青海2023-2024學(xué)年高三年級(jí)下冊(cè)第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試卷（含答案解析）

青海涅川中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)

學(xué)(理)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.己知復(fù)數(shù)z=(aT)-2ai(aeR),且忖=5,若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，

則。二()

A.—2B.C.2D.—

55

【答案】A

【分析】

17

先根據(jù)忖=5求出。=-2或。=苓，再結(jié)合z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限排除

即可.

【詳解】由題意|z|=J("l)2+(-2a[=5,得5〃一2a—24=0,得。=一2或。=g,

—1<0

因Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以c八，故°<0,故。=-2,

[—2a>0

故選：A

2.已知集合人=｛耳了=垣(-元2+2彳+3)｝,8=｛無(wú)|尤2_4<0｝,則AD3=()

A.(-1,3)B.(-1,2)C.(-2,3)D.(-2,2)

【答案】C

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)大于零和一元二次不等式的解法可分別求得集合A,8,根據(jù)并集定義可求

得結(jié)果.

2

【詳解】由一V+2x+3>0得：X-2X-3=(X+1)(X-3)<0,.-.-1<X<3,.-.A=(-l,3)；

由好一4<0得：(x+2)(x-2)<0,,―2<x<2,.-.5-(-2,2),AUB=(-2,3).

故選：C.

3.己知等差數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S“，若g=7,%=16,則幾=()

A.325B.355C.365D.375

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列，求出4，4,進(jìn)而求得Hs.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等差數(shù)列，4=7,%=16,

公差d=———=3,a=a-d=4,

5-2l2

bi15x(15-1)

所以幾=4x15+————1x3=375,

故選：D.

4.某中學(xué)的高中部共有男生1200人，其中高一年級(jí)有男生300人，高二年級(jí)有男生

400人.現(xiàn)按分層抽樣抽出36名男生去參加體能測(cè)試，則高三年級(jí)被抽到的男生人數(shù)

為()

A.9B.12C.15D.18

【答案】C

【分析】

由題意按分層抽樣的方法用36乘以高三年級(jí)的男生數(shù)占總男生數(shù)的比例即可求解.

【詳解】高三年級(jí)被抽到的男生人數(shù)為36x120°;/。0=36*M=15.

120012

故選：C.

22

5.已知雙曲線C：5一當(dāng)6>0)的一條漸近線的方程為2彳-3k0,若C的

ab

焦距為2岳，貝Ua+6=()

A.4B.5C.6D.10

【答案】B

【分析】

fv?bh

由雙曲線1=l(a,b>0)的漸近線斜率為：，可求出2；再由雙曲線的焦點(diǎn)橫坐標(biāo)

為曲石,可求出77萬(wàn).最后同時(shí)使用兩個(gè)條件即可計(jì)算出。+近

f?bb

【詳解】由于雙曲線'一方=1(。,6>0)的漸近線是>=：X和丁=一、x,故漸近線的斜

率的絕對(duì)值為2b,

a

27h2

而直線2x-3y=。即直線y==x的斜率為:，故2=；.

33a3

又由于該雙曲線的焦距為2加，故°=9，從而荷+加=c=A-

試卷第2頁(yè)，共24頁(yè)

(a+&)Va2+b~

從而0+b=

-Ja2+b2

故選：B.

6.現(xiàn)從含甲、乙在內(nèi)的10名特種兵中選出4人去參加搶險(xiǎn)，則在甲被選中的前提下,

乙也被選中的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

3456

【答案】A

【分析】

記分別表示“甲被選中”和“乙被選中”，然后使用條件概率公式計(jì)算尸伊同即可.

【詳解】記分別表示“甲被選中”和“乙被選中”.

4?

由于一共有10名特種兵，而要從中選出4名，故尸（4=而=不

而從10名特種兵選出4名時(shí)，如果甲和乙被選中，則剩余2個(gè)被選中的人可從甲和乙

之外的8名特種兵中任意選擇2名，

故選取方式有C；種，從而網(wǎng)鉆）=*=蕓=[.

2

故P（網(wǎng)力=需=?=3,A正確.

