jié)論:如圖,拋物線與x軸交于,A(-1,0),8(4,0)兩
點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線/為該拋物線的對(duì)稱軸,點(diǎn)M為直線/上的一點(diǎn),則MA+MC
的最小值為.
【答案】4如.
【解答】解:連接BC交直線/于點(diǎn),連接4,如圖,
當(dāng)x=0時(shí),y—ax1-bx-4=-4,貝!]C(0,-4),
:拋物線尸癥-灰^與無(wú)軸交于A(-1,0),B(4,0)兩點(diǎn),
;.A、8點(diǎn)關(guān)于直線/對(duì)稱,
:.M'B=M'A,
:.M'A+M'C=M'B+M'C=BC,
此時(shí)A+M'C的值最小,
<BC==4近,
:.M'A+M'C的最小值為4&,
當(dāng)/點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),ML+MC有最小值,最小值為4注.
故答案為:472.
問(wèn)題:點(diǎn)尸是/AOB內(nèi)的一定點(diǎn),點(diǎn)M,N分別為。4,上的動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)M,N
的位置,使△PMN的周長(zhǎng)最小.
解題思路:
一找:分別作點(diǎn)P關(guān)于OA,。8的對(duì)稱點(diǎn)P,尸“,連接PP“,分別交OA,08于點(diǎn)
M,N;
二證:驗(yàn)證當(dāng)P,M,N,P"四點(diǎn)共線時(shí),△PMN的周長(zhǎng)最小.
三計(jì)算.
注:當(dāng)三個(gè)點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)時(shí),先假定一個(gè)點(diǎn)為定點(diǎn),再將其特化為“一定兩動(dòng)”問(wèn)題
請(qǐng)寫(xiě)出【模型分析】中解題思路“二證”的過(guò)程.
【解答】解:分別作點(diǎn)P關(guān)于。4、。8的對(duì)稱點(diǎn)P〃、P',連接PP〃,交0A于
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得MP=P"PN=P'N,
...△PMN的周長(zhǎng)的最小值=〃P".
【變式2-1]如圖,在四邊形ABCD中,ZBAD=m°,/。=90°,點(diǎn)M、N分別
在BC、CD上,
(1)當(dāng)/M4N=/C時(shí),ZAMN+ZANM=°;
(2)當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí),/AMN+NANM=°.
【答案】⑵,118
【解答】解:(1),:ZBAD=nr,ZB=ZD=90°,
;./C=180°-121°=59°,
:.ZMAN=ZC=59°,
:.AMN+ZANM=1800-ZMAN=180°-59°=121°,
故答案為121.
(2)如下圖,作A關(guān)于BC和CO的對(duì)稱點(diǎn)A',A",
連接A'A",交2C于交,CD于N,
貝IJA'A〃即為△AMN的周長(zhǎng)最小值.
作DA延長(zhǎng)線AH,
vZDAB^nr,
:.ZHAA'=59°,
AZA4,M+ZA"=ZHAA'=59°,
':ZMA'A=ZMAA',ZNAD=ZA",
S.ZMA'A+ZMAA'=NAMN,
ZNAD+ZA"=ZANM,
:.NAMN+/ANM
=ZMA'A+ZMAA'+ZNAD+ZA"
=2(ZA4zM+ZA")=2X59°=118°.
故答案為:118.
【變式2-2]如圖,在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中,點(diǎn)P,M,N分別是BC,AB,AC上的動(dòng)
點(diǎn),則△PMN周長(zhǎng)的最小值為
A
【答案】3
【解答】解:如圖,連接AP,作點(diǎn)P關(guān)于AB,AC的對(duì)稱點(diǎn)P,P〃,連接AP,AP",
P'P",P'P"分別交4B,AC于點(diǎn)M,N,連接尸M,PN,此時(shí)△2〃可的周長(zhǎng)最小,
最小值=P尸"的長(zhǎng).過(guò)點(diǎn)A作AHLPP"于點(diǎn)
':AP=AP'=AP",NMB=/P'AB,ZPAC=ZP"AC,
:.ZP'AP"=2ZPAB+2ZR\C=2(NE4B+NB4C)=120°,
:.ZP'=ZP"=30°,
\'AH.LP'P",
:.P'H=P"H=PA'?cos30°=近必,
2
:.P'P"=MPA,
...用最小時(shí),p'p"的值最小,
:當(dāng)E4L2C時(shí),E4的值最小,此時(shí)E4=?,
:.P'P"的最小值為3,
:.4PMN的周長(zhǎng)的最小值為3,
故答案為:3.
【典例3】模型分析
問(wèn)題:點(diǎn)、P,。是NAOB內(nèi)部的兩定點(diǎn),點(diǎn)、M,N分別是04,08上的動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)
M,N的位置,使四邊形PMN。的周長(zhǎng)最小.
解題思路:
一找:作點(diǎn)P關(guān)于04的對(duì)稱點(diǎn)P,點(diǎn)Q關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)Q',連接P'Q1,分別交
OA,OB于點(diǎn)Af,N;
二證:驗(yàn)證當(dāng)P,M,N,Q'四點(diǎn)共線時(shí),四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小.
三計(jì)算.
請(qǐng)寫(xiě)出【模型分析】中解題思路“二證”的過(guò)程.
【解答】解:如圖,分別作點(diǎn)P,。關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P、Q',連接。Q'
交04于M,交OB于N,
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得M,QN=Q'N,
.,?四邊形PQNM周長(zhǎng)的最小值=PQ'.
