數學文化 課件 10-悖論及其意義

數學文化第10章

悖論與三次數學危機

在數學史上，有三次數學危機，每一次都使數學陷入尷尬的境地，或說是危機的境地。而每一次危機都是由數學悖論引起的。

悖論,就是“自相矛盾的論述”，是一種說不明道不清的“荒謬”理論。悖論的通常形式是:“如果承認某命題正確，就會推出它是錯誤的；如果認為它不正確，就會推出它是正確的?！睆亩贸霾环吓懦傻拿苊}。即由它的真，可以推出它的假;由它的假，則可推出它的真。

由于嚴格性被公認為是數學的一個主要特點，因此如果數學中出現悖論，就會造成對數學可靠性的懷疑。因而引發(fā)人們認識上的危機。因此，在這種情況下，悖論往往會直接導致“數學危機”的產生。但是，悖論并非無稽之談，它在荒誕中蘊含著哲理，給人以啟迪。沿著它所指引的推理思路，可以使你走上一條貌似正確，在開始時覺得順理成章，而后又使您在不知不覺中陷入自相矛盾的泥潭，但經過破譯，將會使您感到回味無窮，并從中啟迪思維，提高能力，給你以奇異的美感。

奧地利學者班格特·漢生(BenguetHansen)認為，一些常見的悖論，除了非直接的原因外，其性質就和數學上的方程沒有解一樣。在算術中是靠引進新數，擴大數系來解決的，例如：x+1=0，在正整數系里無解，擴大到有理數系便有解了；x2+1=0，在實數系里無解，擴大到復數系便有解了。同樣，悖論的發(fā)生常常是與人們在相應的歷史條件下的認識水平有著密切的關系。

由于悖論是與一定的歷史條件相聯(lián)系，是相對于某個理論體系的，因此，面對悖論，我們應努力去探尋或建立新的理論，使之既不損害原有理論的精華，又能消除悖論。因此，客觀上，悖論推動了數學理論的研究與發(fā)展。章節(jié)目錄10.1

歷史上的幾個有名悖論10.2

三次數學危機10.3

數學危機的文化意義

這是公元前4世紀希臘數學家歐幾里得提出來的一個重要的語義學悖論，通俗的表述是“我正在說的這句話是謊話”。此話到底是真是假？

如果此話為真，則就肯定了他所說的這句話確實是“謊話”；如果此話為假，則又肯定了他說的這句話是真話。到底他說的是真話是謊話，誰也說不清了。10.1.1說謊者悖論10.1

歷史上的幾個有名悖論

這一悖論是針對“上帝是全能的”這一命題其意義為“全能就是可以辦到世界上的任何事都。請問：上帝能創(chuàng)造出一個對手來擊敗他自己嗎?”

如果說能，則上帝可以被對手擊敗，并非是全能的；如果說不能，則說明上帝并非是全能的。

這個悖論的特點是，上帝能肯定一切，也能否定一切，但他自己也在這一切之中，所以當他否定一切的時候，同時也就否定了自己。10.1.2上帝全能悖論

這是羅素(B.A.W.Russell)集合悖論的一種通俗說法。薩維爾村里的一名理發(fā)師，給自己定了一條店規(guī):“我只給那些自己不給自己刮胡子的人刮胡子?！蹦敲催@位理發(fā)師的胡子該不該由他自己刮？

如果理發(fā)師的胡子由他自己刮，則他屬于“自己給自己刮胡子的人”，因此，理發(fā)師不應該給自己刮胡子；如果理發(fā)師的胡子不由自己刮，則他屬于“自己不給自己刮胡子的人”。因此，他的胡子可以由他自己刮?？傊?，他給自己刮也不是，不刮也不是。10.1.3理發(fā)師悖論

歐幾里得第三公理為“整體大于部分”，從歐氏幾何誕生起，這就是顛撲不破的真理。但是，伽利略卻在1638年提出一個命題：“部分有時可以等于整體”。顯然這二者組成了一對矛盾，俗稱伽利略悖論。

其實，我們在第3章中已經看到過部分與整體“相等”的情形。如正偶數集合是正整數集合的一個真子集，但它們之間可以建立一一對應關系。所以，在對應的意義下，這兩個集合的元素是一樣多的，也就是“部分等于了整體”。10.1.4伽利略悖論

我們應當說，歐氏公理“整體大于部分”是從有限數量上總結出來的一條公理，但對于無限集合來說就不再適用。所以這個悖論實際上反映的是“有限”與“無限”之間的一種矛盾現象。由此，我們不能輕易地把有限集合中的公理、定理等套搬到無限集合中去。