5

故選：A.

7.如圖所示，該圖形由一個(gè)矩形和一個(gè)扇形組合而成，其中矩形和扇形分別是一個(gè)圓

柱的軸截面和一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，且矩形的長(zhǎng)為2,寬為3,扇形的圓心角為三,

半徑等于矩形的寬，若圓柱高為3,則圓柱和圓錐的體積之比為（）

C.72:737D.72:5^5

【答案】D

【分析】

先求出圓柱的體積，再得到扇形的弧長(zhǎng)，再求得圓錐的體積，最后求出體積比.

【詳解】因?yàn)榫匦蔚拈L(zhǎng)為2,寬為3,所以圓柱的底面半徑為1,高為3,

所以圓柱的體積為itr2h=兀乂仔＞＜3=3兀，

7T

因?yàn)樯刃蔚膱A心角為：，半徑等于矩形的寬，所以半徑為3,

根據(jù)弧長(zhǎng)公式可以得到扇形的弧長(zhǎng)為12”3=兀

2兀

..7T]

又扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，所以圓錐底面圓的半徑為方=5

所以根據(jù)圓錐的體積公式得到圓錐的高為=x

所以圓錐的體積為工“z捫nLxTTxOSZxYiSMXiETr,

33224

3K_72

所以圓柱和圓錐的體積之比為71藐二而，

24

故選：D.

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S=10,則判斷框中應(yīng)填()

A.n<10B.n<10C.n>10D.心10

【答案】c

【分析】

根據(jù)程序框圖模擬程序計(jì)算即可.

【詳解】第一次循環(huán)S=o+1,〃=2,第二次循環(huán)S=l+1,〃=3,

第九次循環(huán)S=9,”=10,第十次循環(huán)S=10,〃=ll,此時(shí)結(jié)束循環(huán)，所以力＞10.

故選：C

9.在梯形A2CD中，AD//BC,AD=6,8c=8,AB=4,CD=5,E,尸分另lj為A。,

8。的中點(diǎn)，則跖=()

A.叵B.顯C.曬D.包

222

【答案】A

試卷第4頁(yè)，共24頁(yè)

【分析】由題意，過(guò)點(diǎn)E作EG//AB，交BC于G,EHHCD，交BC于H,分別在AEGH,

AEG尸運(yùn)用余弦定理，求出所即可.

【詳解】

過(guò)點(diǎn)E作EG〃/交BC于G,EH//CD,交BC于H,

又因?yàn)锳D//BC,EG//AB,EH//CD,

所以四邊形ABGE和四邊形CDEH為平行四邊形，

所以AE=BG,DE=CH,AB=EG,DC=EH

因?yàn)锳D=6,BC=8,AB=4,CD=5,

所以GH=BC-（BG+CH）=BC-AD=2,

因?yàn)镋,尸分別為4D,BC的中點(diǎn),

所以AE=DE,BF=CF,

所以GF=EH,

EG2+GH1-EH142+22-52_5

所以在aEG"中,cosNEGH=

2EGGH2x4x2~16

39

所以在.EGF中,EF2=EG2+GF2-2EG.GF-cosZEGH=—

2

所以人耍

故選：A.

10.已知函數(shù)"x)=Asin(s+e)(A>0,0>0，3<圖象的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為

距離C點(diǎn)最近的一個(gè)零點(diǎn)為g,設(shè)8點(diǎn)在y軸左側(cè)且為/"(力圖象上距離y

軸最近的一個(gè)對(duì)稱中心，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則BOC的面積為()

717171

A.兀B.C.D.

27

【答案】C

【分析】

根據(jù)最高點(diǎn)確定A的值，由距離。點(diǎn)最近的一個(gè)零點(diǎn)為結(jié)合周期可求出口，代入

點(diǎn)?？汕蟪鲇蓪?duì)稱中心的求法及題意可確定點(diǎn)3,進(jìn)而得到5OC的面積.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)“同圖象的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為。

故A=2,

又距離c點(diǎn)最近的一個(gè)零點(diǎn)為曾，

所以即7=兀，

所以①=2,

將代入/(X)=2sin(2x+0),得2x^?+O=]+2也,左￡Z,

TT

解得"1+2kK,左￡Z,

因?yàn)閮?lt;],所以夕=q,

所以〃x)=2sin12x_m),

令2x-?=kit,kwZ,則苫=烏+色,％eZ,

362

因?yàn)?點(diǎn)在y軸左側(cè)且為/(x)圖象上距離〉軸最近的一個(gè)對(duì)稱中心，

故《-別，

LLt、tC1兀入7T

所以sBOC=5*§乂2=耳.

