2025屆福建省廈門海滄實驗中學數學高一下期末調研試題含解析

2025屆福建省廈門海滄實驗中學數學高一下期末調研試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知圓，直線，點在直線上．若存在圓上的點，使得（為坐標原點），則的取值范圍是A． B． C． D．2．從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋里任取兩個球，那么對立的兩個事件是（）A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C．“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”D．“至少有一個黑球”與“都是紅球”3．關于某設備的使用年限（單位：年）和所支出的維修費用（單位：萬元）有如下統(tǒng)計數據表：使用年限維修費用根據上表可得回歸直線方程，據此估計，該設備使用年限為年時所支出的維修費用約是（）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元4．一個長方體共一頂點的三條棱長分別是，這個長方體它的八個頂點都在同一個球面上，這個球的表面積是()A．12π B．18π C．36π D．6π5．已知直線傾斜角的范圍是，則此直線的斜率的取值范圍是（）A． B．C． D．6．在等比數列中，，，，則等于()A． B． C． D．7．在空間四邊形中，，，，分別是，的中點，，則異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．8．產能利用率是指實際產出與生產能力的比率，工業(yè)產能利用率是衡量工業(yè)生產經營狀況的重要指標．下圖為國家統(tǒng)計局發(fā)布的2015年至2018年第2季度我國工業(yè)產能利用率的折線圖．在統(tǒng)計學中，同比是指本期統(tǒng)計數據與上一年同期統(tǒng)計數據相比較，例如2016年第二季度與2015年第二季度相比較；環(huán)比是指本期統(tǒng)計數據與上期統(tǒng)計數據相比較，例如2015年第二季度與2015年第一季度相比較．據上述信息，下列結論中正確的是（）A．2015年第三季度環(huán)比有所提高 B．2016年第一季度同比有所提高C．2017年第三季度同比有所提高 D．2018年第一季度環(huán)比有所提高9．已知函數圖象的一條對稱軸是，則函數的最大值為（）A．5 B．3 C． D．10．設等比數列的前項和為，若，公比，則的值為（）A．15 B．16 C．30 D．31二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若等比數列滿足，且公比，則_____.12．已知，，則______．13．已知向量、的夾角為，且，，則__________．14．已知函數，關于此函數的說法：①為周期函數；②有對稱軸；③為的對稱中心；④；正確的序號是_________.15．若扇形的周長是，圓心角是度，則扇形的面積（單位）是__________.16．若向量與平行．則__．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．定義：如果數列的任意連續(xù)三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱為三角形”數列對于“三角形”數列，如果函數使得仍為一個三角形”數列，則稱是數列的“保三角形函數”．（1）已知是首項為2，公差為1的等差數列，若，是數列的保三角形函數”，求的取值范圍；（2）已知數列的首項為2019，是數列的前項和，且滿足，證明是“三角形”數列；（3）求證：函數，是數列1，，的“保三角形函數”的充要條件是，．18．已知圓與軸交于兩點，且（為圓心），過點且斜率為的直線與圓相交于兩點（Ⅰ）求實數的值；（Ⅱ）若，求的取值范圍；（Ⅲ）若向量與向量共線（為坐標原點），求的值19．求函數的最大值20．正四面體是側棱與底面邊長都相等的正三棱錐，它的對棱互相垂直.有一個如圖所示的正四面體，E，F，G分別是棱AB，BC，CD的中點.（1）求證：面EFG；（2）求異面直線EG與AC所成角的大小.21．已知數列，，滿足，，，.（1）設，求數列的通項公式；（2）設，求數列，的前n項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

根據條件若存在圓C上的點Q,使得為坐標原點),等價即可,求出不等式的解集即可得到的范圍【詳解】圓O外有一點P,圓上有一動點Q,在PQ與圓相切時取得最大值.

如果OP變長,那么可以獲得的最大值將變小.可以得知,當,且PQ與圓相切時,,

而當時,Q在圓上任意移動,存在恒成立.

