自動控制原理 第3版 課件全套 陶洪峰 第1-8章 概論、控制系統數學模型-線性離散系統分析

自動控制原理AutomaticControlTheory1.使用教材及參考文獻使用教材：江南大學陶洪峰、謝林柏主編《自動控制原理》(第3版)，機械工業(yè)出版社2023

本教材獲獎情況：1)江蘇省精品教材（2011年）2)中國輕工業(yè)優(yōu)秀教材二等獎（2014年）3)江蘇省“十二五”規(guī)劃教材（2015年）參考文獻：（1）胡壽松《自動控制原理》（第5版）科學版（2）胡壽松《自動控制原理習題解答》科學版（3）鄒伯敏《自動控制理論》（第3版）機工版（4）徐穎秦《自動控制原理學習輔導與習題解答》（第2版）

機械工業(yè)出版社2.教學方法及學時安排教學方法：課堂講授+課堂討論+課外輔導學習方法：聽課+自學+參與討論+課外訓練（仿真）總學時：共72學時，每周4學時（1-16周）。其中：實驗8學時理論64學時（講授42學時+討論22學時）答疑：每周三晚上，物聯網工程學院輔導：周一晚上6:00-9:00，D325助教：研究生考試：第17周《自動控制原理》課程為專業(yè)核心課、本科學位課和考研專業(yè)課?？荚嚪绞绞情]卷，課程考核內容及成績評分辦法如下：（1）上課聽講、主動發(fā)言、參與探討和課堂作業(yè)(10%)：出勤、聽講、隨堂測試、主動發(fā)言和參與討論的次數等。（2）實驗與操作（10%）：實驗預習、實驗操作、實驗結果以及實驗過程的創(chuàng)新性和動手能力、實驗報告等。（3）課外輔導答疑和仿真實訓(10%)：參加輔導和答疑的次數、仿真過程的積極主動性，對仿真軟件使用的熟練程度、系統設計情況、系統仿真結果、仿真分析能力等。（4）課后作業(yè)(10%)：能否按時交作業(yè)，交作業(yè)的次數、作業(yè)質量等。（5）網絡在線學習(10%)：能否按時完成中國大學MOOC平臺的在線測驗、作業(yè)等。（6）期末考試(50%)：閉卷考試，考核對本課程理論基礎的學習和掌握情況。

3．成績評定

4．自動控制原理課程性質與地位

自動控制原理（自動控制理論自動調節(jié)原理反饋控制理論，簡稱自控）是研究自動控制系統的共同規(guī)律的技術科學。它是一門技術基礎理論課，主要研究自動控制系統的組成、分析和設計的理論。大一公共基礎課：高等數學工程數學物理英語大二技術基礎課：電路電子計算機等

大三專業(yè)基礎課：自控電機微機電力電子技術大四專業(yè)課、設計：檢測、供電運控

計控畢設等自動控制原理是機電信息類專業(yè)主干課程，也是物聯網學院的平臺課程，同時也是控制類碩士點考研必考課。6.本課程內容及其關系

（設計+校正）課程研究的兩大范疇：系統分析系統綜合性能指標控制系統（結構和參數）7.各章節(jié)之間的關系引論（1）數學模型（2）分析工具分析方法時域法（3）根軌跡法（4）頻域法（5）綜合系統校正與設計（6）應用非線性和離散控制系統（7、8）486+6+10128+10理論64學時，實驗8學時，共72學時。第1章

引論重點內容

自動控制的基本概念和原理自動控制系統的組成和分類對自動控制系統的基本要求§1.1自動控制系統的一般概念一、自動控制的基本概念

所謂自動控制，是指在無人直接參與的情況下，利用控制裝置操縱受控對象，使被控量等于給定值或按輸入量的變化規(guī)律去變化的過程。用來操縱受控對象的設備（校正器+放大器+執(zhí)行器）一般為各種傳感器

無人直接參與：指人在遠方進行遠程操作（遙操作），而不是在對象跟前就地操作?？刂蒲b置：是控制器和檢測裝置的總稱?？刂茖ο螅嚎刂葡到y要進行控制的受控客體。如冰箱、空調、洗衣機、電梯、飛機、汽車、潛艇、電廠鍋爐、釀酒過程等各種設備、機器或生產過程。

被控量：控制對象要實現的量，是表征對象特征的關鍵參數。

如冰箱溫度、電機的轉速、飛機姿態(tài)角、船的航行軌跡、電網的電壓、生產過程中的壓力、流量、溫度、濕度等。

自動控制系統如圖1-1，幾個重要的信號量如下：二、5個重要的信號量

控制器受控對象檢測元件e(t)r(t)c(t)b(t)d(t)圖1-1

自動控制示意圖目前，控制信號常用的標準電信號

主要有兩種：1~5V電壓信號或4~20mA電流信號。自動控制系統

定義：由控制裝置+受控對象構成的能完成自動控制任務的整體。

自動控制理論：分析與綜合控制系統的理論。

自動控制系統工作原理說明圖1.1直流電機轉速控制系統（人工控制）

負載n觸發(fā)器整流器人的作用觀察轉速n（通過轉速表）——檢測大腦反映——比較，將n與期望的n0比較手動調節(jié)——執(zhí)行，減小或消除偏差控制任務：無論負載或電網電壓如何變化，通過手動電壓U0，都可以保證電機轉速不變。受控對象——電機；被控量——電機輸出轉速用方框圖表示如下：UdRP1—給定電位器RP2—反饋調節(jié)電位器TG—測速發(fā)電機檢測——測速機TG比較——差運放大器A執(zhí)行——伺服電機+調速器圖1.4電機轉速自動控制系統。用設備代替了人A調速器伺服電動機Udα原理框圖如下：ΔU=U0-Un執(zhí)行環(huán)節(jié)比較環(huán)節(jié)放大器觸發(fā)整流裝置TG+RP2ΔU給定電壓U0實際轉速nUn負載擾動d(t)圖1.5轉速自動控制原理框圖電動機裝置電動機RP1檢測環(huán)節(jié)對象§1.2自動控制系統的控制方式及基本組成控制方式開環(huán)控制閉環(huán)控制復合控制兩種基本控制方式開環(huán)控制（Open-loopControl）

（1）定義：控制裝置（控制器+執(zhí)行器）與受控對象之間只有順向作用而無反向聯系時的控制方式，稱為開環(huán)控制。（2）結構：控制器受控對象r(t)c(t)d(t)圖1.6開環(huán)控制系統圖執(zhí)行機構（3）特點：系統的輸出量對輸入量沒有任何影響；對干擾和參數變化沒有補償作用，控制精度完全取決于元件精度。沒有穩(wěn)定性的問題，而且結構簡單，調整方便。對控制精度要求不高或干擾較小的場合還有一定的應用價值。如：打印機、復印機、簡單生產線、自動洗衣機、自動售貨機、自動打包機、步進電機，水泵，風扇等的控制。2.閉環(huán)控制（Closed-loopControl）

