2024年高考數(shù)學(xué)模擬試題解析 (二)

1.設(shè)集合人{(lán)小<3},I#-5)(x-2)叫，則&A)IB=

)

A.(YO,2]B,[3,5]C.[2,3]D.[3,5)

【答案】B

【分析】解一元二次不等式得集合B,然后由集合的運(yùn)算法則計(jì)算.

【詳解】由題意3={x|2<%<5},%4={x|x23},

所以(\A)I5={%|3<x<5}.

故選：B.

2.若復(fù)數(shù)(a+i)(l—ai)=2,則實(shí)數(shù)。=()

A.-1B.OC.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)相等列式求解.

【詳解】因?yàn)?a+i)(l—ai)=2a+(l—/1=2,

2tz=2

可得2八，解得a=l.

I-a=0

故選：C.

21

3.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足〃+。=5,則一+——的最小值為()

ab-1

A3+2攻D3+472小3+272

A.-------D.-------C.-------

446

【答案】A

2112I

所求一+——的分母特征，利]用。+"=5變形構(gòu)造a+3—1)=4,再等價(jià)變形—(―+—)[a+(Z7-l)],

ab-14ab-1

利用基本不等式求最值.

【詳解】解：因?yàn)椤?gt;0力>1滿(mǎn)足。+/>=5,

則—H——=(―H---)ra+(Z?-l)-|x—

ab-1ab-lL'7J4

』3/伍-1)a小+2?

4|_ab-1

當(dāng)且僅當(dāng)2('—1)=，一時(shí)取等號(hào),

ab-1

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常

數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形;(2)

代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.

4.函數(shù)/(尤)的圖象如下圖所示，則/(X)的解析式可能為()

5sinx

B.

x2+1

「5(…，)5cosx

D.

f+2X2+1

【答案】D

【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在(0,+co)上的

函數(shù)符號(hào)排除選項(xiàng)，即得答案.

【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，其為偶函數(shù)，且/(-2)=/(2)<0,

5sin(-x)5sinx

由百齊1=一E且定義域?yàn)镽'即B中函數(shù)為奇函數(shù)’排除;

當(dāng)x>0時(shí)善二12〉0、5(e：+e')〉0,即人、c中(0,+s)上函數(shù)值為正，排除;

X2+2X2+2

故選：D

什八crsin^(l+sin20)/

5.若tan<9=—2,則n--------------」(

sin0+cos0

【答案】C

【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡(jiǎn)，然后增添分母(I=sin2，+cos2。)，進(jìn)行齊次化

處理，化為正切的表達(dá)式，代入tan。=-2即可得到結(jié)果.

【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：

sin6(1+sin26)sin^^sin*20+cos20+2sin^cos0j

=sine(sinO+cos。)

sin6+cos6sin6+cos6

_sin。(sin6+cos。)_tan2+tan_4-2_2

sin2+cos231+tan231+45

故選：C.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用tan。=-2,求出sin，,cos。的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通

過(guò)齊次化處理，可以避開(kāi)了這一討論.

6.已知數(shù)列｛%,｝滿(mǎn)4=/+力7(aeN*)，且對(duì)任意“eN*，?！?lt;4+1恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍

為()

A.(0,+“)B.(-00,0)C.[-2,+co)D,(-3,+co)

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析求解.

力

【詳解】由題意可知：％<%<生<…，且丁=f+%1：開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為X=

23

可得—<一,解得4>—3，

22

所以實(shí)數(shù)幾的取值范圍為(-3,內(nèi)).

故選：D.

7.已知a=6M5,b=7ln4,0=8瓜3,則()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

【答案】A

【分析】對(duì)a,仇c兩邊取對(duì)數(shù)，得到Ina=ln5-ln6,In/?=ln4-ln7,Inc=ln31n8,構(gòu)造

/(x)=lnxln(ll-x),3<x<5,求導(dǎo)后再令g(x)=xlnx,研究其單調(diào)性，得到

/(x)=lnx」n(n—x)在3WxW5上單調(diào)遞增，從而得到lnc<lnb<lna,結(jié)合y=lnx在(0,+。)上

的單調(diào)性求出答案.

