2025屆北京海淀北方交大附中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2025屆北京海淀北方交大附中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知集合，，，則（）A． B． C． D．2．如圖，在下列四個(gè)正方體中，，，，，，，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，陰影平面與所在平面平行的是()A． B．C． D．3．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思是“有一個(gè)人走378里，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”請(qǐng)問第三天走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里4．閱讀如圖所示的程序，若運(yùn)該程序輸出的值為100，則的面的條件應(yīng)該是（）A． B． C． D．5．在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD一定是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四邊形6．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為（）A．7 B．8 C．9 D．107．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形8．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn)，若函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)為階格點(diǎn)函數(shù).下列函數(shù)中為一階格點(diǎn)函數(shù)的是（）A． B． C． D．9．《九章算術(shù)》卷第六《均輸》中，提到如下問題：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升．問中間二節(jié)欲均容，各多少？”其大致意思是說，若九節(jié)竹每節(jié)的容量依次成等差數(shù)列，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升，則中間兩節(jié)的容量各是（）A．升、升 B．升、升C．升、升 D．升、升10．一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與原正方體體積的比值為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則___________．12．如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是______.13．已知等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，前項(xiàng)和，則使有最小值的_________.14．已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為__________．15．已知圓柱的底面圓的半徑為2，高為3，則該圓柱的側(cè)面積為________.16．如圖，半徑為的扇形的圓心角為，點(diǎn)在上，且，若，則__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在等比數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．已知向量，的夾角為120°，且||＝2，||＝3，設(shè)32，2．（Ⅰ）若⊥，求實(shí)數(shù)k的值；（Ⅱ）當(dāng)k＝0時(shí)，求與的夾角θ的大?。?9．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA．

（1）求角A的值；

（2）若,，求△ABC的面積S．20．在中，分別是角的對(duì)邊，.(1)求的值；(2)若的面積，，求的值.21．在直三棱柱中，，，，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】由題意得，因?yàn)?，所以，所以，故，故選C.2、A【解析】

根據(jù)線面平行判定定理以及作截面逐個(gè)分析判斷選擇.【詳解】A中，因?yàn)?所以可得平面,又，可得平面，從而平面平面B中，作截面可得平面平面（H為C1D1中點(diǎn)）,如圖：C中，作截面可得平面平面（H為C1D1中點(diǎn)）,如圖：D中，作截面可得為兩相交直線，因此平面與平面不平行,如圖：【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理以及截面，考查空間想象能力與基本判斷論證能力，屬中檔題.3、B【解析】

根據(jù)題意得出等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)、公比和前項(xiàng)和，由此列方程，解方程求得首項(xiàng)，進(jìn)而求得的值.【詳解】依題意步行路程是等比數(shù)列，且，，，故，解得，故里.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國古典數(shù)學(xué)文化，考查等比數(shù)列前項(xiàng)和的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

根據(jù)輸出值和代碼，可得輸出的最高項(xiàng)的值，進(jìn)而結(jié)合當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特征得判斷框內(nèi)容.【詳解】根據(jù)循環(huán)體，可知因?yàn)檩敵龅闹禐?00，所以由等差數(shù)列求和公式可知求和到19停止，結(jié)合當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)特征，可知滿足條件時(shí)返回執(zhí)行循環(huán)體，因而判斷框內(nèi)的內(nèi)容為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的代碼應(yīng)用，根據(jù)輸出值選擇條件，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】試題分析：因?yàn)?根據(jù)向量的三角形法則，有,則可知,故四邊形ABCD為平行四邊形.考點(diǎn)：向量的三角形法則與向量的平行四邊形法則.6、B【解析】試題分析：設(shè)該女子第一天織布尺，則，解得，所以前天織布的尺數(shù)為，由，得，解得的最小值為，故選B．考點(diǎn)：等比數(shù)列的應(yīng)用．7、A【解析】中，，所以.由正弦定理得：.所以.所以，即因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以所以為等腰三角形.故選A.8、A【解析】

根據(jù)題意得，我們逐個(gè)分析四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的格點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意得：函數(shù)y＝sinx圖象上只有（0，0）點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，故A為一階格點(diǎn)函數(shù)；函數(shù)沒有橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，故B為零階格點(diǎn)函數(shù)；函數(shù)y＝lgx的圖象有（1，0），（10，1），（100，2），…無數(shù)個(gè)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，故C為無窮階格點(diǎn)函數(shù)；函數(shù)y＝x2的圖象有…（﹣1，0），（0，0），（1，1），…無數(shù)個(gè)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，故D為無窮階格點(diǎn)函數(shù).故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象與圖象變化，其中分析出函數(shù)的格點(diǎn)個(gè)數(shù)是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．9、D【解析】