（1）定義：控制裝置與受控對象之間，不但有順向作用，而且還有反向聯系，即被控量對控制過程有影響時的控制方式稱為閉環(huán)控制。（2）組成：三大部分，七個環(huán)節(jié)。如下圖1.7。圖1.7閉環(huán)自動控制系統組成框圖校正器執(zhí)行機構檢測環(huán)節(jié)e(t)給定環(huán)節(jié)c(t)b(t)d(t)放大器受控對象r(t)控制器給定電源部分控制裝置部分受控對象部分r(t)→c(t)稱為前向通道；c(t)→b(t)稱為反饋通道e(t)→c(t)→b(t)稱主回路。1234567比較環(huán)節(jié)§1.3自動控制系統的類型

常用的有5種分類方法：按照控制方式（信號流向）分類：不同的控制方式，系統中信號流向也不同，據此可將系統分為：開環(huán)控制系統、閉環(huán)控制系統和復合控制系統三種。

兩點說明：從控制作用的產生原理看，閉環(huán)控制也叫偏差控制；從系統的組成結構來看，閉環(huán)控制也叫反饋控制。由于引入了被控量的反饋信息，整個控制過程形成閉合回路，因此反饋控制也稱為閉環(huán)控制。2.按照數學模型分為類：（1）線性系統與非線性系統線性系統：由線性元件組成，滿足齊次性和疊加性，其數學模型為線性常系數微分方程。而非線性系統不滿足這兩個特性，其數學模型為非線性微分方程。

齊次性(均勻性)和疊加性：如圖，設f(t)為一線性系統，則有：若：r1(t)→c1(t)，r2(t)→c2(t)

則：r1(t)+r2(t)→c1(t)+c2(t)

——疊加性

ar1(t)→ac1(t)——齊次性f(t)r(t)c(t)

區(qū)分標志：線性元件：（1）靜態(tài)特性為一過原點的直線（2）滿足疊加性和齊次性（3）數學模型為標準的微分方程（公式2-8）（4）分析方法：時域法、根軌跡法、頻域法非線性元件（1）靜態(tài)特性為不連續(xù)過程（繼電特性、死區(qū)特性、飽和特性、回環(huán)特性等）（2）不滿足疊加性和齊次性（3）數學模型為非線性的微分方程（系數與自變量有關，或方程中同時含有常數、自變量及其導數的高次冪或自變量的乘積項）（4）分析方法：描述函數法、相平面法（2）定常系統和時變系統數學模型的系數是常數數學模型的系數至少有一處是時間的函數3.按系統內部的信號特征分為：連續(xù)系統和離散系統系統中的所有信號在時間上是連續(xù)的系統中至少有一處的信號在時間上是不連續(xù)的4.

按系統輸入、輸出信號的數量分為：單入單出（SI/SO）系統和多入多出（MI/MO）系統系統的輸入、輸出量各為多個。系統的輸入、輸出量均為1個。5.

按系統輸入信號特征分為：

恒值系統、隨動系統和程控系統r(t)為常數，要求c(t)也為常數。r(t)為隨機函數（未知），要求c(t)也隨之變化。r(t)為時間的已知函數，要求c(t)也隨之變化?！?.4基本要求和本課程的主要任務自動控制系統三大性能對應三個基本要求:

穩(wěn)定性——穩(wěn)，系統最終要能夠穩(wěn)定運行，是系統正常工作的前提和基礎?？焖傩浴欤笙到y動態(tài)過渡過程時間盡可能短。

準確性——準，要求系統控制精度高、誤差小。課程基本任務自動控制系統基本知識：原理、組成、要求等數學模型：時域、復域、頻域、z域系統分析：穩(wěn)定性、動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能系統綜合：系統校正及校正裝置的設計穩(wěn)定性：

穩(wěn)定性判據、系統結構和參數對穩(wěn)定性的影響。動態(tài)（暫態(tài)）性能：

動態(tài)性能指標及計算、系統結構與參數對動態(tài)性能的影響、改善動態(tài)性能的措施穩(wěn)態(tài)性能：

穩(wěn)態(tài)誤差及計算、系統結構與參數對穩(wěn)態(tài)誤差的影響、提高穩(wěn)態(tài)精度的措施。三大基本性能及分析內容

對于一般的控制系統，在某個輸入信號的作用下，其輸出響應由兩部分組成，可表示為：c(t)=cs(t)+ct(t)穩(wěn)態(tài)分量：由系統初始條件和輸入信號決定。暫態(tài)分量：由系統結構決定。對于穩(wěn)定的系統，應有：對于不穩(wěn)定的系統，應有：

(發(fā)散)；或常數（等幅振蕩）穩(wěn)定性動態(tài)性能：描述系統過渡過程表現出來的性能。

用平穩(wěn)性（相對穩(wěn)定性）和快速性衡量。如：上升時間、峰值時間、調整時間、超調量。穩(wěn)態(tài)性能：系統過渡過程結束進入穩(wěn)態(tài)后表現出來的性能，用穩(wěn)態(tài)誤差（靜差）ess來衡量。過度過程的振蕩的程度過渡過程的快慢輸出的實際值偏離期望值的偏差。反映系統的控制精度。若ess=0→無差系統若ess≠0→有差系統§1.6自動控制理論的發(fā)展簡述第一代：古典（經典）控制理論、自動控制原理（理論）

（1787—1960）

特點：以傳遞函數為基礎研究單輸入－單輸出定?？刂葡到y的分析與設計問題。這些理論由于其發(fā)展較早，現已臻成熟。

第二代：現代（近代）控制理論（1960—1980）

特點：以狀態(tài)空間法為基礎，研究多輸入－多輸出控制系統的分析與設計問題。包括以最小二乘法為基礎的系統辨識、以極大值原理和動態(tài)規(guī)劃為基礎的最優(yōu)控制、以卡爾曼濾波為核心的最優(yōu)估計三個部分。使系統分析從外部現象深入到內部規(guī)律，從局部控制發(fā)展到全局的最優(yōu)控制。第三代：大系統理論和智能控制理論（1970—1980）

特點：以人工智能為基礎，研究復雜對象（車間、工廠、集團）、復雜任務、復雜環(huán)境下的復雜控制系統。是控制論、仿生學、運籌學等的有機結合。如：DCS及各種智能機器人的出現和應用。第四代：現場總線（Fieldbus）控制（1980—）

