第四單元三角形第十八課時 等腰三角形與直角三角形測試題

第四單元三角形第十八課時等腰三角形與直角三角形基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1.若等腰三角形的兩邊長為3和7,則該等腰三角形的周長為()A.10B.13C.17D.13或172.(2018濱州)如圖,在△ABC中,AB＝AC,D為BC上一點,且DA＝DC,BD＝BA,則∠B的大小為()A.40°B.36°C.30°D.25°第2題圖第3題圖3.(2018荊州)如圖,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝30°,AB的垂直平分線l交AC于點D,則∠CBD的度數(shù)為()A.30°B.45°C.50°D.75°4.如圖,等邊△OAB的邊長為2,則點B的坐標(biāo)為()A.(1,1)B.(eq\r(3),1)C.(eq\r(3),eq\r(3))D.(1,eq\r(3))第4題圖第5題圖5.如圖,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°,BD、CE是角平分線,則圖中的等腰三角形共有()A.8個B.7個C.6個D.5個6.(2018大連)如圖,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB,垂足為D,點E是AB的中點,CD＝DE＝a,則AB的長為()A.2aB.2eq\r(2)aC.3aD.eq\f(4\r(3),3)a第6題圖第7題圖7.如圖,在△ABC中,D是BC上一點,AB＝AD,E、F分別是AC、BD的中點,EF＝2,則AC的長是()A.3B.4C.5D.6第8題圖8.(2018濱州)如圖,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC＝30°,點D是CB延長線上的一點,且BD＝BA,則tan∠DAC的值為()A.2＋eq\r(3)B.2eq\r(3)C.3＋eq\r(3)D.3eq\r(3)9.eq\a\vs4\al(關(guān)注數(shù)學(xué)文化)(2018荊州)《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,來折抵地,去根六尺,問折高者幾何？意思是:一根竹子,原高一丈(一丈＝10尺),一陣風(fēng)將竹子折斷,其竹梢恰好抵地,抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn),問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺,則可列方程為()A.x2－6＝(10－x)2B.x2－62＝(10－x)2C.x2＋6＝(10－x)2D.x2＋62＝(10－x)210.(2018麗水)等腰三角形的一個內(nèi)角為100°,則頂角的度數(shù)是________．11.(2018淮安)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,點D,E分別是AB,AC的中點,點F是AD的中點,若AB＝8,則EF＝________．第11題圖第12題圖12.(2018益陽)如圖,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝36°,DE是線段AC的垂直平分線,若BE＝a,AE＝b,則用含a、b的代數(shù)式表示△ABC的周長為________．13.(2018綏化)在等腰△ABC中,AD⊥BC交直線BC于點D,若AD＝eq\f(1,2)BC,則△ABC的頂角的度數(shù)為________．14.(2018淄博)在邊長為4的等邊三角形ABC中,D為BC邊上的任意一點,過點D分別作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F,則DE＋DF＝________．15.在△ABC中,BC＝2,AB＝2eq\r(3),AC＝b,且關(guān)于x的方程x2－4x＋b＝0有兩個相等的實數(shù)根,則AC邊上的中線長為________．16.(2018常德)如圖,已知Rt△ABE中,∠A＝90°,∠B＝60°,BE＝10,D是線段AE上的一動點,過D作CD交BE于C,并使得∠CDE＝30°,則CD長度的取值范圍是________．第16題圖第17題圖17.如圖,在等腰Rt△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝CB＝2,點D為AC的中點,點E,F分別是線段AB,CB上的動點,且∠EDF＝90°,若ED的長為m,則△BEF的周長是________(用含m的代數(shù)式表示)．18.(6分)(2018北京)如圖,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°,BD平分∠ABC交AC于點D.求證:AD＝BC.第18題圖19.(8分)在△ABC中,AB＝15,BC＝14,AC＝13,求△ABC的面積．某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流,給出了下面的解題思路,請你按照他們的解題思路完成解答過程．