湖北省咸寧市通城縣2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題

湖北省咸寧市通城縣2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題

一、精心選一選（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)符合題意,

請(qǐng)?jiān)诖痤}卷上將正確答案的代號(hào)涂黑）

1.在團(tuán)A5CD中，ZA=80°,ZB=100°,則NC等于（〕)

A.60°B.80°C.100°D.120°

2.下列二次根式中，能與6合并的是（)

A.V20B.V12C.我D.F

3.下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,近,VsB.弧,y,V5C.6,7,8D.2,3,4

4.菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角相等B.對(duì)角線互相垂直

C.對(duì)角線相等D.對(duì)角線互相平分

5.下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）

A.V2*V3=V6B.78=272C.V12^V3=2D.V2+>/3=V6

6.已知?jiǎng)tx+y的平方根是（）

A.2B.-2C.±2D.±1

點(diǎn)2的坐標(biāo)是（1,3）,則A、C兩點(diǎn)間的距離是（）

A/13C.A/10D.272

8.如圖，四邊形A8CD中，ZA=90°,AB=2M，AZ）=2,點(diǎn)M,N分別為線段8C,AB上的動(dòng)點(diǎn)（含

端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)8重合），點(diǎn)E,尸分別為。M,MN的中點(diǎn)，則EF長度的最大值為（）

A.3B.2MC.4D.2

二、細(xì)心填一填（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)題號(hào)的位置）

9.計(jì)算：至=.

V3

10.比較大小：4A/15（填“>"或.

11.若J而是整數(shù)，則正整數(shù)〃的最小值為.

12.如圖，在回A2CD中，NABC的平分線3M交C。于點(diǎn)跖且MC=2,13ABe。的周長是14,則。M等

于_______

13.如圖，已知。4=。3,那么數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是

14.一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長分別為行和K回，則這個(gè)菱形的面積為.

15.觀察分析下列數(shù)據(jù)：F，-V6，3,-2V3，WE，…，按規(guī)律第18個(gè)數(shù)據(jù)

為___________________

16.如圖，正方形ABC。的面積為16,對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E,尸分別在邊AB,BC上運(yùn)動(dòng),

Z￡OF=90°,OG平分/EOF,與邊8c交于點(diǎn)G.則下列結(jié)論：

①OE=OF；

②四邊形OEBF的面積保持4不變；

@BG2+CF2=GF2；

④EE的最小值為笳.

其中正確說法的序號(hào)是.（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）

三、專心解一解（本大題共8小題，滿分72分.請(qǐng)認(rèn)真讀題，冷靜思考.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟，請(qǐng)將答案寫在答題卷相應(yīng)題號(hào)的位置）

17.（6分）計(jì)算-我+（E+1）-1）

18.（8分）有一塊矩形木塊，木工采用如圖方式，求木板上截出兩個(gè)面積分別為18力層和32力后的正方形

木板，求剩余木料的面積.

32dm2

18dm2

19.（8分）如圖，點(diǎn)E在邊長為10的正方形ABCD內(nèi)，AE=6,BE=8,求陰影部分的面積.

20.（9分）中國古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)

了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展，現(xiàn)用4個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”.RtaABC中，ZACB

=90°.AC=b,BC=a,AB=c,請(qǐng)你利用這個(gè)圖形解決下列問題：

（1）試說明：cr+b2=c2；

（2）如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是3,求（a+b）2的值.

21.（9分）如圖，在菱形ABC。中，AB=6,ND48=60°,點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是A8邊上一動(dòng)

點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長ME交射線CQ于點(diǎn)N,連接MD,AN.

（1）求證：四邊形AMLW是平行四邊形；

（2）①當(dāng)AM的值為時(shí)，四邊形AA0N是矩形；

②若AM=6,求證：四邊形是菱形.

