浙江省嘉興市五校2024屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

浙江省嘉興市五校2024屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

?-初/有且只有個(gè)不同的零點(diǎn),

1.若函數(shù)=B4則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

e2)(e2)(e2

—,+00B.——,+ooC.—00,——D.—00,——

4J(4JI4J4

2.2021年某省將實(shí)行“3+1+2”的新高考模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生物、政

治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為

1111

A.-B.-C.一D.-

8462

X22

3.已知雙曲線與一a=1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E,F,以O(shè)F（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓C交

a'

雙曲線于A3兩點(diǎn),若直線AE與圓C相切，則該雙曲線的離心率為（）

A,應(yīng)+3新?2A/2+V63二+2幾D3應(yīng)+店

D.-----------c

2222

2+logjx<l

4.已知函數(shù)/（%）=2x,若于④=則他的最小值為（）

2\l<x<2

參考數(shù)據(jù)：1112Po.691n22Po.48

￡立_

A.B.C.log2V3D.—

22

,31n2

5.已知a=In君，b=e>T,c=-------,則。，b,c的大小關(guān)系為（）

8

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

6.已知復(fù)數(shù),則-的共甄復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

—_-一

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.已知復(fù)數(shù)z滿足二巨=2-7(其中三為z的共朝復(fù)數(shù))，貝！J目的值為()

1-1

A.1B.2C.73D.逐

9.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=(l+i)(2+i),則其共飄復(fù)數(shù)1=()

A.l+3zB.l-3zC.-l+3zD.-l-3z

10.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：/(x+2e)=-/(%)(其中e=2.71828),且在區(qū)間［e,2e］上是減函數(shù),

令“=手，b~,c=—,則/(a),f(b),/(c)的大小關(guān)系(用不等號(hào)連接)為()

乙33

A./(/?)>/(?)>/(c)B.f(b)>f(c)>/(?)

C.f(a)>f(b)>f(c)D.

11.據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2019年11月全國(guó)CP/(居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù))，同比上漲4.5%,CP/上漲的主要因素是

豬肉價(jià)格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響CP/上漲3.27個(gè)百分點(diǎn).下圖是2019年11月CP/一籃子商品權(quán)重，根據(jù)該

圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.CP/一籃子商品中所占權(quán)重最大的是居住

B.CP/一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過(guò)50%

C.豬肉在C產(chǎn)/一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%

D.豬肉與其他畜肉在一籃子商品中所占權(quán)重約為0.18%

12.設(shè)i是虛數(shù)單位，則(2+3i)(3—2i)=()

A.12+5zB.6-6zC.5zD.13

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知｛4｝為等差數(shù)列，S”為其前n項(xiàng)和，若％=6,%+%=0,貝11$6=.

14.一次考試后，某班全班50個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為正數(shù)"，若把〃當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù)，與原來(lái)的50個(gè)分?jǐn)?shù)

一起，算出這51個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為N,則二=.

15.已知函數(shù)八％)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù)為了'(x),若/(x)=8sx—/(-力,且尸(力+罷<0,則滿足

/■(x+?)+/(x)<0的工的取值范圍為.

16.已知P為雙曲線C：的左焦點(diǎn)，直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，若點(diǎn)A(a,0),3(0,b)關(guān)于直線/對(duì)稱，

ab

則雙曲線C的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱錐尸—A3CD中，。是邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。的中心，PO,平面ABC。，E為的

中點(diǎn).

(I)求證：平面PAC_L平面PBD；

(II)若PE=3,求二面角。—PE—5的余弦值.

18.(12分)如圖1,AADC與AABC是處在同-個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)全等的直角三角形，

ZACB=ZACD=30°ZABC=ZADC=90°>AB=2,連接是加,后邊上一點(diǎn)，過(guò)E忤EFI/BD,交CD

于點(diǎn)口，沿町將ACEF向上翻折，得到如圖2所示的六面體P-ABE陽(yáng),

p

I)

圖I圖2

(1)求證：BD1AP-

(2)設(shè)5E=；lEC(；leR),若平面PE產(chǎn)，底面A3EFD，若平面R45與平面PD產(chǎn)所成角的余弦值為手，求彳的

值；

(3)若平面P昉，底面A3EFD，求六面體尸-ABEED的體積的最大值.