故選：C

11.我們把函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之積稱為該點(diǎn)的“積值”.設(shè)函數(shù)

_九2_6x+5Vv0

二二一圖象上存在不同的三點(diǎn)A,B,C,其橫坐標(biāo)從左到右依次為

e-1,尤>0

玉，演，X3，且其縱坐標(biāo)均相等，則A,B,C三點(diǎn)“積值”之和的最大值為()

A.51n6-30B.51n6-60C.61n5-30D.61n5-60

【答案】A

【分析】依題意，畫(huà)出了(x)的大致圖象，結(jié)合積值的定義構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最

大值.

【詳解】依題意，A,B,C三點(diǎn)“積值”之和為(玉+%2+X3)%y=/(%)=/(x2)=/(x3)，

，/、f—2x—6,x<0/、/、/、/、

因?yàn)?'(X)=*n，可得在(-叫―3)和(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-3,0)上

Ie9%>u

單調(diào)遞減，

當(dāng)X一-8時(shí)，“X)-〃-3)=14,/(-6)=/(0)=5;

當(dāng)X-+8時(shí)，/(%)-?+<?,可畫(huà)出大概圖象：

試卷第6頁(yè)，共24頁(yè)

且有玉＜龍2＜工3，使得/（西）=/（馬）=/（看），那么必有

玉e[-6,-3）,x2G（—3,0],%3G[in6,In15）,

且為，三關(guān)于x=-3對(duì)稱，即再+無(wú)2=-6,y=/（玉）=/（々）=/（￡），ye[5,14）,

玉=-3—,14—y,x2=—3+J14—y，F(xiàn)=ln（l+y）,

則A,B,C三點(diǎn)“積直，之和（再+^+w）y=yln（l+y）-6y,

令。（y）=yln（l+y）-6%"（y）=0+y）ln（：：；）5y6＜o(jì),研田單調(diào)遞減,

當(dāng)y=5時(shí)取最大值，°⑸=5山6-30,

故選：A.

12.已知過(guò)拋物線C：V=8x焦點(diǎn)/的直線/與c交于A,8兩點(diǎn)，以線段為直徑

的圓與y軸交于。，E兩點(diǎn)，則前的取值范圍為（）

A.（0,1]B.1°用C.g』一口J膏

【答案】B

【分析】分類討論直線/的斜率存在與不存在，設(shè)出直線的方程聯(lián)立方程組，求出

IlIIDE

\AB\^xl+x2+p,\DE\,然后作比值，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值即可求得工水的取值范

I\LJ

圍.

【詳解】如圖:

拋物線C：y2=8x,所以焦點(diǎn)產(chǎn)（2,0）,

所以當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線/的方程為y=M尤-2乂b0）,4（/%）,貝的力）,

由2），得/產(chǎn)一（4人?+8卜+4左2=0,

4M?ee（4

所以百+々=竺/=4+?，由于圓心H為A8的中點(diǎn)，則呼+記,打

根據(jù)拋物線的定義可知\AB\=xl+x2+p=8+^

所以圓H的半徑r=：AB|=4+g,

過(guò)H作HGLDE,垂足為G,則|"G|=2+\,根據(jù)垂徑定理,

K

得回=2|2G|=2j產(chǎn)=2412+盤(pán),所以

,DE

貝1

JFATB=

4+F

所以〃⑺＞力（2抬）=當(dāng)，，所以.入萬(wàn)Y

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為l=2,

止匕時(shí)|AB卜七+/+〃=8,|0目二2|DG|=2742-22=473,

所以D焉E=卓

AB

試卷第8頁(yè)，共24頁(yè)

DE

綜上,成的取值范圍為

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題以拋物線為載體，在知識(shí)點(diǎn)交匯處命題，注重創(chuàng)新，考查解析幾何的多個(gè)

熱點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)兼顧函數(shù)思想的考查，分類討論聯(lián)立方程組求解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值

問(wèn)題求解即可.