22.（10分）如圖甲，筆直的公路上A,8兩點(diǎn)相距20bw,C,。為兩村莊，D4_LA8于點(diǎn)A,CBA.AB

點(diǎn)B,已知D4=10切1,CB=5km,現(xiàn)在計(jì)劃在公路的AB段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E.

(1)若規(guī)劃C,。兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？

(2)若規(guī)劃C,。兩村到收購站E的距離的和最短，請(qǐng)?jiān)趫D乙中通過作圖畫出收購站E的位置，計(jì)算得

到距離的和最短值為km.

23.(10分)如圖甲，我們把對(duì)角線相互垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)【概念理解】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了①平行四邊形、②菱形、③矩形、④正方形，在這四種圖形中是垂美

四邊形的是(填序號(hào)).

(2)【性質(zhì)探究】小美同學(xué)猜想“垂美四邊形兩組對(duì)邊的平方和相等"，即，如圖甲，在四邊形ABCD

中，若則4爐+82=4。2+3。2.請(qǐng)判斷小美同學(xué)的猜想是否正確，并說明理由.

(3)【問題解決】如圖乙，在△ABC中，BC=3,AC=4,D,E分別是AC,8C的中點(diǎn)，連接AE,BD,

24.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形。48c的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(10,4),點(diǎn)。是04的中點(diǎn),

點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng).

(1)若E為。P的中點(diǎn)，連接的延長線交射線于點(diǎn)?

①求證：四邊形POZ)尸為平行四邊形；

②當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形尸。。尸為菱形.

(2)當(dāng)△ODP等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

湖北省咸寧市通城縣2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題

參考答案與試題解析

一、精心選一選（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)符合題意，

請(qǐng)?jiān)诖痤}卷上將正確答案的代號(hào)涂黑）

1.在EIABC。中，ZA=80°,ZB=100°,則/C等于（）

A.60°B.80°C.100°D.120°

【分析】由在團(tuán)ABC。中，ZA=80°,/8=100。，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，即可求得答案.

【解答】解：,在固42a＞中，NA=80°,ZB=100°,

.?.NC=NA=80°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì).此題比較簡單，注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵.

2.下列二次根式中，能與'歷合并的是（）

A.V20B.V12C.VsD.V4

【分析】先化成最簡二次根式，再判斷即可.

【解答】解：A、720=275.不能和迎合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、。五=W§,不能和迎合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、我=2＞巧，能和迎合并，故本選項(xiàng)正確；

D、?=2不能和迎合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)，同類二次根式的應(yīng)用，注意：幾個(gè)二次根式，化成最簡二次根式

后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式.

3.下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,V2，V3B.如,F，V5C.6,7,8D.2,3,4

【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即可.

【解答】解：A、在+（V2）2=（限）2,故是直角三角形，符合題意；

B、（V3）2+（F）2*（V5）2,故不是直角三角形，不合題意；

C、62+72#82,故不是直角三角形，不合題意；

D,V22+32#42,故不是直角三角形，不合題意；

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長a,b,。滿足/+廬=02,那

么這個(gè)三角形就是直角三角形.

4.菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角相等B.對(duì)角線互相垂直

C.對(duì)角線相等D.對(duì)角線互相平分

【分析】由菱形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A、對(duì)角相等，是矩形和菱形都具有的性質(zhì)，故選項(xiàng)A不符合題意；

8、對(duì)角線互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)，故選項(xiàng)8符合題意；

C、對(duì)角線相等，是矩形具有的性質(zhì)，而菱形不具有的性質(zhì)，故選項(xiàng)C不符合題意；

。、對(duì)角線互相平分，是矩形和菱形都具有的性質(zhì)，故選項(xiàng)。不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，正確區(qū)分矩形和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）

A.V2-V3=V6B.我=2&C.412^-V3=2D.V2+V3=V6

【分析】根據(jù)二次根式的乘法、二次根式的化簡、二次根式的除法及二次根式的加減運(yùn)算，進(jìn)行各選項(xiàng)

的判斷.

