《8.6空間直線(xiàn)、平面的垂直》復(fù)習(xí)教案與課后作業(yè)

《8.6空間直線(xiàn)、平面的垂直》復(fù)習(xí)教案8.6.1直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解空間中兩條直線(xiàn)的三種位置關(guān)系，理解異面直線(xiàn)的定義，會(huì)用平面襯托來(lái)畫(huà)異面直線(xiàn)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.會(huì)用異面直線(xiàn)所成的角的定義找出或作出異面直線(xiàn)所成的角，會(huì)在直角三角形中求簡(jiǎn)單異面直線(xiàn)所成的角．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))1.通過(guò)實(shí)物觀察、抽象出空間兩直線(xiàn)位置關(guān)系、異面直線(xiàn)概念及夾角的定義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).2.借助異面直線(xiàn)所成角及垂直關(guān)系的證明，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).【自主預(yù)習(xí)】異面直線(xiàn)所成的角(1)定義：已知兩條異面直線(xiàn)a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角)．(2)異面直線(xiàn)所成的角θ的取值范圍：0°<θ≤90°.(3)當(dāng)θ＝90°時(shí)，a與b互相垂直，記作a⊥b.1．若空間兩條直線(xiàn)a和b沒(méi)有公共點(diǎn)，則a與b的位置關(guān)系是()A．共面 B．平行C．異面 D．平行或異面D[若直線(xiàn)a和b共面，則由題意可知a∥b；若a和b不共面，則由題意可知a與b是異面直線(xiàn)．]2．如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱C1C與BC的中點(diǎn)，則直線(xiàn)EF與直線(xiàn)D1C所成的角的大小是．60°[連結(jié)BC1，A1B(圖略)．∵BC1∥EF，A1B∥CD1，則∠A1BC1即為EF與D1C所成的角．又∵∠A1BC1為60°，∴直線(xiàn)EF與D1C所成的角為60°.]3．已知正方體ABCD-A′B′C′D′中：(1)BC′與CD′所成的角為；(2)AD與BC′所成的角為．(1)60°(2)45°[(1)連接BA′，則BA′∥CD′，連接A′C′，則∠A′BC′就是BC′與CD′所成的角．由△A′BC′為正三角形，知∠A′BC′＝60°，(2)由AD∥BC，知AD與BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.]【合作探究】異面直線(xiàn)所成的角[探究問(wèn)題]1．在平面內(nèi)，兩條直線(xiàn)相交成四個(gè)角，其中不大于90度的角稱(chēng)為它們的夾角，用以刻畫(huà)兩直線(xiàn)的錯(cuò)開(kāi)程度，如圖在正方體ABCD-EFGH中，異面直線(xiàn)AB與HF的錯(cuò)開(kāi)程度怎樣來(lái)刻畫(huà)？這種刻畫(huà)應(yīng)用的是什么數(shù)學(xué)思想？[提示]平移轉(zhuǎn)化成相交直線(xiàn)所成的角，由于AB∥EF，可用EF與HF的夾角來(lái)刻畫(huà)．應(yīng)用的是數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)換思想，即化空間圖形問(wèn)題為平面圖形問(wèn)題．2．異面直線(xiàn)所成角的范圍如何？什么是異面直線(xiàn)垂直？[提示]異面直線(xiàn)所成角的范圍為(0°，90°]，如果兩條異面直線(xiàn)a，b所成的角為直角，我們就稱(chēng)這兩條直線(xiàn)互相垂直，記為a⊥b.【例1】如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D.(1)哪些棱所在直線(xiàn)與直線(xiàn)BA′是異面直線(xiàn)？(2)直線(xiàn)BA′和CC′的夾角是多少？(3)哪些棱所在的直線(xiàn)與直線(xiàn)AA′垂直？[解](1)由異面直線(xiàn)的定義可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直線(xiàn)分別與直線(xiàn)BA′是異面直線(xiàn)．(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′為異面直線(xiàn)BA′與CC′的夾角，∠B′BA′＝45°，所以直線(xiàn)BA′和CC′的夾角為45°.(3)直線(xiàn)AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分別與直線(xiàn)AA′垂直．“等角定理”為兩條異面直線(xiàn)所成的角的定義提供了可能性與唯一性，即過(guò)空間任一點(diǎn)，作兩條直線(xiàn)分別平行于兩條異面直線(xiàn)，它們所成的銳角(或直角)都是相等的，而與所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)．1．如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2eq\r(3)，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？[解](1)因?yàn)锽C∥B′C′，所以∠B′C′A′是異面直線(xiàn)A′C′與BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2eq\r(3)，B′C′＝2eq\r(3)，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因?yàn)锳A′∥BB′，所以∠B′BC′是異面直線(xiàn)AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2eq\r(3)，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，異面直線(xiàn)AA′與BC′所成的角為60°.直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的證明【例2】如圖所示，正方體AC1中，E、F分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，求證：DB1⊥EF.[解]法一：如圖所示，連接A1C1，B1D1，并設(shè)它們相交于點(diǎn)O，取DD1的中點(diǎn)G，連接OG，A1G，C1G.則OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1為異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點(diǎn)，∴GO⊥A1C1.∴異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角為90°.∴DB1⊥EF.法二：如圖所示，連接A1D，取A1D的中點(diǎn)H，連接HE，則HEeq\f(1,2)DB1.于是∠HEF為所求異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．連接HF，設(shè)AA1＝1，則EF＝eq\f(\r(2),2)，HE＝eq\f(\r(3),2)，取A1D1的中點(diǎn)I，連接HI，IF，則HI⊥IF.∴HF2＝HI2＋I(xiàn)F2＝eq\f(5,4).∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.∴異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角為90°.∴DB1⊥EF.證明兩條異面直線(xiàn)垂直的步驟：(1)恰當(dāng)選點(diǎn)，用平移法構(gòu)造出一個(gè)相交角．(2)證明這個(gè)角就是異面直線(xiàn)所成的角(或補(bǔ)角)．(3)把相交角放在平面圖形中，一般是放在三角形中，通過(guò)解三角形求出所構(gòu)造的角的度數(shù)．