平面直角坐標系與一次函數(shù)、反比例函數(shù)（能力提升）-2021年中考數(shù)學一輪基礎知識復習和鞏固提升訓練

平面直角坐標系與一次函數(shù)、反比例函數(shù)一能力提升

【知識梳理】

考點一、平面直角坐標系

1.平面直角坐標系

平面內(nèi)兩條有公共原點且互相垂直的數(shù)軸構(gòu)成了平面直角坐標系，坐標平面內(nèi)一點對

應的有序?qū)崝?shù)對叫做這點的坐標.在平面內(nèi)建立了直角坐標系，就可以把“形”(平面內(nèi)的點)

和“數(shù)”(有序?qū)崝?shù)對)緊密結(jié)合起來.

2.各象限內(nèi)點的坐標的特點、坐標軸上點的坐標的特點

點P(x,y)在第一象限。x>0,v>0；

點P(x,y)在第二象限=x<0,y〉0；

點P(x,y)在第三象限=x<0,y<0；

點P(x,y)在第四象限。x>0,v<0；

點P(x,y)在x軸上=y=0,x為任意實數(shù)；

點P(x,y)在y軸上Ox=0,y為任意實數(shù)；

點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上Ox,y同時為零，即點P坐標為(0,0).

3.兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征

點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上Ox與y相等；

點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上=x與y互為相反數(shù).

4.和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征

位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同；

位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同.

5.關于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特征

點P與點p'關于x軸對稱。橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)；

點P與點P'關于y軸對稱=縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)；

點P與點P'關于原點對稱。橫、縱坐標均互為相反數(shù).

6.點P(x,y)到坐標軸及原點的距離

(1)點P(x,y)到x軸的距離等于加；

(2)點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于W；

(3)點P(x,y)到原點的距離等于Jx?+y2.

7.在平面直角坐標系內(nèi)兩點之間的距離公式

如果直角坐標平面內(nèi)有兩點Z(Xi，yJ、B(X2,y2),那么A、B兩點的距離為：

2

4B=yj（xl-x2）"+（jj-J2）-

兩種特殊情況：

（1）在直角坐標平面內(nèi)，X軸或平行于X軸的直線上的兩點/（匹/）、8々2，田的距離

為：Z8=J（X]_》2）2+（y_y）2=J（X]_/）2="一到

（2）在直角坐標平面內(nèi)，y軸或平行于y軸的直線上的兩點Z（x,%）、臺卜,無）的距離

為:AB=小一班+（乃一％）2=-％）2=|%一V2|

方法指導：

（1）注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限；

（2）平面內(nèi)點的坐標是有序?qū)崝?shù)對，當awb時，（a,b）和（b,a）是兩個不同點的坐

標.

考點二、函數(shù)

1.函數(shù)的概念

設在某個變化過程中有兩個變量x、y,如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，y

都有唯一確定的值與它相對應，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量.

2.自變量的取值范圍

對于實際問題，自變量取值必須使實際問題有意義.對于純數(shù)學問題，自變量取值應保

證數(shù)學式子有意義.

3.表示方法

⑴解析法；⑵列表法；⑶圖象法.

4.畫函數(shù)圖象

（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應值；

（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內(nèi)描出相應的點；

（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來.

方法指導：

（1）在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量；

（2）確定自變量取值范圍的原則：①使代數(shù)式有意義；②使實際問題有意義.

考點三、幾種基本函數(shù)（定義一圖象一性質(zhì)）

1.正比例函數(shù)及其圖象性質(zhì)

(1)正比例函數(shù)：如果y=kx(k是常數(shù)，kWO),那么y叫做x的正比例函數(shù).

(2)正比例函數(shù)y=kx(kWO)的圖象：

過(0,0),(1,K)兩點的一條直線.

蝮經(jīng)過一、三象3艮四象限

(3)正比例函數(shù)y=kx(kWO)的性質(zhì)

①當k>0時，圖象經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；

②當k<0時，圖象經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小.

