《專題復習06空間點、線、面的位置關系》重難點突破及同步訓練

《專題06空間點、線、面的位置關系》重難點突破一、考情分析二、考點梳理一、平面1．平面的概念生活中的一些物體通常呈平面形，課桌面、黑板面、海面都給我們以平面的形象．幾何里所說的“平面”（plane）就是從這樣的一些物體中抽象出來的．但是，幾何里的平面是_______________的，一個平面可以將空間分成_______________部分．2．平面的畫法在立體幾何中，我們通常用_______________來表示平面．（1）當平面水平放置時，如圖（1），平行四邊形的銳角通常畫成_______________，且橫邊長等于其鄰邊長的_______________倍；當平面豎直放置時，如圖（2），平行四邊形的一組對邊通常畫成鉛垂線．（2）如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，我們常把被遮擋部分用虛線畫出來，也可以不畫．如圖（1）表示平面在平面的上面，圖（2）表示平面在平面的前面．3．平面的表示為了表示平面，我們常把希臘字母α，β，γ等寫在代表平面的平行四邊形的一個角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點表示，還可以用代表平面的平行四邊形的_______________的大寫英文字母表示．如圖中的平面可以表示為：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．4．點、直線、平面之間位置關系的符號表示點、直線、平面的位置關系通常借助_______________中的符號語言來表示，_______________為元素，直線、平面都是點構成的_______________．集合中很多符號的規(guī)定都源于將圖形視為點集．點與直線（平面）之間的位置關系用符號“”，“”表示，直線與平面之間的位置關系用符號“”，“”表示等．點、直線、平面之間位置關系的符號表示如下：點P在直線a上，記作P_______________a；點Q不在直線a上，記作Qa；點A在平面α內，記作Aα；點B不在平面α內，記作B_______________α；直線a在平面α內，記作a_______________α；直線l不在平面α內，記作lα；直線a與b相交于點A，記作a∩b=A；平面α，β相交于直線l，記作α∩β=l．二、平面的基本性質1．三個公理（1）公理1：如果一條直線上的_______________在一個平面內，那么這條直線在此平面內．符號表示：Al，Bl，且Aα，Bα?l?α．如圖所示：作用：①判斷直線是否在平面內，點是否在平面內；②用直線檢驗平面．（2）公理2：過_______________的三點，有且只有一個平面．符號表示：A，B，C三點不共線?有且只有一個平面α，使Aα，Bα，Cα．如圖所示：作用：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面．（3）公理3：如果兩個不重合的平面有_______________公共點，那么它們有且只有一條過該點的_______________．符號表示：Pα，且Pβ?α∩β＝l，且Pl．如圖所示：作用：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點．【名師提醒】（1）對于公理1，我們可以知道：一是整條直線在平面內；二是直線上的所有點在平面內．（2）“不在一條直線上”和“三點”是公理2的重點字眼，如果沒有前者，那么只能說“有一個平面”，但不唯一；如果將“三點”改成“四點”，那么過四點不一定存在一個平面．由此可見，“不在一條直線上的三點”是確定一個平面的條件．（3）公理3反映了平面與平面的一種位置關系——相交，且交線唯一．2．公理2的三個推論（1）推論1：經過一條直線和_______________的一點，有且只有一個平面．符號語言：若點直線a，則A和a確定一個平面．如圖所示：（2）推論2：經過兩條_______________，有且只有一個平面．符號語言：?有且只有一個平面，使，．如圖所示：（3）推論3：經過兩條_______________，有且只有一個平面．符號語言：?有且只有一個平面，使，．如圖所示：三、空間兩直線的位置關系1．異面直線（1）異面直線的定義：我們把不同在_______________的兩條直線叫做異面直線．即若a，b是異面直線，則不存在平面α，使aα且bα．（2）異面直線的畫法：為了表示異面直線不共面的特點，通常用一個或兩個平面襯托，如圖：2．空間兩直線的位置關系空間兩條直線的位置關系有且只有三種：相交、平行和異面．（1）_______________——同一平面內，有且只有一個公共點；（2）_______________——同一平面內，沒有公共點；（3）_______________——不同在任何一個平面內，沒有公共點．3．空間中兩直線位置關系的分類空間中兩條直線的位置關系有以下兩種分類方式：（1）從有無公共點的角度分類：（2）從是否共面的角度分類：四、公理4與等角定理1．