(4)給出結(jié)論：若求出的平面角為直角，垂直得證．2．空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝2，GE＝eq\r(5)，EF＝3.求證：AC⊥BD.[證明]∵點(diǎn)G，E分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴GE∥BD，同理GF∥AC.∴∠FGE或∠FGE的補(bǔ)角是異面直線(xiàn)AC與BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝eq\r(5)，EF＝3，滿(mǎn)足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即異面直線(xiàn)AC與BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.1.在研究異面直線(xiàn)所成角的大小時(shí)，通常把兩條異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)所成的角．將空間問(wèn)題向平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化，這是我們學(xué)習(xí)立體幾何的一條重要的思維途徑．需要強(qiáng)調(diào)的是，兩條異面直線(xiàn)所成角的范圍為(0°，90°]，解題時(shí)經(jīng)常結(jié)合這一點(diǎn)去求異面直線(xiàn)所成角的大小．2．作異面直線(xiàn)所成的角．可通過(guò)多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：①直接平移法(可利用圖中已有的平行線(xiàn))；②中位線(xiàn)平移法；③補(bǔ)形平移法(在已知圖形中，補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行線(xiàn))．【課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)】1．分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)間的位置關(guān)系是()A．異面 B．平行C．相交 D．以上都有可能D[當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，這兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系為平行或異面，當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，這兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系有可能相交或異面．]2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、AB、BB1、B1C1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)EF與GH所成的角等于()A．45° B．60°C．90° D．120°B[取A1B1中點(diǎn)I，連接IG、IH，則EF綊IG.易知IG，IH，HG相等，則△HGI為等邊三角形，則IG與GH所成的角為60°，即EF與GH所成的角為60°.]3．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BC1所成角的大小是．60°[連接AD1，則AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其補(bǔ)角)就是AC與BC1所成的角，連接CD1，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC與BC1所成的角為60°.]4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四邊形，則PA與CD所成的角是．90°[∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠PAB是PA與CD所成的角．又∵PA⊥AB，∴∠PAB＝90°.]5．如圖所示，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，D、E分別是VB、VC的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)DE與AB所成的角．[解]因?yàn)镈、E分別是VB、VC的中點(diǎn)，所以BC∥DE，因此∠ABC是異面直線(xiàn)DE與AB所成的角，又因?yàn)锳B是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，所以△ABC是以∠ACB為直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故異面直線(xiàn)DE與AB所成的角為45°.《8.6.1直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直》課后作業(yè)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．已知直線(xiàn)a，b，c，下列三個(gè)命題：①若a與b異面，b與c異面，則a與c異面；②若a∥b，a和c相交，則b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，則b∥c.其中，正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3A[①不正確如圖；②不正確，有可能相交也有可能異面；③不正確．可能平行，可能相交也可能異面．]2．如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線(xiàn)A1B與AD1所成角為()A．30° B．45°C．60° D．90°C[連接BC1、A1C1(圖略)，∵BC1∥AD1，∴異面直線(xiàn)A1B與AD1所成的角即為直線(xiàn)A1B與BC1所成的角．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.故異面直線(xiàn)A1B與AD1所成角為60°.]3．如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是()A．CC1與B1E是異面直線(xiàn)B．C1C與AE共面C．AE，B1C1是異面直線(xiàn)D．AE與B1C1所成的角為60°C[由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，所以A錯(cuò)誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn)，點(diǎn)E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線(xiàn)，B錯(cuò)誤；同理AE與B1C1是異面直線(xiàn)，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC中點(diǎn)，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，D錯(cuò)誤．綜上所述，故選C.]4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，面對(duì)角線(xiàn)中與AD1成60°的有()A．4條 B．6條C．8條 D．10條C[如圖所示在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△AD1B1是等邊三角形，故B1D1，AB1與AD1所成的角是60°，同理△ACD1也是等邊三角形，AC，CD1與AD1也成60°角，則在面對(duì)角線(xiàn)中，與AC，CD1，B1D1，AB1分別平行的對(duì)角線(xiàn)與AD1也成60°角．]5．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，則AB1與BC1所成的角的大小是()A．60° B．75°C．90° D．