【詳解】〃=6必5,5=7^4,c=8M3兩邊取對(duì)數(shù)得：lnQ=ln5?ln6,lnZ?=ln4-ln7,

Inc=ln3-ln8,

令"%)=ln%?ln(ll-,3<%<5,

則r(x)」n(n—X)—產(chǎn)=(1-)叫:一；)一.,

X11—xx(11—XJ

令g(x)=xlnx,3<x<5,

則g'(%)=l+lnx>0在3WxW5上恒成立，

所以g(x)=xlnx在3WxW5上為增函數(shù)，

因?yàn)楫?dāng)3WxW5時(shí)，11—x>x恒成立，

所以(n-x)ln(n-x)-xlnx>0在3WxW5上恒成立，

故/'(x)=-------乙*—<--------->0在3WxW5上恒成立，

故/a)=lnx」n(n—力在3WxW5上單調(diào)遞增，

所以/(3)</(4)</(5),故In3-ln8<ln4」n7<ln5-ln6，

即lnc<lnb<lna,

因?yàn)閥=lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以C<b<a.

故選：A

【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)，結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)研究出

函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小，本題中，對(duì)口=6.，人=7融，c=8山3兩邊取對(duì)數(shù)得：

Ina=ln5」n6,In〃=ln4」n7,前后兩個(gè)對(duì)數(shù)中真數(shù)之和為11,從而達(dá)到構(gòu)造出適當(dāng)函數(shù)的目的.

8.已知函數(shù)/(x)=(x+l)e”,若函數(shù)/(x)=/2(x)_^(%)+加_［有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍為()

A.(—^,0)B.(—-,V)

ee

C.(1y,l)D.(L+8)

ee

【答案】c

【分析】把函數(shù)/（X）有3個(gè)不同零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程f（x）=M-1有兩個(gè)不同解，再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)圖

象求解作答.

【詳解】函數(shù)/（x）=（x+l）e工的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得/'（x）=（x+2）1,當(dāng)x<—2時(shí)，f'（x）<0,當(dāng)

x>-2時(shí)，f\x）>0,

因此函數(shù)在（—8,—2）上單調(diào)遞減，在（—2,+8）上單調(diào)遞增，/（xU=/（-2）=-4>且X<—1，恒

e

有/（x）<0，

由歹(x)=0,得"(x)——m+1]=0,即/(x)=l或/(x)=機(jī)—1,由/(x)=l,得尤=0,

于是函數(shù)尸（X）有3個(gè)不同零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)方程/（X）=m-1有2個(gè)不同的解，即直線(xiàn)y=m-1與

>=/（尤）圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線(xiàn)丁=m-1與y=/（x）的圖象，如圖,

即1一"]<m<1時(shí)，直線(xiàn)丁=m-1與>=/（無(wú)）的圖象有2個(gè)公共點(diǎn),

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

e

故選：C

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問(wèn)題，可以通過(guò)分離參數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與函數(shù)圖

象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.

二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.在一ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,已知（8+（?）:（o+。）：（。+/?）=4:5:6,則下

列結(jié)論正確的是（）

UULUUU

A.sinA:sinB:sinC=7:5:3B.CAAB>0

C.若c=6,則的面積是15D,若＞+c=8,則外接圓半徑是友

3

【答案】ABD

【分析】先利用已知條件設(shè)b+c=4左,c+a=5左,a+b=6左，進(jìn)而得到a=3.5左力=2.5,c=1.5左，利用

正弦定理可判定選項(xiàng)A；利用向量的數(shù)量積公式可判斷選項(xiàng)B；利用余弦定理和三角形的面積公式可判定

選項(xiàng)C；利用余弦定理和正弦定理可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】依題意，設(shè)b+c=4￡c+a=5左,a+b=6左，