數學是以嚴密的邏輯推理為基礎，容不得任何自相矛盾的命題或結論。如果數學中出現了悖論，則就破壞了數學的嚴密性。數學悖論反映了數學科學的一些概念和原理之中還存在著不完善、不準確之處，有待于數學家們進一步探討和解決。數學就正是在這不斷發(fā)現和解決矛盾的過程中發(fā)展起來的。

在第1章中，我們曾介紹過畢達哥拉斯與他的學派，也介紹了畢達哥拉斯學派關于諧音的研究，從而引起了該學派“萬物皆數”的核心思想。10.2.1希伯索斯悖論與第一次數學危機10.2

三次數學危機

畢達哥拉斯學派對幾何學的貢獻很大，最著名的是所謂的“畢達哥拉斯定理”（即勾股定理）的發(fā)現：任何直角三角形的兩直角邊a、b和斜邊c，都有a2+b2=c2的關系。據說當時曾屠牛百頭來歡宴慶賀該定理的發(fā)現。

畢達哥拉斯學派研究數學，把“幾何、算術、天文學、音樂”稱為“四藝”，倡導一種“唯數論”的哲學觀，“數”與“和諧”是他們的主要哲學思想。他們認為，宇宙的本質是數的和諧。一切事物都必須而且只能通過數學得到解釋。他們堅持的信條是：“宇宙間的開始現象都可歸結為整數或整數的比。”也就是一切現象都可以用有理數來描述。圖1例如他們認為“任何兩條不等的線段，總有一個最大公度線段。”其求法如圖10-1。設兩條線段AB、CD(|AB|>|CD|)，在AB上用圓規(guī)從一端點A起，連續(xù)截取長度為CD的線段，使截取的次數盡可能的多。若沒有剩余，則CD就是最大公度線段。圖10-1

若有剩余,則設剩余線段為EB(|EB|<|CD|)，再在CD上截取次數盡可能多的EB線段，若沒有剩余，則EB就是最大公度線段。若有剩余，則設為FD(|FD|<|EB|)，再在EB上連續(xù)截取次數盡可能多的FD線段，如此反復下去。由于作圖工具的限制(僅用圓規(guī))總會出現沒有剩余的現象。也即最大公度線段總是可以求出的。例如圖10-1中，最后有FD=2GB，所以GB就是AB和CD最大公度線段。并且有，即兩個整數之比。即任何兩條線段都可以有最大公度線段，亦即有可公度比。

然而就是由畢達哥拉斯學派所發(fā)現的畢達哥拉斯定理，也即是從直角三角形中，畢達哥拉斯學派發(fā)現了“不可公度比”,動搖了他們的哲學信念，產生了第一次數學危機。

相傳，畢達哥拉斯學派的成員希伯索斯(Hippasus)通過邏輯推理方法發(fā)現:“等腰直角三角形的斜邊和直角邊是不可公度的，即不存在最大公度線段”。

希伯索斯從幾何上的邏輯推理是基于如下的思考:如圖2所示，在等腰直角三角形ABC中，按前面方法，為了求AC與AB的最大公度線段，取AD=AC，過D作DE⊥AB交BC于E，因為∠DCE=∠CDE=22.5°，所以|CE|=|DE|=|DB|。則問題轉化為求DB與BE的最大公度線段，但△BDE又重新構成一個等腰直角三角形，往下，只能重復以上的作法。如此繼續(xù)下去，始終求不出AC與AB的最大公度線段。這就是說,希伯索斯從幾何上發(fā)現了線段的“不可公度”的存在。圖10-2

這樣一來就否定了畢達哥拉斯學派的信條一一宇宙間的一切現象都可歸結為整數或整數之比。畢達哥拉斯學派不能接受這樣毀滅性的打擊，據說為封鎖消息，竟然把希伯索斯拋進大海。還有一種說法是畢達哥拉斯本人已經知道不可公度比的存在，但要封鎖這一消息，而希伯索斯因泄密而被處死。本來希伯索斯對數學的發(fā)展作出了重大的貢獻，理應受到贊賞，誰知反而喪失了生命，希伯索斯是一個以身殉道的追求真理的先驅。

大約在公元370年，才華橫溢的希臘數學家歐多克索斯和畢達哥拉斯的學生阿契塔給出兩個比相等的定義，從而消除了這一“丑聞”。他們給出的定義與涉及的量與“是否可公度”無關，借助幾何的方法，通過避免直接出現無理數而實現的。歐多克索斯建立了一整套比例論，其本人著作已失傳，幸而他的成果被保留在歐幾里得《幾何原本》一書的第五篇中。然而，第一次數學危機徹底消除是直到19世紀戴德金實數理論建立起來以后的事。