二、填空題

13.已知向量。=(3,2),b=(-2,l),則向量a+B在6方向上的投影為.

【答案】見(jiàn)之后

55

【分析】

\a+b\b

計(jì)算出向量°的坐標(biāo)，然后由向量a+b在6方向上的投影為「計(jì)算求解即可.

\b\

【詳解】因?yàn)橄蛄緻=(3,2),6=(-2,1),所以。+6=(1,3),

,八(a+b\b175

則(〃+q6=-2+3=1,所以向量a+6在6方向上的投影為：'J飛

故答案為：。

14.已知函數(shù)〃x)=e'-eT+x,則不等式“為-2)+〃相+1)>0的解集為.

【答案】

【分析】

根據(jù)奇偶性定義和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可化簡(jiǎn)所求不等式，得到自變量的大小關(guān)系，解不

等式即可求得結(jié)果.

【詳解】/(X)的定義域?yàn)镽,/(-x)=e--e^-x=-/(x),

\/(勾為定義在R上的奇函數(shù)；

.y=e，與y=x均為R上的增函數(shù)，尸1為R上的減函數(shù)，

\”勾為定義在R上的增函數(shù)；

由〃2加一2)+/(租+1)>0得：f(2m-2)>-f(m+l)=f(-m-l),

:.2m-2>-m-l,解得：%_2)+/(%+1)>0的解集為(g,+(?

故答案為：^J,+G0j-

15.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且％=1,a,-an_^T-\n>2),若對(duì)任意的正整

數(shù)”，不等式(2+4)。+5“)1082%,>"恒成立，則九的取值范圍為

【答案】,+co^

【分析】

由累加法求出數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)，再由等比數(shù)列求和公式求出s“，再利用指數(shù)函數(shù)和幕函

數(shù)的增長(zhǎng)速度簡(jiǎn)單放縮找到分離常數(shù)后不等式右邊的最大值，最后求出結(jié)果即可

2

【詳解】因?yàn)?=1,an-an_x=T-[n>i）,

所以由累加法可得

"〃=〃]+（%—）+（“3-〃2）++

=1+2°+2、+2/-2

1-2

=2+2x07-1）

=2"T

當(dāng)〃=1時(shí)，/=1符合上式，所以%=2-,

所以S=I'。一=2"一1，⑸=2*\

"1-2

（2+A）（l+S?）log2a2?

2-1

=（2+2）（l+2"-l）log22"

=（2+2）x2"x（2w-l）

因?yàn)椴坏仁剑?+4。+5“）壯2%>/恒成立，即（2+%）x2"x（2"-l）>/恒成立,

即2+人春可刁恒成立’

又2〃-121,所以

、i4°n2n22n1

當(dāng)">4時(shí)’"<2",AJ2BX（2W-1）<2nx7<2"x7=7）

上,n2_9_9

當(dāng)"=3時(shí)，—77TV=7~~,

2"x（2n-l）8x540

,n241

當(dāng)〃=2時(shí)’2"x（2"l）=而=1

試卷第10頁(yè)，共24頁(yè)

,1/11

當(dāng)7T時(shí)’2隈(2-1)=西=展

所以當(dāng)”=1時(shí)，不等式右邊取得最大值

一13

所以2+2>不，解得4>-不，

2,乙

故答案為：

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

(1)對(duì)于形如aa-4T=2"-2("22)這種遞推關(guān)系的數(shù)列可用累加法求通項(xiàng)；

(2)對(duì)于含參數(shù)的數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題可采用分離常數(shù)后求最值來(lái)求參數(shù)的范圍，

有時(shí)需要進(jìn)行簡(jiǎn)單的放縮比求導(dǎo)更簡(jiǎn)單.