X2

19.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=21n(x+l)+=一.

x+1

(I)討論函數(shù)/(》)的單調(diào)性；

(II)如果對(duì)所有的XK),都有求。的最小值；

(III)已知數(shù)列｛4｝中，6=1,且(1一4+1)(1+4)=1,若數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為s“，求證：

S“〉斐-Ina.小

2a,

20.(12分)已知圓0：/+＞2=1和拋物線后：y=x2_2,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)已知直線/和圓。相切，與拋物線E交于兩點(diǎn)，且滿足OMLON,求直線/的方程；

(2)過(guò)拋物線E上一點(diǎn)P(x。,%)作兩直線PQ,網(wǎng)和圓。相切，且分別交拋物線E于。,R兩點(diǎn)，若直線。尺的斜率

為-有,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx-gav2+x(awR),函數(shù)g(x)=-2%+3.

(I)判斷函數(shù)砥x)=/(x)+gag(x)的單調(diào)性；

(II)若一2＜。＜一1時(shí)，對(duì)任意不等式|/(石)—/(尤2)歸心&)-8(々)恒成立，求實(shí)數(shù)f的最小值.

22.(10分)已知。，b,c分別為AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，若AABC同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè):

①j=2瓜a+3c；②cos2A+2cos23=1；③。=痂@b=2^2.

c3(a+b)2、

(1)滿足有解三角形的序號(hào)組合有哪些？

(2)在(1)所有組合中任選一組，并求對(duì)應(yīng)AABC的面積.

(若所選條件出現(xiàn)多種可能，則按計(jì)算的第一種可能計(jì)分)

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

由/(%)=別一初d是偶函數(shù)，則只需"%)=3—如2在xw(0收)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)即可.

【詳解】

解：顯然/(%)=/-如2是偶函數(shù)

所以只需xe(0,48)時(shí)，/(x)=eW—〃V=eX—如2有且只有2個(gè)零點(diǎn)即可

令ex-mx2=0，貝!)m=與

X

xx

瓜/、e，/、e(x-2)

令g(x)=7，g(x)=[3J

xe(0,2),g,x)<0,g(x)遞減,且xf0+,g(x)f+oo

xe(2,+oo),g,(x)>0,g(x)遞增，且x-?-H?,g(x).+oo

g(x)>g(2)=—

XW(0,+ao)時(shí)，/(%)=*一"a2=6'-如2有且只有2個(gè)零點(diǎn)，

e1

只需機(jī)〉一

4

故選：B

【點(diǎn)睛】

考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有12種，甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一

31

科即可，共有c；=3種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率。=二=：,

124

故選B.

3,D

【解析】

連接C4,AF,可得但q=+,在中，由余弦定理得結(jié)合雙曲線的定義，即得解.

【詳解】

連接C4,AF,

則［0。=|04|=|。司=；,|0目=。,

所以|EC|=+，|FC|=|

在HjEAC中，|A￡|=缶，cosZACE=1,

故cosZACE=-cosZACE=

3

在一A"中，由余弦定理

AF2=C42+CF2-2CACF-cosZACF

可得

3

根據(jù)雙曲線的定義，得、&—逅c=2a，

3

c26372+76

Z2-----------------------------

所以雙曲線的離心率—a—五"3及-瓜―2

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

4、A

【解析】

首先/(尤)的單調(diào)性，由此判斷出由/(。)=/3)求得。力的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得log2。。的最小值，由

l<b<2

此求得ah的最小值.

