特殊三角形（基礎(chǔ)鞏固）-2021年中考數(shù)學(xué)一輪基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)和鞏固提升訓(xùn)練

特殊三角形

【知識梳理】

考點(diǎn)一、等腰三角形

1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

2.性質(zhì)：

(1)具有三角形的一切性質(zhì).

(2)兩底角相等(等邊對等角)

(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)

(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60°.

3.判定：

(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等(等角對等邊)；

(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

(3)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.

方法指導(dǎo)：

(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；

(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形.

考點(diǎn)二、直角三角形

1.直角三角形：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.

2性質(zhì)：

(1)直角三角形中兩銳角互余.

(2)直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半.

(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角

等于30°.

(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a?+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直

角三角形.

(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

3.判定：

(1)有兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

(2)一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對的角是直角，這個(gè)三角形是直角三

角形.

(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形，第三邊

為斜邊.

【專項(xiàng)訓(xùn)練】

一、選擇題

1.已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°,則這個(gè)等腰三角形的頂角為（）

A.40°B,100°c,40°或100°D,70°或5小

2.如圖，在AABC中，AB=AC,ZA=36°,BD、CE分別是AABC、ZiBCD的角平分線,

則圖中的等腰三角形有（

A.5個(gè)

B.4個(gè)

C.3個(gè)

D.2個(gè)

3.如果線段a、b、c能組成直角三角形，則它們的比可以是（）

A.1：2：4B.1：3：5C.3：4：7D.5：12：13

4.下列條件能確定AABC是直角三角形的條件有（）

（1）ZA+ZB=ZC；（2）ZA:ZB:ZC=1:2:3；（3）ZA=90°-ZB；（4）ZA=ZB=1ZC.

2

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.已知：Z^ABC中，AB=AC=x,BC=6,則腰長X的取值范圍是（）

A-0<x<3

B.x>3

c.3<x<6

D-X>6c

6.如圖，AD是AABC的角平分線，DE±AC,垂足為E,BF〃AC交ED的延長線于點(diǎn)F,

若BC恰好平分NABF,AE=2BF.給出下列四個(gè)結(jié)論：①DE=DF；②DB=DC；③AD_LBC；④AC=3BF,

其中正確的結(jié)論共有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

二、填空題

7.如圖，一個(gè)直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個(gè)四邊形，則R1+二二=

_____________度.

8.如圖，△忠。和△ACE都是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)&c,E在同一條直線

上，連接3。，則3。的長為.

9.如圖，在等腰RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=BC,AD平分/BAC交BC于D,DE_LAB于

10.等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于45°,則這個(gè)三角形的頂角等于

11.如圖，AB=AC=AD=4cm,DB=DC,若/ABC為60度，貝BE為,ZABD=

12.已知等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長分為15和6兩部分，則腰長與

底邊的長分別為.

三、解答題

13.如圖14-59,點(diǎn)0為等邊AABC內(nèi)一點(diǎn)，ZA0B=110°,ZB0C=135°,試問：

（1）以0A、OB、OC為邊，能否構(gòu)成三角形？若能，請求出該三角形各內(nèi)角的度數(shù)；若

不能，請說明理由；

(2)如果/AOB大小保持不變，那么當(dāng)/BOC等于多少度時(shí)，以O(shè)A、OB、0C為邊的三

角形是一個(gè)直角三角形？

14.如圖，在AABC中，BA=BC,D在邊CB上，且DB=DA=AC.

(1)如圖1,填空NB=,/C=；

(2)若M為線段BC上的點(diǎn)，過M作直線MHLAD于H,分別交直線AB、AC與點(diǎn)N、E,

如圖2

①求證：4ANE是等腰三角形；

②試寫出線段BN、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

15.已知：如圖，AF平分NBAC,BCXAF,垂足為E,點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E對稱，PB

分別與線段CF,AF相交于P,M.

1)求證：AB=CD；

2)若/BAC=2/MPC,請你判斷/F與/MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

16.(1)如圖14-63,下列每個(gè)圖形都是由若干個(gè)邊長為1的等邊三角形組成的等邊三

角形，它們的邊長分別為1,2,3,…，設(shè)邊長為n的等邊三角形由s個(gè)小等邊三角形組成,

按此規(guī)律推斷s與n有怎樣的關(guān)系;

(2)現(xiàn)有一個(gè)等角六邊形ABCDEF(六個(gè)內(nèi)角都相等的六邊形，如圖14-64),它的四條

邊長分別是2、5、3、1,求這個(gè)等角六邊形的周長;

(3)(2)中的等角六邊形能否用(1)中最小的等邊三角形無空隙拼合而成？如果能,

請求出需要這種小等邊三角形的個(gè)數(shù).

