江蘇省2024年高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

江蘇省名校2024年高考數(shù)學(xué)四模試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知向量忖=1/=口,m），若（a+沙），則實(shí)數(shù)加的值為（）

1RV3c+1D+6

A.一x5?kx?h\y?土

2222

2.袋中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)小球，從袋子中一次性摸出兩個(gè)球，記下號碼并放回，如果

兩個(gè)號碼的和是3的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng)，若有5人參與摸球，則恰好2人獲獎(jiǎng)的概率是（）

40708038

A.-----B.-----C.-----D?-----

243243243243

3.若復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=|3+4"，則z的虛部為（）

55

A.5B.-C.——D.-5

22

4.已知函數(shù)9x>o,則函數(shù)丁=/（/（%））的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）

A.舊B.(-1,0)C.D.(4,5)

9911

5.已知直線2mx+ny=2(m>0,n>0)過圓(1一1）一+（y—2）=5的圓心，則一+一的最小值為（）

mn

A.1B.2C.3D.4

v222

6.已知雙曲線G：一—2=1與雙曲線。2：?--V=i沒有公共點(diǎn)，則雙曲線G的離心率的取值范圍是（)

a

A.B.[百,+oo)C.(1，⑸D.[6+QO)

7.已知函數(shù)〃x）=sin（s+e）［0>O,|d<3,為/（X）圖象的對稱中心，若圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)再，%2

滿足&|=1,則下列區(qū)間中存在極值點(diǎn)的是（）

8.已知函數(shù)〃龍)滿足x)=/(l+x),當(dāng)時(shí)，/(%)=%--,貝"x，(x+2)>l}=()

X

A.{x[x<-3或%>0}B.{x|x<0或光>2}

C.{x[x<-2或%>0}D.{x|x<2或尤>4}

9.定義域?yàn)槌叩呐己瘮?shù)/(x)滿足任意xwR,有/(X+2)=/(%)-/⑴，且當(dāng)xe［2,3］時(shí)，/(%)=—2必+12x-18.

若函數(shù)y=/(x)-log〃(x+D至少有三個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

10.已知命題p：若a>l,b>c>l,則log^,a<log。a；命題,3%0(0,+oo),使得2%<%”，則以下命題為

真命題的是()

A.PAqB.p/\(—C.(^)八4D.(^p)A(—

11.使得尸］(〃eN+)的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()

、XyX)

A.4B.5C.6D.7

12.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系，

共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019

年，我國對“一帶一路”沿線國家進(jìn)出口情況統(tǒng)計(jì)圖，下列描述錯(cuò)誤的是()

=的口足■道口由?--?出口增座一龍口堵國

A.這五年，出口總額年利比進(jìn)口總額之和大

B.這五年，2015年出口額最少

C.這五年，2019年進(jìn)口增速最快

D.這五年，出口增速前四年逐年下降

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.為激發(fā)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作，敢于拼搏，不言放棄的精神，某校高三5個(gè)班進(jìn)行班級間的拔河比賽.每兩班之間只比賽

1場，目前(一)班已賽了4場，(二)班已賽了3場，(三)班已賽了2場，(四)班已賽了1場.則目前(五)班已

經(jīng)參加比賽的場次為.

14.已知一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為60。，側(cè)面積為46，則該棱錐的體積為.

x-y>0

15.已知實(shí)數(shù)x,V滿足約束條件x+y-4<0,則Z=2-3*+V的最大值是.

16.根據(jù)記載，最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人應(yīng)是我國西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高，商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問

題.現(xiàn)有AABC滿足“勾3股4弦5”，其中“股"AB=4,。為“弦”上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且滿足勾股定理,

貝CA）-AD=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）已知橢圓C：二+==1Ca>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為4、B,焦距為2,點(diǎn)P為橢圓上異于4、

a2b2

3

3的點(diǎn)，且直線R1和Pfi的斜率之積為-二.

（1）求。的方程；

\AP\-\AQ\

（2）設(shè)直線AP與y軸的交點(diǎn)為Q,過坐標(biāo)原點(diǎn)。作交橢圓于點(diǎn)"，試探究|I2是否為定值，若

是，求出該定值；若不是，請說明理由.

