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2025屆函數(shù)全真試題專(zhuān)項(xiàng)解析-數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知向量,且,則的值為()A. B. C. D.2.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖像,則下列判斷錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)的最小正周期是 B.圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)3.過(guò)點(diǎn)A(3,3)且垂直于直線的直線方程為A. B. C. D.4.設(shè)為銳角,,若與共線,則角()A.15° B.30° C.45° D.60°5.已知,是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,若,,則下列命題正確的是A.若,,則B.若,且,則C.若,,則D.若,且,則6.已知實(shí)數(shù)m,n滿足不等式組則關(guān)于x的方程x2-(3m+2n)x+6mn=0的兩根之和的最大值和最小值分別是()A.7,-4 B.8,-8C.4,-7 D.6,-67.如圖所示,在中,,點(diǎn)在邊上,點(diǎn)在線段上,若,則()A. B. C. D.8.已知四棱錐的底面是正方形,側(cè)棱長(zhǎng)均相等,E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)).設(shè)SE與BC所成的角為,SE與平面ABCD所成的角為β,二面角S-AB-C的平面角為,則()A. B. C. D.9.過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線垂直的直線方程是()A. B. C. D.10.在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù).則的值介于0到之間的概率為().A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.長(zhǎng)時(shí)間的低頭,對(duì)人的身體如頸椎、眼睛等會(huì)造成定的損害,為了了解某群體中“低頭族”的比例,現(xiàn)從該群體包含老、中、青三個(gè)年齡段的人中采用分層抽樣的方法抽取人進(jìn)行調(diào)查,已知這人里老、中、青三個(gè)年齡段的分配比例如圖所示,則這個(gè)群體里青年人人數(shù)為_(kāi)____12.已知一組數(shù)據(jù),,,的方差為,則這組數(shù)據(jù),,,的方差為_(kāi)_____.13.若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______.14.設(shè)在的內(nèi)部,且,的面積與的面積之比為_(kāi)_____.15.圓錐的底面半徑是3,高是4,則圓錐的側(cè)面積是__________.16.已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足=2,且恒有x+2y﹣m>0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.設(shè)兩個(gè)非零向量,不共線,如果,,.(1)求證:、、共線;(2)試確定實(shí)數(shù),使和共線.19.(1)證明:;(2)證明:對(duì)任何正整數(shù)n,存在多項(xiàng)式函數(shù),使得對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立,其中均為整數(shù),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),;(3)利用(2)的結(jié)論判斷是否為有理數(shù)?20.如圖,墻上有一壁畫(huà),最高點(diǎn)離地面4米,最低點(diǎn)離地面2米,觀察者從距離墻米,離地面高米的處觀賞該壁畫(huà),設(shè)觀賞視角(1)若問(wèn):觀察者離墻多遠(yuǎn)時(shí),視角最大?(2)若當(dāng)變化時(shí),求的取值范圍.21.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,求數(shù)列前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】
由向量平行可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】,解得:故選:【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量平行求解參數(shù)值的問(wèn)題,關(guān)鍵是明確兩向量平行可得.2、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移關(guān)系求出的解析式,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)稱(chēng)性分別進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意,將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得,對(duì)于,函數(shù)的最小正周期為,所以該選項(xiàng)是正確的;對(duì)于,令,則為最大值,函數(shù)圖象關(guān)于直線,對(duì)稱(chēng)是正確的;對(duì)于中,,則,,則函數(shù)在區(qū)間上先減后增,不正確;對(duì)于中,令,則,圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是正確的,故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷,涉及三角函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)稱(chēng)性,求出解析式是解決本題的關(guān)鍵.3、D【解析】過(guò)點(diǎn)A(3,3)且垂直于直線的直線斜率為,代入過(guò)的點(diǎn)得到.故答案為D.4、B【解析】由題意,,又為銳角,∴.故選B.5、D【解析】
利用面面、線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì),直接判定.【詳解】解:對(duì)于A,若n∥α,m∥β,則α∥β或α與β相交,故錯(cuò);對(duì)于B,若α∩β=l,且m⊥l,則m與β不一定垂直,故錯(cuò);對(duì)于C,若m∥n,m∥β,則α與β位置關(guān)系不定,故錯(cuò);對(duì)于D,∵α∩β=l,∴l(xiāng)?β,∵m∥l,則m∥β,故正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間中線線、線面、面面間相互關(guān)系的合理運(yùn)用.6、A【解析】由題意得,方程的兩根之和,畫(huà)出約束條件所表示的平面區(qū)域,如圖所示,由,可得,此時(shí),由,可得,此時(shí),故選A.7、B【解析】
本題首先可根據(jù)點(diǎn)在邊上設(shè),然后將化簡(jiǎn)為,再然后根據(jù)點(diǎn)在線段上解得,最后通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在邊上,所以可設(shè),所以,因?yàn)辄c(diǎn)在線段上,所以三點(diǎn)共線,所以,解得,所以,,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線的相關(guān)性質(zhì)以及向量的運(yùn)算,若向量與向量共線,則,考查計(jì)算能力,是中檔題.8、C【解析】