特點：是信息和網絡技術的融合。典型的有：Linworks、Profibus

、WorldFIP等。突出優(yōu)點：全數字化通信、開放型的網絡互聯、互可操作性與互用性、現場設備的智能化、系統結構的高度分散性、對現場環(huán)境的適應性。代表人物：國外的有：美國數學家N.維納、英國機械師J.瓦特、美國貝爾實驗室的兩位數學家英國的勞斯和德國的胡爾維茨、美國電信工程師N.奈奎斯特、伯德、數學家伊文斯、梅森等。國內的有：錢學森、宋健、顧毓秀等。

數字仿真實驗采用目前世界上最為流行的計算機仿真軟件MATLAB。它是一個功能十分強大的系統，是集數值計算、圖形管理、程序開發(fā)為一體的環(huán)境，已經成為一種實用的全新計算機高級編程語言。在歐美大學里，諸如應用代數、數理統計、自動控制、數字信號處理、模擬與數字通信、時間序列分析、動態(tài)系統仿真等課程的教科書都把MATLAB作為內容。MATLAB更是研究和解決工程計算問題的一種標準軟件，被用來解決一些實際課題和數學模型問題。MATLAB仿真軟件作業(yè)：習題1-1、1-5。本章結束！第2章控制系統的數學模型2.1線性微分方程的建立及求解2.2傳遞函數定義、性質、典型元件及典型環(huán)節(jié)傳函2.3控制系統的結構圖及信號流圖組成、繪制、梅遜公式2.4控制系統的傳遞函數開環(huán)傳函、閉環(huán)傳函引言

要對自動控制系統進行定量（精確）地分析和設計，首先要建立系統的數學模型。數學模型：描述系統內部各物理量之間關系的數學表達式。數學表達式：代數方程、微分方程靜態(tài)數學模型：系統變量之間與時間無關的靜態(tài)關系動態(tài)數學模型：系統變量對時間的變化率，反映系統的動態(tài)特性控制系統數學模型的類型時域（t）模型微分方程z域（z）模型脈沖傳函頻域（ω）模型頻率特性復域（s）模型傳遞函數§2.1.1

建模方法：分析法、實驗法§2.1控制系統的微分方程黑匣子輸入（充分激勵）輸出（測量結果）

具體方法：最小二乘(曲線擬合)法、神經元網絡法、模糊模型法等。模型驗證：將實際輸出與模型的計算輸出進行比較，系統模型需保證兩個輸出之間在選定意義上的接近。

實驗法（黑箱法、辨識法、逼近法）：人為施加某種測試信號，記錄基本輸出響應，根據輸入輸出響應辨識出數學模型。

分析法－根據系統運動規(guī)律（定律、經驗公式）和結構參數，推導系統輸入輸出之間數學關系。

建模（微分方程）步驟：第二步：聯立各環(huán)節(jié)的數學表達式，消去中間變量，得到描述系統輸出、輸入關系的微分方程。第三步：標準化。左“出”=右“入”，且各微分項均按降冪排列。見P19公式（2-8）所示。第一步：明確系統輸入、輸出量，列寫各組成環(huán)節(jié)輸出與輸入的數學表達式。根據系統遵循的物理定律——如牛頓定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等。解：明確輸入量，輸出量第一步：環(huán)節(jié)數學表達式第二步：消去中間變量i＋－urucRC圖2.1RC濾波電路該電路為一階系統[例2.1]

如圖2.1所示，寫出RC濾波電路的微分方程。【例2.2】如圖2.2所示，寫出RLC振蕩器電路的微分方程。解：＋－urucRC圖2.2RLC振蕩器電路Li解方程組得RLC振蕩器電路的微分方程為：該電路為二階系統§2.1.1線性定常微分方程的求解

一般求解線性定常系統微分方程有以下兩種常用方法，如下圖所示。數學工具——拉普拉斯變換與反變換⑴拉氏變換定義設函數f(t)滿足①t<0時f(t)=0②t>0時，f(t)連續(xù)，則f(t)的拉氏變換存在，表示為：拉氏變換函數（象函數）原函數衰減因子，其中：τ-時間常數s=-σ+jω為拉氏變換算子，其中：σ-衰減系數ω-振蕩頻率（rad/s）⑵拉氏變換基本定理

線性定理

位移定理延遲定理終值定理

微積分定理d/dts將F(s)化成下列因式分解形式：⑶拉氏反變換定義表達式：f（t）=L-1[F(s)]方法：簡單函數-直接查表；復雜函數-部分分式展開，再查表?！鬎(s)含有共扼復數極點時，可展開為◆F(s)中具有不同的極點時，可展開為待定系數◆F(s)含有多重極點時，可展開為§2.2非線性數學模型的線性化

——微小偏差法（略）2.3.1傳遞函數的定義和主要性質

定義：零初始條件下，系統（元件、環(huán)節(jié)）輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設n階線性定常系統由下述n階線性常微分方程描述：定義表達式為：C(s)=G(s)R(s)§2.3傳遞函數※

三種表達式

(1)一般表達式式中：c(t)是系統輸出量，r(t)是系統輸入量；各系數均是常數。設r(t)和c(t)及其各階系數在t=0是的值均為零，即零初始條件，則對上式中各項分別求拉氏變換，可得到系統傳函的一般表達式：

(2)時間常數表達式K*—零、極點（根軌跡）增益；-zi、-pl—零點和極點值。K—增益；τi、Tl—對應環(huán)節(jié)時間常數。

(3)零極點（根軌跡）表達式

基本性質：性質1傳遞函數的概念只適于線性定常系統。性質2傳遞函數是一種動態(tài)數學模型，取決于系統或元件的結構和參數，與輸入量的形式（幅度與大?。o關，也不反映系統內部的任何信息

。性質3G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關系，但它不提供任何該系統的物理結構。因為許多不同的物理系統具有完全相同的傳遞函數，這就是系統的相似性。傳遞函數是在零初始條件下定義的，因此不能反映系統在非零初始條件下的運動規(guī)律。

若系統傳遞函數為G(s)，r(t)=δ(t)，即：R（s）=1

則：C(s)=G(s)R(s)=G(s)=L[g(t)]傳遞函數是復變量的有理真分式，即n≥m，具有復變函數的所有性質。對于實際系統來說，且所有系數均為實數。這是因為在物理上可實現的系統中，總是有慣性且能源有限的緣故。性質7系統傳遞函數G(s)是其單位脈沖響應g(t)的拉氏變換