18.（12分）某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用

于藝術(shù)裝飾，如圖1.為了便于設(shè)計(jì)，可將該禮品看成是由圓。及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊上的高所在直線

AO旋轉(zhuǎn)180。而成，如圖2.已知圓。的半徑為10cm,設(shè)4840=6,0<6<,，圓錐的側(cè)面積為ScM.

（1）求S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式；

（2）為了達(dá)到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積S最大.求S取得最大值時(shí)腰的長度.

18I圖2

19.（12分）已知變換T將平面上的點(diǎn)（0,1）分別變換為點(diǎn)2：I設(shè)變換T對應(yīng)的矩陣為

（1）求矩陣M；

（2）求矩陣M的特征值.

[a6t

x—3-----1

20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為《/2。為參數(shù)).在以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸

12

正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓C的方程為0=2如sin0.

⑴寫出直線/的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；

⑵若點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,石)，圓C與直線/交于A8兩點(diǎn)，求1PAi+IP3I的值.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=xlnx.

(1)若函數(shù)g(x)=1^-工，求g(x)的極值；

XX

(2)證明：/(%)+1<e'-x2.

3

(參考數(shù)據(jù)：出2。0.69ln3?1.10/44.48/a7.39)

x=2+2cosa

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C]的參數(shù)方程為0.為參數(shù)).以平面直角坐標(biāo)系的原

y=2sina

點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為夕Sin。=6.

(1)求曲線G的極坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)G和交點(diǎn)的交點(diǎn)為AB,求AAOB的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

由兩向量垂直可得(。+8》(。-匕)=0,整理后可知時(shí)-卜l=0,將已知條件代入后即可求出實(shí)數(shù)旭的值.

【詳解】

解：+(a+/?)?(4_b)=0,即b

將卜I=1和忖+/代入，得出機(jī)2=3,所以相=土走.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的數(shù)量積，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算.對于向量問題，若已知垂直，通常可得到兩個(gè)向量的數(shù)量積為0,

繼而結(jié)合條件進(jìn)行化簡、整理.

2、C

【解析】

先確定摸一次中獎(jiǎng)的概率，5個(gè)人摸獎(jiǎng)，相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn)，根據(jù)每一次發(fā)生的概率，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式得

到結(jié)果.

【詳解】

從6個(gè)球中摸出2個(gè)，共有*=15種結(jié)果，

兩個(gè)球的號碼之和是3的倍數(shù),共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)

二摸一次中獎(jiǎng)的概率是9=!，

153

5個(gè)人摸獎(jiǎng)，相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn)，且每一次發(fā)生的概率是工，

3

有5人參與摸獎(jiǎng)，恰好有2人獲獎(jiǎng)的概率是C1(：)3.(1)2=蔡,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，解題時(shí)主要是看清摸獎(jiǎng)5次,

相當(dāng)于做了5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用公式做出結(jié)果，屬于中檔題.

3、C

【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.

【詳解】

由(1+力22=5?

Z=|3+4Z|=A/3+4

5_5(1-。=55.

T+7-(l+z)(l-z)~2^21

的虛部為-2.

2

故選c.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

首先求得尤<0時(shí)，/(%)的取值范圍.然后求得x>0時(shí)，/(%)的單調(diào)性和零點(diǎn)，令/(〃力)=。，根據(jù)“x<0時(shí),

/(%)的取值范圍”得到"X)=2'+log3%—9=3,利用零點(diǎn)存在性定理，求得函數(shù)y=/(/(%))的零點(diǎn)所在區(qū)間.

【詳解】

當(dāng)x<0時(shí)，3</(^)<4.

當(dāng)“0時(shí)，〃力=2*+。912-9=2工+。3%—9為增函數(shù)，且"3)=0,貝！|x=3是/(%)唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)

尤<0時(shí)，3</(%)<4?,所以

令/(/(力)=。，得/(x)=2'+log3X—9=3,因?yàn)椤?)=0<3,

/^=8V2+log31-9>8xl.414+log33-9=3.312>3,

所以函數(shù)y=/(/(%))的零點(diǎn)所在區(qū)間為13,11.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查符合函數(shù)零點(diǎn)，考查零點(diǎn)存在性定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的

數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

5、D

【解析】

圓心坐標(biāo)為(1,2),代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開計(jì)算即可得到所求最小值.