由題意知九節(jié)竹的容量成等差數(shù)列，至下而上各節(jié)的容量分別為a1，a2，…，an，公差為d，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出中間一節(jié)的容量．【詳解】由題意知九節(jié)竹的容量成等差數(shù)列,至下而上各節(jié)的容量分別為a1，a2，…，a9，公差為d，即=4，=3，∴=4，=3，解得,，∴中間兩節(jié)的容量,，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，解出首項(xiàng)與公差即可，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體，得到是在正方體中，截去四面體，利用體積公式，求出其體積，然后得到答案.【詳解】根據(jù)三視圖還原出幾何體，如圖所述，得到是在正方體中，截去四面體設(shè)正方體的棱長為，則，故剩余幾何體的體積為，所以截去部分的體積與剩余部分的體積的比值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖求幾何體的體積；關(guān)鍵是正確還有幾何體，利用體積公式解答，屬于簡單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、17【解析】

根據(jù)所給的通項(xiàng)公式，代入求得，并由代入求得.即可求得的值.【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和，則，而，，所以，則，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列前n項(xiàng)和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，遞推法求數(shù)列的項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

將所求兩條異面直線平移到一起，解三角形求得異面直線所成的角.【詳解】連接，根據(jù)三角形中位線得到，所以是異面直線與所成角.在三角形中，,所以三角形是等邊三角形，故.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.13、或【解析】

求出，然后利用，求出的取值范圍，即可得出使得有最小值的的值.【詳解】，令，解得.因此，當(dāng)或時(shí)，取得最小值.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的最小值求解，可以利用二次函數(shù)性質(zhì)求前項(xiàng)和的最小值，也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)列所有非正數(shù)項(xiàng)相加，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14、8π【解析】分析：作出示意圖，根據(jù)條件分別求出圓錐的母線，高，底面圓半徑的長，代入公式計(jì)算即可.詳解：如下圖所示，又，解得，所以，所以該圓錐的體積為.點(diǎn)睛：此題為填空題的壓軸題，實(shí)際上并不難，關(guān)鍵在于根據(jù)題意作出相應(yīng)圖形，利用平面幾何知識(shí)求解相應(yīng)線段長，代入圓錐體積公式即可.15、【解析】

圓柱的側(cè)面打開是一個(gè)矩形，長為底面的周長，寬為圓柱的高，即，帶入數(shù)據(jù)即可．【詳解】因?yàn)閳A柱的底面圓的半徑為2，所以圓柱的底面圓的周長為，則該圓柱的側(cè)面積為.【點(diǎn)睛】此題考察圓柱側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題目．16、【解析】根據(jù)題意，可得OA⊥OC，以O(shè)為坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則有C（1，0），A（0，1），B（cos30°，-sin30°），即.于是.由，得：，則：，解得.∴.點(diǎn)睛：(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）利用條件求數(shù)列的首項(xiàng)與公比，確定所求.(2)將分組，，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，由，所以，則；（2），所以數(shù)列的前項(xiàng)和,則數(shù)列的前項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)，分組求和法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用⊥，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，得到關(guān)于的方程，即可求解；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，以及向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，向量，的夾角為120°，且||＝2，||＝3，所以，，，又由.若⊥，可得，解得k．（Ⅱ）當(dāng)k＝0時(shí)，，則．因?yàn)?，由向量的夾角公式，可得，又因?yàn)?≤θ≤π，∴，所以與的夾角θ的大小為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量的夾角公式的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（1）【解析】試題分析：（1）由已知利用正弦定理，兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡可得，結(jié)合，可求，進(jìn)而可求的值；（1）由已知及余弦定理，平方和公式可求的值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解.試題解析：（1）在△ABC中，∵acosC+ccosA=1bcosA，∴sinAcosC+sinCcosA=1sinBcosA，

∴sin（A+C）=sinB=1sinBcosA，∵sinB≠0，∴，可得：

（1）∵，，∴b1+c1=bc+4，可得：（b+c）1=3bc+4=10，可得：bc=1．∴．20、(1)4；(2)【解析】

（1）利用兩角差的正弦和正弦定理將條件化成，再利用余弦定理代入，即可求得的值；（2）由可求得，的值，再由面積公式求得，結(jié)合余弦定理可得，解方程即可得答案.【詳解】(1)∵，∴，∴∴，解得：.(2)，，，，，∵，∴.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正弦、正弦