105°C[設(shè)BB1＝1，如圖，延長(zhǎng)CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，連接B1C2，則B1C2∥BC1，所以∠AB1C2為AB1與BC1所成的角(或其補(bǔ)角)．連接AC2，因?yàn)锳B1＝eq\r(3)，B1C2＝eq\r(3)，AC2＝eq\r(6)，所以ACeq\o\al(2,2)＝ABeq\o\al(2,1)＋B1Ceq\o\al(2,2)，則∠AB1C2＝90°.]二、填空題6．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)A1M與DN所成的角的大小是．90°[如圖，過(guò)點(diǎn)M作ME∥DN交CC1于點(diǎn)E，連接A1E，則∠A1ME為異面直線(xiàn)A1M與DN所成的角(或其補(bǔ)角)．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則A1M＝eq\f(3,2)a，ME＝eq\f(\r(5),4)a，A1E＝eq\f(\r(41),4)a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即異面直線(xiàn)A1M與DN所成的角為90°.]7．如圖，空間四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，并且異面直線(xiàn)AC與BD所成的角為90°，則MN等于．5[取AD的中點(diǎn)P，連接PM，PN，則BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即異面直線(xiàn)AC與BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，∴MN＝5.]8．一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線(xiàn)；④MN∥CD.以上結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)為．①③[把正方體平面展開(kāi)圖還原到原來(lái)的正方體，如圖所示，AB⊥EF，EF與MN是異面直線(xiàn)，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．]三、解答題9．如圖所示，空間四邊形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，求EF和AB所成的角．[解]如圖所示，取BD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.∵E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，AB＝CD，∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝eq\f(1,2)CD，GF＝eq\f(1,2)AB.∴∠GFE就是EF與AB所成的角，EG＝GF.∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.∴△EFG為等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，即EF與AB所成的角為45°.10．如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F(xiàn)分別是BD1和AD中點(diǎn)．求證：CD1⊥EF.[解]取CD1的中點(diǎn)G，連接EG，DG，∵E是BD1的中點(diǎn)，∴EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC.∵F是AD的中點(diǎn)，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝eq\f(1,2)BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四邊形EFDG是平行四邊形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其補(bǔ)角)是異面直線(xiàn)CD1與EF所成的角．又∵A1A＝AB，∴四邊形ABB1A1，四邊形CDD1C1都是正方形．且G為CD1的中點(diǎn)，∴DG⊥CD1.∴∠D1GD＝90°，∴異面直線(xiàn)CD1，EF所成的角為90°.∴CD1⊥EF.[等級(jí)過(guò)關(guān)練]1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線(xiàn)段AD1上運(yùn)動(dòng)，則異面直線(xiàn)CP與BA1所成的角θ的取值范圍是()A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°D[如圖，連接CD1，AC，因?yàn)镃D1∥BA1，所以CP與BA1所成的角就是CP與CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.當(dāng)點(diǎn)P從D1向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠D1CP從0°增大到60°，但當(dāng)點(diǎn)P與D1重合時(shí)，CP∥BA1，與CP與BA1為異面直線(xiàn)矛盾，所以異面直線(xiàn)CP與BA1所成的角θ的取值范圍是0°<θ≤60°.]2．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)EF與B1D1所成的角為．60°[連接BC1，AD1，AB1，則EF為△BCC1的中位線(xiàn)，∴EF∥BC1.又∵AB綊CD綊C1D1，∴四邊形ABC1D1為平行四邊形．∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1.∴∠AD1B1為異面直線(xiàn)EF和B1D1所成的角或其補(bǔ)角．在△AB1D1中，易知AB1＝B1D1＝AD1，∴△AB1D1為正三角形，∴∠AD1B1＝60°.∴EF與B1D1所成的角為60°.]8.6.2直線(xiàn)與平面垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解直線(xiàn)與平面垂直的定義．(重點(diǎn))2.理解直線(xiàn)與平面垂直的判定定理，并會(huì)用其判斷直線(xiàn)與平面垂直．(難點(diǎn))3.理解直線(xiàn)與平面所成角的概念，并能解決簡(jiǎn)單的線(xiàn)面角問(wèn)題．(易錯(cuò)點(diǎn))4.能利用直線(xiàn)與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明．(重點(diǎn))1.通過(guò)學(xué)習(xí)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).2.通過(guò)學(xué)習(xí)直線(xiàn)與平面所成的角，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【自主預(yù)習(xí)】1．直線(xiàn)與平面垂直定義如果直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，我們就說(shuō)直線(xiàn)l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線(xiàn)l叫做平面α的垂線(xiàn)，平面α叫做直線(xiàn)l的垂面．它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足圖示畫(huà)法畫(huà)直線(xiàn)與平面垂直時(shí)，通常把直線(xiàn)畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直2.直線(xiàn)與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，那么該直線(xiàn)與此平面垂直符號(hào)語(yǔ)言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α圖形語(yǔ)言3.