【詳解】

圓(x—l)2+(丁一2)2=5的圓心為(1,2),

由題意可得2加+2〃=2,即m+〃=1,m,n>0,

fl1Z11、/、cnmAiLi“幾mLrrr

則—F—二(—F—)(m+ri)-2--1—..4,當(dāng)且僅當(dāng)一二一且m+〃=1即相=〃=一時(shí)取等號,

mnmnmnmn2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查最值的求法，注意運(yùn)用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時(shí)考查直線與圓的關(guān)系，

考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】

先求得的漸近線方程，根據(jù)G，02沒有公共點(diǎn)，判斷出G漸近線斜率的取值范圍，由此求得G離心率的取值范圍.

【詳解】

2222

雙曲線的漸近線方程為丁=土2%，由于雙曲線G2=1與雙曲線。2：?-必=1沒有公共點(diǎn)，

b

所以雙曲線G的漸近線的斜率2W2,所以雙曲線G的離心率e

a

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

結(jié)合已知可知，=1可求T,進(jìn)而可求。，代入/（尤），結(jié)合/（：）=0,可求9,即可判斷.

【詳解】

圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)X],%滿足I石-％1=1，

：T=1即T=2,

,于（x）=sin（?工+。），且/（1）=sin（g萬+。）=。，

-7i+（p=k7i,keZ,

3

|0|<g萬,「.0=一3萬,/（%）=sin（%元—；萬）,

當(dāng)》=—,時(shí)，/（-1）=T為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，而-[?（-彳，。）.

6666

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡單應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用.

8、C

【解析】

2x---=1

簡單判斷可知函數(shù)關(guān)于x=l對稱，然后根據(jù)函數(shù)/(x)=x—-的單調(diào)性，并計(jì)算X，結(jié)合對稱性，可得結(jié)果.

X[x>o

【詳解】

由〃1一力=/(1+力,

可知函數(shù)/(%)關(guān)于％=1對稱

當(dāng)時(shí)，/(x)=x-一，

9

可知/(X)=X_—在[L+8)單調(diào)遞增

x-j

則<%=>%=2

%>0

又函數(shù)“X)關(guān)于X=1對稱，所以"0)=1

且/(九)在(-8,1)單調(diào)遞減，

所以1+2<0或x+2〉2,故x<—2或x>0

所以{x|/(x+2)>l}={x|x<—2或%>0}

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的對稱性以及單調(diào)性求解不等式，抽象函數(shù)給出式子的意義，比如：f(l-x)=f(l+x),

/(l-x)+/(l+x)=0,考驗(yàn)分析能力，屬中檔題.

9、B

【解析】

由題意可得y(x)的周期為2,當(dāng)xe[2,3]時(shí)，/(%)=—2尤2+12x—18,令g(x)=log〃(x+l),貝!J/Q)的圖像和g(x)

的圖像至少有3個(gè)交點(diǎn)，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)g(2)>/(2),求得。的取值范圍.

【詳解】

Ax)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，滿足任意xeR,

于(x+2)=/(%)-/(I)，令x=-1,/(I)=/(-I)-/(I),

又/(-I)=/(I),.-./(I)=0,/(x+2)=f(x),

???/(x)為周期為2的偶函數(shù)，

當(dāng)xe[2,3]時(shí)，/(x)=-2x2+12x—18=—2(x-3)2,

當(dāng)xe[0,1],x+2e[2,3],/(x)=f(x+2)=-2(x-1)2,

當(dāng)xe[-1,0],-xe[0,1],/(x)=/(-x)=-2(x+1)2,

作出/(x),g(x)圖像，如下圖所示：

函數(shù)y=/(X)-lOga(X+l)至少有三個(gè)零點(diǎn)，

則/(X)的圖像和g(x)的圖像至少有3個(gè)交點(diǎn)，

/(%)<0,若

“X)的圖像和g(x)的圖像只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，

所以0<。<1,/■(*)的圖像和g(x)的圖像至少有3個(gè)交點(diǎn)，

則有g(shù)(2)>/(2),即log.(2+1)>/(2)=-2,log。3>-2,

1021c,cV3

—->3,〃<一，…0<〃<—?

a-33

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題過程中用到了數(shù)形結(jié)合方法，這也是高考常考的熱點(diǎn)問題，屬于中檔題.