單位脈沖響應g(t)是系統在單位脈沖輸入δ(t)時的輸出響應。2.2.2

典型環(huán)節(jié)的傳遞函數

任何一個復雜系統都是由有限個典型環(huán)節(jié)組合而成的；而環(huán)節(jié)則是由各種不同的元件組成。

常用的電路元件如下：-z2/z1運放A1/Cs電容CLs電感LR電阻R傳遞函數微分方程常用元件為元件對應的復阻抗比例環(huán)節(jié)滯后環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)（m個）積分環(huán)節(jié)（ν個）慣性環(huán)節(jié)（q個）振蕩環(huán)節(jié)（n-v-q）個1.比例環(huán)節(jié)(P調節(jié)器)特點：輸出與輸入量成比例，無失真和時間延遲。實例：線性電位器、運算放大器、傳動齒輪、線性傳感器等。K—比例系數（增益）2.積分環(huán)節(jié)（I調節(jié)器）特點：輸出量與輸入量的積分成正比例，當輸入消失，輸出具有記憶功能，一般用于改善系統的穩(wěn)態(tài)性能，提高控制精度。實例：一階水槽，電動機角速度與角度間的傳遞函數，模擬計算機中的積分器等。3.微分環(huán)節(jié)理想微分（D調節(jié)器）：一階微分（比例微分或PD調節(jié)器）：特點：輸出量正比于輸入量變化的速度，具有超前控制的作用，一般用于改善系統的動態(tài)性能。4.慣性環(huán)節(jié)式中，T-時間常數特點：含一個儲能元件，對突變的輸入,其輸出不能立即復現，即有延遲。實例：RC濾波電路網絡，一階水槽(流水)，直流伺服電動機的傳遞函數也包含這一環(huán)節(jié)。特點：環(huán)節(jié)中有兩個獨立的儲能元件，并可進行能量交換，其輸出出現振蕩。實例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數。可控硅直流閉環(huán)調速系統也是一個二階振蕩環(huán)節(jié)。5.振蕩環(huán)節(jié)式中ζ——阻尼比；T——時間常數

ωn——無阻尼自然振蕩角頻率（rad/s）6.延時（滯后）環(huán)節(jié)特點：輸出量能準確復現輸入量，但須延遲一固定的時間間隔。實例：管道壓力、流量、皮帶運輸等物理量的控制，其數學模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。式中：τ——延遲時間常數說明：實際的控制系統都含有滯后環(huán)節(jié)，只是一般延遲時間常數較小，可忽略不計。常見的典型電路§2.3控制系統結構圖及系統傳函2.3.1控制系統結構圖的組成（2）比較點（匯合點、綜合點、運算點）：“”兩個或兩個以上的輸入信號進行加減運算的元件?！?”表示相加，“-”表示相減?！?”號可省略不寫。（1）傳函方框：表示輸入到輸出單向傳輸間的函數關系。傳函方框+比較點+引出點G(s)R(s)C(s)(3)引出點（分支點、測量點）：表示信號測量或引出的位置圖2.7引出點示意圖)X(s)X(s)R(s)C(s)(1sG)(2sG注意：同一位置引出的信號大小和性質完全一樣。X1X1+X2X2圖2.6比較點示意圖示意圖X1X1-X2+X2-X3X3注意：進行相加減的量，必須具有相同的量綱。2.3.2控制系統的傳遞函數(1)前向通道：E(s)→C(s)

前向通道傳函：G1(s)G2(s)H(s)C(s)圖2.8

典型的控制系統結構圖控制對象控制器C(s)R(s)B(s)E(s)D(s)典型控制系統結構圖定義幾個重要概念及傳函以R(s)單獨作用（D(s)=0）為例。(2)

反饋通道：C(s)→B(s)

反饋通道傳函：Ｈ(ｓ)＝１時稱為單位反饋。（3）開環(huán)通道：E(s)→B(s)

開環(huán)通道傳函（簡稱開環(huán)傳函）：（4）閉環(huán)傳函

——兩種輸入信號對輸出響應的傳函G(s)H(s)Cr(s)R(s)B(s)E(s)典型控制系統結構圖可簡化為其中：G(s)=G1(s)G2(s)=前向通道傳函１+開環(huán)傳函

控制傳函：假定D(s)=0，

R(s)

Cr(s)

典型控制系統結構圖可等效為G２(s)H(s)Cd(s)Ｄ(s)G1(s)其中：G(s)=G1(s)G2(s)系統總相應為：C(s)=Cr(s)+Cd(s)

擾動傳函：假定Ｒ(s)=0，D(s)

Cd(s)

本節(jié)結束！2.3.3

控制系統結構圖的繪制一般步驟確定系統的輸入、輸出變量由輸入到輸出列寫各組成環(huán)節(jié)（元件）的微分方程根據信號流向由輸入到輸出連接各環(huán)節(jié)（元件）的傳函方框圖列寫各環(huán)節(jié)（元件）的拉氏變換方程并繪制對應的傳函方框圖方程中的“加、減”運算對應“比較環(huán)節(jié)”；乘法運算對應傳函方框[例1]

繪制雙RC濾波器電路的結構圖。＋－Ui(s)Uo(s)R11/C2s圖2.11RC濾波電路R21/C1sAI1I2解：網絡復阻抗方程如下：據此繪制雙RC濾波器電路的結構圖如下：1Ui(s)UA(s)Uo(s)I1(s)UA(s)I2(s)圖2.12雙RC濾波器電路結構圖23I2(s)Uo(s)ABC§2.4結構圖的等效變換及簡化計算等效變換原則：在變換前后，被變換的支路或回路傳函乘積保持不變。

關鍵：解除交叉的回路。

方法：通過移動比較點或引出點，使系統結構變成大環(huán)套小環(huán)或環(huán)路并列的形式；移動時，通過在被變換的支路上乘或除某個傳函來保持等效。

注意：只能將相同的“點”移到一起，然后通過換位解除交叉。必須注意，比較點和引出點之間不能換位。

簡化：根據環(huán)節(jié)方框的連接方式（串聯、并聯和反饋）進行簡化計算。結構圖中傳函方框的三種連接形式及其計算串聯并聯反饋用方塊圖的等效法則，求如圖所示系統的傳遞函數C(s)/R(s)。解：這是一個具有交叉反饋的多回路系統。求解方法是：先移動比較點或引出點解開交叉，然后逐步計算?！纠?.2】【例2.3】將雙RC串聯濾波電路的結構圖簡化?！?.5信號流圖及梅森公式定義：信號流圖是由節(jié)點和支路組成的一種信號傳遞網路。是結構圖的簡化表達形式。

組成：節(jié)點+支路+增益（1）節(jié)點：代表系統中的變量。分三類：

源點：輸入節(jié)點，只有輸出。

匯點（阱點）：輸出節(jié)點，只有輸入。

混合節(jié)點：有輸入也有輸出。（2）支路：連接兩個節(jié)點的定向線段。表示輸出信號對輸入信號的函數關系，相當于一個乘法器。（3）增益：表示相鄰兩個節(jié)點變量之間的關系。信號流圖與結構圖的對應關系源點阱點混合節(jié)點支路增益輸入變量R(s)輸出變量C(s)比較點、引出點和中間變量傳函方框帶極性的傳函信號流圖結構圖P28：術語（1）~（4）；性質（1）~（4）值得注意：（1）不接觸回路——回路之間沒有任何公共部分，即去掉一個回路，另一個將不閉合。（2）混合節(jié)點——可通過引出單位傳輸（增益為1）的支路變成輸出節(jié)點。（3）對于給定的系統，信號流圖不唯一。