16.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載：斜解立方，得兩塹堵.其意思是：一個(gè)長(zhǎng)

方體沿對(duì)角面一分為二，得到兩個(gè)一模一樣的塹堵.如圖，在長(zhǎng)方體ABC。-A4C0中，

AB=3,BC=4,M=5,將長(zhǎng)方體ABCD-&耳￡〃沿平面ABC.D,一分為二，得到塹

i^BCQ-ADD,,下列結(jié)論正確的序號(hào)為

①點(diǎn)c到平面A2G2的距離等于噂L

41

③塹堵BCC「AOQ外接球的表面積為100兀；

④塹堵BCC「ADR沒(méi)有內(nèi)切球.

【答案】①④

【分析】

對(duì)于①，直接通過(guò)等體積法求解；對(duì)于②，選擇合適的兩組邊并計(jì)算其夾角的正弦值即

可；對(duì)于③，直接構(gòu)造出球心即可確定外接球的半徑，從而計(jì)算出表面積；對(duì)于④，假

設(shè)內(nèi)切球存在，然后推出矛盾，即可說(shuō)明內(nèi)切球不存在.

【詳解】如圖所示:

由于A3垂直于平面BCC由，GB在平面BCC4內(nèi)，所以

而AB=DC=D￡,所以有平行四邊形A3G，，從而四邊形ABC1，是矩形.

對(duì)于①，由于四面體A8CG的體積V=印忸C|1|44j=；xgx3x4卜5=10,

同時(shí)忸^\BCf+\CCf=16+25=41,

所以忸Cj=而，這表明矩形ABC】A的面積為?忸G|=3回，

從而三角形48G的面積S=生電.

2

設(shè)點(diǎn)C到平面ABG2的距離為〃，則有V=；Sh,

__3V_3-10_20A/41

從而z―3回一41，①正確；

2

對(duì)于②，由于GBLAB，CBVAB,A3在平面ASCD內(nèi)，

所以GB與平面A3C。所成角的正弦值為sinNQBC=義=￡==孚，②錯(cuò)誤;

試卷第12頁(yè)，共24頁(yè)

對(duì)于③，記長(zhǎng)方體ABCD-A4的中心為0,

則。到長(zhǎng)方體的每個(gè)頂點(diǎn)的距離都是體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即

,J9+16+25=里.

22

故以。為球心，半徑為逆的球同時(shí)經(jīng)過(guò)塹堵BCq-ADR的每個(gè)頂點(diǎn),

2

故是塹堵BCC「ADR的外接球,

從而塹堵BCC,-ADD,的外接球表面積S=4兀=50兀③錯(cuò)誤;

對(duì)于④，假設(shè)塹堵BCC「AD?有內(nèi)切球，設(shè)該內(nèi)切球的球心為/,半徑為廠,

則/在塹堵BCC「ADD,內(nèi)部，且到塹堵BCC「ADR的每個(gè)面的距離都是r.

所以塹堵BCG-ADR的體積等于四棱錐/-ABC。、四棱錐/-A^GA、三棱錐

I-BCG和三棱錐I-ADD,、四棱錐/-CDD￡的體積之和,

記矩形A5CD、矩形ABCQ、三角形BCG和三角形矩形CDQG的面積分別為

Sl9S2,S3,S4,S5,

貝I]S[=3x4=12,s?=3x向=3屈,S3=1x4x5=10,S4=1x4x5=10,

S5=3x5=15.

「

同時(shí)，塹堵BCCADD,是對(duì)長(zhǎng)方體ABCD-\B}CXDX一分為二得到的,

故塹堵BCq-ADR的體積是長(zhǎng)方體ABCD-A4CR的一半,

從而塹堵BCC「ADD,的體積%=gx3x4x5=30,這就說(shuō)明:

)⑸+S2+S3+S4+S5)

|rS1+|rS2+|rS3+|rS4+|rS5

r~~j-1

§(H+s?+邑+邑+&)§(E+邑+邑++S5)

%3%90

4+S2+S3+S4+S547+3歷?