不可公度比(即無理數)的發(fā)現對古希臘的數學觀點產生了極大的沖擊。

首先，它表明幾何的某些性質與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示；反之，數卻可以由幾何量表示出來。

其次，希臘人從此發(fā)現了直覺和經驗是不可靠的，推理證明才是可靠的。從此希臘人開始由“若干自明的公理和公設出發(fā),通過演繹，建立起了龐大而嚴密的幾何體系，形成了歐幾里得的《幾何原本》”。它不僅是第一次數學危機的自然產物，而且對西方近代數學的形成和發(fā)展產生了深遠的影響。

第一次數學危機表明，當時希臘數學已經發(fā)展到這樣的階段:1)數學已由經驗科學變?yōu)檠堇[科學；2)把證明引人了數學；3)演繹的思考首先出現在幾何學中，而不是在算術中，使幾何具有更加重要的地位。這種狀態(tài)一直保持到笛卡兒解析幾何的誕生。

17世紀由牛頓和萊布尼茨建立起來的微積分學，由于在自然科學中的廣泛應用，揭示了許多自然現象，而被高度重視。但是不管是牛頓還是萊布尼茨所創(chuàng)立的微積分都是不嚴格的，兩人的理論都建立在無窮小分析上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。存在著明顯的邏輯矛盾。例如，對求導數，根據牛頓的流數計算法，有（1）10.2.2貝克萊悖論與第二次數學危機（2）（3）（4）（5）

在上面的推導過程中，從(3)到(4)，要求△x不等于零，而從(4)到(5)，又要求△x等于零。正因為在無窮小量中存在著這類矛盾，因而微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊，其中攻擊最猛烈的是當時頗具影響的英國紅衣大主教貝克萊。貝克萊

1734年，貝克萊以“渺小的哲學家”之名出版了一本標題很長的書——《分析學家：或一篇致一位不信神數學家的論文，其中審查一下近代分析學的對象，原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達，或更明顯的推理》。在這里，貝克萊指責牛頓，是“依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果”。

因為無窮小量在牛頓的理論中，一會兒說是0，—會兒又說不是0。因此，貝克萊主教嘲笑無窮小量是“逝去量的幽靈”。貝克萊的攻擊雖說出自維護宗教的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷。

貝克萊的指責在當時的數學界中引起混亂，這就是第二次數學危機的爆發(fā)。數學史上把貝克菜的問題稱之為“貝克萊悖論”，籠統(tǒng)地說，貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究競是否為0”的問題。

針對貝克萊的攻擊，牛頓與萊布尼茨都曾試圖通過完善自己的理論來解決，但都沒有獲得成功。這使數學家們陷入了尷尬境地。一方面微積分在應用中大獲成功，另一方面白己卻存在著邏輯矛盾，這種情形下對微積分的取舍到底何去何從呢?

第二次數學危機的核心是微積分答礎的不牢固。重建微積分基礎的歷史重任落在了柯西、魏爾斯特拉斯等人身上。柯西（Cauchy）的貢獻是將微積分建立在極限論的基礎上，而魏爾斯特拉斯(K.T.W.Weierstrass)的貢獻是邏輯地構造實數論，完成了分析學的邏輯奠基工作，從而使微積分這座人類數學史上空前雄偉的大廈建立在牢固可推的基礎之上。

19世紀未，由于嚴格的微積分理論的建立，第二次數學危機已基本解決。數學表達的精確化和理論系統(tǒng)的公理化思想，深深滲透到人類知識的各個領域。嚴格的微積分理論是以實數理論為基礎的，而嚴格的實數理論又以集合論為基礎。集合論似乎給數學家?guī)硪粍谟酪莸財[脫基礎危機的希望，盡管集合論的相容性尚未證明，但許多人認為這只是時間早晚的問題。集合論成功地用到了各個數學分支，成為數學的基礎。

10.2.3羅素悖論與第三次數學危機

數學家們?yōu)樽约籂I造的以康托集合論為基礎的數學大廈即將竣工而狂歡，認為數學理論的嚴密性已經完成，特別是基礎理論已不成問題。1900年，在巴黎召開的第二屆國際數學家大會上，法國大數學家龐加萊興奮地宣布：“我們最終達到了絕對的嚴密嗎？在數學發(fā)展前進的每一階段，我們的前人都堅信他們達到了這一點。如果我們被蒙蔽了，我們是不是也像他們一樣被蒙蔽了？如果我們不厭其煩地嚴格的話，就會發(fā)現只有三段論或歸結為純數的直覺是不可能欺騙我們的。今天我們可以宣稱完全的嚴格性已經達到了?！?/p>