公理4（1）自然語言：平行于同一條直線的兩條直線互相_______________．（2）符號語言：a，b，c是三條不同的直線，a∥b，b∥c_______________．（3）作用：判斷或證明空間中兩條直線平行．2．等角定理（1）自然語言：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角_______________．（2）符號語言：如圖（1）（2）所示，在∠AOB與∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′B′，則∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°．圖（1）圖（2）五、異面直線所成的角1．兩條異面直線所成的角的定義如圖，已知兩異面直線a，b，經過空間任一點O，分別作直線a′∥a，b′∥b，相交直線a′，b′所成的叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）．（1）在定義中，空間一點O是任取的，根據等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小與點O的位置無關．為了簡便，點O常取在兩條異面直線中的一條上．（2）研究異面直線所成的角，就是通過平移把異面直線轉化為相交直線，即把求空間角問題轉化為求平面角問題，這是研究空間圖形的一種基本思路．2．異面直線所成的角的范圍異面直線所成的角必須是銳角或直角，則這個角α的取值范圍為_______________．3．兩條異面直線垂直的定義如果兩條異面直線所成的角是_______________，那么我們就說這兩條直線互相垂直．兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b．4．構造異面直線所成角的方法（1）過其中一條直線上的已知點（往往是特殊點）作另一條直線的平行線；（2）當異面直線依附于某幾何體，且直接平移異面直線有困難時，可利用該幾何體的特殊點，將兩條異面直線分別平移相交于該點；（3）構造輔助平面、輔助幾何體來平移直線．注意，若求得的角為鈍角，則兩異面直線所成的角應為其補角．5．求兩條異面直線所成的角的步驟（1）平移：選擇適當的點，平移異面直線中的一條或兩條，使其成為相交直線；（2）證明：證明作出的角就是要求的角；（3）計算：求角度（常利用三角形的有關知識）；（4）結論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角．六、空間中直線與平面的位置關系1．直線與平面的位置關系直線與平面的位置關系有且只有_______________種：①直線在平面內——有_______________個公共點；②直線與平面相交——有且只有一個公共點；③_______________——沒有公共點．直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為_______________．2．直線與平面的位置關系的符號表示和圖形表示3．直線和平面位置關系的分類（1）按公共點個數分類：；（2）按是否平行分類：；（3）按直線是否在平面內分類：．七、平面與平面之間的位置關系1．兩個平面之間的位置關系兩個平面之間的位置關系有且只有以下兩種：（1）兩個平面平行——沒有公共點；（2）兩個平面相交——有_______________條公共直線．2．兩個平面之間的位置關系的圖形表示和符號表示3．兩個平行平面的畫法畫兩個平行平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行，且把這兩個平行四邊形上下放置．三、題型分析(一)空間直線的位置關系例1．如圖，正方體中，直線與所成角大小為（）．A． B． C． D．【變式訓練1-1】．如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點，則A．，且直線，是相交直線 B．，且直線，是相交直線 C．，且直線，是異面直線 D．，且直線，是異面直線【變式訓練1-2】．直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中點為M，BC中點為N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與MN所成角的余弦值為（）A．1 B． C． D．0【變式訓練1-3】．如圖，三棱錐中，，，且，，，是中點，，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【變式訓練1-4】．已知M是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點，則下列是假命題的是（）A．過點M有且只有一條直線與直線AB，B1C1都相交B．過點M有且只有一條直線與直線AB，B1C1都垂直C．過點M有且只有一個平面與直線AB，B1C1都相交D．