《1.2空間向量基本定理》課件與導學案

1.2空間向量基本定理第一章空間向量與立體幾何請同學們回顧上一本書中說的，什么樣的向量可以作為這個平面的基底？這個平面上的任意向量可以怎樣被表示出來？共面向量定理：如果兩個向量a、b不共線，則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在實數(shù)對(x，y)，使得p＝xa＋yb.新課引入新課引入類似于平面向量基本定理，我們猜猜空間向量基本定理是怎樣的？什么樣的向量可以成為空間向量的基底？空間向量可以怎么樣被表示？1．空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數(shù)組(x，y，z)，使得p＝___________.

其中{a，b，c}叫做空間的一個____，a，b，c都叫做基向量．空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底．基底課堂探究思考：(1)零向量能不能作為一個基向量？不能．因為0與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面．(2)當基底確定后，空間向量基本定理中實數(shù)組(x，y，z)是否唯一？唯一確定．課堂探究兩兩垂直1兩兩垂直課堂探究7課堂探究例題解析(1)求證：AD1⊥G1G；例題解析（2）求DE與AD1所成角的余弦值．例題解析11×√√練習鞏固D練習鞏固練習鞏固練習鞏固練習鞏固你學到了什么？課堂小結作業(yè)1：書本P14--15作業(yè)2：預習1.3作業(yè)布置《1.2空間向量基本定理》導學案課件第一章空間向量與立體幾何

我們所在的教室即是一個三維立體圖,如果以教室的一個墻角為始點,沿著三條墻縫作向量可以得到三個空間向量.這三個空間向量是不共面的,那么用這三個向量表示空間中任意的向量呢？情境導學我們知道平面內(nèi)的任意一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示(平面向量基本定理)，類似的任意一個空間的向量，能否用任意三個不共面的向量來表示呢？學習目標

問題探究

定理解析定理辨析1.空間任意三個不共面的向量都可構成空間的一個基底.基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表達式也有可能不同.2.一個基底是一個向量組,一個基向量是指基底中的某一個向量,二者是相關聯(lián)的不同概念.3.由于零向量與任意一個非零向量共線,與任意兩個不共線的非零向量共面,所以若三個向量不共面,就說明它們都不是零向量.

(4)若{a,b,c}是空間的一個基底,且存在實數(shù)x,y,z使得xa+yb+zc=0,則有x=y=z=0.(

)答案:(1)×

(2)√

(3)√

(4)√做一做2.設x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一個基底,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間一個基底的向量組有(

)A.1個 B.2個

C.3個 D.4個答案:

C

典例解析跟蹤訓練解連接AC，AD′.

反思感悟用基底表示空間向量的解題策略1.空間中,任一向量都可以用一個基底表示,且只要基底確定,則表示形式是唯一的.2.用基底表示空間向量時,一般要結合圖形,運用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則,以及數(shù)乘向量的運算法則,逐步向基向量過渡,直至全部用基向量表示.3.在空間幾何體中選擇基底時,通常選取公共起點最集中的向量或關系最明確的向量作為基底,例如,在正方體、長方體、平行六面體、四面體中,一般選用從同一頂點出發(fā)的三條棱所對應的向量作為基底.歸納總結例2.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是DD1,BD的中點,點G在棱CD上,且

(1)證明:EF⊥B1C;(2)求EF與C1G所成角的余弦值.典例解析延伸探究：設這個正方體中線段A1B的中點為M,證明:MF∥B1C.應用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行,可求兩條異面直線所成的角等.首先根據(jù)幾何體的特點,選擇一個基底,把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示.(1)若證明線線垂直,只需證明兩向量數(shù)量積為0;(2)若證明線線平行,只需證明兩向量共線;(3)若要求異面直線所成的角,則轉化為兩向量的夾角(或其補角).歸納總結1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,可以作為空間向量的一組基底的是(

)答案:C

解析:只有選項C中的三個向量是不共面的,可以作為一個基底.當堂達標答案:A

3.下列說法正確的是(

)A.任何三個不共線的向量可構成空間向量的一個基底B.空間的基底有且僅有一個C.兩兩垂直的三個非零向量可構成空間的一個基底D.基底{a,b,c}中基向量與基底{e,f,g}中基向量對應相等答案:C

解析:A項中應是不共面的三個向量構成空間向量的基底;B項,空間基底有無數(shù)個;D項中因為基底不唯一,所以D錯.故選C.5.若{a,b,c}是空間的一個基底,試判斷{a+b,b+c,c+a}能否作為空間的一個基底.解:假設a+b,b+c,c+a共面,則存在實數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.∵{a,b,c}是空間的一個基底,∴a,b,c不共面.即不存在實數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b,b+c,c+a不共面.故{a+b,b+c,c+a}能作為空間的一個基底.1．利用向量的線性運算和空間向量基本定理表示向