2.一次函數(shù)及其圖象性質(zhì)

(1)一次函數(shù)：如果y=kx+b(k,b是常數(shù)，kWO),那么y叫做x的一次函數(shù).

(2)—*次函數(shù)y=kx+b(kNO)的圖象

系數(shù)特征圖象特征不經(jīng)過的圖例

象限

b>0直線從左直線與y軸在X軸上

k>0到右取向的交點方四2,x

上方向Ux

0

b<0M(o,b)在X軸下

二|M

方

直線從左直線與y軸在X軸上1y

M

b>0到右取向的交點方三X

k<0下的方向-1*

——x

b<0M(o,b)在X軸下—

方

(3)一次函數(shù)丫=1?+6(kWO)的圖象的性質(zhì)

一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(0,⑹點和(--,0)點的一條直線.

k

①當k〉0時，y隨x的增大而增大;

②當k<0時，y隨x的增大而減小.

(4)用函數(shù)觀點看方程(組)與不等式

①任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+6=0(a,6為常數(shù)，aWO)的形式，所以解一元

一次方程可以轉(zhuǎn)化為：一次函數(shù)了=履+伏"，6為常數(shù)，20),當y=0時，求相應

的自變量的值，從圖象上看，相當于已知直線確定它與x軸交點的橫坐

標.

y=k,x+b,

②二元一次方程組.對應兩個一次函數(shù)，于是也對應兩條直線，從“數(shù)”

y=k2x+b2

的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)值相等，以及這兩個函數(shù)值

是何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線的交點的坐標.

③任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化ax+6>0或ax+6V0(a、6為常數(shù)，aWO)的形式，

解一元一次不等式可以看做：當一次函數(shù)值大于0或小于0時，求自變量相應的取值

范圍.

方法指導：

(1)當b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例；

(2)確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式^=依(kWO)中的常數(shù)k.

確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=依+6(kwo)中的常數(shù)k和b.

解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法.

(3)直線禹x+瓦與直線丫2=k2x+b,2(k/0,k27^0)的位置關系.

①4Wk20yl與丫2相交；

k手k

②，20yl與丫2相交于y軸上同一點(0，h)或(0,b2)；

也=b2

③(7Oy1與丫2平行；

伍產(chǎn)b2

④40yl與丫2重合.

0\二人2

3.反比例函數(shù)及其圖象性質(zhì)

（1）定義：一般地，形如y="（左為常數(shù)，kWo）的函數(shù)稱為反比例函數(shù).

X

k

三種形式：y=—%片0）或^=t（kWO）或xy=k（kWO）.

x

（2）反比例函數(shù)解析式的特征：

①等號左邊是函數(shù)y,等號右邊是一個分式.分子是不為零的常數(shù)左（也叫做比例系數(shù)

k）,分母中含有自變量x,且指數(shù)為1；

②比例系數(shù)左wO；

③自變量x的取值為一切非零實數(shù)；

④函數(shù)y的取值是一切非零實數(shù).

（3）反比例函數(shù)的圖象

①圖象的畫法：描點法

列表（應以。為中心，沿。的兩邊分別取三對或以上互為相反的數(shù)）；

描點（由小到大的順序）；

連線（從左到右光滑的曲線）.

②反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，y=-（左為常數(shù)，k力0）中自變量xwO,函數(shù)

x

值ywO,所以雙曲線是不經(jīng)過原點，斷開的兩個分支，延伸部分逐漸靠近坐標軸,

但是永遠不與坐標軸相交.

③反比例函數(shù)的圖象是軸對稱圖形（對稱軸是y=》和^=-x）和中心對稱圖形（對

稱中心是坐標原點）.

④反比例函數(shù)y=幺（左片0）中比例系數(shù)左的幾何意義是：過雙曲線y=幺（左w0）

上任意點引X軸、y軸的垂線，所得矩形面積為悶.