所以a-3.5k,b-2.5k,c—1.5k,

由正弦定理得：sinA:sinB:sinC-a:b:c=r7:5:3,故選項(xiàng)A正確；

4ns,,b2+c2-a2b2+c2-a22.52+1.52-3.52,15,

AB-AC=becosA4=bcx---------=---------=--------------k2=---k2<0n,

2bc228

故=—ACA3>0,選項(xiàng)B正確；

若c=6,貝|%=4,所以。=143=10,所以cos.=l°+6-14=_1

2x10x62

所以sinA=走，故45c的面積是:

一besinA=—x6xl0x故選項(xiàng)C不正確;

222

52-k32-721

若〃+。=8,則左=2,所以Q=7]=5,C=3,所以COSA=^^—-=

2x5x32

所以sinA=且，則利用正弦定理得：A5C的外接圓半徑是：Lx'一=述

22sinA3

故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD

10.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足（4+弓0）2=24為+20,則（）

A.%%的最大值為10B.4+為的最大值為2&U

111,九

C.—+-最大值為一D.a；+a；的最小值為200

Cl?^^93

【答案】ABD

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得％,佝的關(guān)系式，由此結(jié)合基本不等式，判斷出正確選項(xiàng).

2

【詳解】因?yàn)檎?xiàng)等差數(shù)列｛?！埃凉M(mǎn)足(q+?10)=2a2a9+20，

所以(。2+。9J=2〃2%+20，

即a；+=20.

①4為4若產(chǎn)=弓=10,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?%=加時(shí)成立，故A選項(xiàng)正確.

②由于在+%?名士&=10,所以然役《加,。2+49V2加，當(dāng)且僅當(dāng)%=%=J再時(shí)成

22

立，故B選項(xiàng)正確.

1?1_20?20_20_1

③蠟心說(shuō)迷(也@丫1。？5,當(dāng)且僅當(dāng)4=%=加時(shí)成立，

、2，

111

所以二+二的最小值為一，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

④結(jié)合①的結(jié)論，有a；+色=(a；+片1—2a1%=400-2g.a；2400—2義IO?=20。，

當(dāng)且僅當(dāng)%=%=歷時(shí)成立，故D選項(xiàng)正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查基本不等式求最值，屬于中檔題.

11.如圖，棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD—A4GR中，點(diǎn)M、N滿(mǎn)足AM=/L4G，CN=/JCD,其中

%、〃e(O,l),點(diǎn)「是正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng);1=工時(shí)，￡)暇〃平面C4A

3

B.當(dāng)〃=9寸，若3/〃平面ANG，則14H的最大值為3石

C.當(dāng)2=〃=g時(shí)，若PMLD[N,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為12+6百

D.過(guò)A、M、N三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形可以為矩形

【答案】ABC

【分析】以點(diǎn)2為原點(diǎn)，24、2G、所在直線(xiàn)分別為x、y、z軸建立如下圖所示空間直角坐

標(biāo)系，利用空間向量法可判斷AC選項(xiàng)；分別取A3、中點(diǎn)G、H,連接用G、GH、4”、

AG，GN,,找出點(diǎn)尸的軌跡，結(jié)合圖形求出14Pl的最大值，可判斷B選項(xiàng)；作出截面，分析截面的

形狀，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】以點(diǎn)。1為原點(diǎn)，2A、2G、RO所在直線(xiàn)分別為X、＞、z軸建立如下圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

則。1（0,0,0）、4（6,6,0）、C（0,6,6）、A（6,0,6）＞￡＞（0,0,6）、Q（0,6,0）,

對(duì)于A選項(xiàng)：當(dāng);1=§時(shí)，則r>M=AM—AD=§AG—AD=（4,2,—2）,

因?yàn)锳4=（6,6,0）,RC=（O,6,6）,

,、m-D,B,=6x,+6y,=0

設(shè)平面CBQI的法向量為初=（%,%,zj,貝R,

''的.￡＞iC=6%+6zi=0

取％=—1,則玉=z=l,可得m=（1,—1,1）,

所以相=4—2—2=0，則

因?yàn)閃平面C3Qi，所以當(dāng)4=；時(shí)，〃平面。與。1，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)〃=工時(shí)，N為CD中點(diǎn)，