過點M有且只有一個平面與直線AB，B1C1都平行(二)空間直線的平行問題例2．設，為兩個平面，則的充要條件是A．內有無數條直線與平行 B．內有兩條相交直線與平行 C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一平面【變式訓練2-1】．如圖，在下列四個正方體中，，為正方體的兩個頂點，，，為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面不平行的是A． B． C． D．【變式訓練2-2】．將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，則折起后B，D兩點的距離為________.【變式訓練2-3】已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列判斷正確的是（）A．若，，，則直線與一定平行B．若，，，則直線與可能相交、平行或異面C．若，，則直線與一定垂直D．若，，，則直線與一定平行【變式訓練2-4】已知、是不同的直線，、是不同的平面，且，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(三)空間直線的垂直問題例3．在正方體中，為棱的中點，則A． B． C． D．【變式訓練3-1】．已知，為異面直線，⊥平面，⊥平面，直線滿足⊥，⊥，，，則（）．A．∥且∥B．⊥且⊥C．與相交，且交線垂直于D．與相交，且交線平行于【變式訓練3-2】．若空間中四條兩兩不同的直線，滿足，則下面結論一定正確的是（）．A．B．C．既不垂直也不平行D．的位置關系不確定【變式訓練3-3】．在下列四個正方體中，能得出的是（）A．B．C．D．【變式訓練3-4】．已知m，n為兩條不同的直線，和是兩個不同的平面，下列為真命題的是（）A． B．C． D．(四)空間直線與平面的綜合問題例4．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面（）．A．若，，則B．若，則C．若則D．若，，，則【變式訓練4-1】．已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（）．A．若則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【變式訓練4-2】．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,,則B．若,,,則C．若,,,則D．若,,,則【變式訓練4-3】．設是直線，是兩個不同的平面（）A．若∥，∥，則∥B．若∥，⊥，則⊥C．若⊥，⊥，則⊥D．若⊥,∥，則⊥【變式訓練4-4】．若為空間三條不同的直線，為空間三個不同的平面，則下列為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若則 D．若則【變式訓練4-5】．設直線l與平面平行，直線m在平面上，那么（）A．直線l平行于直線m B．直線l與直線m異面C．直線l與直線m沒有公共點 D．直線l與直線m不垂直【變式訓練4-6】．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A． B．C． D．《專題06空間點、線、面的位置關系》重難點突破答案解析三、題型分析(一)空間直線的位置關系例1．如圖，正方體中，直線與所成角大小為（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】連接如圖就是與所成角或其補角，在正方體中，，故直線與所成角為.故選C.【變式訓練1-1】．如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點，則A．，且直線，是相交直線 B．，且直線，是相交直線 C．，且直線，是異面直線 D．，且直線，是異面直線【答案】B【解析】點為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點，平面，平面，是中邊上的中線，是中邊上的中線，直線，是相交直線，設，則，，，，，故選．【變式訓練1-2】．直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中點為M，BC中點為N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與MN所成角的余弦值為（）A．1 B． C． D．0【答案】D【解析】由題得,所以∠就是異面直線AB1與MN所成角或補角.由題得,,因為,所以異面直線AB1與MN所成角的余弦值為0.故選:D【變式訓練1-3】．如圖，三棱錐中，，，且，，，是中點，，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點，的中點，連接、、，則異面直線與所成角的平面角為，然后利用題目所給數據計算出，，，然后利用余弦定理求解出的余弦值大小，得到異面直線與所成角的余弦值大小.