【解答】解：A、=計(jì)算正確，故本選項(xiàng)正確；

B、我=2&,計(jì)算正確，故本選項(xiàng)正確；

C、S叵+向=JZ=2,計(jì)算正確，故本選項(xiàng)正確；

。、血與?不是同類二次根式，不能直接合并，原式計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的加減及乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，掌握各部分的運(yùn)算法則是關(guān)鍵.

6.已知?jiǎng)tx+y的平方根是（）

A.2B.-2C.±2D.±1

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出羽進(jìn)而求出y,根據(jù)平方根的概念解答即可.

【解答】解:由題意得，x-3^0,3-x20,

解得，x=3,

則y=l,

.'.x+y—4,

V4的平方根是±2,

.,.無+y的平方根是±2,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式有意義的條件、平方根的概念，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解

題的關(guān)鍵.

7.如圖，在矩形O42C中，點(diǎn)2的坐標(biāo)是（1,3）,則A、C兩點(diǎn)間的距離是（）

B.413C.AD.272

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：在矩形OABC中,

OB^AC,

'：B(1,3),

?*-OB=yj]2+32=yj1Q,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用矩形的性質(zhì)以及勾股定理，本題屬于基礎(chǔ)題型.

8.如圖，四邊形ABC。中，NA=90°,42=2?,4。=2,點(diǎn)M,N分別為線段8C,AB上的動(dòng)點(diǎn)（含

端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)8重合），點(diǎn)E,P分別為OM,MN的中點(diǎn)，則￡尸長度的最大值為（）

A.3B.273C.4D.2

【分析】連接。N、08,根據(jù)勾股定理求出80,根據(jù)三角形中位線定理得到結(jié)合圖形解答

2

即可.

【解答】解：連接。N、DB,

在RtZXAAB中，ZA=90°,AB=2愿，AD=2,

:，BD=7AD2+AB2=%

:點(diǎn)、E,尸分別為。M,MN的中點(diǎn)，

:.EF=LDN,

2

由題意得，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)8重合時(shí)Z）N最大，最大值為4,

跖長度的最大值為2,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的

關(guān)鍵.

二、細(xì)心填一填（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)題號(hào)的位置）

9.計(jì)算：巫=2.

V3

【分析】分子分母都乘分母有理化因數(shù)?計(jì)算即可得解.

【解答】解：'巨，

V3

=V12-V3

=V36

-3-，

_6

3

=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理化，是基礎(chǔ)題，確定出分母有理化因數(shù)是解題的關(guān)鍵.

10.比較大?。?>-./15（填“>"或.

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出或［=4,比較J元和泥的值即可.

【解答】解：4=716，

我>在，

故答案為：>.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)和實(shí)數(shù)的大小比較等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是知道4=^16,題目較好，難

度也不大.

11.若J而是整數(shù)，則正整數(shù)”的最小值為5.

【分析】J而是正整數(shù)，則20〃一定是一個(gè)完全平方數(shù)，首先把20”分解因數(shù)，確定20”是完全平方

數(shù)時(shí)，〃的最小值即可.

【解答】解：,.?20"=22義5”.

，整數(shù)w的最小值為5.

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根的定義，理解/而是正整數(shù)的條件是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在EIA8CD中，/ABC的平分線■交CD于點(diǎn)且A/C=2,EL4BCD的周長是14,則。M等

【分析】根據(jù)BM是/ABC的平分線和AB//CD,求出BC=MC=2,根據(jù)團(tuán)ABC。的周長是14,求出

8=5,即可得到DM的長.

【解答】解：：剛/是/ABC的平分線，

/ABM=NCBM,

'：AB//CD,

：.ZABM^ABMC,

：.ZBMC=ZCBM,

:.BC=MC=2,

"?EABCZ）的周長是14,

：.BC+CD^T,

：.CD=5,

則DM=CD-MC=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等求出BC+CD是

解題的關(guān)鍵，注意等腰三角形的性質(zhì)的正確運(yùn)用.