直線(xiàn)和平面所成的角有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線(xiàn)一條直線(xiàn)l與一個(gè)平面α相交，但不與這個(gè)平面α垂直，圖中直線(xiàn)PA斜足斜線(xiàn)和平面的交點(diǎn)，圖中點(diǎn)A射影過(guò)斜線(xiàn)上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線(xiàn)PO，過(guò)垂足O和斜足A的直線(xiàn)AO叫做斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影直線(xiàn)與平面所成的角定義：平面的一條斜線(xiàn)和它在平面上的射影所成的角規(guī)定：一條直線(xiàn)垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線(xiàn)和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角取值范圍[0°，90°]思考1：直線(xiàn)與平面垂直定義中的關(guān)鍵詞“任意一條直線(xiàn)”是否可以換成“所有直線(xiàn)”“無(wú)數(shù)條直線(xiàn)”？[提示]定義中的“任意一條直線(xiàn)”與“所有直線(xiàn)”是等效的，但是不可說(shuō)成“無(wú)數(shù)條直線(xiàn)”，因?yàn)橐粭l直線(xiàn)與某平面內(nèi)無(wú)數(shù)條平行直線(xiàn)垂直，該直線(xiàn)與這個(gè)平面不一定垂直．4．直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行符號(hào)語(yǔ)言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語(yǔ)言作用①線(xiàn)面垂直?線(xiàn)線(xiàn)平行②作平行線(xiàn)思考2：過(guò)一點(diǎn)有幾條直線(xiàn)與已知平面垂直？[提示]有且僅有一條．假設(shè)過(guò)一點(diǎn)有兩條直線(xiàn)與已知平面垂直，由直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理可得這兩條直線(xiàn)平行，即無(wú)公共點(diǎn)，這與過(guò)同一點(diǎn)相矛盾，故只有一條直線(xiàn)．1．若三條直線(xiàn)OA，OB，OC兩兩垂直，則直線(xiàn)OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABCC[由線(xiàn)面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]2．已知直線(xiàn)a，b，平面α，且a⊥α，下列條件中，能推出a∥b的是()A．b∥α B．b?αC．b⊥α D．b與α相交C[由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可知，當(dāng)b⊥α，a⊥α?xí)r，a∥b.]3．一條直線(xiàn)和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則這條直線(xiàn)和三角形的第三邊的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C.相交不垂直 D.不確定B[一條直線(xiàn)和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則其垂直于三角形所在平面，從而垂直第三邊．]4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線(xiàn)AB1與平面ABCD所成的角等于．45°[如圖所示，因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即為AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即為直線(xiàn)AB1與平面ABCD所成的角．由題意知，∠B1AB＝45°，故所求角為45°.]【合作探究】直線(xiàn)與平面垂直的判定【例1】如圖，在三棱錐S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.[證明](1)因?yàn)镾A＝SC，D是AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因?yàn)锳B＝BC，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因?yàn)镾D∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.證線(xiàn)面垂直的方法：(1)線(xiàn)線(xiàn)垂直證明線(xiàn)面垂直：①定義法(不常用，但由線(xiàn)面垂直可得出線(xiàn)線(xiàn)垂直)；②判定定理最常用：要著力尋找平面內(nèi)哪兩條相交直線(xiàn)(有時(shí)作輔助線(xiàn))；結(jié)合平面圖形的性質(zhì)(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線(xiàn)等)及一條直線(xiàn)與平行線(xiàn)中一條垂直，也與另一條垂直等結(jié)論來(lái)論證線(xiàn)線(xiàn)垂直．(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.1．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，垂足為N.求證：AN⊥平面PBM.[證明]設(shè)圓O所在的平面為α，∵PA⊥α，且BM?α，∴PA⊥BM.又∵AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M為圓周上一點(diǎn)，∴AM⊥BM.由于直線(xiàn)PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN?平面PAM，∴BM⊥AN.∴AN與PM、BM兩條相交直線(xiàn)互相垂直．故AN⊥平面PBM.直線(xiàn)與平面所成的角[探究問(wèn)題]1．若圖中的∠POA是斜線(xiàn)PO與平面α所成的角，則需具備哪些條件？[提示]需要PA⊥α，A為垂足，OA為斜線(xiàn)PO的射影，這樣∠POA就是斜線(xiàn)PO與平面α所成的角．2．空間幾何體中，確定線(xiàn)面角的關(guān)鍵是什么？[提示]在空間幾何體中確定線(xiàn)面角時(shí)，過(guò)斜線(xiàn)上一點(diǎn)向平面作垂線(xiàn)，確定垂足位置是關(guān)鍵，垂足確定，則射影確定，線(xiàn)面角確定．【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直線(xiàn)A1C與平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直線(xiàn)A1B與平面BDD1B1所成的角．[證明](1)∵直線(xiàn)A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA為直線(xiàn)A1C與平面ABCD所成的角，設(shè)A1A＝1，則AC＝eq\r(2)，∴tan∠A1CA＝eq\f(\r(2),2).(2)連接A1C1交B1D1于O(見(jiàn)題圖)，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O.∴∠A1BO為直線(xiàn)A1B與平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°，即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.在本例正方體中，若E為棱AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)B1E與平面BB1D1D所成角的正切值．