【詳解】

2+log,%,-<%<!/、、

由于函數(shù)/(x)=58，所以/(%)在7,1上遞減，在［1,2］上遞增.由于/(a)=/3)(a<。)，

O)

2r,l<x<2

/，］=2+log，=5"⑵=22=4,令2+1嗎％=4,解得X」，所以*且2+log1a=2,化簡(jiǎn)

⑻〃24之

h

得log2a=2-2",所以log?ab=log2a+log2b-2-2+log2b,構(gòu)造函數(shù)g(x)=2-2*+log2x(l<xW2),

]1-x2」n22

g(x)=-2、In2+.構(gòu)造函數(shù)/z(x)=l-x-2x.ln22(l<x<2),

xln2xln2

h(x)=-(1+xln2)-2'ln22<0,所以h{x}在區(qū)間(1,2]上遞減，而/z(l)=l-21n22?1-2x0.48=0.04>0,

/z(2)=l-81n22?l-8x0.48=-2.84<0,所以存在/e(L2),使人(％)=0.所以g(x)在(1,%)上大于零，在

(%，2)上小于零.所以g(x)在區(qū)間(1,%)上遞增，在區(qū)間(工，2)上遞減.而g⑴=0,g(2)=2-22+log22=-1,所

以g(x)在區(qū)間。,2］上的最小值為—1,也即log?"的最小值為-1,所以"的最小值為2T=j.

故選：A

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

5、D

【解析】

構(gòu)造函數(shù)/(同=皿，利用導(dǎo)數(shù)求得了(%)的單調(diào)區(qū)間，由此判斷出風(fēng)仇c的大小關(guān)系.

【詳解】

,口1仃In37-1Ine3In2In8人0,、Inx土…,，/、1-lnx-、一皿々、

依題意，得。二山。3=——，b=e=——,c=-----=——?令/(x)=----，所以/(%)=——z一?所以函數(shù)/(%)

3e88xx

在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+co)上單調(diào)遞減.所以"(x)]x=/(e)=-=b,K/(3)>/(8),即a>c,所以h>a>c.

1me

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查對(duì)數(shù)式比較大小，屬于中檔題.

6、C

【解析】

分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，求得復(fù)數(shù)二，再利用復(fù)數(shù)的表示，即可得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得到答案.

詳解：由題意，復(fù)數(shù)則三=

所以復(fù)數(shù);在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限，故選C.

點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示，其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解復(fù)數(shù)二是解答的關(guān)鍵，著重考查

了推理與運(yùn)算能力.

7、D

【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項(xiàng)A,C,當(dāng)x.0+時(shí)，可分析函數(shù)值為正，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】

y=sin[x―?In|x|=-cosxln|x\,

-cos(-x)ln|-%|=-cosxln|x|,

即函數(shù)為偶函數(shù)，

故排除選項(xiàng)A,G

當(dāng)正數(shù)x越來(lái)越小，趨近于0時(shí)，—cosx<0,ln|x|<0,

所以函數(shù)丁=5由1%-1^]11|%|〉0,故排除選項(xiàng)3,

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，識(shí)別函數(shù)的圖象，屬于中檔題.

8、D

【解析】

按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則先求出三，再寫出z,進(jìn)而求出目.

【詳解】

1+Z_(1+7)2_2i__.

口—(1-z)(l+z)一5一乙

二.---z=2-z^>z-z=2-z^>z=-----=-z(2-z)=-l-2z,

1-zi

z=—l+2i=>\z|=J(-if+2?=^5?

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共物復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模，考查基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算出z,然后再根據(jù)共朝復(fù)數(shù)的概念直接寫出三即可.

【詳解】

由z=(l+i)(2+i)=l+3i,所以其共軌復(fù)數(shù)1=1一33

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共朝復(fù)數(shù)的概念，難度較易.

10、A

【解析】

因?yàn)?(x+2e)=—“X),所以〃x+4e)=/(x),即周期為4,因?yàn)橥饬槠婧瘮?shù)，所以可作一個(gè)周期[-2e,2e]

示意圖，如圖“X)在(0,1)單調(diào)遞增，因?yàn)?2<25：.5S<25,23<32,25<33:.0<c<a<0<l，因此

/(/?)>/(?)>/(c),選A.

點(diǎn)睛：函數(shù)對(duì)稱性代數(shù)表示

(1)函數(shù)/■⑺為奇函數(shù)0/(%)=—/(-%)，函數(shù)/■⑺為偶函數(shù)=/(x)=/(一%)(定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；

(2)函數(shù)于(玲關(guān)于點(diǎn)(。,〃)對(duì)稱o/(x)+/(—x+2a)=2b,函數(shù)/(%)關(guān)于直線x=相對(duì)稱o/(x)=/(—x+2附，

(3)函數(shù)周期為T,則/(x)=f(x+T)

11、D

【解析】

A.從第一個(gè)圖觀察居住占23%,與其他比較即可.B.C7V一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判斷.C.