【分析】首先根據(jù)勾股定理得：0B=?即。4=代.又點(diǎn)A在數(shù)軸的負(fù)半軸上，則點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是

-V5.

【解答】解：由圖可知，OC=2,作8CLOC,垂足為C,取BC=1,

故OB=OA=d℃2+BC2r22+]2=遙,

在x的負(fù)半軸上，

.??數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是-疾.

IIj-------------------------1------------

-4-31234

故答案為：-Vs-

【點(diǎn)評(píng)】熟練運(yùn)用勾股定理，同時(shí)注意根據(jù)點(diǎn)的位置以確定數(shù)的符號(hào).

14.一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長分別為行和蓊，則這個(gè)菱形的面積為，芯

【分析】直接由菱形面積公式列式計(jì)算即可.

【解答】解：：菱形的兩條對(duì)角線長分別為和3歷，

菱形面積=工義。15義W^=2遙.

2

故答案為：2灰.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟記菱形面積公式是解題的關(guān)鍵.

15.觀察分析下列數(shù)據(jù)：V3.-娓,3,-273.丁元，…，按規(guī)律第18個(gè)數(shù)據(jù)為-3戈.

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律為（-1）"I倔，寫出第18個(gè)數(shù)據(jù)即可.

【解答】解：：遙，-%，3,-2^3,A/15.…，（-1）n+1V3n-

.?.第18個(gè)數(shù)據(jù)為：-3疵.

故答案為：-3a.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根及數(shù)字的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關(guān)鍵.

16.如圖，正方形的面積為16,對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,歹分別在邊AB,8c上運(yùn)動(dòng),

ZEOF=90a,OG平分/EOF,與邊BC交于點(diǎn)G.則下列結(jié)論：

①OE=OF；

②四邊形OEBF的面積保持4不變；

@BG2+CF2=GF2；

④所的最小值為蓊.

其中正確說法的序號(hào)是①②③④.（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）

【分析】依據(jù)正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，通過推理計(jì)算即可得到正確的結(jié)

論，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：：正方形ABC。的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。,

：.OB=OC,NBOC=90°,/OCF=NOBE=45°,

又?：NEOF=90°,

：.ZBOE=ZCOF,

.'.△BOE咨dCOF(ASA),

：.OE=OF,故①正確；

△BOE與△COF的面積相等，

.??四邊形OEBF的面積與aOBC的面積相等，

又,：XBOC的面積等于正方形ABCD面積的四分之一，

四邊形。防尸的面積保持4不變，故②正確；

如圖所示，連接EG,

,?0G平分/E。尸，

：.ZEOG=ZFOG,

又；OE=OF,OG=OG,

:.△EOGgMFOG(SAS),

；.EG=FG,

MBOE冬△COF,

：.BE=CF,

'：RtABEG中，BC^+BE2=EG2,

：.BG1+CF2=GF2,故③正確；

"：OE=OF,ZEOF=90°,

AEOF是等腰直角三角形，

：.EF=yj2OE,

當(dāng)OE有最小值時(shí)，￡尸的值最小，

VAAOB是等腰直角三角形，

當(dāng)OELAB時(shí)，0E的最小值等于AB的一半，

即0E的最小值等于2,

??.斯的最小值為故④正確.

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜

合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形、直角三角形解決問題.

三、專心解一解（本大題共8小題，滿分72分.請(qǐng)認(rèn)真讀題，冷靜思考.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟，請(qǐng)將答案寫在答題卷相應(yīng)題號(hào)的位置）

17.（6分）計(jì)算-遍+（?+1）（?-1）

【分析】直接化簡二次根式以及結(jié)合平方差公式計(jì)算得出答案.

【解答】解:原式=36-2&+3-1

=V2+2.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

18.（8分）有一塊矩形木塊，木工采用如圖方式，求木板上截出兩個(gè)面積分別為18溫層和32力扇的正方形

木板，求剩余木料的面積.