繪制（由結構圖繪制）

【P30例2.7】123456123456【P30例2.7】

梅森公式其中：G(s)—

系統總傳輸增益（閉環(huán)傳函）特征多項式△=1-∑L1+∑L2-∑L3+……L1—各單獨回路增益L2—所有兩兩互不接觸回路增益乘積L3—所有三個互不接觸回路增益乘積回路傳函乘積沒有共同的部分（傳函和信號線）求法:去掉第k條前向通路后所求的△Pk—從R(s)到C(s)的第k條前向通道增益△k

—第k條前向通道的余子式在△中，去掉與第k條前向通道相接觸的回路對應的項后剩余的部分。梅森公式例1R(s)C(s)L1=–G1

H1L2=–G3

H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G3△1=1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)P2=G4G3△2=1+G1H1G4(s)G3(s)Δ=1-(L1+L2+L3+L4+L5）+(L1L2+L3L4)L1L2=(G1H1)(-G

2H2)L1=G1H1L2=–G2H2L3=–G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)C(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G3G2+G1G2+G2(1-G1H1)R(s)[

]N(s)梅森公式例2：求C(s)(1-G1H1)[例題分析]（2）單位脈沖響應c(t)解：（1）傳函C(s)/R(s)[例2.1]某系統在單位階躍信號作用下，零初始條件時的輸出響應為，試求系統傳遞函數和單位脈沖響應?！纠?.2】已知系統微分方程組的拉氏變換式如下，試繪結構圖并求C(s)/R(s)。解：（1）繪結構圖G1G7G8R–CX1–G6X3G2X2G4–G5G3X3（2）求傳函。用梅遜公式：G1G7G8R–CX1–G6X3G2X2G4–G5G3X3[例2.3]求如圖所示系統的傳遞函數C(s)/R(s)。

解：有2個前向通路：有5個單獨回路:1234無互不接觸回路。1234作業(yè)：2-3、2-5、2-7、2-8b）、2-9a）、2-10b)本章結束！第三章控制系統的時域分析法3.1

引言3.2一階系統分析3.3二階系統分析3.5

線性系統的穩(wěn)定性分析3.6

穩(wěn)態(tài)誤差及其計算3.4高階系統分析動態(tài)性能分析

時域響應：指系統在時間域內對外界輸入的響應。亦即系統數學模型的時域解。

分析的條件：零初始狀態(tài)。即在r（t）作用前系統處于靜止狀態(tài)，或穩(wěn)定運行狀態(tài)。

分析方法

:對于典型系統（一階、二階），施加典型輸入信號（單位階躍、斜坡、脈沖），根據系統傳函求出C（s），再反變換求出其對應的時間響應c（t）的表達式，進行系統分析。R(s)C(s)L-1C(t)§3.1系統的時域響應及性能指標時間tr上升峰值時間tpAB超調量σ%=AB100%調節(jié)時間ts動態(tài)性能指標示意圖Δ=±5%或±2%動態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程最大偏移量

一般情況下，分析一個控制系統主要從穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能三方面來考慮，這些性能的衡量標準及詳細指標參數如下表所示。快速性平穩(wěn)性(穩(wěn)定性)

上升時間tr：

輸出響應從零開始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值時所需的時間。即:c(tr)=c(∞)=1│第一次。峰值時間tp：輸出響應從零開始上升到第一個極值(最大值)處時所需的時間。即:dc(tp)/dt=0│第一次。調節(jié)時間ts：輸出響應達到并保持在一個允許誤差帶Δ內時所需的最短時間。動態(tài)性能指標的定義工程規(guī)定：Δ＝±5%或±2%

快速性指標

平穩(wěn)性指標

超調量σ%：輸出響應超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏移量占穩(wěn)態(tài)值的百分比。即：

穩(wěn)態(tài)誤差ess：也稱為靜態(tài)誤差，簡稱靜差。衡量輸出響應進入穩(wěn)態(tài)后所表現出來的性能，即表示系統的控制精度。定義式：穩(wěn)態(tài)性能指標的定義五種常用典型輸入信號單位脈沖信號是一種理想信號，實際使用中，常用單位窄脈沖信號近似代替δ(t)?！?.2一階系統時域分析1.數學模型T—慣性時間常數R(s)C(s)特點：是一個典型的慣性環(huán)節(jié)。如RC電路，T=RC。開環(huán)傳函為：R(s)C(s)

r(t)=1(t)→R(s)=1/s→C(s)=Φ(s)R(s)即：2.單位階躍響應0T2T3T4T

tc(t)10.630.860.950.98特點：是一個單調上升，無超調的過程。指標：由圖知σ％=0，

tr=t

p=∞(不存在)。ts=3T，Δ=5%4T，Δ=2%3.其它信號的時域響應特點：見下表輸入信號r(t)輸出響應c(t)δ(t)

1(t)

t§3.3二階系統單位階躍響應分析1.數學模型其中ζ——

阻尼比T——

閉環(huán)時間常數ω

n=1/T——無阻尼自然振蕩頻率(rad/s)R(s)C(s)特點：是一個典型的振蕩環(huán)節(jié)。如RLC電路。R(s)C(s)開環(huán)傳函有兩種形式：其中：K——開環(huán)增益；T——開環(huán)時間常數用兩種表達式可進行兩組參數（ωn、ζ和K、T）之間的換算。2.閉環(huán)特征根的特點閉環(huán)傳函的特征方程為：D(s)=s2+2ζω

ns+ωn2=0特征根為：欠阻尼（0＜ζ＜1）：s1.2為一對共軛復根

s1.2=-σ±jωd臨界阻尼（ζ=1）s1.2=-ωn為一對負實重根。過阻尼（ζ＞1）s1.2為兩個不同的負實根零阻尼（ζ=0）s1.2為一對共軛虛根，輸出響應為等幅振蕩。σ＝ζωn為衰減系數為實際振蕩頻率二階系統特征根的分布零阻尼ζ＝０臨界穩(wěn)定線左半平面ζ＞０穩(wěn)定區(qū)右半平面ζ＜０不穩(wěn)定區(qū)s1×s2