[解]連接AC交BD于點(diǎn)O，過(guò)E作EO1∥AC交BD于點(diǎn)O1，易證AC⊥平面BB1D1D，∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D內(nèi)的射影，∴∠EB1O1為B1E與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，∵E是AB的中點(diǎn)，EO1∥AC，∴O1是BO的中點(diǎn)，∴EO1＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2)a,2)＝eq\f(\r(2)a,4)，B1O1＝eq\r(BO\o\al(2,1)＋BB\o\al(2,1))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,4)))2＋a2)＝eq\f(3\r(2)a,4)，∴tan∠EB1O1＝eq\f(EO1,B1O1)＝eq\f(\f(\r(2)a,4),\f(3\r(2)a,4))＝eq\f(1,3).求斜線(xiàn)與平面所成角的步驟：(1)作圖：作(或找)出斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，作射影要過(guò)斜線(xiàn)上一點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，再過(guò)垂足和斜足作直線(xiàn)，注意斜線(xiàn)上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問(wèn)題中已知量有關(guān)，才能便于計(jì)算．(2)證明：證明某平面角就是斜線(xiàn)與平面所成的角．(3)計(jì)算：通常在垂線(xiàn)段、斜線(xiàn)和射影所組成的直角三角形中計(jì)算．線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例3】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1.[證明]因?yàn)樗倪呅蜛DD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.又因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因?yàn)锳1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因?yàn)镸N⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.證明線(xiàn)線(xiàn)平行常用如下方法：(1)利用線(xiàn)線(xiàn)平行定義：證共面且無(wú)公共點(diǎn)；(2)利用三線(xiàn)平行公理：證兩線(xiàn)同時(shí)平行于第三條直線(xiàn)；(3)利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理：把證線(xiàn)線(xiàn)平行轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)面平行；(4)利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理：把證線(xiàn)線(xiàn)平行轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)面垂直；(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線(xiàn)線(xiàn)平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．2．如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，直線(xiàn)a?β，a⊥AB.求證：a∥l.[證明]因?yàn)镋A⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因?yàn)镋B⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理，得a∥l.1．線(xiàn)線(xiàn)垂直和線(xiàn)面垂直的相互轉(zhuǎn)化：2．證明線(xiàn)面垂直的方法：(1)線(xiàn)面垂直的定義．(2)線(xiàn)面垂直的判定定理．(3)如果兩條平行直線(xiàn)的一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線(xiàn)也垂直于這個(gè)平面．(4)如果一條直線(xiàn)垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面．3．線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)．【課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)】1．直線(xiàn)l⊥平面α，直線(xiàn)m?α，則l與m不可能()A．平行B．相交C．異面D．垂直A[若l∥m，l?α，m?α，則l∥α，這與已知l⊥α矛盾．所以直線(xiàn)l與m不可能平行．]2．垂直于梯形兩腰的直線(xiàn)與梯形所在平面的位置關(guān)系是()A．垂直 B．相交但不垂直C．平行 D．不確定A[因?yàn)樘菪蝺裳谥本€(xiàn)為兩條相交直線(xiàn)，所以由線(xiàn)面垂直的判定定理知，直線(xiàn)與平面垂直．選A.]3．如圖所示，若斜線(xiàn)段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60° B．45°C．30° D．120°A[∠ABO即是斜線(xiàn)AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(1,2)，即∠ABO＝60°.故選A.]4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BC1D.[證明]如圖，連接AC，∴AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A?平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C?平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可證BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.《8.6.2直線(xiàn)與平面垂直》課后作業(yè)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．在圓柱的一個(gè)底面上任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在底面圓周上)，過(guò)該點(diǎn)作另一個(gè)底面的垂線(xiàn)，則這條垂線(xiàn)與圓柱的母線(xiàn)所在直線(xiàn)的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．異面 D．相交或平行B[由于這條垂線(xiàn)與圓柱的母線(xiàn)都垂直于底面，所以它們平行．]2．已知直線(xiàn)a與平面α所成的角為50°，直線(xiàn)b∥a，則b與α所成的角等于()A．40°B．50°C．90°D．150°B[根據(jù)兩條平行直線(xiàn)和同一平面所成的角相等，知b與α所成的角也是50°.]3．直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)垂直，則直線(xiàn)l與平面α的關(guān)系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α內(nèi)D．不能確定D[如下圖所示，直線(xiàn)l和平面α相互平行，或直線(xiàn)l和平面α相互垂直或直線(xiàn)l在平面α內(nèi)都有可能．故選D.]4．如圖所示，α∩β＝l，點(diǎn)A，C∈α，點(diǎn)B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線(xiàn)l與直線(xiàn)AC的關(guān)系是()A．異面B．平行C．垂直 D．不確定C[∵BA⊥α，α∩β＝l，l?α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l(xiāng)⊥平面ABC.∵AC?平面ABC，∴l(xiāng)⊥AC.]5．