【詳解】取的中點，的中點，連接、、，則，∵，∴是的中點，又∵是的中點，∴，∴為異面直線與所成的角或其補角，∵，，且，面，所以面,又∵，，∴在中，，在中，，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.【變式訓練1-4】．已知M是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點，則下列是假命題的是（）A．過點M有且只有一條直線與直線AB，B1C1都相交B．過點M有且只有一條直線與直線AB，B1C1都垂直C．過點M有且只有一個平面與直線AB，B1C1都相交D．過點M有且只有一個平面與直線AB，B1C1都平行【答案】C【分析】根據題意作出圖形，取的中點，設與交于，則點A、B、M、N、H共面，直線必與直線相交于某點，根據線線關系和線面關系逐一判斷即可.【詳解】直線與是兩條互相垂直的異面直線，點不在這兩異面直線中的任何一條上，如圖所示：取的中點，則，且，設與交于，則點A、B、M、N、H共面，直線必與直線相交于某點，過M點有且只有一條直線HO與直線AB、都相交，故A正確；過M點有且只有一條直線與直線AB、都垂直，此垂線就是棱，故B正確；凡是過的面均和AB、都相交，即過M點有無數個平面與直線AB、都相交，故C不正確；過M點有且只有一個平面與直線AB、都平行，此平面就是過M點與正方體的上下底都平行的平面，故D正確．故選：C.(二)空間直線的平行問題例2．設，為兩個平面，則的充要條件是A．內有無數條直線與平行 B．內有兩條相交直線與平行 C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一平面【答案】B【解析】對于，內有無數條直線與平行，或；對于，內有兩條相交直線與平行，；對于，，平行于同一條直線，或；對于，，垂直于同一平面，或．故選．【變式訓練2-1】．如圖，在下列四個正方體中，，為正方體的兩個頂點，，，為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面不平行的是A． B． C． D．【答案】A【解析】對于選項，由于，結合線面平行判定定理可知不滿足題意；對于選項，由于，結合線面平行判定定理可知不滿足題意；對于選項，由于，結合線面平行判定定理可知不滿足題意；所以選項滿足題意，故選．【變式訓練2-2】．將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，則折起后B，D兩點的距離為________.【答案】1.【解析】取AC的中點E，連結DE，BE，顯然DE⊥AC，因為平面ACD⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥BE，而，所以，.【變式訓練2-3】已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列判斷正確的是（）A．若，，，則直線與一定平行B．若，，，則直線與可能相交、平行或異面C．若，，則直線與一定垂直D．若，，，則直線與一定平行【答案】C【分析】根據線面、面面的判定定理及性質定理一一判斷即可；【詳解】解：對于A，，可能平行、異面、相交，故A錯誤；對于B，若，，，則直線與不可能平行，故B錯誤；對于C，根據線面垂直、線面平行的性質可知直線與一定垂直，故C正確；對于D，若，，，則直線與可能平行，也可能異面，故D錯誤．故選：C【變式訓練2-4】已知、是不同的直線，、是不同的平面，且，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用面面垂直的性質、判定定理結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.【詳解】充分性：若，設，存在直線，使得，由面面垂直的性質定理可得，，則，從而可得或，則與的位置關系不確定，充分性不成立；必要性：，，則，，，必要性成立.因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】方法點睛：判斷充分條件和必要條件，一般有以下幾種方法：（1）定義法；（2）集合法；（3）轉化法.(三)空間直線的垂直問題例3．在正方體中，為棱的中點，則A． B． C． D．【答案】C【解析】連，由題意得，平面，且平面，，，平面，平面，，故選．【變式訓練3-1】．已知，為異面直線，⊥平面，⊥平面，直線滿足⊥，⊥，，，則（）．A．∥且∥B．⊥且⊥C．與相交，且交線垂直于D．與相交，且交線平行于【答案】D【解析】若∥，又⊥平面，則⊥平面，又∵⊥平面，∴∥，與與異面矛盾，故A錯；若⊥，∵⊥平面，∴∥，與⊥矛盾；若與相交，設交線為，過上一點作直線∥，設與確定的平面為，∵⊥，∴⊥，∵⊥，∴⊥，又⊥平面，⊥平面，∴⊥，⊥，∴⊥，∴⊥，則∥，故選D．【變式訓練3-2】．若空間中四條兩兩不同的直線，滿足，則下面結論一定正確的是（）．A．B．C．既不垂直也不平行D．的位置關系不確定【答案】D【解析】利用正方體模型可以看出，與的位置關系不確定．選D．