10、B

【解析】

先判斷命題。應(yīng)的真假，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假的真值表，即可得答案.

【詳解】

,1,111

logz,a=------7，loga=-------，因?yàn)椤?gt;1,b>c>l,所以O(shè)vlogaCVlog*,所以------>------即命題p

log,6clog/log?clog"

為真命題；畫出函數(shù)y=2、',和y=log3X圖象，知命題g為假命題，所以,△（->?）為真.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查真假命題的概念，以及真值表的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是判斷出命題。應(yīng)的真假，難度較易.

11、B

【解析】

135

二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為C（3x）”.（一）’，若展開式中有常數(shù)項(xiàng)，則〃-廠-7廠=0,解得〃=二廠，當(dāng)r取2時(shí)，n

xsjx22

的最小值為5,故選B

【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.

12、D

【解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)的含義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

對A項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年出口額和進(jìn)口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進(jìn)口額，則A正確；

對B項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年出口額最少，則B正確；

對C項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2019年進(jìn)口增速都超過其余年份，則C正確；

對D項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯(cuò)誤；

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

【解析】

根據(jù)比賽場次，分析，畫出圖象，計(jì)算結(jié)果.

【詳解】

畫圖所示，可知目前（五）班已經(jīng)賽了2場.

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題考查推理，計(jì)數(shù)原理的圖形表示，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題型.

14、-76

3

【解析】

如圖所示，正四棱錐尸—ABCD,。為底面的中心，點(diǎn)"為AB的中點(diǎn)，則ZPAO=60,設(shè)根據(jù)正四棱

錐的側(cè)面積求出。的值，再利用勾股定理求得正四棱錐的高，代入體積公式，即可得到答案.

【詳解】

如圖所示，正四棱錐尸—A3CD,。為底面的中心，點(diǎn)〃為A3的中點(diǎn)，

則NPAO=60，設(shè)

y/p^-AM2

Ta，

33

故答案為：生回

3

【點(diǎn)睛】

本題考查棱錐的側(cè)面積和體積，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力.

1

15、-

4

【解析】

令-3x+y=f,所求問題的最大值為2d,只需求出*x即可，作出可行域，利用幾何意義即可解決.

【詳解】

作出可行域，如圖

令—3x+y=f,貝!|y=3x+t,顯然當(dāng)直線經(jīng)過3(1,1)時(shí)，/最大，且%x=-2,

,1

故Z=2⑶+N的最大值為2-2=：.

4

故答案為：一.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃中非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，要做好此類題，前提是正確畫出可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.

144

16、——

25

【解析】

先由等面積法求得AD,利用向量幾何意義求解即可.

【詳解】

3x4"12

由等面積法可得AD=三一=不，依題意可得，AD1BC,

所以(C8—G4>AD=A3-AD=k￡>[=￡.

144

故答案為：—

25

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積，重點(diǎn)考查向量數(shù)量積的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17、(1)L+2_=l(2)是定值，且定值為2

43

【解析】

3h2

(1)設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)并代入橢圓方程，根據(jù)左斯?左BP=-7列方程，求得一的值，結(jié)合2c=2求得的值，進(jìn)而求

得橢圓C的方程.

(2)設(shè)出直線AP,。用的方程，聯(lián)立直線AP的方程和橢圓方程，求得尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)，聯(lián)立直線的方程和橢圓

\AP\-\AQ\

方程，求得右，由此化簡求得和廣:2為定值.

【詳解】

y2

(1)已知點(diǎn)尸在橢圓C：5+=1Ca>b>0）上,

ab2

22

可設(shè)P(%0，%)，即存+普=1，

ab

b2

又如仆=譚￡在3

4

22

且2c=2,可得橢圓C的方程為L+2L=I.

43

(2)設(shè)直線AP的方程為：y=k(x+2),則直線的方程為了=丘.

