八年級-人教版八年級上冊 第11章 三角形 11.2　與三角形有關的角教學設計

11.2.1與三角形有關的角一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容三角形內(nèi)角和定理.2.內(nèi)容解析三角形內(nèi)角和定理是本章的重要內(nèi)容，也是“圖形與幾何”必備的知識基礎。它從“角”的角度刻畫了三角形的特征。三角形內(nèi)角和定理的探究體現(xiàn)了由實驗幾何到論證幾何的研究過程，同時也說明了證明的必要性。三角形內(nèi)角和定理的證明以平行線的相關知識為基礎，定理的驗證方法--剪圖、拼圖、折疊，不僅可以說明證明的必要性，而且也可以從中獲得添加輔助線的思路和方法。定理的證明思路是得出三角形的三個內(nèi)角與組成平角的三個角分別相等。基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點：探索并證明三角形內(nèi)角和定理，體會證明的必要性二、目標與目標解析1、目標（1）通過實驗、操作、推理歸納出三角形內(nèi)角和180°。（幾何直觀、推理能力）（2）能運用三角形的內(nèi)角和是180°這一規(guī)律，求三角形未知角的度數(shù)并運用解決實際生活問題。（運算能力、應用意識）（3）通過拼擺，感受數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想。2、目標解析達成目標(1)的標志是:學生能通過度量或剪圖、拼圖、折疊等實驗進一步感知三角形的內(nèi)角和等于180°，發(fā)現(xiàn)操作實驗的局限性，進而了解證明的必要性;在實驗的過程中能發(fā)現(xiàn)其中蘊含的輔助線，并能運用平行線的性質(zhì)證明三角形內(nèi)角和定理。達成目標(2)的標志是:學生能運用三角形內(nèi)角和定理解決簡單的與三角形中角有關的計算和證明問題。三、教學問題診斷分析證明三角形內(nèi)角和定理需要添加輔助線，這是學生第一次遇到添加輔助線證明定理的問題，由于添加輔助線是一種嘗試性活動，規(guī)律性不強，學生會感到困難。教學時，教師要讓每個學生都親自動手進行剪圖、拼圖。引導學生在實驗的過程中感悟添加輔助線的方法，進而發(fā)現(xiàn)思路、證明定理。本節(jié)課的教學難點是：如何添加輔助線證明三角形內(nèi)角和定理四、教學過程設計1、復習回顧問題1在小學我們已經(jīng)知道任意一個三角形的三個內(nèi)角的和等于180°，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個結論的嗎？請大家利用手中的三角形紙片進行探究。師生活動：學生動手操作，然后匯報結果。2、探索并證明三角形內(nèi)角和定理有的用度量的方法得出結論，有的通過剪圖、拼圖或折疊的方法得出結論。圖1、圖2、圖3、圖4是利用剪圖、拼圖的方法得到的。圖5是利用折疊的方法得到的，學生可能還有其他的拼圖方法。圖1圖2追問1:運用度量的方法，得出的三個內(nèi)角的和都是180°嗎?為什么?師生活動:學生回答，不全是。有的大于180°，有的小于180°，有的等于180°，因為測量可能會有誤差.追問2:通過度量、剪拼圖或折疊的方法驗證了手中的三角形紙片的三個內(nèi)角的和等于180°，但我們手中的三角形只是所有三角形中有限的幾個，而形狀不同的三角形有無數(shù)多個，我們?nèi)绾文艿贸觥八械娜切蔚娜齻€內(nèi)角的和都等于180°”這個結論呢?師生活動:小組交流，小組代表匯報交流結果，最后達成共識:需要通過推理的方法去證明。設計意圖:讓學生通過實驗操作，一方面發(fā)現(xiàn)實驗操作的局限性(視覺誤差、度量誤差，實驗有限性與三角形個數(shù)無限的矛盾)，進而了解證明的必要性;另一方面從實驗的過程(如圖1、圖2)中受到啟發(fā)，為下一步證明三角形內(nèi)角和定理提供思路和方法.若有學生拼成圖3、圖4，雖然拼成180°，有驗證作用，但不容易形成證明思路.若有學生利用折疊的方法(如圖5)，教師也要給予肯定，并指出在以后學習了新的幾何知識(全等三角形及軸對稱等內(nèi)容)后我們也能說明它的合理性。問題2你能從以上的操作過程中受到啟發(fā)，想出證明“三角形的內(nèi)角和等于180°的方法嗎？師生活動：學生獨立思考。