食品占19.9%,再看第二個(gè)圖，分清2.5%是在CP/一籃子商品中，還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CP/

一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%.

【詳解】

A.CP/一籃子商品中居住占23%,所占權(quán)重最大的，故正確.

B.C77一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,權(quán)重超過(guò)50%,故正確.

C.食品占中19.9%,分解后后可知豬肉是占在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%,故正確.

D.豬肉與其他畜肉在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%,故錯(cuò)誤.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別與應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求得結(jié)果.

【詳解】

由復(fù)數(shù)的乘法法則得（2+3z）（3-2Z）=6+5Z-6Z2=12+5i.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

試題分析：因?yàn)椋祝堑炔顢?shù)列，所以。3+%=2%=0,即。4=0,又%-％=38=-6,所以d=—2,

所以$6=6囚+15d=6x6+15x（—2）=6.故答案為1.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本性質(zhì)

【名師點(diǎn)睛】在等差數(shù)列五個(gè)基本量，中，已知其中三個(gè)量，可以根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列

的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式列出關(guān)于基本量的方程（組）來(lái)求余下的兩個(gè)量，計(jì)算時(shí)須注意整體代換思想及方程思想的應(yīng)

用.

14、1

【解析】

根據(jù)均值的定義計(jì)算.

【詳解】

上時(shí)工“5OM+M1,.M,

由題意N=---------=M,..—=1.

51N

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查均值的概念，屬于基礎(chǔ)題.

15、[?+力

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-矍，再根據(jù)條件確定g(x)為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞減，最后利用單調(diào)性以及奇偶性化簡(jiǎn)

不等式，解得結(jié)果.

【詳解】

依題意，-可=-〃-x)+巴厘，

令g(x)=/(x)-卷二，貝lg(x)=—g(-%),故函數(shù)g(x)為奇函數(shù)

g，(x)="X)—登=r(x)+等<0,故函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減，

貝！I/(x+乃)+/(x)<0n/(x+")一+/(x)—<0

=g")+g(木。=g(X+gg(3g(T),即…”，故工話,則”的取值范叫4+[.

故答案為：-5，+°°]

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及利用函數(shù)性質(zhì)解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.

16、73+1

【解析】

由點(diǎn)A(a,0),8(03)關(guān)于直線/對(duì)稱，得到直線/的斜率，再根據(jù)直線/過(guò)點(diǎn)/，可求出直線/方程，又A,3中點(diǎn)

在直線/上，代入直線/的方程，化簡(jiǎn)整理，即可求出結(jié)果.

【詳解】

22

因?yàn)榇鯙殡p曲線C：二—二=1伍〉0力〉0)的左焦點(diǎn)，所以網(wǎng)—c,0),又點(diǎn)A(a,o),8(0力)關(guān)于直線/對(duì)稱，

ab

kAB=F=-2,所以可得直線/的方程為y=f(x+c),又A’3中點(diǎn)在直線/上,所以?=+整理得

0-aab2八2J

b1=a~+2ac?又b~=b—a1，所以-2ac-2a~=0,

故e?—2e—2=0，解得e=l土若，因?yàn)閑〉l,所以e=l+JL

故答案為e-l+y]3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，先由兩點(diǎn)對(duì)稱，求出直線斜率，再由焦點(diǎn)坐標(biāo)求出直線方程，根據(jù)中點(diǎn)在直線上，

即可求出結(jié)果，屬于常考題型.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、（I）詳見解析；（II）—封耍.

29

【解析】

（I）由正方形的性質(zhì)得出AC，3。，由尸0,平面ABC。得出進(jìn)而可推導(dǎo)出AC,平面P3D,再利

用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；

（H）取A6的中點(diǎn)"，連接OM、OE,以?！?、OE、0尸所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

利用空間向量法能求出二面角D-PE-B的余弦值.