2

分別取A3、中點(diǎn)G、H,連接用G、GH、B〔H、AQ,GN,

因?yàn)镚、”分別為A3、的中點(diǎn)，所以GH〃AC,

又因?yàn)锳A]〃CG且A4=Cq,則四邊形為平行四邊形，可得AC〃AG，

所以GH〃AC，

且GHa平面ANC],AG<=平面ANC],所以GH〃平面ANG，

同理可得，用G〃平面ANG，

因?yàn)?G-G〃=G,B]G、GHi平面與GH,所以平面與GH〃平面AN￡,

當(dāng)點(diǎn)尸為△耳G”的邊上一點(diǎn)（異于點(diǎn)用）時(shí)，則與Pu平面片G”,則4P〃平面ANC],

故點(diǎn)P的軌跡為"GH的邊（除去點(diǎn)B[）,則囚G|=^BB^+BG1=762+32=3君,

同理可得14M=3/,結(jié)合圖形可得14PLxT4G|=|旦引=3君，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)％=〃=；時(shí)，M、N分別為&G、CD的中點(diǎn)，如圖所示：

此時(shí)點(diǎn)N（0,3,6）、〃（3,3,3）、^（0,0,0）,〃N=（O,3,6）,

當(dāng)點(diǎn)P在平面A4QQ內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x,0,z）,其中0WxW6,0<z<6,

則Aff=（無(wú)一3,—3,z—3）,

0

因?yàn)閯t〃N?MP=—9+6（z—3）=6z—27=0,解得Z=Q,

設(shè)點(diǎn)P的軌跡分別交棱Ad、DR于點(diǎn)R、Q,則e[^0,0,1j,

當(dāng)點(diǎn)尸在平面CC]〃。內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x,0,z）,其中0<y<6,0<z<6,

則MP=(_3,y_3,z—3),則〃N-MP=3y_9+6(z_3)=3y+6z_27=0,

設(shè)點(diǎn)P的軌跡交棱CG于點(diǎn)E，則P1O,6,|1,設(shè)點(diǎn)P的軌跡交棱5用于點(diǎn)T,

因?yàn)槠矫娴??！ㄆ矫?月￡C,平面RQFT1平面A4]RD=RQ,

平面RQfT1平面BB?C=FT,所以RQ〃FT,

同理可得QF〃尺T,所以四邊形RQPT為平行四邊形，

且網(wǎng)=3=6,網(wǎng)=\FQ\=L2+62+^|-|J=375，

因此點(diǎn)尸的軌跡的長(zhǎng)度即為平行四邊形RQPT的周長(zhǎng)2(6+36)=12+6百，故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)：設(shè)截面AMN交棱4用于點(diǎn)U,連接AU、QU,由題意可知，截面AAW與平面AC]N

重合，

因?yàn)槠矫鍭BCD//平面4月。1，，平面ANG-平面ABCD=AN,

平面平面451cI。1=￡U,所以AN〃G。，同理可得AU〃CN,

所以四邊形AU￡N為平行四邊形,

因N(0,6—646),其中0<九<1,則A2V=(—6,6—6/1,0),=(0,-62,6),

且⑷V?C]N=—64(6—6為=364(4—1)<0,即4V與GN不可能垂直，

所以平行四邊形AU￡N不可能為矩形，即過(guò)A、M、N三點(diǎn)的截面不可能是矩形，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

12.己知函數(shù)/(x)=e*—x—根(xeR),g(x)=sinx—cosx(x>0),則下列說(shuō)法正確的是()

A,若/⑴有兩個(gè)零點(diǎn)，則%>1

B.若石w々且/(石)=/(x2),則Xj+x2<0

5

C.函數(shù)y=g(x)在區(qū)間0,—有兩個(gè)極值點(diǎn)

4

D.過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)/與曲線(xiàn)y=g(x)相切，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為：片，彳2,…，％.則

%=tan,一；

【答案】ABD

【分析】A項(xiàng)：方法1：分離參數(shù)畫(huà)圖即可求得相的范圍；方法2：研究原圖的圖象與無(wú)軸交點(diǎn)即可；B項(xiàng):

由極值點(diǎn)偏移的證明步驟即可證得結(jié)果；C項(xiàng)：應(yīng)用輔助角公式化簡(jiǎn)g。)，求g(x)的極值點(diǎn)可得；D項(xiàng)：由

,g(x〃)-g(0),/、"行一小

k=----------=g(%)化簡(jiǎn)可得.