（4）反比例函數(shù)性質(zhì)：

函數(shù)y=-(/[^0)

X

k的符

k>0k<0

號

4

圖像小

①x的取值范圍是xW0,①X的取值范圍是XW0,

y的取值范圍是yw0；y的取值范圍是yw0；

性質(zhì)②當k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別②當k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分

在第一、三象限.在每個象限內(nèi)，y別在第二、四象限.在每個象限內(nèi)，y

隨X的增大而減小.隨X的增大而增大.

（5）反比例函數(shù)解析式的確定:

利用待定系數(shù)法（只需一對對應值或圖象上一個點的坐標即可求出力）

（6）“反比例關系”與“反比例函數(shù)”：

成反比例的關系式不一定是反比例函數(shù)，但是反比例函數(shù)y=幺中的兩個變量必成反

x

比例關系.

（7）反比例函數(shù)的應用

反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義，如下圖，過反比例函數(shù)y="（左片0）圖像上

X

當左左2<0時，兩函數(shù)圖象無交點;

當左左2>0時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，

坐標分別為（j才，J左他），（一，『"，一J勺左2）?

由此可知，正反比例函數(shù)的圖象若有交點，兩交點一定關于原點對稱.

方法指導：

（1）用待定系數(shù)法求解析式（列方程［組］求解）；

（2）利用一次（正比例）函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象求不等式的解集.

【能力提升訓練】

一、選擇題

1.無論m為何實數(shù)，直線y=x+2m與y=-x+4的交點不可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.如圖，正方形ABCD位于第一象限，邊長為3,點A在直線y=x上，點A的橫坐標為

1,正方形ABCD的邊分別平行于x軸、y軸.若雙曲線y=K與正方形ABCD有公共點，則k

的取值范圍為()

A.l<k<9

B.2WkW34

C.lWkW16

D.4<k<16

3.設b>a,將一次函數(shù)丫4乂+0與y=ax+b的圖象畫在同一平面直角坐標系內(nèi)，則有一

組a,b的取值，使得下列4個圖中的一個為正確的是（）

(A)(B)(C)(D)

4.如圖，過x軸正半軸任意一點尸作x軸的垂線，分別與反比例函數(shù)%=二和%=3的

XX

圖像交于點/和點B若點。是y軸上任意一點，連結(jié)/C、BC,則△//7的面積為（)

A.1B.2C.3D.4

第4題圖5題圖

5.如圖，已知雙曲線了=上體<0）經(jīng)過直角三角形。16斜邊辦的中點2,且與直角邊

X

46相交于點C若點Z的坐標為（-6,4）,則的面積為（）

A.12B.9C.6D.4

6.已知abcWO,而且"2=㈠上=U2=p,那么直線y=px+p一定通過（）

cab

A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D(zhuǎn).第一、四象限

二、填空題

7.如圖，正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=，圖象相交于/、C兩點，過點/做x軸

X

的垂線交x軸于點5,連接BC,若A45c的面積為S,則S=.

k

8.如圖，已知梯形ABCO的底邊A0在x軸上，BC〃AO,AB±AO,過點C的雙曲線歹=—

x

交0B于D,且OD：DB=1：2,若aOBC的面積等于3,則k的值是.

9.若直線y=kx（k>0）與雙曲線尸2的交點為（x°y）、（x2,y2）,則2xj2-5x2%的

x

值為.

10.函數(shù)y=-3x+2的圖像上存在點P,使得P到x軸的距離等于3,則點P的坐標為

k

11.如圖，已知函數(shù)y=2x和函數(shù)y=—的圖象交于A、B兩點，過點A作AE_Lx軸于點

x

E,若AAOE的面積為4,P是坐標平面上的點，且以點B、0、E、P為頂點的四邊形是平行

四邊形，則滿足條件的P點坐標是

。E

第11題圖

12.已知〃是正整數(shù)，《（X],必）,Q（乙,名），…，P”（x”,兄）,…是反比例函數(shù)y=勺圖象

上的一列點，其中西=l,x2=2,…,=〃，….記4=%1v2,A2=x2y3,■■■,An=xnyn+1,---

若4=a（a是非零常數(shù)），則4?4....4的值是（用含a和

〃的代數(shù)式表示）.