第19題圖能力提升訓(xùn)練1.(2018海南)已知△ABC的三邊長分別為4、4、6,在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線,將△ABC分割成兩個三角形,使其中的一個是等腰三角形,則這樣的直線最多可能()條．A.3B.4C.5D.6第2題圖2.(2018臺州)如圖,已知等腰三角形ABC,AB＝AC.若以點B為圓心,BC長為半徑畫弧,交腰AC于點E,則下列結(jié)論一定正確的是()A.AE＝ECB.AE＝BEC.∠EBC＝∠BACD.∠EBC＝∠ABE3.如圖,△ABC是等邊三角形,BD平分∠ABC,點E在BC的延長線上,且CE＝1,∠E＝30°,則BC＝________．第3題圖第4題圖4.(2018杭州)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝15,AC＝20,點D在邊AC上,AD＝5,DE⊥BC于點E,連接AE,則△ABE的面積等于________．5.若點P是△ABC內(nèi)一點,且它到三角形三個頂點的距離之和最小,則P點叫△ABC的費馬點(Fermatpoint)．已經(jīng)證明:在三個內(nèi)角均小于120°的△ABC中,當(dāng)∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°時,P就是△ABC的費馬點．若點P是腰長為eq\r(2)的等腰直角三角形DEF的費馬點,則PD＋PE＋PF＝________．拓展培優(yōu)訓(xùn)練1.(2018杭州)如圖,在△ABC中,AB＝AC,BC＝12,E為AC邊的中點,第1題圖線段BE的垂直平分線交邊BC于點D.設(shè)BD＝x,tan∠ACB＝y(tǒng),則()A.x－y2＝3B.2x－y2＝9C.3x－y2＝15D.4x－y2＝212.已知等腰三角形頂角為36°,則底與腰的比值等于________．答案1.C【解析】:當(dāng)3為底邊時,其它兩邊都為7,3、7、7可以構(gòu)成三角形,周長為17；當(dāng)3為腰時,其他兩邊為3和7,∵3＋3＝6＜7,∴不能構(gòu)成三角形,故舍去,∴該等腰三角形的周長為17.2.B【解析】:設(shè)∠C＝x,∵AD＝DC,∴∠DAC＝∠C＝x,∴∠ADB＝2x,∵AB＝BD,∴∠BAD＝∠ADB＝2x,∴∠B＝180°－4x,∵BA＝AC,∴∠B＝∠C,∴180°－4x＝x,解得x＝36°,∴∠B＝∠C＝36°.3.B【解析】:∵∠A＝30°,AB＝AC,∴∠ABC＝∠ACB＝75°,又∵l為AB的垂直平分線,∴DB＝DA,∴∠DBA＝∠A＝30°,∴∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝75°－30°＝45°.第4題解圖4.D【解析】:如解圖,過點B作BC⊥AO于點C,∵△AOB是等邊三角形,∴OC＝eq\f(1,2)AO＝1,∴在Rt△BOC中,BC＝eq\r(OB2－OC2)＝eq\r(3),∴B點的坐標(biāo)為(1,eq\r(3))．5.A【解析】:∵AB＝AC,∠A＝36°,∴∠ABC＝∠ACB＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝72°,∵BD,CE是角平分線,∴∠ABD＝∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝36°,∠ACE＝∠ECB＝36°,∴∠A＝∠ABD＝∠ACE,∠DBC＝∠ECB,∴∠BDC＝180°－∠ACB－∠DBC＝180°－72°－36°＝72°,同理∠BEC＝72°,∴∠BDC＝∠ACB,∠BEC＝∠EBC,∴∠EOB＝180°－∠BEC－∠EBD＝180°－72°－36°＝72°,同理∠DOC＝72°,∴∠BEO＝∠BOE,∠CDO＝∠COD,即等腰三角形有△OBC,△ADB,△AEC,△BEC,△BDC,△ABC,△EBO,△DCO,共8個．6.B【解析】:在Rt△CDE中,CD＝DE＝a,∴DE＝eq\r(CD2＋DE2)＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a,∵點E為Rt△ACB斜邊AB的中點,∴CE＝AE＝BE＝eq\f(1,2)AB,∴AB＝2CE＝2eq\r(2)a.第7題解圖7.B【解析】:如解圖,連接AF,∵AB＝AD,F是BD的中點,∴AF⊥BD,∵在Rt△ACF中,∠AFC＝90°,E是AC的中點,EF＝2,∴AC＝2EF＝4.8.A【解析】:設(shè)AC＝x,∵AC⊥BC,∠ABC＝30°,∴AB＝2x,BC＝eq\r(3)x,∵AB＝BD,∴BD＝2x,∴CD＝BC＋BD＝(2＋eq\r(3))x,∵tan∠DAC＝eq\f(CD,AC),∴tan∠DAC＝eq\f(（2＋\r(3)）x,x)＝2＋eq\r(3).