正當數學家們陶醉于勝利之中，為由康托所創(chuàng)立的集合論已為大家所接受，并深入到數學的各個分支而歡欣鼓舞時，數學史上的一場新的危機正在降臨。僅僅過了兩年，數學大廈受到了又一次強烈的沖擊，人們再一次發(fā)現，數學大廈的基礎出現了更大的裂痕，甚至有人認為，整個數學大廈的基石有崩塌的危險。這就是羅素悖論的出現?？低袪?902年6月羅素寫信給德國數學家弗雷格(E.I.G.Frege)，告訴他自己發(fā)現這樣一個悖論，意思是這樣的：集合可以按以下的方法分為兩類。一類集合是它本身不是自己的元素，如自然數集絕不是一個自然數；另一類集合是它本身是自己的元素，如一切集合組成的集合，仍是一個集合，因此它本身也屬于這個集合。羅素

我們把所有屬于第一類的集合歸在一起，又可構成一個集合，不妨記作A?，F在問，集合A屬于上面的哪一類？如果A屬于第一類，則A本身就是自己的元素，那么它應當屬于第二類；如果A屬于第二類，那么A當然不能屬于第一類。也就是說，A本身不是自己的元素，而這樣根據第一類集合的定義，A又應當屬于第一類。因為A是康托爾意義下的集合，應當二者必居其一，于是這個問題的回答被弄得無所適從了。羅素這一悖論以其簡單明了的方式，揭開了當時作為數學基礎的康托爾集合論本身的矛盾重重的蓋子，震驚了整個數學界。當弗雷格剛要出版《算術的基本法則》第二卷時，收到羅素的信后，他寫道：“對一位科學家來說，最難過的事情莫過于在他的工作即將結束時，其基礎崩潰了，羅素先生的一封信正好把我置身于這個境地?！?/p>

戴德金(J.W.R.Dedekind)也因此推遲了他的《什么是數的本質和作用》一文的再版。發(fā)現拓撲學中“不動點原理”的布勞威爾(I.E.G.BrOuwer)，認為白己過去的工作都是“廢活”，聲稱要放棄不動點理論。羅素

連大數學家龐加萊后來也不得不改口說：“我們設置柵欄，把羊群圍住，免受狼的侵襲。但是很可能在圍柵欄時就已經有一條狼被圍在其中了?！?/p>

這一悖論使號稱數學又一次陷入了自相矛盾的危機。為了使這個悖論更加通俗易懂，羅素本人在1919年將其改為前面提到的“理發(fā)師悖論”。

羅素悖論即是對于任一集合考慮其是否屬于自身的問題，用數學語言寫出來就是：設有集合

，由于是一個集合，

則有問題：“

是否屬于自身？”如果

，由S0的定義知，

；如果

，

由的定義又知

，從而矛盾是不可避免的。

危機產生后，數學家紛紛提出自己的解決方案。

1908年策墨羅(E.Zen1elo)采用把集合論公理化的方法來消除悖論，即對集合論建立新的原則，這些原則一方面必須是夠狹窄，以保證排除矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。

后來經過其他數學家的改進，演變?yōu)閆F或ZFS系統(tǒng)。馮·諾伊曼等開辟集合論的另一公理化的NBG系統(tǒng)也克服了悖論,但還仍有一些問題。

以后加上哥德爾(K.Godel)、科恩(Cohen)等人的努力，到1983年，建立了公理化集合論，即要求集合必須滿是ZFG公理系統(tǒng)統(tǒng)中十條公理的限制，成功地排除了集合論中出現的悖論。

一般地，現今的普遍看法是，公理化集合論（ZF系統(tǒng)或BG系統(tǒng)）已經為目前的數學研究提供了一個合適的基礎。這是因為：第一，所有已知的（邏輯-數學）悖論在這兩個系統(tǒng)中都得到了排除；第二，在這兩個系統(tǒng)中，至今尚未發(fā)現新的悖論；第三，公理化已是現代數學發(fā)展的一個重要傾向。