1(s1+s2+s3+s4+s5)

但是I到平面BCCt和平面ADD,的距離相等，且平面BCQ和平面ADD,是長(zhǎng)方體

ABCD-^QD,的一組對(duì)面，

故它們平行，且距離為|AB|=3.

所以I到平面BCC,和平面ADD,的距離都等于平面BCCt和平面ADD,距離的一半，

3

從而，=彳.

這就導(dǎo)致了矛盾，所以塹堵BCG-AD，不存在內(nèi)切球，④正確.

故答案為：①④.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：判斷④我們還可以這么思考：如果存在內(nèi)切球，那么內(nèi)切球的最大

圓面在側(cè)面三角形BCG內(nèi)的投影為三角形BCG的內(nèi)切圓，故幾何體是否存在內(nèi)切球等

價(jià)于三角形BCq內(nèi)切圓的半徑與深是否相等.

三、解答題

17.已知.ASC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且過(guò)鳥(niǎo)+理勺=6cosC.

sinBsinA

⑴證明：a2+2b2=3c2;

⑵若c=7,當(dāng)C取最大值時(shí)，求，ABC的面積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵吟

【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化角為邊即可證明；

（2）利用cosC=:[學(xué)+2],借助基本不等式得到C取最大值時(shí)，cosC=變，求出

ba）3

的值，進(jìn)而得到，ABC的面積.

【詳解】（1）因?yàn)?.+1~-=6cosC,

sinBsmA

所

以b

2<一7

bH—=6cosC,

a

所222

以b（a+b-c

2?一

b

a2ab

化簡(jiǎn)得"+2/=302.

當(dāng)且僅當(dāng)學(xué)=2,即b=0a時(shí)等號(hào)成立，即C取最大值，

ba

BPcosC=@+"----—，又b=y[2a，c=V?，sinC=V1-cos2C=,

3lab3

nnV105,7^5

即a---------，b----------，

55

試卷第14頁(yè)，共24頁(yè)

所以SABC」倉(cāng)電叵叵？①里

255310

18.某公司自去年2月份某項(xiàng)技術(shù)突破以后，生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量得到改進(jìn)與提升，經(jīng)過(guò)一

年來(lái)的市場(chǎng)檢驗(yàn)，信譽(yù)越來(lái)越好，因此今年以來(lái)產(chǎn)品的市場(chǎng)份額明顯提高，業(yè)務(wù)訂單量

(2)建立了關(guān)于f的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司2024年3月份接到的訂單數(shù)量；

(3)為進(jìn)一步拓展市場(chǎng)，該公司適時(shí)召開(kāi)了一次產(chǎn)品觀摩與宣傳會(huì)，在所有參會(huì)人員(人

數(shù)很多)中隨機(jī)抽取部分參會(huì)人員進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，其中評(píng)價(jià)“產(chǎn)品質(zhì)量很好”的占50%,

“質(zhì)量良好”、“質(zhì)量還需改進(jìn)”的分別各占30%,20%,然后在所有參會(huì)人員中隨機(jī)抽取

5人作為幸運(yùn)者贈(zèng)送禮品，記抽取的5人中評(píng)價(jià)“產(chǎn)品質(zhì)量很好”的人數(shù)為隨機(jī)變量X,

求X的分布列與期望.

參考數(shù)據(jù)：E(%-y)2=2.6,'(4一磯％7)=8.4,718^2?4.27.

i=\i=l

【答案】(1)訂單量y與f的線性相關(guān)性較強(qiáng)；

(2)y=0.3尤+4.6,7.6萬(wàn)件；

(3)分布列見(jiàn)解析，期望為g.