【變式訓練3-3】．在下列四個正方體中，能得出的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由線面垂直的性質可判斷A，根據異面直線所成角的計算可判斷BCD.【詳解】對A，如圖，連接，則在正方體中，，又平面，平面，則，，平面，平面，，故A正確；對B，如圖，連接，易得，則為異面直線所成角，，故不垂直，故B錯誤；對C，如圖，，則為異面直線所成角，易得，故不垂直，故C錯誤；對D，如圖，，則為異面直線所成角，顯然，故不垂直，故D錯誤.故選：A.【變式訓練3-4】．已知m，n為兩條不同的直線，和是兩個不同的平面，下列為真命題的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】ABD項均可舉出反例，C項可用線面垂直的判定定理說明【詳解】A.，則也可在平面內，故選項A不正確.B.，則也可在平面內,故選項B不正確.C.成立兩平行線，平面，必垂直于內的兩條相交直線，則必定垂直于內那兩條相交直線，故,故C正確.D.，則也可是異面直線的關系.故選項D不正確.故選：C(四)空間直線與平面的綜合問題例4．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面（）．A．若，，則B．若，則C．若則D．若，，，則【答案】C【解析】選項中均可能與平面平行、垂直、斜交或在平面內，故選．【變式訓練4-1】．已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（）．A．若則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】B【解析】對于選項A，若，則與可能相交、平行或異面，A錯誤；顯然選項B正確；對于選項C，若，，則或，C錯誤；對于選項D，若，，則或或與相交，D錯誤．故選B．【變式訓練4-2】．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,,則B．若,,,則C．若,,,則D．若,,,則【答案】D【解析】A中可能平行、垂直、也可能為異面；B中還可能為異面；C中應與中兩條相交直線垂直時結論才成立，選D．【變式訓練4-3】．設是直線，是兩個不同的平面（）A．若∥，∥，則∥B．若∥，⊥，則⊥C．若⊥，⊥，則⊥D．若⊥,∥，則⊥【答案】B【解析】利用排除法可得選項B是正確的，∵∥，⊥，則．如選項A：∥，∥時，⊥或∥；選項C：若⊥，⊥，∥或；選項D：若⊥,⊥，∥或⊥．【變式訓練4-4】．若為空間三條不同的直線，為空間三個不同的平面，則下列為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若則 D．若則【答案】B【分析】根據空間直線、平面間的位置關系判斷．【詳解】時，的位置關系是相交，平行或者異面，A錯；，則內存在直線，使得（過的平面與交線為），又，因此，從而正確；若則可能相交，可能平行，C錯；若，則可能相交也可能平行，D錯．故選：B．【變式訓練4-5】．設直線l與平面平行，直線m在平面上，那么（）A．直線l平行于直線m B．直線l與直線m異面C．直線l與直線m沒有公共點 D．直線l與直線m不垂直【答案】C【分析】根據線面的位置關系可選答案.【詳解】若直線l與平面平行，直線m在平面上，則直線l平行于直線m或直線l與直線m異面，所以直線l與直線m沒有公共點故選：C【變式訓練4-6】．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系逐個判斷可得答案.【詳解】對于A，或與相交但不垂直或，故A不正確；對于B，因為，過作平面交平面于，所以，由，可得，所以，所以，故B正確；對于C，或、相交且垂直或、相交但不垂直或、異面且垂直或、異面但不垂直，故C不正確；對于D，或或與相交但不垂直或.故選：B《專題06空間點、線、面的位置關系》同步訓練A組基礎鞏固1．若，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則2．給出下列三個命題：①一條直線垂直于一個平面內的三條直線，則這條直線和這個平面垂直；②一條直線與一個平面內的任何直線所成的角相等，則這條直線和這個平面垂直；③一條直線垂直于平面內的任意一條直線，則這條直線與這個平面垂直．其中正確的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．33．對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β4．已知直線m，n，平面α，β，若α//β，m?α，n?β，則直線m與n的關系是（）A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面5．設有下列四個命題：：空間共點的三條直線不一定在同一平面內．：若兩平面有三個不共線的公共點，則這兩個平面重合．：若三個平面兩兩相交，則交線互相平行．：若直線平面，直線直線，則直線平面．則下述命題中所有真命題的序號是______．