另一方面，羅素悖論對數學基礎有著深遠的影響，導致了數學家對數學基礎的深入研究。

圍繞數學基礎之爭，使得許多數學家卷入一場大辯論當中。他們看到這次危機涉及到數學的根本。因此必須對數學的哲學基礎加以嚴密的考察。

在這場大辯論中。原來不明顯的意見分歧擴展成為學派的爭論，三大數學哲學學派應運而生：

一是以羅素為代表的邏輯主義學派。他們的基本觀點是“數學即邏輯”。羅素說，“邏輯是數學的青年時代，數學是邏輯的壯年時代”，即認為數學是邏輯的延伸。只要不容許“集合的集合”這種邏輯語言出現，悖論就不會發(fā)生。

二是以布勞威爾(D.Brouwer)為代表的直覺主義學派。他們認為數學理論的真?zhèn)沃荒苡萌说闹庇X去判斷。他們的名言是“存在必須是被構造”。他們認為“全體實數是不可接受的概念，“一切集合的集合”的概念更是不可理解，不承認這些，悖論就不會出現。

三是以希爾伯特為代表的形式主義。1904年，希爾伯特開始提出其著名的希爾伯特綱領，其基本思想是將古典數學表示成形式的公理系統(tǒng)，然后證明這一系統(tǒng)是相容的和完備的（即任一系統(tǒng)內可表命題都可在系統(tǒng)內得到判定），并尋找可以在有限步驟內判定一命題可證明性的方法。 他們認為公理只是一行符號，無所謂真假。只要能夠證明公理系統(tǒng)是相容的，這個公理系統(tǒng)便得到承認，它便代表一種真理，悖論是公理系統(tǒng)不相容的一種表現。 1928年奧地利數學家和邏輯學家哥德爾在《數學物理月刊》上發(fā)表了《論〈數學原理>和有關系統(tǒng)中的形式不可判定命題》一文，提出了著名的哥德爾不完全性。定理大意是說，在一個形式系統(tǒng)中總存在一個不可判定的公式，而這個公式是真的。從該定理還可以推出這樣一個結論，一個非常強的形式系統(tǒng)的相容性是不可證明的。

哥德爾定理告訴我們，即使在數學這樣被認為最可靠的知識中，也不存在所謂的“終極真理”。這樣以來，數學就只能從神壇上走下來，顯露其文化本性。數學只是一種文化。數學知識無疑是真實的，有意義的，但這些都無疑與其文明和文化背景息息相關。數學不是科學王國中的神，它處于永遠的創(chuàng)造之中。哥德爾

哥德爾不完全性定理的證明暴露了各派的弱點，使得哲學的爭論黯淡下來，但此后，三大學派的研究工作，取得了不少積極成果。一個直接的結果，就是數理邏輯與計算技術、電子技術的結合，帶來了20世紀最重要的一次技術革命——電子計算機的誕生。

數學中的矛盾既然是固有的，它的激烈沖突使得危機就不可避免，危機的解決給數學帶來了許多新認識、新內容，有時甚至是革命性的變化。在集合論的基礎上，誕生了抽象代數學、拓撲學、泛函分析與測度論，數理邏輯成為了數學有機整體的一部分；代數幾何、微分幾何、復分析已經推廣到了高維。悖論給數學大廈造成的地震，不但沒有摧垮這座歷經數千年創(chuàng)造出來的宏偉建筑，而且引發(fā)出了一系列有意義的新創(chuàng)造：悖論的發(fā)現和消除成了數學發(fā)展的一種巨大的動力。

數學危機，不僅沒有擊垮數學，反而促使了數學的發(fā)展。數學危機具有豐富的文化內涵，它帶來了人們對數學認識的改變。10.3

數學危機的文化意義

在整個數學發(fā)展史上，一直貫穿著矛盾的斗爭和解決。而矛盾的消除，危機的解決，往往給數學帶來新的內容、新的進展，甚至引起革命性的變更。在處理矛盾和危機的過程中，數學家們對數學進行了一系列創(chuàng)造，這首先表現在新概念的產生：第一次數學危機促成了公理幾何與邏輯的誕生；笫二次數學危機促成了分析基礎理論——實數理論與極限理論的誕生；第三次數學危機促成了數理邏輯的發(fā)展與一批新數學的誕生。新成果的不斷出現，使數學呈現出無比興旺發(fā)達的景象，矛盾促進了數學的發(fā)展。10.3.1數學悖論是數學發(fā)展的動力之一

數學的抽象性是數學的一個突出特征，數學對象的自由建構是現代數學的一個突出表現。由于數學是“人類創(chuàng)造性思維的產物，特別是，數學的客觀內容不僅涉及到了客觀的物質存在，而且也涉及到了人類自身的活動——如果考慮到數學的高