【變式3-1]如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,AE=2DF=2,煎G,〃分別在CD,BC
邊上,則四邊形所G8周長(zhǎng)的最小值為
【答案】10+2&.
【解答】解:作點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E',作點(diǎn)廠關(guān)于C。的對(duì)稱點(diǎn)尸',,連接£'
F交BC、CZ)于點(diǎn)X、G,則EH=EH,GF=GF,此時(shí)四邊形斯G8周長(zhǎng)取最小值,
EFGH周長(zhǎng)=EF+EH+HG+FG=EF+EH+HG+FG=EF+EF
':AE=2DF=1,
:.DF=1,AF=5-1=4,DF=\,BE=5-2=3,
尸=5+1=6,AE=5+3=8,
:.EF=10f
EF=>/AE2+AF2=722+42=2泥.
【變式3-2]如圖,在矩形ABC。中,AB=6,BC=3,點(diǎn)E是A3的中點(diǎn),若點(diǎn)P,。分別
是邊BC,CQ上的動(dòng)點(diǎn),則四邊形AEP。周長(zhǎng)的最小值為.
【答案】3后+3
【解答】解:如圖所示,作出點(diǎn)A關(guān)于CO的對(duì)稱點(diǎn)4作出點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E'
連接A'E',分別交C。、BC于點(diǎn)、Q、P,
:.AQ=A'Q,EP=E'P,
,四邊形AEP。的周長(zhǎng)=A'Q+PQ+E/P+AE=A'E'+AE,此時(shí)周長(zhǎng)最小,
:AB=6,BC=3,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),
:.AD=3,AE=BE=3,
':AD=AD'=3,AE=BE=BE'=3,
VAA/=6,AE'=9,
?'-A,E'=VAA72+AE72==3V13>
四邊形4EPQ的周長(zhǎng)=3,15+3,
故答案為:3g+3.
A
問(wèn)題:
如圖,點(diǎn)A,8為直線/同側(cè)兩定點(diǎn),M,N為直線/上的動(dòng)點(diǎn),且的長(zhǎng)度為定值,
試確定點(diǎn)M,N的位置,使AM+MN+BN的值最小.
解題思路:
一找:以AM,MN為鄰邊.構(gòu)造團(tuán),作點(diǎn)A'關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A“,連接A
“B,交直線/于點(diǎn)N,再確定點(diǎn)M;
二證:驗(yàn)證當(dāng)A“,N,3三點(diǎn)共線時(shí),AM+AW+BN的值最小.
三計(jì)算.
請(qǐng)寫(xiě)出【基本模型】中解題思路“二證”的過(guò)程.
【解答】解:如圖,
?..四邊形AM7VA'為平行四邊形,
:.AA'=MN,AM=A'N,
..?點(diǎn)A'與點(diǎn)A”關(guān)于直線/對(duì)稱,
:.NA'=NA",
:.AM+BN=A'N
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2025至2030年中國(guó)捆條產(chǎn)品數(shù)據(jù)監(jiān)測(cè)研究報(bào)告
- 第二單元第十三課《控制輸出模塊工作》-教學(xué)設(shè)計(jì) 2023-2024學(xué)年粵教版(2019)初中信息技術(shù)八年級(jí)下冊(cè)
- 二零二五年度海域使用權(quán)轉(zhuǎn)讓及海洋資源綜合開(kāi)發(fā)合同
- 第14課 明朝的統(tǒng)治(教學(xué)設(shè)計(jì))2023-2024學(xué)年七年級(jí)下冊(cè)歷史(安徽專版)
- 二零二五年度旅游合作項(xiàng)目返點(diǎn)分紅協(xié)議
- 二零二五年度廚師餐飲行業(yè)廚藝大賽組織合同
- 2025年度股東協(xié)議補(bǔ)充協(xié)議:針對(duì)公司分立、合并后的股權(quán)處理
- 二零二五年度數(shù)字經(jīng)濟(jì)干股股份合作協(xié)議
- 第二單元第四節(jié)《視頻聲音顯效果-插入音視頻超鏈接》教學(xué)設(shè)計(jì) 2023-2024學(xué)年西交大版(2014)初中信息技術(shù)七年級(jí)下冊(cè)
- 二零二五年度全球供應(yīng)鏈風(fēng)險(xiǎn)管理合作協(xié)議
- 《電梯安全教育培訓(xùn)》課件
- 2024年北京電子科技職業(yè)學(xué)院高職單招語(yǔ)文歷年參考題庫(kù)含答案解析
- 2024版消防設(shè)計(jì)質(zhì)量問(wèn)題案例分析手冊(cè)建筑機(jī)電專業(yè)
- 《業(yè)財(cái)一體化實(shí)訓(xùn)教程-金蝶云星空V7.5》
- 工業(yè)機(jī)器人工作站系統(tǒng)組建課件 5.1康耐視is2000工業(yè)相機(jī)視覺(jué)識(shí)別操作
- 人教版二年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一單元綜合測(cè)評(píng)卷(含答案)
- 社區(qū)意識(shí)形態(tài)工作2025年度工作計(jì)劃
- 2025年山東省濟(jì)南廣播電視臺(tái)招聘30人歷年管理單位筆試遴選500模擬題附帶答案詳解
- DG-TJ 08-2048-2024 民用建筑電氣防火設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)
- 2025年中智集團(tuán)招聘筆試參考題庫(kù)含答案解析
- 肝癌圍手術(shù)期的護(hù)理
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論