%—0

【詳解】A項(xiàng)：方法1：=x-根有兩個(gè)零點(diǎn)，即：方程x=機(jī)有兩個(gè)根.

令A(yù)(x)=ex-x

h(x)=ex-x

有兩個(gè)交點(diǎn).

y=m

h(x)=e1—1

令h(x)=0,解得尤=0,

當(dāng)x<0,h(x)<0,/i(x)在(一8,0)單調(diào)遞減,

當(dāng)x>0,/??(x)>0,/z(x)在(0,+co)單調(diào)遞增.

當(dāng)xf+oo,h(x)f+oo,當(dāng)x--8,h(x)f+oo.

h(x)如圖所示,

又\"(0)=e°—0=1

m>1,A正確.

方法2：/(%)=el-x-m,則/'(xXe-l,

令/'(x)=0,解得x=0,

當(dāng)x<0,f\x)<0,/(x)在(—8,0)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>0,/(x)>0,/(x)在(0,+co)單調(diào)遞增，

所以x=0是/⑴的極小值點(diǎn)同時(shí)也是最小值點(diǎn)，即/(x).=/(0)=1-根，

當(dāng)/>1時(shí)，/(0)=l-m<0,/(—根)=e?！?,所以/⑴在(—8,0)只有一個(gè)零點(diǎn)，

又因?yàn)閒(ni)=em-2m,只需證明f(m)=em-2m>0恒成立，即可得到了⑴在(0,+(x>)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).

令t(m)-em-2m,

■：?'(m)=em-2>0,(m>l)

.."(m)在(1,也)上單調(diào)遞增.

/.?(m)>/(l)=e-2>0

:"(m)=e"'—2根〉0恒成立得證.

.../(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，A正確；

B項(xiàng)：方法1：由A項(xiàng)知：/(%)=/(%)

〃2=入(%)=人(X2)且%>1且入(X)在(T?,0)單調(diào)遞減，"(X)在(0,+8)單調(diào)遞增.

不妨設(shè)：藥<0,%2〉0

要證：%1+x2<0

只需證：不<一%2

又再<0,x2>0

玉<-x2<0

又???/?(%)在(—8,0)單調(diào)遞減.

???只需證：/Z(X1)>/Z(-X2)

又；-%)=〃(％)

.?.只需證：/z(x2)>/z(-x2),x2>0

令

???只需證：H(x)>0,x>0

H(x)=h(x)+Ji(—x)=刈一1+e-x-l=ex+e_A-2

當(dāng)尤>0,e'+er—2>0恒成立，所以H'(x)>0,

在(0,+oo)上單增

”(%)>"(0)=0

原命題得證.B正確.

C項(xiàng)：*/g(x)=sinx-cosx=^2sin(x--)

JTJTsjr

***x----=—I-kji,kE7J解得：x------1-kji,keZ即為g(%)的極值點(diǎn).

424

g(x)在區(qū)間?！盷有1個(gè)極值點(diǎn)為網(wǎng).C項(xiàng)錯(cuò)誤.

44

D.Vg(x)=sinx-cosx,xe[0,+oo),貝i]g'(x)=cosx+sinx,

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(X",g(%?)),則切線(xiàn)斜率為k=g(xn)=cosxn+sinxn,

sinxn-cosx?-0_.