①②③④6．如圖，點E是正方體的棱的中點，點在線段上運動，則下列結論正確的有__________．①直線與直線始終是異面直線②存在點，使得③四面體的體積為定值④當時，平面平面7．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，，且，現有如下四個結論：①延長線段和必相交于一點；②；③平面平面；④三棱錐的體積為定值.其中正確結論的序號是___________.8．在正方體中，直線與所成角的余弦值為___________.9．設為兩條直線，若直線平面，直線平面，下列說法正確的是___________。①若//，則②若，則③若，則④若，則//10．設有下列四個命題：p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內.p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號是__________.①②③④B組能力提升11．如圖所示，在直角梯形中，，、分別是、上的點，，且（如圖①）.將四邊形沿折起，連接、、（如圖②）.在折起的過程中，則下列表述：①平面；②四點、、、可能共面；③若，則平面平面；④平面與平面可能垂直.其中正確的是__________.12．如圖，在正方體中，有下列結論：①平面；②平面；③與底面所成角的正切值是；④與為異面直線.其中正確結論的序號是______.（把你認為正確的結論的序號都填上）13．如圖所示，在棱長為1的正方體中，，分別是正方形和正方形的中心，為線段上的點（異于，），則和所成的角的大小是_______，三棱錐的體積為_________.14．下列四個正方體圖形中，?為正方體的兩個頂點，??分別為其所在棱的中點，能得出與是異面直線的序號是______；能得出面的圖形的序號是______(寫出所有符合要求的圖形序號①②③④).15．如圖是一個正方體的表面展開圖，，，均為棱中點，是頂點，則在正方體中，直線和的位置關系為________（填“平行”，“異面”或“相交”），直線和的夾角的余弦值為_________．16．如圖所示，已知正方體中，分別為，的中點，，.求證：（1）四點共面；（2）若交平面于R點，則三點共線.17．已知正方體，分別為和上的點，且，.（1）求證：；（2）求證：三條直線交于一點.18．在正方體中，、分別是、的中點，（1）證明點、、、共面（2）證明、、三線交于一點19．如圖，正方體中，，分別是，的中點．求證：（1），，，四點共面；（2），，三線共點．20．和的中點，求：（1）（2）《專題06空間點、線、面的位置關系》同步訓練答案解析A組基礎鞏固1．若，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】C【分析】對于ABD，根據給定的條件可得與結論不相符合的情形，對于C，利用線面平行的性質定理和判定定理可證其正確性，從而可得正確的選項．【詳解】對于A，若，，，則與可能平行，或相交或在內，故A錯．對于B，若，，，則也可能成立，故B錯誤．對于C，若，，，如圖：過作平面，使得，過作平面，使得，因為，，所以，同理，故，而，，故，，，故，故，故C正確．對于D，若，，，則，故D錯誤．故選：C．2．給出下列三個命題：①一條直線垂直于一個平面內的三條直線，則這條直線和這個平面垂直；②一條直線與一個平面內的任何直線所成的角相等，則這條直線和這個平面垂直；③一條直線垂直于平面內的任意一條直線，則這條直線與這個平面垂直．其中正確的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關系求解．【詳解】①一條直線垂直于一個平面內的三條直線，若這三條直線都是平行線，則這條直線和這個平面不一定垂直，故①錯誤；②一條直線與一個平面內的任何直線所成的角相等，則這個角必為直角，故這條直線和這個平面垂直，故②正確；③若一條直線與平面內的任意一條直線都垂直，則這條直線垂直于這個平面；滿足直線與平面垂直的定義，故③正確．故選：C．【點睛】本題考查命題的真假判斷與應用，空間中直線與平面之間的位置關系的應用，考查邏輯推理能力．解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．3．對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β【答案】C【分析】在A中，與β相交或相行；在B中，與不一定垂直；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面平行的判定定理得.【詳解】在A中，m⊥n，m∥α，n∥β，則與β相交或相行，故A錯誤；在B中，m⊥n，α∩β＝m，n?α，則與不一定垂直，故B錯誤；在C中，m∥n，n⊥β，m?α，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正確；在D中，m∥n，m⊥α，n⊥β，由面面平行的判定定理得，故D錯誤.故選：C4．已知直線m，n，平面α，β，若α//β，m?α，n?