【詳解】

（I）MCD是正方形，.?.ACLBD,

尸0,平面ABC。，ACu平面ABC。，.?.尸OLAC.

OP、BDu平面且0Pc5￡>=0,；.AC_L平面PBD,

又ACu平面PAC,平面PAC_L平面PSD；

（H）取AB的中點(diǎn)M,連接OM、OE,

ABCD是正方形，易知。0、OE、OP兩兩垂直，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。河、OE、。尸所在直線分別為x、y、

z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

在處APOE中，OE=2,PE=3,:.PO=E

.?.6（220）、D（-2,-2,0）,P（0,0,君）、石（0,2,0）,

設(shè)平面Pl汨的一個(gè)法向量7〃=（七,弘,4），BE=（-2,0,0）,PE=（0,2-45）,

.BE-0-Vi—0.__,/i—\

由1,得<r，令則玉=0,Z]=2,.,.m=（0,45,2）.

m-PE-0[2丁]-，54=0'）

設(shè)平面PDE的一個(gè)法向量〃=（%，%，Z2），Z>￡=（2,4,0）,PE=（0,2,-75）,

n-DE=O企，取必=指，得得〃=(-

由<，得220z2=2,x2--275,26,y/5,21

n-PE=O

m-n30^

cos<m,n>=?~r-j-r=----------

時(shí)N29，

二面角O—PE—5為鈍二面角，，二面角D-PE-B的余弦值為-上叵

29

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.

18、(1)證明見解析(2)2=-(3)典A

49

【解析】

(1)根據(jù)折疊圖形，BDLAC,PNL8。,由線面垂直的判定定理可得比)j_平面PAN,再根據(jù)APu平面P4V,

得到

(2)根據(jù)PNL跖，七FLAC,以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，為蒼％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)

出

AB=AD=2,BD=BC=2yjl3,AM=1,CM=3,=可知，EF=^2^,PN=CN=^3—，表示相應(yīng)點(diǎn)

1+21+2

|5-42|冷求解.

的坐標(biāo)，分別求得平面與平面OEP的法向量，代入COS'M,"

⑶設(shè)所求幾何體的體積為V,設(shè)CN=x(O<x<3)為高，則RN=Y

x,表示梯形BEFD和AABD的面積由

273+—x（3-x）

、3J1

V=-x+—x2Al,再利用導(dǎo)數(shù)求最值.

322

【詳解】

(1)證明：不妨設(shè)所與AC的交點(diǎn)為MB。與AC的交點(diǎn)為M

由題知，CD=BC,ZDCA=ZBCA=30°,則有5。LAC

又BD/IEF,則有EFLAC.

由折疊可知，PN±EF,所以可證PN±BD,

由ACcPN=N,ACu平面PAN,PNu平面QAN,

則有6Z)_L平面上4N

又因?yàn)锳Pu平面PAN,

所以5DLAP....

(2)解：依題意，有PN1EF,平面PEF工平ABEFD面,

又PNu平面PEF,

則有PNA平面跖D,PN1AC,又由題意知，EF±AC

如圖所示：

以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NA,NE,NP為蒼％z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

由題意知48=4。=2,8。=5。=26,4〃=1,。知=3

由AE=；IEC可知,

ER售“NG

則N（0,0,0）,p1（）,0，W打,0,0

,A

1+X

32,G,o],/o,-￡,O1,D鳥,—五0

B

1+2JI1+^J1+2

則有AP=[一打,0,三],

BP=

I1+21+2）

、

FP=,DP=\-

71

設(shè)平面ABP與平面DFP的法向量分別為切=(玉,%,4),〃=(%2,%，Z2)

AP-m=0—（42+1）$+3Z]=0

則有《n=m=3,A42+1）

BP-m=0—（4+1）%+,3Z]=0

FP-n-0

則=><

DPn-0

|5-42|=好

所以cos（m,n

因?yàn)?e(0,1),解得

⑶設(shè)所求幾何體的體積為V,設(shè)CN=x(O<x<3),

則RN=^x,

3

2A/3+-%（3-x）

、3）

V=-x---------+-x273xl

322

jx+lj（3-x）+l

12

-----X

3

x-2)(x+2)