=COSxn+sinxn,

x?-0

sinx?-cosx?tanx?-1

11

即xn=---——；~2-=------—=tan,D正確.

cosxn+sinxn1+tanxnI"4J

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

⑴直接求零點(diǎn)：令f(x)=。，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間團(tuán)，切上是連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且/(a)/3)<0,還必須結(jié)

合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同

的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

極值點(diǎn)偏移問(wèn)題解法：

（1）（對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造法）構(gòu)造輔助函數(shù)：

對(duì)結(jié)論為+々>（<）2%型，構(gòu)造函數(shù)F（x）=/（x）—/（2x（）-x）；

對(duì)結(jié)論七工2〉（<）器型，構(gòu)造函數(shù)E（x）=/（x）-7—，通過(guò)研究尸（x）的單調(diào)性獲得不等式.

（2）（比值代換法）通過(guò)代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過(guò)代換/=主化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)

x2

單調(diào)性證明.

三、填空題（本大題共4小題，共20分）

13.已知/（x）=sin（0x+高）（O>0）,=且/⑺在區(qū)間（4，3）有最小值無(wú)最大值，貝U

J.N乙JJLN4

CD=.

17

【答案】一

2

【詳解】試題分析：因?yàn)?卮|=/圖，所以直線(xiàn)X=?是函數(shù)/（刈=5足（5+鄉(xiāng)（0>0）的一條對(duì)

JTJTTT713

稱(chēng)軸，又因?yàn)?（X）在區(qū)間（二,3）有最小值無(wú)最大值，所以+土=巳乃，解得。=1」7；故填1」7.

124612222

考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì).

abax1

14.定義運(yùn)算，=ad—be則不等式，，<0對(duì)任意xeR恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

ca1x+l

【答案】（T,0]

【分析】由題意可得：依2+依-1<0對(duì)任意xeR恒成立，分a=0和awO兩種情況，結(jié)合一元二次不等

式恒成立問(wèn)題分析求解.

ax10

【詳解】由題意可得，，=62+公一1<。對(duì)任意xeR恒成立，

1x+l

若a=0,貝U—KO,符合題意，即a=0成立；

a<0

若awO,則L2“c，解得-4<a<0；

A=a+4a<0

綜上所述：實(shí)數(shù)。的取值范圍是（T,0].

故答案為：（T,0］.

15.正ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，AB=AC=2,若三棱錐O—ABC的體積為2,則該球的

表面積為

,田必、160^

【答案］——

3

【詳解】由題可知截面小圓的半徑廠=冬8,又.?.V=2XL><2><2X

xd=2=>d=2-\/3，所以

3322

R=

n+1

16.對(duì)于數(shù)列｛〃〃｝,使數(shù)列｛斯｝的前七項(xiàng)和為正整數(shù)的％的值叫做“幸福數(shù)”.已知％=log4——，則在區(qū)

n

間［1,2021］內(nèi)的所有“幸福數(shù)”的個(gè)數(shù)為

【答案】5

【分析】求得數(shù)列｛&｝的前幾項(xiàng)和s〃，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算列不等式，由此求得“幸福數(shù)”的個(gè)數(shù).

n+1

【詳解】an=log4----=log4(?+l)-log4zi,

n

設(shè)｛4,｝的前幾項(xiàng)和為S”,貝I]S"=log42-log41+log43-log42++log4(n+l)-log4n

=log4(n+l),為整數(shù)，設(shè)為m,log4(〃+l)=根,

.?."+1=4"',1<n=4"'—1W2021，加可取1,2,3,4,5共5個(gè)數(shù),

，“幸福數(shù)”有5個(gè).

故答案為：5

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

sin5sinA

17.在一ABC中，a,b,。分別是角A,B,C的對(duì)邊，且

1+cosB2-cosA

.711—COSB

(1)右A=；,求--------的值;

3sin5

（2）若b=l,求一ABC的面積的最大值.

【答案】（1）B

3

⑵手

【分析】(1)由A=g可知sinA=@，cosA=-,由同角三角關(guān)系可得匕四0=上3—,進(jìn)而可

322sin31+cosB

求得結(jié)果；

citiRwin/A

(2)由--------二---------結(jié)合正弦定理可得2b=〃+c=2,在A5C中利用余弦定理和同角三角函

1+cosB2-cosA

數(shù)的關(guān)系可得sin3=、/-----,然后利用三角形面積公式和基本不等式可求得結(jié)果.