因此滿足,就能保證一定存在點Q,使得,否則,這樣的點Q是不存在的，

點在直線上,,即

,

,

計算得出,,

的取值范圍是，

故選B.考點：正弦定理、直線與圓的位置關系.2、D【解析】

寫出所有等可能事件，求出事件“至少有一個黑球”的概率為，事件“都是紅球”的概率為，兩事件的概率和為，從而得到兩事件對立.【詳解】記兩個黑球為，兩個紅球為，則任取兩球的所有等可能結果為：，記事件A為“至少有一個黑球”，事件為：“都是紅球”，則，因為，所以事件與事件互為對立事件.【點睛】本題考查古典概型和對立事件的判斷，利用兩事件的概率和為1是判斷對立事件的常用方法.3、C【解析】

計算出和，將點的坐標代入回歸直線方程，求得實數的值，然后將代入回歸直線方程可求得結果.【詳解】由表格中的數據可得，，由于回歸直線過樣本中心點，則，解得，所以，回歸直線方程為，當時，.因此，該設備使用年限為年時所支出的維修費用約是萬元.故選：C.【點睛】本題考查利用回歸直線方程對總體數據進行估計，充分利用結論“回歸直線過樣本的中心點”的應用，考查計算能力，屬于基礎題.4、A【解析】

先求長方體的對角線的長度，就是球的直徑，然后求出它的表面積.【詳解】長方體的體對角線的長是，所以球的半徑是：，所以該球的表面積是，故選A.【點睛】該題考查的是有關長方體的外接球的表面積問題，在解題的過程中，首先要明確長方體的外接球的球心應在長方體的中心處，即長方體的體對角線是其外接球的直徑，從而求得結果.5、B【解析】

根據直線的斜率等于傾斜角的正切值求解即可.【詳解】因為直線傾斜角的范圍是,又直線的斜率,.故或.故.故選：B【點睛】本題主要考查了直線斜率與傾斜角的關系,屬于基礎題.6、C【解析】

直接利用等比數列公式計算得到答案.【詳解】故選：C【點睛】本題考查了等比數列的計算，屬于簡單題.7、D【解析】

平移兩條異面直線到相交，根據余弦定理求解.【詳解】如圖所示：設的中點為，連接，所以，則是所成的角或其補角，又根據余弦定理得：，所以，異面直線與所成角的為，故選D.【點睛】本題考查異面直線所成的角和余弦定理.注意異面直線所成的角的取值范圍是.8、C【解析】

根據同比和環(huán)比的定義比較兩期數據得出結論．【詳解】解：2015年第二季度利用率為74.3%，第三季度利用率為74.0%，故2015年第三季度環(huán)比有所下降，故A錯誤；2015年第一季度利用率為74.2%，2016年第一季度利用率為72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B錯誤；2016年底三季度利用率率為73.2%，2017年第三季度利用率為76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C正確；2017年第四季度利用率為78%，2018年第一季度利用率為76.5%，故2018年第一季度環(huán)比有所下降，故D錯誤．故選C．【點睛】本題考查了新定義的理解，圖表認知，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎題．9、B【解析】

函數圖象的一條對稱軸是，可得，解得．可得函數，再利用輔助角公式、倍角公式、三角函數的有界性即可得出．【詳解】函數圖象的一條對稱軸是，，解得．則函數當時取等號．函數的最大值為1．故選．【點睛】本題主要考查三角函數的性質應用以及利用二倍角公式和輔助角公式進行三角恒等變換．10、A【解析】

直接利用等比數列前n項和公式求.【詳解】由題得.故選A【點睛】本題主要考查等比數列求和，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

利用等比數列的通項公式及其性質即可得出．【詳解】，故答案為：1．【點睛】本題考查了等比數列的通項公式及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于容易題．12、【解析】

由，然后利用兩角差的正切公式可計算出的值.【詳解】.故答案為：.【點睛】本題考查利用兩角差的正切公式求值，解題的關鍵就是弄清所求角與已知角之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.13、【解析】

根據向量的數量積的應用進行轉化即可．【詳解】，與的夾角為，∴?||||cos4，則，故答案為．【點睛】本題主要考查向量長度的計算，根據向量數量積的應用是解決本題的關鍵．14、①②④【解析】

由三角函數的性質及，分別對各選項進行驗證，即可得出結論.【詳解】解：由函數，可得①，可得為周期函數，故①正確；②由，，故，是偶函數，故有對稱軸正確，故②正確；③為偶數時，，為奇數時,故不為的對稱中心，故③不正確；④由，可得正確，故④正確.故答案為：①②④.【點睛】本題主要考查三角函數的值域、周期性、對稱性等相關知識，綜合性大，屬于中檔題.15、16【解析】