三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，則頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的()A．內(nèi)心B．重心C．外心 D．垂心C[如圖，設(shè)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為O，連接OA，OB，OC.∵三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，∴PA＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故頂點(diǎn)P在底面的射影為底面三角形的外心．]二、填空題6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如圖所示，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝.6[因?yàn)锳F⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四邊形，所以EF＝AD＝6.]7．如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此圖形中有個(gè)直角三角形．4[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.綜上知：△ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4個(gè)．]8．如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點(diǎn)，且∠ABC＝30°，PA＝AB，則直線(xiàn)PC與平面ABC所成角的正切值為．2[因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以AC為斜線(xiàn)PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)PA，所以tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝2.]三、解答題9．如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.求證：AE⊥BE.[證明]∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE?平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE?平面BCE，∴AE⊥BE.10．如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F(xiàn)分別是PA和AB的中點(diǎn)，求PA與平面PBC所成角的正弦值．[解]過(guò)A作AH⊥BC于H，連接PH，∵PC⊥平面ABCD，AH?平面ABCD，∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，∴AH⊥平面PBC.∴∠APH為PA與平面PBC所成的角，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形，又AH⊥BC，∴H為BC中點(diǎn)，AH＝eq\r(3)，∵PC＝AC＝2，∴PA＝2eq\r(2)，∴sin∠APH＝eq\f(AH,PA)＝eq\f(\r(6),4).故PA與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(\r(6),4).[等級(jí)過(guò)關(guān)練]1．空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對(duì)角線(xiàn)AC、BD的關(guān)系是()A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交C[取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO，則BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD、AC異面，∴選C.]2．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB，BC，CD，DA的長(zhǎng)和兩條對(duì)角線(xiàn)AC，BD都相等，且E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，則直線(xiàn)BE和平面ADF所成的角的正弦值為．eq\f(\r(3),3)[連接EF，根據(jù)題意，BC⊥AF，BC⊥DF.∵AF∩DF＝F，∴BC⊥平面ADF.∴∠BEF是直線(xiàn)BE和平面ADF所成的角，設(shè)BC＝2，則BF＝1，BE＝eq\r(3)，∴sin∠BEF＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).]8.6.3平面與平面垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解二面角的有關(guān)概念，會(huì)作二面角的平面角，能求簡(jiǎn)單二面角平面角的大?。?難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))2.了解面面垂直的定義，掌握面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，初步學(xué)會(huì)用定理證明垂直關(guān)系．(重點(diǎn))3.熟悉線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直的轉(zhuǎn)化．(重點(diǎn))1.通過(guò)學(xué)習(xí)平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).2.通過(guò)學(xué)習(xí)二面角，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【自主預(yù)習(xí)】1．二面角的概念(1)定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形．(2)相關(guān)概念：①這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，②兩個(gè)半平面叫做二面角的面．(3)畫(huà)法：(4)記法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α-l-β的平面角是∠AOB.(6)平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.思考1：二面角的平面角的大小，是否與角的頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)？[提示]無(wú)關(guān)．如圖，根據(jù)等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小與角的頂點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，只與二面角的大小有關(guān)．2．平面與平面垂直(1)定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)畫(huà)法：(3)記作：α⊥β.(4)判定定理：文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面垂直圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言l⊥α，l?β?α⊥β思考2：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)都垂直于另一個(gè)平面嗎？[提示]不一定，只有在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)才垂直于另一個(gè)平面．3．