二當(dāng)0〈尤<2時(shí)，V'>0,當(dāng)2<%<3時(shí)，V'<0

./(九)在(0,2)是增函數(shù)，在(2,3)上是減函數(shù)

二當(dāng)尤=2時(shí)，丫有最大值，

即％=*8+12x2)=竽

二六面體P-AEBED的體積的最大值是包8

9

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線線垂直，線面垂直，面面垂直的轉(zhuǎn)化，二面角的向量求法和空間幾何體的體積，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的

思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題.

19,(I)函數(shù)/(x)在(-1,-2+J5)上單調(diào)遞減，在(-2+JI,+oo)單調(diào)遞增；(H)2；(III)證明見解析.

【解析】

(I)先求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(H)設(shè)g(x)=/(x)-ax,先求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論。的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的最

小值；

11111

(III)先求出數(shù)列一是以一=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，an=-,an+l=-問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明：

anJnn+1

,/?111

歷“+1+,1\<1+彳+公++一,通過(guò)換元法或數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.

+23n

【詳解】

、%2+4%+2

解：(I)/(x)的定義域?yàn)?-1,+8),/(%)=1—k，

(x+l)

當(dāng)—KxV—2+夜時(shí)，f(x)<2,當(dāng)x>—2+后時(shí)，f(x)>2,

所以函數(shù)/(x)在卜1,-2+上單調(diào)遞減，在卜2+J5,+s)單調(diào)遞增.

r2

(II)設(shè)g(%)=2方(%+l)d------ax9

x+1

2(x+1)2+2(x+l)-l

,/\x+4x+219

貝!lg(%)［Qa-------1)2+2—%

x+1)x+1)2X+1

10

因?yàn)槟?,故—IV—(------------1)2<0,

x+1

(i)當(dāng)生1時(shí)，1-好2,(<2,所以g(x)在［2,+oo)單調(diào)遞減,

而g(2)=2,所以對(duì)所有的g(x)<2,即/(x)<ax；

2—a

(ii)當(dāng)IVaVl時(shí)，2V1-QVL若xw0,----,則g，(x)>2,g(x)單調(diào)遞增,

l+y/Z-a

而g(2)=2,所以當(dāng)%W0,時(shí)，g(x)>2,即/(x)>ax；

ci—1

(iii)當(dāng)方1時(shí)，1-a",g'(x)>2,所以g(x)在[2,+oo)單調(diào)遞增,

而g(2)=2,所以對(duì)所有的x>2,g(x)>2,即/(x)>ax；

綜上，。的最小值為1.

(皿)由(1-an+i)(l+a?)=1得，an-an+i=an*an+i,由ai=l得，a#2,

11,11,

所以--------=1,數(shù)列一是以一=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,

a

an+lan[4J\

J_11

故—=n,an=—,a”+i

annn+1

n-111

5“>就~一/a4+1(7?+1)+------<1+—+—++—

2(n+l)23n

九2

由(II)知a=l時(shí),2Zn(x+l)d-----<2x9x>2,

')x+1

即山a+i)+E<x,x>2.

1,n+11,1

法一：令得山丁+麗河3

即方(〃+1)_/“+:［工11<1

n〃+1n

n11n

因?yàn)閆/〃(左+i)—?dú)v%+不|,,歷(〃+l)+

2(幾+1)'

k=\乙、KK十J.

所以勿(〃+1)H；-----VIH11-…H

萬(wàn)么I)2(77+1)23n

故$.＞一■一打q

S>lnaU

法二：n~~~n+\++->/?(n+1)+,.