追問1：在圖1中，∠B和∠C分別拼在∠A的左右，三角形合起來形成一個平角，出現(xiàn)了一條過點A的直線l，直線l與邊BC有什么位置關系?師生活動：學生回答——平行。追問2:在操作過程中我們發(fā)現(xiàn)了與邊BC平行的直線l，由此，你又能受到什么啟發(fā)?你能發(fā)現(xiàn)證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”的思路嗎?師生活動:學生獨立思考，然后回答問題--通過添加與邊BC平行的輔助線l，利用平行線的性質(zhì)和平角的定義即可證明結論。設計意圖:讓學生反思操作過程，體會添加輔助線的方法，獲得證明思路，感悟輔助線在幾何證明中的重要作用。追問3:結合圖1，你能寫出已知、求證和證明嗎?圖6師生活動:學生回答，教師板書，師生共同完成證明過程(如圖6).教師指出，經(jīng)過證明的這個結論被稱為“三角形內(nèi)角和定理”。設計意圖:讓學生通過嚴格的邏輯推理證明“任意一個三角形的三個內(nèi)角的和都等于180°”，感悟幾何證明的意義，體會幾何證明的規(guī)范性。3小組合作探究追問4:通過前面的操作和證明過程，你能受到什么啟發(fā)?你能用其他方法證明此定理嗎?師生活動:學生獨立思考，然后小組交流，并匯報不同的作輔助線方法和不同的證明思路。學生可能從圖2中受到啟發(fā)，過點C作AB的平行線(如圖7)，利用平行線性質(zhì)和平角定義完成證明;也可以如圖8所示，在三角形的邊上任取一點P分別作另兩邊的平行線，或如圖9(如圖10)在三角形內(nèi)部(外部)任取一點，分別作三邊的平行線，將三角形的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個平角，然后進行證明。設計意圖:鼓勵學生從不同的角度思考問題，進一步體會作輔助線的方法，豐富學生的解題經(jīng)驗。4.運用三角形內(nèi)角和定理?1、在△ABC中，∠A=30°，∠B=65°，則∠C=A、85°B、75°C、95°D、92°2、在△ABC中，∠C=42°，∠A=∠B,則∠B=A、69°B、96°C、93°D、64°3、在△ABC中,∠A=∠B=∠C,則∠A=A、30°B、20°C、40°D、60°?4、在△ABC中,∠C=36°，∠A:∠B=1:2,則∠B=A、48°B、84°C、96°D、69°5、在△ABC中，∠A=90°，∠B=25°，則∠C=A、75°B、65°C、56°D、55°設計意圖：簡單的計算題，通過游戲的方式，使學生進一步熟悉三角形內(nèi)角和定理，活躍課堂氣氛。例1如圖11，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù)？師生活動:(1)教師引導學生分析解題思路:要想求出∠ADB的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，只要求出/DAB的度數(shù)即可.由于∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分線，所以很容易得出∠DAB=20°;(2)學生獨立完成解題過程，一名學生板書;(3)師生共同分析板書學生的解題過程。設計意圖:運用三角形內(nèi)角和定理求相關角的度數(shù)，促進學生進一步鞏固定理內(nèi)容.改編例題：1、在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，∠ADB=85°，求證：AD是△ABC的角平分線。2、在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，CE⊥AB，交AD于F，求：∠CFA的度數(shù)。設計意圖:通過改變例題，讓學生感受題與題之間的關系。5、課堂小結教師與學生一起回顧本節(jié)課所學的主要內(nèi)容，并請學生回答一下問題：（1）本節(jié)課學習了哪些主要內(nèi)容？（2）經(jīng)歷了什么探究過程？（3）用到了哪些數(shù)學思想？（4）本節(jié)課知識是解決什么問題？設計意圖：通過小結，使學生梳理本節(jié)課所學內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心-----三角形內(nèi)角和定理，進一步體會證明的必要性，感悟輔助線的添加方法和在幾何證明中的作用。6、布置作業(yè)基礎性作業(yè)：例題改編的兩道題探究性作