平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言?xún)蓚€(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線(xiàn)垂直于這兩個(gè)平面的交線(xiàn)，那么這條直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語(yǔ)言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a?α,a⊥l))?a⊥β圖形語(yǔ)言作用①面面垂直?線(xiàn)面垂直②作面的垂線(xiàn)思考3：如果α⊥β，則α內(nèi)的直線(xiàn)必垂直于β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)嗎？[提示]正確．若設(shè)α∩β＝l，a?α，b?β，b⊥l，則a⊥b，故β內(nèi)與b平行的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)均垂直于α內(nèi)的任意直線(xiàn)．1．如圖所示的二面角可記為()A．α-β-lB．M-l-NC．l-M-ND．l-β-αB[根據(jù)二面角的記法規(guī)則可知B正確．]2．已知直線(xiàn)l⊥平面α，則經(jīng)過(guò)l且和α垂直的平面()A．有一個(gè) B．有兩個(gè)C．有無(wú)數(shù)個(gè) D．不存在C[經(jīng)過(guò)l的任一平面都和α垂直．]3．平面α⊥平面β，直線(xiàn)l?α，直線(xiàn)m?β，則直線(xiàn)l，m的位置關(guān)系是．相交、平行或異面[根據(jù)題意，l，m可能相交、平行或異面．]4．如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B-PA-C的大小等于．90°[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小為90°.]【合作探究】二面角的計(jì)算問(wèn)題【例1】如圖，已知三棱錐A-BCD的各棱長(zhǎng)均為2，求二面角A-CD-B的余弦值．[解]如圖，取CD的中點(diǎn)M，連接AM，BM，則AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角的定義可知∠AMB為二面角A-CD-B的平面角．設(shè)點(diǎn)H是△BCD的重心，則AH⊥平面BCD，且點(diǎn)H在BM上．在Rt△AMH中，AM＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，HM＝eq\f(\r(3),2)×2×eq\f(1,3)＝eq\f(\r(3),3)，則cos∠AMB＝eq\f(\f(\r(3),3),\r(3))＝eq\f(1,3)，即二面角的余弦值為eq\f(1,3).1．求二面角大小的步驟(1)找出這個(gè)平面角；(2)證明這個(gè)角是二面角的平面角；(3)作出這個(gè)角所在的三角形，解這個(gè)三角形，求出角的大小．2．確定二面角的平面角的方法：(1)定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過(guò)該點(diǎn)作垂直于棱的射線(xiàn)．(2)垂面法：過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線(xiàn)，這兩條交線(xiàn)所成的角，即為二面角的平面角．1．如圖，AC⊥平面BCD，BD⊥CD,AC＝eq\f(1,2)AD，求平面ABD與平面BCD所成的二面角的大?。甗證明]因?yàn)锳C⊥平面BCD，BD?平面BCD，所以BD⊥AC.又因?yàn)锽D⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面ACD.因?yàn)锳D?平面ACD，所以AD⊥BD，所以∠ADC即為平面ABD與平面BCD所成二面角的平面角．在Rt△ACD中，AC＝eq\f(1,2)AD，所以∠ADC＝30°.平面與平面垂直的判定【例2】如圖所示，在四面體ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求證：平面ABC⊥平面SBC.[證明](1)法一：(利用定義證明)因?yàn)椤螧SA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等邊三角形，則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值為a，則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形．取BC的中點(diǎn)D，如圖所示，連接AD，SD，則AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS為二面角A-BC-S的平面角．在Rt△BSC中，因?yàn)镾B＝SC＝a，所以SD＝eq\f(\r(2),2)a，BD＝eq\f(BC,2)＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ABD中，AD＝eq\f(\r(2),2)a，在△ADS中，因?yàn)镾D2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S為直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.法二：(利用判定定理)因?yàn)镾A＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以點(diǎn)A在平面SBC上的射影為△SBC的外心．因?yàn)椤鱏BC為直角三角形，所以點(diǎn)A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點(diǎn)，所以AD⊥平面SBC.又因?yàn)锳D?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.\證明面面垂直常用的方法：(1)定義法：即說(shuō)明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直，即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直；(3)性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于此平面．2．如圖所示，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點(diǎn)，求證：平面BDE⊥平面ABCD.[證明]連接AC，設(shè)AC∩BD＝O，連接OE.因?yàn)镺為AC中點(diǎn)，E為PA的中點(diǎn)，所以EO是△PAC的中位線(xiàn)，所以EO∥PC.因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因?yàn)镋O?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例3】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.[證明]如圖，在平面PAB內(nèi)，作AD⊥PB于點(diǎn)D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD?平面PAB，∴AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.1．證明或判定線(xiàn)面垂直的常用方法：(1)線(xiàn)面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性質(zhì)定理；(3)若a∥b，a⊥α，則b⊥α(a、b為直線(xiàn)，α為平面)；(4)若a⊥α，α∥β，則a⊥β(a為直線(xiàn)，α，β為平面)；2．兩平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們要將面面垂直轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直，方法是在其中一個(gè)面內(nèi)作(找)與交線(xiàn)垂直的直線(xiàn)．3．如圖，四棱錐V-ABCD的底面是矩形，側(cè)面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求證：平面VBC⊥平面VAC.