根據(jù)題意,分別求出SE與BC所成的角、SE與平面ABCD所成的角β、二面角S-AB-C的平面角的正切值,由正四棱錐的線段大小關(guān)系即可比較大小.【詳解】四棱錐的底面是正方形,側(cè)棱長(zhǎng)均相等,所以四棱錐為正四棱錐,(1)過(guò)作,交于,過(guò)底面中心作交于,連接,取中點(diǎn),連接,如下圖(1)所示:則;(2)連接如下圖(2)所示,則;(3)連接,則,如下圖(3)所示:因?yàn)樗?,而均為銳角,所以故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角、直線與平面夾角、平面與平面夾角的求法,屬于中檔題.9、D【解析】
設(shè)出直線方程,代入點(diǎn)求得直線方程.【詳解】依題意設(shè)所求直線方程為,代入點(diǎn)得,故所求直線方程為,故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩條直線垂直的知識(shí),考查直線方程的求法,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
由,得.由函數(shù)的圖像知,使的值介于0到之間的落在和之內(nèi).于是,所求概率為.故答案為D二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
根據(jù)餅狀圖得到青年人的分配比例;利用總數(shù)乘以比例即可得到青年人的人數(shù).【詳解】由餅狀圖可知青年人的分配比例為:這個(gè)群體里青年人的人數(shù)為:人本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣知識(shí)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】
利用方差的性質(zhì)直接求解.【詳解】一組數(shù)據(jù),,,的方差為5,這組數(shù)據(jù),,,的方差為:.【點(diǎn)睛】本題考查方差的性質(zhì)應(yīng)用。若的方差為,則的方差為。13、.【解析】
利用三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式求出的值.【詳解】由誘導(dǎo)公式得,另一方面,由三角函數(shù)的定義得,解得,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)的定義,解題時(shí)要充分利用誘導(dǎo)公式求特殊角的三角函數(shù)值,并利用三角函數(shù)的定義求參數(shù)的值,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、1:3【解析】
記,,可得:為的重心,利用比例關(guān)系可得:,,,結(jié)合:即可得解.【詳解】記,則則為的重心,如下圖由三角形面積公式可得:,,又為的重心,所以,所以所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形重心的向量結(jié)論,還考查了轉(zhuǎn)化能力及三角形面積比例計(jì)算,屬于難題.15、【解析】分析:由已知中圓錐的底面半徑是,高是,由勾股定理,我們可以計(jì)算出圓錐的母線長(zhǎng),代入圓錐側(cè)面積公式,即可得到結(jié)論.詳解:圓錐的底面半徑是,高是,圓錐的母線長(zhǎng),則圓錐側(cè)面積公式,故答案為.點(diǎn)睛:本題主要考查圓錐的性質(zhì)與圓錐側(cè)面積公式,意在考查對(duì)基本公式的掌握與理解,屬于簡(jiǎn)單題.16、(-∞,1)【解析】
由x+2y(x+2y)()(1),運(yùn)用基本不等式可得x+2y的最小值,由題意可得m<x+2y的最小值.【詳解】?jī)蓚€(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足2,則x+2y(x+2y)()(1)(1+2)=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2時(shí),上式取得等號(hào),x+2y﹣m>0,即為m<x+2y,由題意可得m<1.故答案為:(﹣∞,1).【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的運(yùn)用:“乘1法”求最值,考查不等式恒成立問(wèn)題解法,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)由,且,可得當(dāng)也適合,;(2)∵18、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)要證、、共線,只要證明存在實(shí)數(shù),使得成立即可.
(2)利用向量共線的充要條件和兩個(gè)非零向量與不共線即可求出.【詳解】(1)證明:由.又,則.所以.所以、、共線.(2)和共線,則存在實(shí)數(shù),使得成立.向量,不共線,所以,解得:所以當(dāng)時(shí),使和共線.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量共線的充要條件證明點(diǎn)共線和求參數(shù)的值.19、(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)不是【解析】
(1),利用兩角和的正弦和二倍角公式,進(jìn)行證明;(2)對(duì)分奇偶,即和兩種情況,結(jié)合兩角和的余弦公式,積化和差公式,利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明;(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,將表示出來(lái),然后判斷其每一項(xiàng)都為無(wú)理數(shù),從而得到答案.【詳解】(1)所以原式得證.(2)為奇數(shù)時(shí),時(shí),,其中,成立時(shí),,其中,成立時(shí),,其中,成立,則當(dāng)時(shí),所以得到因?yàn)榫鶠檎麛?shù),所以也均為整數(shù),故原式成立;為偶數(shù)時(shí),時(shí),,其中,時(shí),,其中,成立,時(shí),,其中,成立,則當(dāng)時(shí),所以得到其中,因?yàn)榫鶠檎麛?shù),所以也均為整數(shù),故原式成立;綜上可得:對(duì)任何正整數(shù),存在多項(xiàng)式函數(shù),使得對(duì)所有實(shí)數(shù)均成立,其中,均為整數(shù),當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),;(3)由(2)可得其中均為有理數(shù),因?yàn)闉闊o(wú)理數(shù),所以均為無(wú)理數(shù),故為無(wú)理數(shù),所以不是有理數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查利三角函數(shù)的二倍角的余弦公式,積化和差公式,數(shù)學(xué)歸納法證明,屬于難題.20、(1)(2)3≤x≤1.【解析】試題分析:(1)利用兩角差的正切公式建立函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)基本不等式求最值,最后根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性確定最大時(shí)取法,(2)利用兩角差的正切公式建立等量關(guān)系式,進(jìn)行參變分離得,再根據(jù)a的范圍確定范圍,最后解不等式得的取值范圍.試題解析:(1)當(dāng)時(shí),過(guò)作的垂線,垂足為
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