××s2×s1=s2×s2ωds1×s2×－σθωn過阻尼ζ＞1臨界阻尼ζ=1欠阻尼ζ＜1j0定義：阻尼角θ3.單位階躍響應特性

過阻尼響應（ζ＞1

）特征根為兩個不同的負實數，即：故：T1、T2為過阻尼時間常數且T1＞T2二階系統過阻尼相應的特點:(1)過阻尼響應表達式中，有2個單調衰減項，因此，過阻尼響應是一條單調上升、無超調的非周期響應曲線。而且因有2個衰減項，其上升速度較慢。(2)如果ζ＞＞1，則，，即s2距虛軸較遠，其對系統性能的影響很小，可以忽略。此時，二階系統可以等效為由s1決定的一階系統。即。此時，其性能分析和指標計算都可以參考一階系統的方法進行，即ts=(3~4)T1，σ=0。

臨界阻尼響應（ζ=1

）特征根為相同的負實數，即：故：特點：從坐標原點出發(fā)，終止于穩(wěn)態(tài)值1的單調上升，無超調的過程。但上升速度比過阻尼快。

欠阻尼響應（0＜ζ＜1）特征根：s1.2=-σ±jωd，為一對共軛復數。故：特點：從坐標原點出發(fā)，終止于穩(wěn)態(tài)值1的振蕩衰減過程，有超調。

零尼響應（ζ=0）特征根：s1.2=±jωn，為一對共軛純虛數。故：特點：從坐標原點出發(fā)，以c(t)=1為中心的等幅振蕩過程。此時，系統處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。二階系統單位階躍響應小結：見P49-50：1）~4）。過阻尼響應指標的計算公式與一階系統相似。如下：臨界阻尼響應指標的計算公式如下：3.

指標計算依據：各響應表達式和各指標的含義。欠阻尼響應指標的計算公式：c(tr)=c(∞)=1│第一次dc(tp)/dt=0│第一次c(ts)=0.95或0.98于是得到：欠阻尼響應指標的計算公式如下：說明：（1）由于ζ≥１，系統的響應較慢，故二階系統一般大都設計成欠阻尼狀態(tài)。對于一些不允許出現超調（如液體控制系統，超調會導致液體溢出）或大慣性（如加熱裝置）系統。則可采用過阻尼狀態(tài)。（2）工程上常?。害?0.4~0.8，對應超調量σ%=(1.5~25.4)%。二階系統性能指標及其關系阻尼比ζ1.00.80.7070.60.50.4超調量σ％01.5%4.3%9.5%16.3%25.4%上升時間tr∞6.67T4.72T3.34T2.41T1.93T二階最佳系統ζ

=0.707為最佳阻尼比其中：T為二階系統開環(huán)時間常數。動態(tài)性能指標的計算方法：根據題意寫出閉環(huán)傳函Φ(s)并標準化與比較ζωn帶公式可求得tr、tp、ts、σ%【P51例3.1】R(s)C(s)【例3.2】系統結構如圖。試分別求在K=1000和K=150時系統單位階躍相應的動態(tài)指標。解：（1）K=1000時（2）K=150時同理可算得：ωn=12.5s-1，ζ=1.41→過阻尼【作業(yè)】P77-97：3-2、3-3本節(jié)結束！§3-4高階系統時域分析1.高階系統的單位階躍響應R(s)=1/spl為閉環(huán)傳函的n個特征根（極點）2.高階系統特征根的分布s1×s2×j0x0×××××≥5x主導極點非主導極點×s2×00×偶極子結論：（1）忽略非主導極點的影響，系統的特性主要就由一對主導極點來決定。此時，系統的傳函可近似表示為：（2）系統對應于某個參數的主導極點可通過第4章的根軌跡法求得?！?.5

控制系統的穩(wěn)定性分析1.系統穩(wěn)定的充要條件系統穩(wěn)定性定義Pl必須為“負”

系統穩(wěn)定的充要條件為：閉環(huán)傳函的特征根均具有負實部（負實數或具有負實部的共軛復根）?；蜷]環(huán)極點均位于[s]左半面。由此得下圖：j0穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定線穩(wěn)定性示意圖2.勞斯穩(wěn)定判據依據

控制系統穩(wěn)定的條件實系數方程根與系數的關系___勞斯表設系統特征方程為：a0sn+a1sn-1+a2sn-2+…

+an-1s

+an=0snSn-1Sn-2Sn-3Sn-4

s1s0a0a2a4a6a8…a1a3a5a7

a9…b3.1b3.4

b4.3an特點：（1）勞斯表形狀為一“倒三角形”。（2）每兩行元素個數相同，不夠用“0”補齊。（3）行列式第一列為上兩行第一列，第二列為上兩行后一列。（4）次對角線–主對角線。（5）分母全為上一行第一列元素。勞斯判據：

若系統特征方程的各項系數均為正，且勞斯表中第一列元素全為正時，系統穩(wěn)定。否則，系統不穩(wěn)定，且第一列元素符號改變的次數等于該特征方程正實部根的個數。例：設系統特征方程為：s4+2s3+s2+s+3=0S4S3S2S1s01321030.53-11結論：系統不穩(wěn)定，且有兩個正實部根。兩個推論：（1）三階系統穩(wěn)定的條件是，特征方程各項系數均為正，且“中間大、兩頭小”。（2）二階系統穩(wěn)定的條件是，特征方程各項系數均為正。兩種特殊情況的處理

勞斯表中某行第一列元素為零，其余不全為零。處理方法：用一個很小的正數“ε”代替零元素，繼續(xù)列勞斯表。結論：系統肯定不穩(wěn)定。處理后，若表中第一列元素全為正，則系統處于臨界穩(wěn)定，有純虛根；若表中第一列有負元素，則系統不穩(wěn)定，有正實部根?！纠縋58例3-3。

勞斯表中某行元素全為零。處理方法：用該行的上一行元素為系數，對應構成輔助多項式F(s)，用F(s)′的系數代替全零行的元素，繼續(xù)列勞斯表。結論：同第一種情況?！纠縋59例3-5。勞斯判據的應用：

判斷系統穩(wěn)定性。確定系統穩(wěn)定時某些參數（K、T、τ、Kh等）的取值范圍。

P78習題3-9。初步判斷系統的穩(wěn)定程度。見P60：例3-6。解題思路：根據題意寫出

φ(s)→寫出特征方程→列勞斯表→根據表中第一列元素判斷穩(wěn)定性或另第一列中含未知參數的元素都大于零，然后解不等式求出參數的范圍?！?.6

控制系統的穩(wěn)態(tài)誤差分析1.