β，則直線m與n的關系是（）A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面【答案】D【分析】根據兩平面平行的性質即可得出答案.【詳解】若α//β，則內的直線與內的直線沒有交點，所以當m?α，n?β，則直線m與n的關系是平行或異面.故選：D5．設有下列四個命題：：空間共點的三條直線不一定在同一平面內．：若兩平面有三個不共線的公共點，則這兩個平面重合．：若三個平面兩兩相交，則交線互相平行．：若直線平面，直線直線，則直線平面．則下述命題中所有真命題的序號是______．①②③④【答案】②④【分析】在正方體中可通過反例知為假命題，通過線線關系確定為真命題，由不共線的三點確定唯一的平面知為真命題，由復合命題真假性的判定依次判斷各個選項即可.【詳解】在如圖所示的正方體中，直線共點，此時三條直線不在同一平面內，為真命題；平面、和兩兩相交，但交線不互相平行，為假命題；設直線為直線，平面為平面，則；設直線為直線，此時，且，為假命題；不共線的三點確定唯一的一個平面，若兩平面有三個不共線的公共點，則這兩個平面重合，即為真命題；為假命題，①錯誤；為真命題，②正確；為假命題，③錯誤；為真命題，④正確.故答案為：②④【點睛】結論點睛：本題考查復合命題真假性的確定，需熟記“且”、“或”、“非”命題真假性的判斷方法：①“且”命題：一假全假；②“或”命題：一真全真；③“非”命題：與原命題真假性相反.6．如圖，點E是正方體的棱的中點，點在線段上運動，則下列結論正確的有__________．①直線與直線始終是異面直線②存在點，使得③四面體的體積為定值④當時，平面平面【答案】②③④.【分析】取點為線段的中點可判斷①，建立空間直角坐標系假設存在點，使得，利用解出的值即可判斷②；連接、交于點，證明，線段到平面的距離為定值，可判斷③；求出點的坐標，然后計算平面和平面的法向量，即可判斷④.【詳解】對于①：連接交于點，當點在點時直線與直線相交，故①不正確，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的邊長為，則，，，，，，，對于②：，假設存在點，使得，，，所以，解得，所以當時，故②正確；對于③：連接、交于點，因為點E是棱的中點，此時，故線段到平面的距離為定值，所以四面體的體積為定值，故③正確；對于④：當時，，，，設平面的法向量為，由令，可得，，可得，設平面的法向量為，，由解得:，令可得，所以，因為，所以平面平面，故④正確；故答案為：②③④.【點睛】方法點睛：證明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一個平面的一條垂線，再證明這條垂線在另外一個平面內或與另外一個平面內的一條直線平行即可；（2）利用性質：（客觀題常用）；（3）面面垂直的定義（不常用）；（4）向量方法：證明兩個平面的法向量垂直，即法向量數量積等于.7．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，，且，現有如下四個結論：①延長線段和必相交于一點；②；③平面平面；④三棱錐的體積為定值.其中正確結論的序號是___________.【答案】②③④【分析】用反證法證明①錯誤，利用線面垂直的判定定理和性質定理證明②正確，利用面面平行的判定定理證明③正確，利用體積公式計算三棱錐的體積即求得④正確.【詳解】延長線段和，假設相交于一點，則與共面于平面ABFE，則與共面，則與平行或相交，但是正方體上底面與下底面平行，故與無公共點，又，與不平行，故假設矛盾，線段和異面，不會相交于于一點，①錯誤；易見，正方體中，，，與相交，且在平面內，故平面，而平面，故，②正確；平面，即平面，正方體中，與平行且相等，故四邊形是平行四邊形，故，故平面，同理，與平行且相等，則，故平面，與相交，且在平面內，故平面平面，即平面平面，③正確；三棱錐的體積，由平面，知，中，B到EF的距離為棱長，故，，故體積是定值，④正確.故答案為：②③④.【點睛】方法點睛：體積與面積是立體幾何中一個重要內容，是高考必考內容之一，求體積的一般方法有：1．直接法：對規(guī)則幾何體（如柱、錐、臺、球），直接利用體積公式計算；2．割補法：對一些不規(guī)則的幾何體，常通過分割或補形的手段將此幾何體變成一個或幾個的、體積易求的幾何體，然后再進行計算．8．在正方體中，直線與所成角的余弦值為___________.【答案】【分析】連接，在正方體中,，所以（或其補角）為異面直線與所成角，在中求解即可.【詳解】連接在正方體中,且所以四邊形為平行四邊形，則所以（或其補角）為異面直線與所成角在正方體中，所以為等邊三角形,所以所以直線與所成角的余弦值為故答案為：9．設為兩條直線，若直線平面，直線平面，下列說法正確的是___________。①若//，則②若，則③若，則④若，則//【答案】①③【分析】運用面面平行的性質、平行線的性質，結合面面垂直的判定定理進行判斷即可.【詳解】①：因為//，平面，所以平面，又因為平面，所以，故本說法正確；②：因為平面，所以設，當時，且，顯然可以滿足，但是不成立，故本說法不正確；③：因為，平面，所以平面，而平面，所以，故本說法正確；④：當時，因為平面，所以，但是此時//不成立，故本說法不正確.