根據已知條件可計算出扇形的半徑，然后根據面積公式即可計算出扇形的面積.【詳解】設扇形的半徑為，圓心角弧度數為，所以即，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查角度與弧度的轉化以及扇形的弧長和面積公式，難度較易.扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：.16、【解析】

由題意利用兩個向量共線的性質，兩個向量坐標形式的運算法則，求得的值．【詳解】由題意，向量與平行，所以，解得．故答案為．【點睛】本題主要考查了兩個向量共線的性質，兩個向量坐標形式的運算，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析；（3）見解析．【解析】

（1）先由條件得是三角形數列，再利用，是數列的“保三角形函數”，得到，解得的取值范圍；（2）先利用條件求出數列的通項公式，再證明其滿足“三角形”數列的定義即可；（3）根據函數，，是數列1，，的“保三角形函數”，可以得到①1，，是三角形數列，所以，即，②數列中的各項必須在定義域內，即，③，，是三角形數列；結論為在利用，是單調遞減函數，就可求出對應的范圍，即可證明．【詳解】（1）解：顯然，對任意正整數都成立，即是三角形數列，因為，顯然有，由得，解得，所以當時，是數列的“保三角形函數”；（2）證：由，當時，，∴，∴，當時，即，解得，∴，∴數列是以2019為首項，以為公比的等比數列，∴，顯然，因為，所以是“三角形”數列；（3）證：函數，是數列1，，的“保三角形函數”，必須滿足三個條件：①1，，是三角形數列，所以，即；②數列中的各項必須在定義域內，即；③，，是三角形數列，由于，是單調遞減函數，所以，解得，所以函數，是數列1，，的“保三角形函數”的充要條件是，．【點睛】本題主要考查數列與三角函數的綜合，考查在新定義下數列與三角函數的結合，考查等比數列的證明，等比數列的通項公式，考查轉化思想，屬于難題．18、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）由圓的方程得到圓心坐標和；根據、為等腰直角三角形可知，從而得到，解方程求得結果；（Ⅱ）設直線方程為；利用點到直線距離公式求得圓心到直線距離；由垂徑定理可得到，利用可構造不等式求得結果；（Ⅲ）直線方程與圓方程聯(lián)立，根據直線與圓有兩個交點可根據得到的取值范圍；設，，利用韋達定理求得，并利用求得，即可得到；利用向量共線定理可得到關于的方程，解方程求得滿足取值范圍的結果.【詳解】（Ⅰ）由圓得：圓心，由題意知，為等腰直角三角形設的中點為，則也為等腰直角三角形，解得：（Ⅱ）設直線方程為：則圓心到直線的距離：由，，可得：，解得：的取值范圍為：（Ⅲ）聯(lián)立直線與圓的方程：消去變量得：設，，由韋達定理得：且，整理得：解得：或，與向量共線，，解得：或不滿足【點睛】本題考查直線與圓位置關系的綜合應用，涉及到圓的方程的求解、垂徑定理的應用、平面向量共線定理的應用；求解直線與圓位置關系綜合應用類問題的常用方法是靈活應用圓心到直線的距離、直線與圓方程聯(lián)立，韋達定理構造方程等方法，屬于?？碱}型.19、最大值為5【解析】

本題首先可以根據同角三角函數關系以及配方將函數化簡為，然后根據即可得出函數的最大值．【詳解】，因為，所以當時，即，函數最大，令，，故最大值為．【點睛】本題考查同角三角函數關系以及一元二次函數的相關性質，考查的公式為，考查計算能力，體現了綜合性，是中檔題．20、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）連接EF，FG，GE，通過三角形的中位線可得，進而可得面EFG；（2）由題可得為異面直線EG與AC所成角，根據正四棱錐的特點得到為等腰直角三角形，進而可得結果.【詳解】解：（1）連接EF，FG，GE，如圖，E，F分別是棱AB，BC的中點，，又面EFG，面EFG，面EFG；（2）由（1），則為異面直線EG與AC所成角，AC與BD是正四面體的對棱，，又，，又，為等腰直角三角形，，即異面直線EG與AC所成角的大小為.【點睛】本題考查線面平行的證明，以及異面直線所成的角，通過直線平行找到異面直線所成角