Vac4ac

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)锳=g,可知sinA=正，cosA=-,

322

由己知可得*_=*_=3=且，

1+cosB2-cosA2—13

-2

1-cosB(1-cosB)(l+cosB)_1-cos2B_sinB

又因?yàn)?/p>

sin3sin3(1+cos5)sinB(1+cosB)1+cosB

所以1一cosB_sinB_V3

sin51+cosB3

【小問(wèn)2詳解】

在一ABC中，A+B=7i—c

因?yàn)閟i"'=siR",則(2-cosA)xsinB=sinA(1+cosB),

1+cosB2-cosA

即2sinB-cosAsinB=sinA+cosBsinA,

貝!J2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB,

可得2sin5=sinA+sin(A+5)=sinA+sinC,

由正弦定理可得得2b=〃+c

若Z?=l,則Q+C=2>1,

2+c2-b2(?+c)2-b2-lac22-l23

在.ABC中，由余弦定理cos8=々----------=-----------------------=-----------1=——

2ac

"T

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=l時(shí)，等號(hào)成立，

所以A6C的面積的最大值是走.

4

18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，上平面ABC。，ABCD,且AB=1,CD=2,BC=lyfl>

PA=1,ABJ.BC,N為P￡>的中點(diǎn).

(1)求證：AN//平面PBC；

(2)求二面角3-尸C-。的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵或

3

【分析】(1)取PC中點(diǎn)為M,連接7W,MB,進(jìn)而證明四邊形NMBA為平行四邊形即可證明結(jié)論；

(2)取。C中點(diǎn)為石，以A為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，AE為x軸，AB為＞軸，"為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可；

【小問(wèn)1詳解】

證明：取尸C中點(diǎn)為連接NM,MB,如圖所示，

因?yàn)镹分別是PC,的中點(diǎn)，所以且M0=^DC,

2

又因?yàn)锳B0c且A3=LDC,

2

所以NM〃AB,NM=AB,

所以四邊形NMBA為平行四邊形,

所以AN〃5M,

又因?yàn)锳N(Z平面PBC,BMu平面PBC，

所以AN//平面PBC.

【小問(wèn)2詳解】

解：取。C中點(diǎn)為E,以A為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，AE為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，如圖所示，

則4（0,0,0）,尸（0,0,1）,B（0,l,0）,D（2V2,-l,0）,C（2^,l,0）,

設(shè)平面尸的法向量為m=（%,y,z）,

因?yàn)?BC=（2A/2,0,0）,

所以〈.l，令y=i，解得1,，即m=o,u）,

BC-m=2>j2x=0〔z=l

設(shè)平面PDC的法向量為a=(a,6,c),

因?yàn)镻D=（2后1,—1）,DC=（0,2,0）,

PD-n=2yf2a-b-c=0l\b-Q

所以.令a=0，解得“即〃=(后,0,4卜

DCn=2b=Qc=4

jr

記平面P￡>C與平面PBC夾角為。，0<3<-

m-n\4

則cos0=cos（m.n

|m|-|n|A/2x^/183’

所以二面角B-PC-D的正弦值為更

3

19.設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，公比大于0,已知可=偽=3,b2=a3,&=4g+3.

(I)求｛為｝和也｝的通項(xiàng)公式；

[1,“為奇數(shù)，*

(II)設(shè)數(shù)列｛或｝滿(mǎn)足C.=歸〃為偶數(shù)，求qq+a2c2++a2rle2"("WN*).

【答案】(I)an=3n,1=3"；

(II)QI'""。'"*)

d=3

【分析】(I)首先設(shè)出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，根據(jù)題意，列出方程組，求得《、，進(jìn)而求得

q=3

等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(II)根據(jù)題中所給的％所滿(mǎn)足的條件，將“C+a2c2+」+出12”表示出來(lái)，之后應(yīng)用分組求和法，結(jié)合

等差數(shù)列的求和公式，以及錯(cuò)位相減法求和，最后求得結(jié)果.