[證明]∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC?平面ABCD.∴BC⊥平面VAB，又VA?平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA?平面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC.線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面垂直的綜合應(yīng)用[探究問(wèn)題]試總結(jié)線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系．[提示]垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化關(guān)系如下所示：【例4】如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)，求證：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.[思路探究](1)設(shè)出BD，分別求出DE、DA的長(zhǎng)度或證明DM⊥AE，即證DM為AE的中垂線(xiàn)即可．(2)(3)只需證明DM⊥平面ECA即可．[證明](1)設(shè)BD＝a，如圖，作DF∥BC交CE于F，則CF＝DB＝a.因?yàn)镃E⊥平面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC，所以DE＝eq\r(EF2＋DF2)＝eq\r(5)a.又因?yàn)镈B⊥平面ABC，所以DA＝eq\r(DB2＋AB2)＝eq\r(5)a，所以DE＝DA.(2)取CA的中點(diǎn)N，連接MN，BN，則MN綊eq\f(1,2)CE綊DB.所以四邊形MNBD為平行四邊形，所以MD∥BN.又因?yàn)镋C⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.又DE＝DA，M為EA的中點(diǎn)，所以DM⊥AE.所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM?平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.本例條件不變，試求平面ADE與平面ABC所成二面角的大?。甗解]如圖延長(zhǎng)ED交CB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，連接AN，設(shè)BD＝a，由例題知，CE＝AC＝BC＝AB＝2a，在△CEN中，由eq\f(BD,CE)＝eq\f(1,2)知B為CN中點(diǎn)，∴CB＝BN＝2a.∴△ABN中，∠ABN＝120°，∠BAN＝∠BNA＝30°，∴∠CAN＝90°，即NA⊥CA.又EC⊥平面ABC，∴EC⊥NA，又CA∩CE＝C，∴NA⊥平面ACE，∴NA⊥AE，NA⊥AC，且AN為平面ADE與平面ABC的交線(xiàn)．∴∠CAE為平面ADE與平面ABC所成二面角的平面角，在Rt△ACE中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°.所以平面ADE與平面ABC所成二面角為45°.垂直關(guān)系的互化及解題策略：空間問(wèn)題化成平面問(wèn)題是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)基本原則，解題時(shí)，要抓住幾何圖形自身的特點(diǎn)，如等腰(邊)三角形的三線(xiàn)合一、中位線(xiàn)定理、菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直等．還可以通過(guò)解三角形，產(chǎn)生一些題目所需要的條件，對(duì)于一些較復(fù)雜的問(wèn)題，注意應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題．1．求二面角大小的步驟簡(jiǎn)稱(chēng)為“一作、二證、三求”．2．平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用思路(1)本質(zhì)：通過(guò)直線(xiàn)與平面垂直來(lái)證明平面與平面垂直，即線(xiàn)面垂直?面面垂直．(2)證題思路：處理面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為處理線(xiàn)面垂直問(wèn)題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線(xiàn)線(xiàn)垂直問(wèn)題來(lái)解決．3．面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線(xiàn)面垂直及線(xiàn)線(xiàn)垂直”間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸轉(zhuǎn)化思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：【課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)】1．直線(xiàn)l⊥平面α，l?平面β，則α與β的位置關(guān)系是()A．平行 B．可能重合C．相交且垂直 D．相交不垂直C[由面面垂直的判定定理，得α與β垂直，故選C.]2．從二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向二面角的兩個(gè)面引垂線(xiàn)，則這兩條垂線(xiàn)所夾的角與二面角的平面角的關(guān)系是()A．互為余角 B．相等C．其和為周角 D．互為補(bǔ)角D[畫(huà)圖知從二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向二面角的兩個(gè)面引垂線(xiàn)，則這兩條垂線(xiàn)所夾的角與二面角的平面角互為補(bǔ)角，所以選D.]3．已知l⊥平面α，直線(xiàn)m?平面β.有下面四個(gè)命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正確的兩個(gè)命題是()A．①② B．③④C．②④ D．①③D[∵l⊥α，α∥β，∴l(xiāng)⊥β，∵m?β，∴l(xiāng)⊥m，故①正確；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m?β，∴α⊥β，故③正確．]4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于．45°[根據(jù)正方體中的位置關(guān)系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根據(jù)二面角的平面角定義可知，∠ABA1即為二面角A-BC-A1的平面角.又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.]5．如圖，棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.證明：平面AB1C⊥平面A1BC1.[證明]因?yàn)锽CC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C?平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.《8.6.3平面與平面垂直》課后作業(yè)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)和平面α內(nèi)一點(diǎn)與平面α垂直的平面有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．無(wú)數(shù)個(gè) D．1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)D[當(dāng)兩點(diǎn)連線(xiàn)與平面α垂直時(shí)，可作無(wú)數(shù)個(gè)垂面，否則，只有1個(gè)．]2．下列不能確定兩個(gè)平面垂直的是()A．兩個(gè)平面相交，所成二面角是直二面角B．一個(gè)平面垂直于另