聯(lián)立直線AP與橢圓C的方程可得：(3+4左2+16k2x+16^-12=0,

由以=-2,可得”工

聯(lián)立直線加與橢圓C的方程可得：(3+4左2)/一12=0,即將

\十QK

\AP\-\AQ\_\XP-XA\]XQ-XA\_\XP+2\-\0+2\_

即一小一=同『

\AP\-\AQ\

即1W|2為定值'且定值為2

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查本小題主要考查橢圓方程的求法，考查橢圓中的定值問題的求解，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查

運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

18、(1)S=4007isin6cos2e，(0<^<-)(2)側(cè)面積S取得最大值時(shí)，等腰三角形的腰的長度為生也cm

23

【解析】

JT

試題分析：(1)由條件，AB=20cos^,BD=20cos^-sin^,所以5=400公111。852夕，(0<0<—)；(2)

S=400?sinecos2e=40(Rsine—sin3e)^x=sine,所以得“尤人工一二，通過求導(dǎo)分析，得/⑴在工=^

時(shí)取得極大值，也是最大值.

試題解析：

(1)設(shè)B］交BC于點(diǎn)D,過q作垂足為E,

在AAOE中，AE=10cose,AB=2AE^2Ocos0,

在△ABD中，皮>=AB?sin。=20cos9?sin。，

JI

所以S=400萬sinOcos2。,(0<^<—)

(2)要使側(cè)面積最大，由(1)得：

S=4007rsin^cos2^=400^sin-sin3^)

4-x=sin^,所以得/(無)=x-%3,

由r(x)=l—3*=o得：x=g

/'(%)>0,當(dāng)xerW<o

所以八工)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間

所以/(X)在x=g時(shí)取得極大值，也是最大值;

所以當(dāng)sin，="時(shí)，側(cè)面積S取得最大值,

3

此時(shí)等腰三角形的腰長AB=2Ocos0=20Vl-sin26>=20

答：側(cè)面積S取得最大值時(shí)，等腰三角形的腰A3的長度為型"cm.

3

3——

19、(1)M=2(2)1或6

-44

【解析】

ab

(1)設(shè)/=根據(jù)變換可得關(guān)于a,》,c,d的方程，解方程即可得到答案;

cd_

(2)求出特征多項(xiàng)式，再解方程，即可得答案;

【詳解】

3

aab］「0

(1)設(shè)加=則2

cd14

1,9

a+—b=—

24a=3

一3

c+—J=-2

即《2，解得2則M=-2

,3c-4-44

b=——

2d=4

d=4

2-3-

(2)設(shè)矩陣M的特征多項(xiàng)式為/(A),可得f(2)=2=(彳—3)(2—4)—6=%?—72+6,

42-4

令/(4)=0,可得2=1或2=6.

【點(diǎn)睛】

本題考查矩陣的求解、矩陣〃的特征值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力.

20、(1)N玲-&=，⑵30

【解析】

試題分析：(1)由加減消元得直線/的普通方程，由夕sin8=y，22=/+丁得圓。的直角坐標(biāo)方程；(2)把直線1的

參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，由直線參數(shù)方程幾何意義得|PA|+|PB|=|ti|+|t2|=ti+t2,再根據(jù)韋達(dá)定理可得結(jié)果

x-3-

試題解析：解：(I)由'――得直線1的普通方程為x+y-3-加=0

辱

又由P=2jGsin8得p2=2j^psin0,化為直角坐標(biāo)方程為x?+(y-詆)2=5；

(II)把直線1的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，

得(3-返t)2+(返t)2=5,即t2-3?t+4=0

22

設(shè)tl,t2是上述方程的兩實(shí)數(shù)根，

所以tl+t2=3,/2

又直線1過點(diǎn)P(3,娓),A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為h,t2,

所以|PA|+|PB|=|ti|+|t2|=ti+t2=3加.

21、(1)見解析；(1)見證明

【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；

(1)問題轉(zhuǎn)化為證ex-X】-xlnxT>0,根據(jù)xlnxgx(x-1),問題轉(zhuǎn)化為只需證明當(dāng)x>0時(shí)，e'-lxi+x-lX)恒

成立，令k(x)=ex-lx】+x-l,(x>0),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

【詳解】

(1)g(x)=^--=---(x>0),g1x)=巳H當(dāng)xe(0,e2),g[x)>0,

XXXXx

當(dāng)xe(e2,+s),g'(x)<0,,ga