【分析】

(1)根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式及表格代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可判定;

(2)根據(jù)最小二乘法計(jì)算即可得回歸方程，代入t=10即可預(yù)測(cè)估計(jì);

(3)根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列與期望公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)由表格可知

1+2+3+4+5+6+74.7+5.3+5.6+5.9+6.1+6.4+6.6

=5.8,

77

￡&H=28,

i=l

8.44.2cru

所以「=i=li=b------>0.75

718.2x44.27

即訂單量y與/的線性相關(guān)性較強(qiáng)；

.84

(2)結(jié)合數(shù)據(jù)及(1)可知：b=上-----------------=-=0.3,

》—)228

4=1

則6=$—?dú)w=5.8-0.3x4=46，

所以y關(guān)于f的線性回歸方程為：y=0.3x+4.6,

顯然f=10ny=7.6,即預(yù)測(cè)該公司2024年3月份接到的訂單數(shù)量為7.6萬(wàn)件；

(3)易知X=0,1,2,3,4,5,

5

1

p(x=o)=建,尸(x=l)=c；

2324卷

3

1010

尸(X=2)=C1-1尸(X=3)=C；

3232

1

尸(X=4)=C1-11=1，P(X=5)=C；

32

分別列表如下:

則E(X)=(l+4)￡+(2+3)55805

X-------1-------二

1632322

19.如圖，圓柱。。的軸截面488是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)P在底面圓。上，BF=2，

點(diǎn)G在線段上運(yùn)動(dòng).

試卷第16頁(yè)，共24頁(yè)

⑴當(dāng)QG〃平面0A尸時(shí)，求線段。6的長(zhǎng)度；

（2）設(shè)PG=4EB（04X41）,當(dāng)0Q與平面D4尸所成角的正弦值為叵時(shí)，求2的值.

86

【答案】（1）M

⑵"I或g

【分析】

（1）利用線面平行當(dāng)。G〃平面D4尸時(shí)，找到G,Q兩點(diǎn)重合，再建系后利用空間兩點(diǎn)

間距離公式求出線段的長(zhǎng)度即可；

（2）建系后找到面ZMF的法向量=若,0）和昶=（1+4后-唐,-4）,代入空

間向量法求線面角的公式，解出4值即可.

z

【詳解】（1）

取的中點(diǎn)P,Q,連接

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為邊長(zhǎng)是4的正方形，所以尸0〃尸。=2,

所以AB//CD,所以。Q//PQ,DOl=PQ,四邊形為平行四邊形,

所以「。//。①，

因?yàn)镻Z）u面D4尸，尸。//。1。且。衛(wèi)不在平面八AF內(nèi),

所以。?！鍰4尸，

所以當(dāng)G,Q兩點(diǎn)重合時(shí)，QG〃面麗,

因?yàn)椤Ｈ?，面ARE,

可以以AB,。。為無(wú),z軸，建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系,

所以3（2,0,0）,3尸=2,鉆=4,

,3J3）

則方（1,-君,0）

,G—,——,0,Ox（0,0,4）,

\7

2

Ofi=+42=719.

（2）設(shè)G（x,y,0）,

試卷第18頁(yè)，共24頁(yè)

FB=(l,V3,0),FG=(x-l,y+V3,0),

因?yàn)镕G=XF8(OV/IW1),則G(l+/L,8-g,0),O|G=(l+4&-W,-4),

由直徑對(duì)應(yīng)的圓周角為直角，易得族_1面八4尸，所以面ZM尸的法向量陽(yáng)=(1,也,。)，

設(shè)QG與平面D4尸所成角為。，則

|1+X+3/1—3|143

2X^(1+2)2+(A/32-A/3)2+4286'

化簡(jiǎn)可得9%一94+2=0,解得彳=：2或，1

20.在平面直角坐標(biāo)系元0y中，已知?jiǎng)訄AM過(guò)點(diǎn)(1,0),且與直線尸-1相切.

(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)A(l，2)作斜率分別為左，◎的直線A3,AD,與C分別交于點(diǎn)2,D,當(dāng)直線3。

恒過(guò)定點(diǎn)(TQ)時(shí),證明：…2=2.

【答案】⑴/=4x

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】

(1)由兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合題意列方程化簡(jiǎn)可得；

(2)設(shè)直線8。的斜率為左,由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線8。的方程為丁=左(％+1),直曲聯(lián)立，

得到韋達(dá)定理；再根據(jù)斜率的定義用民。兩點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)出斜率K，k2,把韋達(dá)定理代入后

化簡(jiǎn)可得.