【詳解】(I)解：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,等比數(shù)列｛%｝的公比為夕,

3q=3+2dd=3

依題意，得c2y/J解得

3q=15+4<7q=3

n

故4=3+3(〃-1)=3〃，bn=3x3"一1=3,

所以，｛4｝的通項(xiàng)公式為4=3"，他“｝的通項(xiàng)公式為〃=3"；

(II)axcx+a2c2++a2nc2n

—(q+Q3+++%〃一1)+(a2bl+a4b2+a*3++)

=[nx3+n(^~1)x6]+(6x31+12x32+18x33++6〃x3")

=3川+6x(1x31+2x32++nx3"),

12n

記T(=1X3+2X3++nx3①

則37；=1X32+2X33++nx3"+l②

②—①得,27；=-3-32-33-..-3"+nx3"+1=_3(1-30)+2鵬=⑸一叱―

1-32

22

所以+a2c2++a2nc2n=3n+6Tn=3n+3x—————

(2n-l)3"+2+6n2+9正、

=-----------------------(zneN)■

【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前九項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)列求和的基

本方法和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題目.

20.已知函數(shù)/(X)=e*-x?+2ax

1)若a=l,求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線(xiàn)方程

(2)若/(尤)在R上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍

【答案】(1)ex-y+1^0(2)a21n2—1.

【詳解】分析：(1)求出導(dǎo)數(shù)，求出切點(diǎn)和切線(xiàn)的斜率，由點(diǎn)斜式方程，即可得到切線(xiàn)方程；

(2)求出導(dǎo)數(shù)，若/(%)是單調(diào)遞增函數(shù)，則/'(%)="—2x+2a20恒成立，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求出

函數(shù)的最值即可得到實(shí)數(shù)。的取值范圍.

詳解：

(1)f,(^=ex-2x+2.-.f(l)=e

.■.y-f(l)=e(x-l).\ex-y+l=0

⑵...f'^x^=ex-2x+2a>0:.a>x-^-=g(x)

Qg(x)=l-^-=0..x=ln2

所以g(%)在(f，ln2)上單調(diào)遞增，在(ln2,上單調(diào)遞減

所以=g(ln2)=ln2-l.\a>ln2-l..

點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔

題.

21.設(shè)｛%｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛2｝滿(mǎn)足d=詈.已知%,3%,9%成等差數(shù)列.

(1)求｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

C

⑵記"和分別為｛4｝和也｝的前〃項(xiàng)和.證明：T,〈彳.

1W

【答案】(1)4=(；產(chǎn)，bn=--,(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及為得到9夕2-69+1=0,解方程即可;

（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出7；,再作差比較即可.

【詳解】（1）因?yàn)椋玻鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且〃1，3a2,9生成等差數(shù)列,

所以6g=%+9q,所以6%.=q+9。應(yīng)2,

即9d—64+1=0,解得q=；,所以%=g)"T,

所以2=券=n

y'

（2）［方法一］:作差后利用錯(cuò)位相減法求和

12n—1n

=-+—+H-----,

332+產(chǎn)3〃

￡111

2I—F—7++

22133132

Sn123n11110--1--2--

+F5剪+要+三++-----H-----—H-----2.++

3°3132

,1

n—1----

____2+2L-

3“T3"

0_J_1_12」11

「一1一5,⑧

設(shè)「2+,二+

"3°3〃T

?1

,0--1--2--n—1—c

則＞=」+_!+=+

n,--_-_--_--_-_---2-.⑨

3"3132333”

33

n——1n----

21112,1,2

由⑧一⑨得*r=一上+-F—7++-------r

323,323"-----23〃

3

n----

所以「12n

n4x3〃一22X3”T2x3"-'

nn、＜°，

因此7；—-色3"2x3-'-2

n2

q

故（＜才.

［方法二］【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法

1x(1--)

證明：由(1)可得S〃=——=1(1-F),

1-1

3

2II11na'n1、n

①-②得/=§+3+3+3"