穩(wěn)態(tài)誤差的定義：給定誤差：擾動誤差：系統總誤差：2.兩種誤差傳函——

兩種輸入信號對誤差信號的傳函

給定誤差傳函Φer(s)：假定D(s)=0,R(s)

Er(s)

典型控制系統結構圖可簡化為其中：G(s)=G1(s)G2(s)G(s)H(s)R(s)B(s)Er(s)

擾動誤差傳函Φed(s)：假定Ｒ(s)=0，D(s)

Ｅd(s)

典型控制系統結構圖可簡化為G２(s)－H(s)Ｅd(s)Ｄ(s)G１(s)其中：G(s)=G1(s)G2(s)“-”說明擾動信號的作用與控制信號的作用相反。系統開環(huán)傳函的時間常數表達式為：定義１：靜態(tài)位置誤差系數定義2：靜態(tài)速度誤差系數定義3：靜態(tài)加速度誤差系數￣----為系統型別

----為0型系統

----為Ⅰ型系統

----為Ⅱ型系統

給定誤差essr條件：D(s)=0，R(s)單獨作用。意義：表征了系統對于各種輸入信號的跟蹤能力。思路：給定誤差傳函Φe(s)=Er(s)/R(s)→Er(s)→essr決定于開環(huán)傳函和輸入信號

階躍誤差:r(t)=R0·1(t)→R(s)=R0/s

斜坡誤差:r(t)=Rt→R(s)=R

/s2

加速度誤差:r(t)=Rt2/2→R(s)=R

/s3r(t)R·1（t）RtR·1（t）Rt0型∞∞Ｋ００Ⅰ型0∞∞Ｋ０Ⅱ型00∞∞Ｋ各種系統在三種典型信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與誤差系數誤差系數穩(wěn)態(tài)誤差給定誤差的計算思路：１.系統在單一信號作用下：根據已知條件寫出G(s)H(s)根據已知的r(t)求對應的誤差系數階躍輸入斜坡輸入加速度輸入2.系統在復合信號作用下：

方法：分別計算各單一信號單獨作用產生的誤差，然后疊加。

規(guī)律：在復合信號作用下，穩(wěn)態(tài)誤差只決定于高階信號，因此，只需求出在最高階信號單獨作用下的ess則為最終結果?？偨Y論：（1）系統誤差主要決定于系統開環(huán)增益、系統型別和輸入信號的類型和幅值。（2）同一輸入信號作用下，系統型別越高，穩(wěn)態(tài)誤差越?。幌到y開環(huán)增益越大，穩(wěn)態(tài)誤差越??；穩(wěn)態(tài)誤差越小，系統控制精度越高，跟蹤信號的能力越強，（3）對于同一系統，跟蹤“對應”的輸入信號時，誤差為有限值()，跟蹤低一級的信號誤差為零，跟蹤高一級的信號，誤差為無窮大。

擾動誤差essd條件：R(s)=0，D(s)單獨作用。意義：表征了系統的抗干擾能力。思路：擾動誤差傳函Φed(s)=Ed(s)/D(s)→Ed(s)→essd決定于G1(s)

和D(s)

系統總誤差esse

ss=essr+essd

提高系統穩(wěn)態(tài)精度的方法復合控制（見第6章）作業(yè)：3-7、3-14、3-15本章結束！

引言根軌跡分析法是在1948年由W.R.Evans提出的一種圖解法，主要用于分析高階系統。根軌跡法是用于分析和設計線性定常控制系統的一種工程方法。具有簡便、直觀及物理概念明確等特點，因此在工程實踐中獲得廣泛應用。本章重點研究的5個問題：根軌跡法的概念、繪制根軌跡的規(guī)則、增加開環(huán)極、零點對根軌跡的影響、用根軌跡分析系統性能。第4章根軌跡分析法1.定義：系統的一個（一般為根軌跡增益K*，即自變量）或多個參數由零變到無窮大時，系統閉環(huán)特征根s在復平面上移動的軌跡稱系統的根軌跡。根據根軌跡分析和設計系統的方法稱為根軌跡分析法。2.主要內容：研究s平面上閉環(huán)特征根的位置隨開環(huán)參數K*變化的規(guī)律及其與系統性能的關系?！?.1根軌跡法的概念3.方法：開環(huán)零點zi、極點pl在[s]中的分布K*=0→∞根軌跡方程根軌跡圖求主導極點、分析系統性能４.根軌跡方程—

閉環(huán)特征方程一般系統的閉環(huán)傳函可表示為：則，閉環(huán)特征方程即根軌跡方程為：又因為開環(huán)傳函的零極點表達式為：上式可分解為：于是，根軌跡方程為：幅值方程（條件），用于計算主導極點對應的K*值相位方程（條件），用于繪制根軌跡圖。k=0,1,2…K*

s1s200-2-1-1-1+j-1-j∞

-1+j∞-1+j∞起點重根點終點σ0jω××p1p2s1s2[例4.1]單位反饋系統開環(huán)傳函為，試繪根軌跡圖。解:n=2,p1=0,p2=-2；m=0閉環(huán)系統特征方程式：

利用根軌跡的性質（規(guī)則），可以繪制根軌跡的大致圖形（草圖），基本能滿足工程需求?！?.2繪制根軌跡的規(guī)則規(guī)則1：根軌跡的起點和終點。

根軌跡起始于開環(huán)極點，終止開環(huán)零點或無窮遠。規(guī)則2:根軌跡的條數和對稱性。

n階系統有n條根軌跡；根軌跡關于實軸對稱。規(guī)則3:實軸上的根軌跡分布。由實數開環(huán)零、極點將實軸分為若干段，如某段右邊開環(huán)零、極點（包括該段的端點）數之和為奇數，則該段就是根軌跡，否則不是。如下圖所示。jωσ×

×

×

×

p4z2p3p2z1p1規(guī)則4：根軌跡的分離點和會合點d。（1）定義：根軌跡離開實軸進入復平面的點稱為分離點；由復平面進入實軸的點稱為匯合點。位于相鄰兩極點（分離點）或兩零點（匯合點）之間。（2）位置：大部分的分離點和匯合點在實軸上，若出現在復平面內時，則成對出現。（3）特點：分會點和匯合點對應于閉環(huán)特征方程有重根的點；根軌跡離開或進入實軸的方向均為垂直方向。即分離角和匯合角均為90°。（4）分會點坐標計算：根據重根的條件，還必須滿足：聯立求解（1）（2），消去K*得分會點坐標計算公式為：注：將不在根軌跡上的s值舍去。規(guī)則5：根軌跡的漸近線定義：n-m條終止于無窮遠處的根軌跡的終止方向線。條數：共有（n-m）條漸近線。與實軸交點：與實軸夾角：取n-m個值。計算：規(guī)則6：根軌跡與虛軸的交點意義：是系統的臨界穩(wěn)定點。特點：對應于系統閉環(huán)特征方程有純虛根的點。求法：（1）將s=jω代入閉環(huán)特征方程得：1+G(jω)H(jω)=0，再令左邊復數多項式的實部、虛部分別為零，解不等式可得K*和ω。則交點為：s=±jω。（2）根據閉環(huán)特征方程列勞斯表，令表中第一列含有K*的元素=0，解方程可得K*值；將此K*值代入該行上一行元素組成的輔助方程式，解之可得交點的s值。