2an23n2(〃+l)

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

%21

(1)當(dāng)”=1時(shí)，令X=1代入山(X+1)+：77~即得1>山2+—,不等式成立

2(%+1)4

(1)假設(shè)"=笈@dN*,fc>l)時(shí)，不等式成立，

即1+』+』++—>ln(k+i]-\——~-

123k')2(4+1)'

,1111k1

貝〃=左+1時(shí)1-\1FH1------〉/〃(左+1n)H7H--------

川"23kk+1''2(女+1)k+1'

1%2

令x=。！代入山(-1)+可的<刈

1左+21/\k1-^7/7i\kj左+2I

----->M7-------1----7-----77-----r/〃7(左7+I)^---;------7------->加(左+])H----(-----r+III-------1-----------------

1尋％+1k+\2(左+1)(攵+2)172(左+1)左+1172(左+1)k+12(左+1)(左+2)

左（左+2）+1k+1

=ln(k+2)+ln(k+2)+

2（左+1）（左+2）2(1+2)

、，

即.1,H1----11----FH--1--1----1-->/“(/左,+2)-I---2-----

1,23kk+1、)2(4+2)'

,11

由（1）（1）可知不等式1+萬(wàn)+耳++~>ln(n+l]-\———~-對(duì)任何“GN*都成立.

n、)2(〃+1)

故S.＞料一方

2a“

考點(diǎn)：1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；3、數(shù)列的通項(xiàng)公式；4、數(shù)列的前〃項(xiàng)和；5、

不等式的證明.

20、（1）y=-l；（2）p（_g,3）或p（后1）.

【解析】

試題分析：直線與圓相切只需圓心到直線的距離等于圓的半徑，直線與曲線相交于M,N兩點(diǎn)，且滿足QWLQV,

只需數(shù)量積為0,要聯(lián)立方程組設(shè)而不求，利用坐標(biāo)關(guān)系及根與系數(shù)關(guān)系解題，這是解析幾何常用解題方法，第二步

利用直線QR的斜率找出坐標(biāo)滿足的要求，再利用兩直線與圓相切，求出點(diǎn)的坐標(biāo).

一/、/、\b\

試題解析：（1）解：設(shè)/：y=H+Z?,M（xl,y^,N（x2,y7）,由/和圓。相切，得「—=1.

A/K+1

b2=/+].

y-kx+b

由｛-2c消去y，并整理得尤2—依—b—2=0，

y=x-2

xx+x2=k,\x2=-b-2.

由OM_LON,得OMON=0,即石々+%%=。.

/.西苑+（何+b）（kx2+b）-0.

/.（1+左2）%龍2+kb（%+%2）+/=0,

：.（l+k2）（-b-2）+k-b+b2=0,

：.b\-b-2）+[b--l）b+b2=0.

**-Z?2+Z?=0?

.?./?=—1或Z?=0（舍）.

當(dāng)b=—1時(shí)，k=Q,故直線/的方程為y=-L

⑵設(shè)p（%,為）,。（4％）,火伍,必），則％亡―上"2）一/一2）=西+々.

演-x2項(xiàng)一x2

；?%+%二—^3.

設(shè),少：丁一%二%（%一%），由直線和圓相切，得而下一二1，

即（%；—1）化;—2%%勺+y：-1=0.

設(shè)/PR：y—%=%（%—%），同理可得：（%；-1）^2—2%o%左2+y：—1=。.

故勺，&是方程（焉—1快2-2x0y0k+^-1=0的兩根，故左+修=烏吟.

苞、-1

V=Vn-kyXr.r

由｛，量-2得廠勺―=。，故為+……

同理％0+々=左2，貝！|2%0+再+%2=勺+左2，即2%0-6=2°'；.

X。T

.?.2%一百=2%芳：2）,解/=_曰或6

當(dāng)/=-立時(shí)，%=-?；當(dāng)/=百時(shí)，％=L

33

故P-彳>-'!或。（石」）.

I3力

21、（1）故函數(shù)y=E（x）在,,：］上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;（2）?.

【解析】

試題分析：

（I）根據(jù)題意得到/（%）的解析式和定義域，求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性.（II）分析題意可得

/(X2)+出(%)4/(%)+火(%)對(duì)任意—2WaW—l,1<%<2恒成立，構(gòu)造函數(shù)

7z(%)—f(%)+tg(x)-lux—cix^+(1—2/)%+3%,則有〃(％)——ax+(1—2%)V0對(duì)任意a￡[―2,—1],xG[1,2]

2x

恒成立，然后通過(guò)求函數(shù)的