13.如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點。與坐標原點重合，A,C分別在坐標軸

上，點B的坐標為（4,2）,直線y=-L+3交AB,BC于點M,N,反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)

2x

過點M,N.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）若點P在x軸上，且AOPM的面積與四邊形BMON的面積相等，求點P的坐標.

14.如圖，將直線歹=4x沿y軸向下平移后，得到的直線與x軸交于點A（3,0）,與

雙曲線y=2（x>0）交于點B.\

（1）求直線AB的解析式;

（2）若點B的縱坐標為m,求k的值（用含m的代數(shù)式表示）.

15.某加油站五月份營銷一種油品的銷售利潤y（萬元）與銷售量x（萬升）之間函數(shù)關系

的圖象如圖中折線所示，該加油站截止到13日調(diào)價時的銷售利潤為4萬元，截止到15日進

油時的銷售利潤為5.5萬元.（銷售利潤=（售價-成本價）X銷售量）請你根據(jù)圖象及加

油站五月份該油品的所有銷售記錄提供的信息，解答下列問題：

（1）銷售量x為多少時，銷售利潤為4萬元？

（2）分別求出線段AB與BC所對應的函數(shù)關系式；

（3）我們把銷售每升油所獲得的利潤稱為利潤率，那么，在0/,AB,BC三段所表示的

銷售信息中，哪一段的利潤率最大？（直接寫出答案）

粉五月份銷售記錄D

1日：有庫存6萬升，成本價

4元/升，售價5元/升.

13日：售價調(diào)整為5.5元/升.

15日：進油4萬升，成本價

4.5元/升.

一31日：本月共銷售10萬升.

16.如圖所示，等腰梯形ABCD中，AB=15,AD=20,NC=30°.點M、N同時以相同

速度分別從點A、點D開始在AB、AD（包括端點）上運動.

⑴設ND的長為x,用x表示出點N到AB的距離，并寫出x的取值范圍;

⑵當五邊形BCDNM面積最小時，請判斷AAMN的形狀.

答案與解析

一、選擇題

1.【答案】C；

【解析】直線y=-x+4經(jīng)過第一，二，四象限，一定不經(jīng)過第三象限，因而直線y=x+2m

與y=-x+4的交點不可能在第三象限.

2.【答案】C；

【解析】點A在直線產(chǎn)x上，其中A點的橫坐標為1,則把x=l代入尸x解得尸1,

則A的坐標是(1,1),

VAB-BC=3,

???C點的坐標是(4,4),

.?.當雙曲線y=X經(jīng)過點(1,1)時，k=l；

X

當雙曲線y=K經(jīng)過點(4,4)時，k=16,

x

因而lWkW16.故選：C.

3.【答案】B；

y=bx+a

【解析】由方程組《的解知兩直線的交點為(1,a+b),

y=ax+b

而圖A中交點橫坐標是負數(shù)，故圖A不對；圖C中交點橫坐標是2W1,

故圖C不對；圖D中交點縱坐標是大于a,小于b的數(shù)，不等于a+b,

故圖D不對；故選B.

4.【答案】A；

5.【答案】B；

【解析】由A(-6,4),可得AABO的面積為4-6?4=12,同

2

時由于D為物的中點，所以D(-3,2),可得反比例

—6—6

函數(shù)解析式為歹二——，設C(a,b),則人二——,

xa

—6,則B0XBC=6,△CBO的面積為3,所以的面積為12-3=9.

6.【答案】B；

【解析】2=把=竺巴=p,

ab

(a+6)+S+c)+(c+

:a)

「?①若a+b+cWO,則p---------------------------------------------------------二2；

a+b+c

—...,田?a+b-c

②￡右a+b+c=0,貝Ip二-----二——二一1,

cc

???當p=2時，y=px+q過第一、二、三象限;

當p=T時，y=px+p過第二、三、四象限,

綜上所述，y=px+p一定過第二、三象限.