第9題解圖9.D【解析】:如解圖,在直角三角形ABC中,利用勾股定理,列方程為x2＋62＝(10－x)2.10.100°【解析】:由三角形內(nèi)角和定理可知,若等腰三角形的一個內(nèi)角為100°,則這個內(nèi)角為頂角,此時兩底角均為40°,即該三角形頂角的度數(shù)是100°.11.2【解析】:在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,點D是AB的中點,∴CD＝eq\f(1,2)AB＝4,∵點E是AC的中點,點F是AD的中點,∴EF是△ADC的中位線,∴EF＝eq\f(1,2)CD＝2.12.2a＋3b【解析】:∵在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝36°,∴∠ABC＝∠ACB＝72°,∵DE垂直平分AC,∴CE＝AE,∠ECA＝∠A＝36°,∴∠BEC＝∠A＋∠ECA＝72°,∴∠BEC＝∠B,∴CE＝BC＝b,∴△ABC的周長為AB＋AC＋BC＝2AB＋BC＝2(a＋b)＋b＝2a＋313.30°,90°或150°【解析】:如解圖,第13題解圖解圖①中△ABC是等腰直角三角形,∴頂角是90°,解圖②中AC＝BC,在直角三角形ADC中,AD＝eq\f(1,2)AC,∴∠ACD＝30°,∴∠ACB＝180°－∠ACD＝150°,解圖③中,AC＝BC,在直角三角形ADC中,AD＝eq\f(1,2)AC,∴∠ACD＝30°,綜上所述,△ABC頂角的度數(shù)分別是30°,90°或150°.14.2eq\r(3)【解析】:假設(shè)點D與點B重合,可得DE＋DF為等邊三角形AC邊上的高,再由等邊三角形的邊長為4,根據(jù)勾股定理得AC邊上的高為2eq\r(3).15.2【解析】:∵方程x2－4x＋b＝0有兩個相等的實數(shù)根,∴Δ＝16－4b＝0,解得b＝4,又∵BC＝2,AB＝2eq\r(3),AC＝b＝4,∴AB2＋BC2＝(2eq\r(3))2＋22＝42＝AC2,∴∠B＝90°,∴AC邊上的中線長為2.第16題解圖16.0<CD≤5【解析】:如解圖,取BE的中點F,連接AF,∵∠A＝90°,則AF＝EF＝eq\f(1,2)BE＝5,∴∠EAF＝∠E＝30°,又∵∠CDE＝30°,∴∠CDE＝∠EAF,∴CD∥AF,∴eq\f(CD,AF)＝eq\f(ED,EA),當(dāng)D與A重合時,CD取最大值為5；當(dāng)D接近于E時,DE越小,CD越小,∵線段CD不能為0,∴0<CD≤5.17.2＋eq\r(2)m【解析】:如解圖,連接BD,∵∠C＝∠EBD,BD＝CD,∠CDF＝∠BDE,∴△BED≌△CFD,∴BE＝CF,DE＝DF,則BE＋BF＋EF＝BC＋EF＝2＋EF,在Rt△DEF中,DE＝DF＝m,∴EF＝eq\r(2)m,則△BEF的周長是2＋eq\r(2)m.第17題解圖18.證明:∵AB＝AC,∠A＝36°,∴在△ABC中,∠ABC＝∠C＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝72°,又∵BD為∠ABC的平分線,∴∠ABD＝∠CBD＝eq\f(1,2)∠ABC＝36°＝∠A,∴△ABD是以點D為頂點的等腰三角形,∴AD＝BD,∵∠CBD＝36°,∠C＝72°,∴∠BDC＝180°－∠CBD－∠C＝72°＝∠C,∴△BCD是以點B為頂點的等腰三角形,∴BC＝BD,∴AD＝BC.19.解:設(shè)BD＝x,則CD＝14－x,根據(jù)勾股定理可得,AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2,即152－x2＝132－(14－x)2,解得x＝9,∴AD2＝152－x2＝152－92＝144,∵AD>0,∴AD＝12,∴S△ABC＝eq\f(1,2)×BC×AD＝eq\f(1,2)×14×12＝84.能力提升訓(xùn)練1.B【解析】:符合條件的直線共有4條:(1)如解圖①,在邊BC上截取CE＝CA,BF＝BA,連接AE、AF,得到等腰三角形△CEA,△BAF；(2)如解圖②,分別作AB、AC的中垂線交BC于點M、N,連接AM,AN,得到等腰三角形△MAB,△NCA,綜上所述,直線AE、AF、AM、AN均滿足題意．2.C【解析】:由題圖知,BC＝BE,∴∠BCE＝∠BEC,∵AB＝AC,∴∠BCA＝∠CBA,∴∠BCE＝∠BEC＝∠CBA,∵∠EBC＝180°－∠BCE－∠BEC,∠BAC＝180°－∠BCA－∠CBA,∴∠EBC＝∠BAC.3.2【解析】:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC＝∠ACB＝60°,BA＝BC,∵BD平分∠ABC,∴∠DBC＝∠E＝30°,BD⊥AC,∴∠BDC＝90°,∴BC＝2DC,∵∠ACB＝∠E＋∠CDE,∴∠CDE＝∠E＝30°,∴CD＝CE＝1,∴BC＝2CD＝2.第4題解圖4.78【解析】:如解圖,過A作AH⊥BC,∵AB＝15,AC＝20,∠BAC＝90°,∴由勾股定理得,BC＝eq\r(152＋202)＝25,∵AD＝5,∴DC＝20－5＝15,∵DE⊥BC,∠BAC＝90°,∴△CDE∽△CBA,∴eq\f(CE,CA)＝eq\f(CD,CB),∴CE＝eq\f(15,25)×20＝12,∴BE＝BC－CE＝13.∴BC·AH＝AB·AC,AH＝eq\f(AB·AC,BC)＝eq\f(15×20,25)＝12,∴S△ABE＝eq\f(1,2)×12×13＝78.第5題解圖5.eq\r(3)＋1【解析】:如解圖,等腰Rt△DEF中,DE＝DF＝eq\r(2),過點D作DM⊥EF于點M,過E、F分別作∠MEP＝∠MFP＝30°,從而可找到點P,則DM＝EM＝eq