故答案為：①③10．設有下列四個命題：p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內.p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號是__________.①②③④【答案】①③④【分析】利用兩交線直線確定一個平面可判斷命題的真假；利用三點共線可判斷命題的真假；利用異面直線可判斷命題的真假，利用線面垂直的定義可判斷命題的真假.再利用復合命題的真假可得出結論.【詳解】對于命題，可設與相交，這兩條直線確定的平面為；若與相交，則交點在平面內，同理，與的交點也在平面內，所以，，即，命題為真命題；對于命題，若三點共線，則過這三個點的平面有無數個，命題為假命題；對于命題，空間中兩條直線相交、平行或異面，命題為假命題；對于命題，若直線平面，則垂直于平面內所有直線，直線平面，直線直線，命題為真命題.綜上可知，，為真命題，，為假命題，為真命題，為假命題，為真命題，為真命題.故答案為：①③④.【點睛】本題考查復合命題的真假，同時也考查了空間中線面關系有關命題真假的判斷，考查推理能力，屬于中等題.B組能力提升11．如圖所示，在直角梯形中，，、分別是、上的點，，且（如圖①）.將四邊形沿折起，連接、、（如圖②）.在折起的過程中，則下列表述：①平面；②四點、、、可能共面；③若，則平面平面；④平面與平面可能垂直.其中正確的是__________.【答案】①③【分析】連接、交于點，取的中點，證明四邊形為平行四邊形，可判斷命題①的正誤；利用線面平行的性質定理和空間平行線的傳遞性可判斷命題②的正誤；連接，證明出，結合線面垂直和面面垂直的判定定理可判斷命題③的正誤；假設平面與平面垂直，利用面面垂直的性質定理可判斷命題④的正誤.綜合可得出結論.【詳解】對于命題①，連接、交于點，取的中點、，連接、，如下圖所示：則且，四邊形是矩形，且，為的中點，為的中點，且，且，四邊形為平行四邊形，，即，平面，平面，平面，命題①正確；對于命題②，，平面，平面，平面，若四點、、、共面，則這四點可確定平面，則，平面平面，由線面平行的性質定理可得，則，但四邊形為梯形且、為兩腰，與相交，矛盾.所以，命題②錯誤；對于命題③，連接、，設，則，在中，，，則為等腰直角三角形，且，，，且，由余弦定理得，，，又，，平面，平面，，，、為平面內的兩條相交直線，所以，平面，平面，平面平面，命題③正確；對于命題④，假設平面與平面垂直，過點在平面內作，平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，，，，，，又，平面，平面，.，平面，平面，.，，顯然與不垂直，命題④錯誤.故答案為：①③.【點睛】本題考查立體幾何綜合問題，涉及線面平行、面面垂直的證明、以及點共面的判斷，考查推理能力，屬于中等題.12．如圖，在正方體中，有下列結論：①平面；②平面；③與底面所成角的正切值是；④與為異面直線.其中正確結論的序號是______.（把你認為正確的結論的序號都填上）【答案】②③④【分析】利用線面平行和線面垂直的判定定理，及直線與平面所成角的定義，分別對每項作出判斷，即可得到本題答案.【詳解】①因為平面，所以與平面不平行，故①錯誤；②連接，易證.因為，所以平面，故②正確；③因為底面，所以是與底面所成的角，所以，故③正確；④與既無交點也不平行，所以與為異面直線，故④正確.故答案為：②③④.13．如圖所示，在棱長為1的正方體中，，分別是正方形和正方形的中心，為線段上的點（異于，），則和所成的角的大小是_______，三棱錐的體積為_________.【答案】【分析】將異面直線平移到同一個平面內即可求出和所成的角，利用線面平行得到三棱錐的高，再利用椎體的體積公式即可求得.【詳解】解：如圖所示：連接，，又，分別為，的中點，，又，就是和所成的角，又平面，平面，，即，和所成的角的大小是；如圖：連接，，，平面，平面，平面，到平面的距離就等于到平面的距離，又正方體的棱長為，到平面的距離為，即三棱錐的高為，為等邊三角形，，.故答案為：；.【點睛】方法點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．14．下列四個正方體圖形中，?為正方體的兩個頂點，??分別為其所在棱的中點，能得出與是異面直線的序號是______；能得出面的圖形的序號是______(寫出所有符合要求的圖形序號①②③④).【答案】①②④①③【分析】根據直線與直線，直線與平面的位置關系，結合異面直線的定義，線面平行的判定定理一一判斷即可.【詳解】對于圖①，取的中點為，連接，因為在平面中，且與平行，由線面平行的判定定理可知，面，又與相交，則與是異面直線；對于圖②，連接且相交于點，連接，由中位線定理得，由于與平面相交，則與平面不平行，由圖可知，顯然與是異面直線；對于圖③，易知，則與不是異面直線，由線面平行的判定定理可知面；對于圖④，取的中點為，連接，易知，且與平面相交于點，則與平面不平行，由于與相交，則與是異