答案與解析

一、選擇題

1.【答案】C.

【解析】提示：分類討論.

2.【答案】A

3.【答案】D.

【解析】常見的一些勾股數(shù)如：3、4、5；5、12、13；7、24、25及倍數(shù)等，應(yīng)熟練掌

握.

D中設(shè)三邊的比中每一份為k,則(5k)%(12k)二(13k)2,所以該三角形是直角三角形.其它

答案都不滿足，故選D.

4.【答案】D.

【解析】三角形中有一個(gè)角是90°,就是直角三角形.題中四個(gè)關(guān)系式都可以解得4ABC

中/C=90°.故選D.

5.【答案】B.

6.【答案】A.

【解析】VBF/7AC,AZC=ZCBF,

：BC平分/ABF,.,.ZABC=ZCBF,ZC=ZABC,.\AB=AC,

二?AD是△ABC的角平分線，；.BD=CD,AD±BC,故②③正確，

在ACDE與4DBF中，

2C=NCBF

-CD=BD，

ZEDC=ZBDF

.".△CDE^ADBF,

.*.DE=DF,CE=BF,故①正確；

?；AE=2BF,；.AC=3BF,故④正確.故選A.

二、填空題

7.【答案】270°.

【解析】提示：根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得.

8.【答案】25

【解析】

BCYE

作DFLBE,：BC=CD,AZ1=30°,又「△DCE為2的等邊三角形

;.DF=5即BD=2/

9.【答案】10.

10.【答案】90°.

11.【答案】2cm;75°

【解析】①；AB=AC,/ABC為60度，

??.△ABC為等邊三角形.

在4ABD和4ACD中，

'AB=AC

AD=AD，

BD=CD

AABD^AACD,

；./BAD=NCAD,

；.AE是BC邊的中垂線，

/.BE=3BC=2cm；

2

故答案是：2cm；

②：AB=AD(已知)，

Z.ZABD=ZADB(等邊對等角)，

.\ZABD=1(180°-ZBAD)=1(180°-30°)=75°.

22

故答案是：75°.

12.【答案】腰為10,底邊長為1.

【解析】提示：注意此類題型要分類討論，最終結(jié)果要進(jìn)行驗(yàn)證.

三、解答題

13.【答案與解析】

O

H

(1)將AABO繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60度，使B與C重合，。點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)后的點(diǎn)為O',

因?yàn)锳O=AO',/A00'=60°,所以△AOO'是等邊三角形。所以00'=0A.

轉(zhuǎn)動(dòng)后O'C=OB,所以△00'C其實(shí)就是以O(shè)A、OB、0C為邊組成的三角形，

NC00'=360°-ZA0B-ZB0C-Z010A=360°-110°-135°-60°=55°,

ZC0'0=ZA0,C-ZO0，A=ZA0B-Z00'A=110°-60°=50°,

N0'C0=180°-ZCOO,-ZC0'0=180°-55°-50°=75°.

(2)從上面的角度計(jì)算我們可以看出來，當(dāng)NBOC可變時(shí)，ZC0'0依舊為定值50°.

若三角形為直角三角形，則/C00'=90°或/O'CO=9O°.

若使/C00'=90°,則360°-ZA0B-ZB0C-Z0,0A=90°,可解出NB0C=100°.

若使N0'C0=90°,則NC00'=40°,可解出NB0C=150°.

14.【答案與解析】

解：⑴；BA=BC,

ZBCA=ZBAC,

DA=DB,

ZBAD=ZB,

AD=AC,

ZADC=ZC=ZBAC=2ZB,

ZDAC=ZB,

ZDAC+ZADC+ZC=180°,

2ZB+2ZB+ZB=180°,

ZB=36°,ZC=2ZB=72°,

故答案為：36；72；

(2)①在△ADB中，,「DB二DA,ZB=36°,

/.ZBAD=36°,

在4ACD中，「AD=AC,

ZACD=NADC=72°,

/.ZCAD=36。，

/.ZBAD=ZCAD=36°,

,/MH±AD,

/.ZAHN二NAHE=90°,

ZAEN=ZANE=54。，

即△ANE是等腰三角形；

②CD=BN+CE.

證明：由①知AN=AE,

又.BA二BC,DB=AC,

「?BN=AB-AN二BC-AE,CE=AE-AC=AE-BD,

/.BN+CE=BC-BD=CD,

即CD=BN+CE.

15.【答案與解析】

(1)證明：YAF平分NBAC,

???NCAD=NDAB=1ZBAC.

2

YD與A關(guān)于E對稱，

???E為AD中點(diǎn).

VBC±AD,

???BC為AD的中垂線，

???AC=CD.

???在RtaACE和RtAABE中

NCAD+NACE=NDAB+NABE=90°,NCAD=