32dm2

18dm2

【分析】根據(jù)兩個(gè)正方形木板的面積分別為18加2和32dm2,分別求得18和32的算術(shù)平方根，則可得

兩個(gè)正方形的邊長，然后用小正方形的邊長乘以兩個(gè)正方形的邊長之差即可得出答案.

【解答】解：,兩個(gè)正方形木板的面積分別為18力,和32力“2,

...這兩個(gè)正方形的邊長分別為：^18=3^2（dm）,732=472（dm）,

剩余木料的面積為：（4、花-3&）X372=72X372=6（加2）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式在正方形和長方形面積計(jì)算中的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的計(jì)算是解題的

關(guān)鍵.

19.（8分）如圖，點(diǎn)E在邊長為10的正方形A8C。內(nèi)，AE=6,BE=8,求陰影部分的面積.

【分析】利用勾股定理的逆定理可判斷△ABE是直角三角形，利用正方形減去直角三角形的面積即可.

【解答】解：在△ABE中，

V62+82=102,

：.AE1+BE1=AB2,

.?.△ABE是直角三角形，ZAEB=90°；

???陰影部分的面積S=S正方形ABCD-SAABE

=102-AX6X8

2

=76.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，也考查了勾股定理的逆定理，解本題的關(guān)

鍵就是利用勾股定理的逆定理判斷出△A8E是直角三角形.

20.(9分)中國古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)

了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展，現(xiàn)用4個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”.中，ZACB

=90°.AC=b,BC=a,AB=c,請(qǐng)你利用這個(gè)圖形解決下列問題：

(1)試說明:a2+b2=c2；

(2)如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是3,求(a+b)2的值.

【分析】(1)根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去

四個(gè)直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達(dá)式.

(2)根據(jù)完全平方公式的變形解答即可.

【解答】解：(1)?.?大正方形面積為。2,直角三角形面積為Lb,小正方形面積為(b-a)2,

2

c2=4X_La/?+(a-b)2=2ab+a2-2ab+b2即c^=a2+b2；

2

(2)由圖可知:

(b-a)2=3,4X_1^Z?=13-3=10,

2

??2ab=10,

?.Q+b)2=(b-a)2+4"=3+2X10=23.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)勾股定理的證明和以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握三角形和正方形面積計(jì)算公式是解決

問題的關(guān)鍵.

21.(9分)如圖，在菱形中，AB=6,ZDAB=6Q°，點(diǎn)E是4D邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是A8邊上一動(dòng)

點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，延長ME交射線CQ于點(diǎn)N,連接MD,AN.

(1)求證：四邊形AATON是平行四邊形；

(2)①當(dāng)AM的值為3時(shí),四邊形是矩形；

②若AA/=6,求證：四邊形AMON是菱形.

【分析】(1)由菱形的性質(zhì)可得/OVE=NAME,再由點(diǎn)￡是邊的中點(diǎn)，可得AE=DE,從而可證

明ANDE出AMAECAAS),則NE=ME,根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得答案；

(2)①當(dāng)AM的值為3時(shí)，四邊形AMLW是矩形.根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形即可判定；

②根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可判定.

【解答】(1)證明：???四邊形A8C。是菱形，

J.AB//CD,

ZDNE=ZAME,

丁點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，

：.AE=DE,

,ZDNE=ZAME

在△可￡>￡：和中，，NDEN=NAEM，

DE=AE

:.ANDE烏AMAE(A4S),

:.NE=ME,

.,?四邊形AMDN是平行四邊形；

(2)①解：當(dāng)AM的值為3時(shí)，四邊形AMON是矩形.理由如下：

?..四邊形A3。為菱形，

：.AB=AD=6,

丁點(diǎn)E是邊的中點(diǎn),

.,.AE=—AD=3,

2

.'.AM=AE-3,

VZDAB=60°,

...△AEM是等邊三角形，

：.EM=AE,

,:NE=EM=LMN,

2

：.MN=AD,

:四邊形AMDN是平行四邊形，

四邊形AATON是矩形.

