北京一五六中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末綜合測試模擬試題含解析

北京一五六中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．（）A．0 B．1 C．-1 D．22．的內(nèi)角的對邊分別為，若的面積為，則（）A． B． C． D．3．下列條件：①；②；③；其中一定能推出成立的有（）A．0個 B．3個 C．2個 D．1個4．在直角中，，線段上有一點，線段上有一點，且，若，則（）A．1 B． C． D．5．為了了解我校今年準備報考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為，第2小組的頻數(shù)為12，則抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)是（）A．24 B．48 C．56 D．646．若直線l：ax+by＝1（a＞0，b＞0）平分圓x2+y2﹣x﹣2y＝0，則的最小值為（）A． B．2 C． D．7．已知200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，時速在的汽車輛數(shù)為()A．8 B．80 C．65 D．708．袋子中有大小、形狀完全相同的四個小球，分別寫有“和”、“諧”、“校”、“園”四個字，有放回地從中任意摸出一個小球，直到“和”、“諧”兩個字都摸到就停止摸球，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止摸球的概率。利用電腦隨機產(chǎn)生到之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用，，，代表“和”、“諧”、“?！?、“園”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下組隨機數(shù)：由此可以估計，恰好第三次就停止摸球的概率為（）A． B． C． D．9．用輾轉(zhuǎn)相除法，計算56和264的最大公約數(shù)是()．A．7 B．8 C．9 D．610．若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為（）A．4 B．8 C．16 D．32二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知為直線，為平面，下列四個命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確命題的序號是______．12．已知為等差數(shù)列，，，，則______.13．若兩個正實數(shù)滿足，且不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是____________.14．在銳角△中，角所對應(yīng)的邊分別為，若，則角等于________.15．______．16．已知，，則______，______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知集合，或.（1）若，求；（2）若，求的取值范圍.18．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，、、分別是棱、、的中點，且平面．（1）求證：平面；（2）求證：平面．19．泉州與福州兩地相距約200千米，一輛貨車從泉州勻速行駛到福州，規(guī)定速度不得超過千米/時，已知貨車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度千米/時的平方成正比，比例系數(shù)為0.01；固定部分為64元.（1）把全程運輸成本元表示為速度千米/時的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（2）為了使全程運輸成本最小，貨車應(yīng)以多大速度行駛？20．已知，，且(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若，求的值.21．某百貨公司1～6月份的銷售量與利潤的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：月份123456銷售量x（萬件）1011131286利潤y（萬元）222529261612附：（1）根據(jù)2～5月份的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸直線方程（2）若由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過萬元，則認為得到的回歸直線方程是理想的，試問所得回歸直線方程是否理想？（參考公式：，）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡求值．【詳解】sin210°＝sin（180°+30°）+cos60°＝﹣sin30°+cos60°．故選A．【點睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式化簡求值，是基礎(chǔ)的計算題．2、C【解析】

由題意可得，化簡后利用正弦定理將“邊化為角“即可．【詳解】解：的面積為，，，故選：C．【點睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用和三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

利用特殊值證得①②不一定能推出，利用平方差公式證得③能推出.【詳解】對于①，若，而，故①不一定能推出；對于②，若，而，故②不一定能推出；對于③，由于，所以，故，也即.故③一定能推出.故選：D.【點睛】本小題主要考查不等式的性質(zhì)，考查實數(shù)大小比較，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

依照題意采用解析法，建系求出目標(biāo)向量坐標(biāo)，用數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求出結(jié)果．【詳解】如圖，以A為原點，AC，AB所在直線分別為軸建系，依題設(shè)A(0,0),B(0,2),C(3,0),M(1,0),，由得，，解得，，所以，，，故選D．【點睛】本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用，意在考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力．5、B【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖可知從左到右的前3個小組的頻率之和，再根據(jù)頻率之比可求出第二組頻率，結(jié)合頻數(shù)即可求解.【詳解】由直方圖可知，從左到右的前3個小組的頻率之和為，又前3個小組的頻率之比為，所以第二組的頻率為，所以學(xué)生總數(shù)，故選B.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖，頻率，頻數(shù)，總體，屬于中檔題.6、C【解析】

求得圓心，代入直線的方程，然后利用基本不等式求得的最小值.【詳解】圓的圓心為，由于直線平分圓，故圓心在直線上，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：C【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查利用基本不等式求最小值.7、B【解析】

先計算時速在的汽車頻率，再乘200,?！驹斀狻坑蓤D知：時速在的汽車頻率為所以時速在的汽車輛數(shù)為，選B.【點睛】本題考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題。8、B【解析】

隨機模擬產(chǎn)生了18組隨機數(shù)，其中第三次就停止摸球的隨機數(shù)有4個，由此可以估計，恰好第三次就停止摸球的概率．【詳解】隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：343432341342234142243331112342241244431233214344142134其中第三次就停止摸球的隨機數(shù)有：142，112，241，142，共4個，由此可以估計，恰好第三次就停止摸球的概率為p．故選：B．【點睛】本題考查概率的求法，考查列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．9、B【解析】