解：G(s)H(s)有3條根軌跡，分別起于0，-2，-4，終止于無窮遠處。m=0n=3:p1=0,p2=-2,p3=-4例4.2

系統開環(huán)傳遞函數為，試繪根軌跡圖。（1）實軸上：（－∞，-4），（-2，0）。（2）漸進線：（3）分會點：由開環(huán)傳遞函數得：

A(s)=s(s+2)(s+4)=s3+6s2+8s，B(s)=1

A′(s)=3s2+12s+8，B′(s)=0

則，分會點方程為：3s2+12s+8=0s1=-3.1(不在根軌跡上，舍去)。s2=-0.9為分會點。（4）與虛軸的交點：方法1：閉環(huán)特征方程為s3+6s2+8s+K*=0

令s=jω得：-jω3-6ω2+j8ω+K*

=0即-6ω2+K*

=0-ω3+8ω=0K*

=48ω=2.8s-10jω-4-2σ×××s3s2-j2.8-0.9令48–K*

=0K*＞0K*

=48得輔助方程6s2+48=0s=±j2.8s1

j2.8π/3-π/3方法2：閉環(huán)特征方程為

s3+6s2+8s+K*=0

列勞斯表如下：s318s26K*s1

s0K*解：G(s)H(s)

有3條根軌跡，分別起于0，-1，-2，-5，終止于無窮遠處。m=0n=4:p1=0,p2=-1,p3=-2，p3=-5（1）實軸上：（－∞，-1），（-2，-5）。（2）漸進線：（3）分會點：分會點方程為高階方程不好求解，一般用試探法。按照經驗規(guī)律，s1應在

p1和p2

的中點稍偏右；s2應在p3和p4

的中點稍偏左。例4.3已知系統開環(huán)傳函為，試繪其根軌跡圖。（4）與虛軸的交點：閉環(huán)特征方程為：s4+8s3+17s2+10s+K*=0注：高階方程可以不必求解，只要按照漸近線方向繪制大致形狀即可。故，該系統根軌跡圖如下。-5-2-10σ××××jωs1s2s3s4注：根軌跡是圓的特例。凡是由兩個極點和一個或兩個零點組成的系統，只要沒有零點位于極點之間，則其根軌跡在復平面內的部分是圓或圓的一部分。（證明略）零極點：漸近線：【例4.4】已知系統開環(huán)傳函為，試繪其根軌跡圖。規(guī)則7：根軌跡的出射角α和入射角β。定義：出（入）射角是根軌跡離開（進入）復極點(復零點)的切線與實軸正方向的夾角。計算公式：極點pl處的出射角αl：αl+1

=-αl

零點zl處的入射角βl：βl+1=-

βl出射角：據此繪制根軌跡圖如圖。零極點：漸近線：【例4.3】已知系統開環(huán)傳函為，試繪其根軌跡圖。分會點：規(guī)則8：根之和與根之積——閉環(huán)極點的性質根之和：閉環(huán)特征根之和開環(huán)極點之和常數作用：①判斷特征根的變化趨勢；②已知一些根求另外一些根。根軌跡圖繪制規(guī)則見表4-1。根軌跡圖繪制舉例。例4-6，4-7。常見系統零極點分布及對應的根軌跡草圖見圖4-13。根之積：本節(jié)結束！【作業(yè)】4-5、4-8?！?/p>

4.3廣義根軌跡（了解）

在控制系統中，通常把負反饋系統中根軌跡增益K*變化時的根軌跡叫做常規(guī)根軌跡，而把其他情況下的根軌跡統稱為廣義根軌跡。一般有參量根軌跡、零度根軌跡以及有些n＜m時系統根軌跡等。4.3.1參量根軌跡除根軌跡增益外，把開環(huán)系統的其他參數（如時間常數、反饋系數等）從零變化到無窮大或在某一范圍內變化時，閉環(huán)系統特征根的變化軌跡叫參量根軌跡。參量根軌跡的繪制步驟如下：

4.3.2零度根軌跡——正反饋和某些最小相位系統根軌跡

某些復雜系統中，可能會包含正反饋回路，影響系統的穩(wěn)定性，必須通過整個系統的控制作用來抑制。正反饋系統結構如圖所示。(1)寫出原系統的特征方程：。(2)特征方程式兩邊除以不含該參量的各項，得系統的等效根軌跡方程：。該方程中的參量即為等效開環(huán)傳函的根軌跡增益。(3)用繪制常規(guī)根軌跡原則繪制等效系統的根軌跡，即為原系統的參量根軌跡。具體見P97例4-8所示。根軌跡方程為：幅值條件為：相角條件為：繪制零度根軌跡圖的依據。具體繪制規(guī)則見P100。例4-9。表4-2?！?.4用根軌跡法分析系統性能一、閉環(huán)極點的位置與系統性能的關系0σjωs1×s2×θωn

如圖，s1、s2為閉環(huán)系統一對共軛復數極點。二階系統單位階躍響應：二階系統性能指標：可見：閉環(huán)極點的位置與系統性能的關系如下：（1）閉環(huán)極點在s左右平面的分布反映了系統的穩(wěn)定性。（2）閉環(huán)極點的實部（ζωn）反映了系統的調整時間ts

和穩(wěn)定程度，而且ζωn

↑（閉極點離虛軸越遠）→t

s

↓→動態(tài)快速性↑，同時穩(wěn)定程度越好。（3）閉環(huán)極點的虛部（ωd）表征了系統的實際振蕩頻率。（4）閉環(huán)極點的模（ωn）表征了系統的無阻尼振蕩頻率。

（5）閉環(huán)極點與負實軸的夾角（阻尼角θ）反映了系統超調量，而且θ↓（閉極點離實軸越近）

→

ζ=cosθ

↑→σ％↓→動態(tài)平穩(wěn)性↑。二、已知系統的性能指標，確定閉環(huán)主導極點s*1.2和K*思路：繪根軌跡圖性能指標ζ做θ=arccosζ線估讀主導極點s*1.2用幅值條件計算K*s*1.2為θ線與根軌跡的交點若無零點，則分母為1。具體參見P103：例4-11。σjω0××p1p2×p3（a）增加合適的開環(huán)零點σjω0××p1p2×p3ozoz（b）增加不合適的開環(huán)零點jω0××p1p2×p3σ三、增加開環(huán)零、極點對根軌跡的影響1.增加開環(huán)零點：具體參見P104：例4-12。結論1：增加合適的開環(huán)零點，將使根軌跡向左彎曲或移動，可以改善系統的穩(wěn)定性和快速性。但零點選擇不合適則達不到此效果。2.增加開環(huán)極點：具體參見P106：例4-13。結論2：增加開環(huán)極點，將使根軌跡向右彎曲或移動，從而使系統的穩(wěn)定性和快速性