故答案為：3；

②證明：AB=AD=6,AM=6,

：.AD=AM,

VZDAB=60°,

.?.△AMD是等邊三角形，

：.ME±AD,

,四邊形AMDN是平行四邊形,

四邊形AMDN是菱形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的

判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

22.(10分)如圖甲，筆直的公路上A,8兩點(diǎn)相距20加7,C,。為兩村莊，D4_LAB于點(diǎn)A,CBA.AB

點(diǎn)、B,已知D4=10fow,CB=5km,現(xiàn)在計(jì)劃在公路的AB段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E.

圖甲圖乙

(1)若規(guī)劃C,。兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？

(2)若規(guī)劃C,。兩村到收購站E的距離的和最短，請(qǐng)?jiān)趫D乙中通過作圖畫出收購站E的位置，計(jì)算得

到距離的和最短值為25km.

【分析】(1)設(shè)AE=x切?，則8E=(20-x)km,在RtZXADE與中，由勾股定理結(jié)合。E=

CE得出方程求出尤的值即可求解；

(2)作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)C,連接。。交于點(diǎn)E,則點(diǎn)￡即為所求，。。長即為距離的和最短值，

在Rtz\DFC中由勾股定理求出。。的長即可.

【解答】解：(1)設(shè)AE=xkm,貝i]8E=(20-x)km,

在RtAADE與RtABCE中，由勾股定理得，

AD2+AE2=DE2,BEr+BC1=CE2,

?：DE=CE,

J.AI^+AE^^BEr+BC1,

102+x2=:(20-尤)2+52,

解得x=?_,

8

即收購站E應(yīng)建在離A點(diǎn)臣km處；

8

(2)如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C,連接。。交AB于點(diǎn)E,則點(diǎn)￡即為所求，。。長即為距離的和

最短值，

Dr.

''、、、C

*C,

過點(diǎn)。作CFLDA交DA的延長線于點(diǎn)F,

則￡>C={DF2+F-2地]0+5)2+202=25(km)，

故答案為：25.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-應(yīng)用設(shè)計(jì)作圖，勾股定理，軸對(duì)稱-最短路線問題，熟記勾股定理是解題的

關(guān)鍵.

23.(10分)如圖甲，我們把對(duì)角線相互垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)【概念理解】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了①平行四邊形、②菱形、③矩形、④正方形，在這四種圖形中是垂美

四邊形的是②④(填序號(hào)).

(2)【性質(zhì)探究】小美同學(xué)猜想“垂美四邊形兩組對(duì)邊的平方和相等"，即，如圖甲，在四邊形ABCD

中，若ACLBD,則&82+82=&。2+3。2.請(qǐng)判斷小美同學(xué)的猜想是否正確，并說明理由.

(3)【問題解決】如圖乙，在△ABC中，BC=3,AC=4,D,E分別是AC,BC的中點(diǎn)，連接AE,BD,

<AE±BD,求AB.

【分析】(1)利用垂美四邊形的定義依次判斷，可求解；

(2)由勾股定理可得結(jié)論；

(3)由三角形中位線定理可得AD=1AC=2,BE=1-BC=1,DE=1.AB,由垂美四邊形的性質(zhì)可求

2222

解.

【解答】解:(1)???菱形、正方形的對(duì)角線互相垂直，

.??菱形、正方形是垂美四邊形，

故答案為：②④；

(2)猜想正確，理由如下：

;四邊形A8CD中，AC1BD,

；./AOB=NCOD=NBOC=NAOD=90°,

：.AB2=OA2+OB2,CD1=OC1+OD1,BC1=OB2+OC1,AD1=OA2+OD1,

：.A^+CD1=OA2+OB2+OC