【詳解】(1)設(shè)M(x,y),由題意可知,(x—iy+V=|x+l|,

兩邊平方后化簡(jiǎn)可得y2=4x,

所以動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程為V=4x.

（2）

證明：由題意可知直線3。的斜率存在且不為零，設(shè)為人,

則直線8D的方程為3=左(工+1),同時(shí)設(shè)3(%,%),￡)(■%%)，

聯(lián)立［=：￡*°，消去>可得廿￡+(2左2-4卜+/=0,

A=（2）t2-4）2-4^4=-16）t2+16>0,

2k2-47y—27%—2

斯馬=又/—

石+%2=----記一1'

所以

［上（演）］（冗2）［（尤2）］（玉）2（玉+%2）—左+

%—2?%-2+1-2-1+:+1—2—12fcxM—224

k]+k2~

%—1%2—1再入2一（石+%2）+1%％2一（再+%2）+1

2P-4。/2人之一4

2Z+2x4.4-2Z+42x+2

代入韋達(dá)定理后化簡(jiǎn)可得--------單----------=------2=2，

,2/4,2左2-4c

所以%+履=2.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)求軌跡方程時(shí)可設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(毛力，常用利用兩點(diǎn)間距離公

式化簡(jiǎn)可得；(2)求斜率之和為定值可先用韋達(dá)定理表示出斜率之和，再代入斜率的定

義式化簡(jiǎn).

21.已知函數(shù)=——lnx+a.

⑴若〃x)WO,求。的取值范圍；

⑵若〃尤)有兩個(gè)零點(diǎn)不，巧，證明：尤「無(wú)2<1.

【答案】⑴

(2)證明見(jiàn)解析

試卷第20頁(yè)，共24頁(yè)

【分析】

（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，即可求解;

（2）“X）的零點(diǎn)滿足0<%<1<芍，要證尤1?尤2<1，即證了2<,，通過(guò)設(shè)函數(shù)

F(x)=然后求導(dǎo)判斷函數(shù)"X）在（0,1）上的單調(diào)性，可得>/

結(jié)合函數(shù)”X）在（L"）的單調(diào)性即可證明.

【詳解】（1）由題意可知“X）的定義域?yàn)椋?,+8）,且

1xe-e'1（xf（x—e）

對(duì)于y=x-e*,有y'=l-e*<0在（0,+e）上恒成立，即丫=尤-/遞減，

所以x-e*<0-e°=-l,即尤-ero在（0,+e）上恒成立，

當(dāng)xe（O,l）時(shí)，用x）>0,當(dāng)xe（l,+<?）時(shí)，/,（x）<0,

所以/（元）在（。,1）上單調(diào)遞增,在（1,+?>）時(shí)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/⑺有最大值，f（l）=l-e+a,所以1-e+aVO,

即aVe-1,所以。的取值范圍為

（2）不妨設(shè)再<々，由（1）知0<占<1<%,即一>1,令F（xJ=/（無(wú)J-/

x1ex]ex]-

構(gòu)造/(%)=x--e---Inx----F-j-+ln—=x-----21nx----Fxe》,且xw(0,1),

x￡x

x

…，/\ex(x-l)2111

所以/(x)=l————+—+ex+xex

XXX

x2-e%(x-l)-2x+l+x2ex-xex(x-1)-e%(x-1)+xex(.x-1)

令g(x)=l-e、+x1,則g'(x)=l-e*+ex+xe"l-ex+e%

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g<x)<0,g(x)遞減,故g(x)>g⑴=0,

所以xe(O,l)時(shí)F(x)<0,尸(x)單調(diào)遞減,故尸(x)>尸⑴,

即在(。,1)上/(x)_/(J>P(l)=O,所以〃占>0,

X/(x,)=/(x2)=0,所以/(馬)_/1}]>0,即

由(1)知/(X)在(1,+?2)上單調(diào)遞減，所以尤2<工，故士?無(wú)2<1得證.

[工一t

22.在平面直角坐標(biāo)xOy中，直線/的參數(shù)方程為Jy=1+R(f為參數(shù))，以。為極點(diǎn),

x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕2cos26=4.

(1)求直線/的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)試討論直線/與曲線C公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】