第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式（A基礎卷）（解析版）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式（A基礎卷）單項選擇題（本大題共8題，每小題5分，共計40分。每小題列出的四個選項中只有一項是最符合題目要求的）1．若，則下列正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對于選項A：若，則，由題意，，不妨令，，則此時，這與結論矛盾，故A錯誤；對于選項B：當時，若，則，故B錯誤；對于選項C：由，不妨令，，則此時，故C錯誤；對于選項D：由不等式性質，可知D正確.故選：D.2．設a>0，則的最小值為（）A． B．2C．4 D．5【答案】D【詳解】，，當且僅當a=2時取等號，所以的最小值為5.故選：D.3．已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】結合圖像易知，不等式的解集，故選：A.4．已知關于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C．或 D．【答案】A【詳解】因為關于的不等式在上有解，即在上有解，只需的圖象與軸有公共點，所以，即，所以，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：A.5．若關于的不等式的解集為，則實數(shù)的值為（）A．2 B．3C．5 D．8【答案】A【詳解】由得，即，因為關于的不等式的解集為，所以.故選：A.6．已知，，若，則的最小值為（）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【詳解】因為，，且，所以，當且僅當時，即時等號成立.所以的最小值為16.故選：B.7．設則的最大值是（）A．3 B． C． D．【答案】D【詳解】因為所以，當且僅當，即時，等號成立，故選：D8．對一切實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當時，不等式恒成立，當時，，當時，，當且僅當時等號成立.當時，，當且僅當時等號成立.所以.故選：B多項選擇題（本大題共4題，每小題5分，共計20分。每小題列出的四個選項中有多項是符合題目要求的，多選或錯選不得分）9．設，則下列不等式不成立的是（）A．ab<b2<1 B．<<1 C．1< D．a2<ab<1【答案】ABD【詳解】對于A，取，則，所以A錯誤，對于B，取，則，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以，即，因為，所以，即，綜上，所以C正確，對于D，取，則，所以D錯誤，故選：ABD10．下列說法正確的是（）A．的最小值是B．的最小值是C．的最小值是D．的最小值是【答案】AB【詳解】當時，（當且僅當，即時取等號），A正確；，因為，所以，B正確；，當且僅當，即時，等號成立，顯然不成立，故C錯誤；當時，，D錯誤.故選:AB.11．已知關于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值是（）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】當時，由可得，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，故.故選：AB.12．幾何原本中的幾何代數(shù)法以幾何方法研究代數(shù)問題成為了后世數(shù)學家處理問題的重要依據通過這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明如圖，在AB上取一點C，使得，，過點C作交半圓周于點D，連接作交OD于點下面不能由直接證明的不等式為（）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】由射影定理可知即由得故由由直接證明的不等式為選項B故選：ACD三、填空題（每小題5分，共計20分）13．若關于的不等式的解集為R，則實數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【詳解】解：當時，不等式為，解集為R；當時，關于的不等式的解集為R，則，解得，綜合得.故答案為：.14．若正數(shù)、滿足，則的最小值是______【答案】【詳解】由，則，當且僅當時取等號，整理可得解不等式可得或，又因為、為正數(shù)，所以，所以的最小值是.故答案為：15．已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一個根在(0，1)內，另一個根在(1，2)內，則實數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【詳解】設f(x)＝x2＋ax＋1，由題意知，解得－<a<－2.故答案為：.16．下列四個命題：①若，，則；②函數(shù)的最小值是3；③己知正實數(shù)，滿足，則的最小值為．其中所有正確命題的序號是__________．【答案】①③【詳解】對于①，，，，，，，，即，兩邊同除以得，；同理，即，同除以得，，綜上得＜＜，故①正確；對于②，，而，故②錯誤；對于③，正實數(shù)，滿足，則，，當且僅當即取等號，故③正確；故答案為：①③．四、解答題（解答題需寫出必要的解題過程或文字說明，共70分）17．已知關于的不等式．（1）若時，求不等式的解集（2）求不等式的解集【詳解】（1）當時，，，得，所以不等式的解集為，（2）由，得，當，即時，不等式的解集為，當，即時，不等式的解集為，當，即時，不等式的解集為，綜上，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為18．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩實根為x1、x2，證明：．【詳解】由韋達定理得：x1+x2=，x1x2=，則|x1-x2|=．所以原題得證.19．已知不等式對一切恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【詳解】當a=3時，不等式可化為：恒成立，符合題意；當時，要使不等式對一切恒成立，只需，解得：；所以.即實數(shù)a的取值范圍為.20．已知關于的不等式．（1）若不等式的解集為或，求的值；（2）若不等式的解集是，求的取值范圍．【詳解】（1）當時，不等式化為，解集為，不合題意，舍去；當時，一元二次不等式的解集為或，、是相應方程的兩根，且．，解得：．綜上可知：；（2）當時，不等式化為在上恒成立，符合題意；若，關于的一元二次不等式的解集為，得，解得．綜上，的取值范圍是．21．某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產產品百臺，其總成本為萬元，其中固定成本為2萬元，并且每生產1百臺的生產成本為1萬元（總成本=固定成本+生產成本）；銷售收入（萬元）滿足：，假定該產品產銷平衡（即生產的產品都能賣掉），那么根據上述統(tǒng)計規(guī)律，要使工廠有盈利，產量應控制在什么范圍？【詳解】根據題意可得成本，設利潤為，則，要使工廠有盈利，即滿足，當時，由化簡得，解得，所以；當時，由解得，所以，綜上，，即產量應控制在大于100臺，小于820臺的范圍內.22．已知.（1