根據(jù)輾轉(zhuǎn)相除法計算最大公約數(shù).【詳解】因為所以最大公約數(shù)是8，選B.【點睛】本題考查輾轉(zhuǎn)相除法，考查基本求解能力.10、B【解析】

根據(jù)，則即可求解.【詳解】因為樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，所以，，…，的方差為，故選B.【點睛】本題主要考查了方差的概念及求法，屬于容易題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、③④【解析】

①和②均可以找到不符合題意的位置關(guān)系，則①和②錯誤；根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理和空間中的平行垂直關(guān)系可知③和④正確.【詳解】若，此時或，①錯誤；若，此時或異面，②錯誤；由線面垂直的性質(zhì)定理可知，若，則，③正確；兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條直線必垂直于該平面，可知④正確本題正確結(jié)果：③④【點睛】本題考查空間中的平行與垂直關(guān)系相關(guān)命題的判斷，考查學(xué)生對于平行與垂直的判定和性質(zhì)的掌握情況.12、【解析】

由等差數(shù)列的前項和公式，代入計算即可.【詳解】已知為等差數(shù)列，且，，所以，解得或（舍）故答案為【點睛】本題考查了等差數(shù)列前項和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】試題分析：因為不等式有解，所以，因為，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號是成立的，所以，所以，即，解得或.考點：不等式的有解問題和基本不等式的求最值.【方法點晴】本題主要考查了基本不等式在最值中的應(yīng)用，不等式的有解問題，在應(yīng)用基本不等式求解最值時，呀注意“一正、二定、三相等”的判斷，運用基本不等式解題的關(guān)鍵是尋找和為定值或是積為定值，難點在于如何合理正確的構(gòu)造出定值，對于不等式的有解問題一般選用參數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或借助數(shù)形結(jié)合法求解，屬于中檔試題.14、【解析】試題分析：利用正弦定理化簡，得，因為，所以，因為為銳角，所以．考點：正弦定理的應(yīng)用．【方法點晴】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用、以及特殊角的三角函數(shù)值問題，其中解答中涉及到解三角形中的邊角互化，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值的應(yīng)用，解答中熟練掌握正弦定理的變形，完成條件的邊角互化是解答的關(guān)鍵，注重考查了分析問題和解答問題的能力，同時注意條件中銳角三角形，屬于中檔試題．15、【解析】

,,故答案為.考點：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、切割化弦思想.16、【解析】

由的值，可求出的值，再判斷角的范圍，可判斷出，進而將平方，可求出答案.【詳解】由題意，，因為，所以，即；又因為，所以，即，而，由于，可知，所以，則，即.故答案為：；.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，考查二倍角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）A∩B＝{x|﹣1＜x≤﹣1}（2）（1，1]．【解析】

（1）首先確定A、B，然后根據(jù)交集定義求出即可；（2）由A∪B＝R，得，得1＜a≤1．【詳解】B＝{x|x≤﹣1或x＞5}，（1）若a＝1，則A＝{x|﹣1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤﹣1}；（2）∵A∪B＝R，∴，∴1＜a≤1，∴實數(shù)a的取值范圍為（1，1]．【點睛】本題考查了交集及其運算，考查了并集運算的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．18、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）取中點，連接，，得，利用直線與平面平行的判定定理證明平面．（2）連結(jié)，由已知條件得，由平面，得，利用直線與平面垂直的判定定理證明平面．【詳解】（1）取中點，連接，，∵、分別是棱、的中點，∴，且．∵在菱形中，是的中點，∴，且，∴且，∴為平行四邊形.∴．∵平面，平面，∴平面．（2）連接，∵是菱形，∴，∵，分別是棱、的中點，∴，∴，∵平面，平面，∴，∵，、平面，∴平面.【點睛】本題考查直線與平面平行以及直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．19、（1）,；（2），貨車應(yīng)以千米/時速度行駛，貨車應(yīng)以千米/時速度行駛【解析】

（1）先計算出從泉州勻速行駛到福州所用時間，然后乘以每小時的運輸成本（可變部分加固定部分），由此求得全程運輸成本，并根據(jù)速度限制求得定義域.（2）由，，對進行分類討論.當(dāng)時，利用基本不等式求得行駛速度.當(dāng)時，根據(jù)的單調(diào)性求得行駛速度.【詳解】（1）依題意一輛貨車從泉州勻速行駛到福州所用時間為小時，全程運輸成本為，所求函數(shù)定義域為；（2）當(dāng)時，故有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.當(dāng)時，易證在上單調(diào)遞減故當(dāng)千米/時，全程運輸成本最小.綜上，為了使全程運輸成本最小，，貨車應(yīng)以千米/時速度行駛，貨車應(yīng)以千米/時速度行駛.【點睛】本小題主要考查函數(shù)模型在實際生活中的應(yīng)用，考查基本不等式求最小值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.20、(Ⅰ)；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題中條件，求出，進而可得，再由兩角差的正切公式，即可得出結(jié)果；(Ⅱ)根據(jù)題中條件，得到，求出，再由，根據(jù)兩角差的正弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)因為，，所以，因此，所以；(Ⅱ)因為，，所以，又，所以，所以，因此.【點睛】本題主要考查三角恒等變換，給值求值的問題，熟記公