二、填空題

7.【答案】1；

【解析】???無法直接求出A48C的面積

/.將NABC分害I]成AOBC和\OAB

由題意，得1,解得「一或『二一

y=_[y=ib=-i

I%

???4(1,1)、B(-l,-l)

AABC的面積=SNOB+^COS=1+1=1

3

8.【答案】k=--.

4

【解析】設B點坐標為(a,b),

VOD：DB=1：2,，D點坐標為(-a,-b),

33

“11

「D在反比例函數(shù)y=—的圖象上，得一a?一b=k,ab=9k-----------------------①，

x33

?；BC〃AO,AB±AO,C在反比例函數(shù)y=4的圖象上，C點的縱坐標是b,

X

???C點坐標為c-,b)

b

將(幺,b)代入y=幺得，x=-,BC=a--,

bxbb

ik

又因為△OBC的IWJ為AB,所以S^OBC=](a—1)=3,cib—k=6②,

3

把①代入②得，9k-k=6,解得k=~.

4

9.【答案】6；

【解析】由題意知，直線y=ax(a>0)過原點和一、三象限，且與雙曲線y=2交于兩

X

點，則這兩點關于原點對稱，

??X1=-X2,Y1=-丫2,

又???點A點B在雙曲線y=2上，

X

??X]Xyi=2,x?義丫2=2,

.,.原式=-2乂2丫2+5乂2丫2=-2X2+5X2=6.故答案為：6.

10.【答案】,3)或(一，-3)；

33

【解析】???點P到x軸的距離等于3,.?.點P的縱坐標為3或-3

當y=3時，x=-—；當y=-3時，x=*：.?.點P的坐標為,3)或(°,-3).

3333

“點P到x軸的距離等于3”就是點P的縱坐標的絕對值為3,故點P的縱坐標應有兩

種情況.

11.【答案】(0,-4),(-4,-4),(4,4)；

【解析】先求出B、0、E的坐標，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)畫出圖形，即可求出P

點的坐標：

如圖，:△AOE的面積為4,函數(shù)y=K的圖象過一、三象限，；.k=8.

X

Q

???函數(shù)y=2x和函數(shù)y=—的圖象交于A、B兩點，

x

:?A、B兩點的坐標是：(2,4)(-2,-4),

??,以點B、0、E、P為頂點的平行四邊形共有3個，

???滿足條件的P點有3個，分別為：Pi(0,-4),P2(-4,-4),P3(4,4).

12.【答案】二^；

72+1

=xxxf

【解析】由題意可知:4?^2???…?Ai?y2?2?^3................n?yn+i又y=3即

xy=k,

所以原式二再?左"T?yn+i.又4=xly2=a,k=x2y2,所以左=2〃，

所以原式國.左"T?%M=1X(2。)1X與=1X(2。)1X用-=2.

x〃+1n+\

三、解答題

13.【答案與解析】

解：(1)VB(4,2),四邊形OABC是矩形，

.,.OA=BC=2,

將y=2代入y=-』x+3得：x=2,

2

AM(2,2),

把M的坐標代入y=X得：k=4,

X

...反比例函數(shù)的解析式是尸&

X

(2)把x=4代入y=9得：y=l,即CN=1,

X

VS四邊形BMON=S矩形OABC-SAAOM-SACON

=4x2--1x2x2--1x4x1=4,

22

由題意得：l|OP|xAO=4,

2

VAO=2,

A|OP|=4,

直線AB的解析式為y=Ax-9.

(2)設點5的坐標為5,加，

?.?直線力8經(jīng)過點6,

m+Q

???夕點的坐標為(一^,加，

4

k

?點8在雙曲線y二一(x>0)上,

加’+9加

15.【答案與解析】

解法一：(1)由題意知，當銷售利潤為4萬元時，銷售量4+(5-4)=4萬升.

答：銷售量x為4萬升時，銷售利潤為4萬元.

(2)點A的坐標為(4,4),從13日到15日利潤為5.5-4=1.5,所以銷售量為1.5?

(5.5-4)-1,

所以點B的坐標為(5,5.5).