人教版高中數(shù)學選修二專題4.1 數(shù)列的概念與簡單表示法（解析版）

專題4.1數(shù)列的概念與簡單表示法知識儲備知識點一數(shù)列及其有關概念思考1數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個數(shù)列嗎？【答案】不是.順序不一樣.思考2根據(jù)你對于數(shù)列的定義的理解，看看能不能回答下面的問題：(1)按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù)列中的每一項都和它的序號有關，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項(通常也叫做首項)，排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項，……，排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項.(2)數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，…，an，…，簡記為{an}.思考3數(shù)列的記法和集合有些相似，那么數(shù)列與集合的區(qū)別在哪兒？【答案】數(shù)列中的數(shù)講究順序，集合中的元素具有無序性；數(shù)列中可以出現(xiàn)相同的數(shù)，集合中的元素具有互異性.知識點二通項公式思考1數(shù)列1,2,3,4，…的第100項是多少？你是如何猜的？【答案】100.由前四項與它們的序號相同，猜第n項an＝n，從而第100項應為100.思考2上例中的an＝n當序號n取不同的值，就可得到不同的項，所以可以把an＝n當作數(shù)列1,2,3,4，…的項的通用公式，這個公式就叫通項公式.你能把通項公式推廣到一般數(shù)列嗎？【答案】如果數(shù)列{an}的第n項an與序號n之間的關系可以用一個式子an＝f(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.思考3數(shù)列的通項公式an＝f(n)與函數(shù)解析式y(tǒng)＝f(x)有什么異同？【答案】如圖，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})為定義域的函數(shù)an＝f(n)當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數(shù)值.不同之處是定義域，數(shù)列中的n必須是從1開始且連續(xù)的正整數(shù)，函數(shù)的定義域可以是任意非空數(shù)集.知識點三數(shù)列的分類(1)按項數(shù)分類，項數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列.(2)按項的增減趨勢分類，從第二項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；從第二項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；各項相等的數(shù)列叫做常數(shù)列；從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列叫做擺動數(shù)列.知識點四遞推公式思考1(1)已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，且有an＝3an－1＋2(n>1)，則a4＝________.(2)已知數(shù)列{an}中，a1＝a2＝1，且有an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)，則a4＝________.【答案】(1)53(2)3思考2上例是一種給出數(shù)列的方法，叫遞推公式.你能概括一下什么叫遞推公式嗎？【答案】如果數(shù)列{an}的第1項或前幾項已知，并且數(shù)列{an}的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的遞推公式.思考3我們已經(jīng)知道通項公式和遞推公式都能給出數(shù)列.那么通項公式和遞推公式有什么不同？【答案】通項公式和遞推公式都是給出數(shù)列的方法.已知數(shù)列的通項公式，可以直接求出任意一項；已知遞推公式，要求某一項，則必須依次求出該項前面所有的項.知識點五數(shù)列的表示方法思考1以數(shù)列2,4,6,8,10,12，…為例，你能用幾種方法表示這個數(shù)列？【答案】(1)解析法、列表法、圖象法.數(shù)列可以用通項公式、圖象、列表等方法來表示.(2)對數(shù)列2,4,6,8,10,12，…可用以下幾種方法表示：①通項公式法：an＝2n.②遞推公式法：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＋1＝an＋2，n∈N*.))③列表法：n123…k…an246…2k…④圖象法：思考2歸納一下數(shù)列的表示方法.【答案】數(shù)列的表示方法有通項公式法、圖象法、列表法、遞推公式法.能力檢測注意事項：本試卷滿分100分，考試時間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．下列說法正確的是()A．數(shù)列1,3,5,7與數(shù)集{1,3,5,7}是一樣的B．數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是相同的C．數(shù)列是遞增數(shù)列D．數(shù)列是擺動數(shù)列【答案】D【解析】數(shù)列是有序的，而數(shù)集是無序的，所以A，B不正確；選項C中的數(shù)列是遞減數(shù)列；選項D中的數(shù)列是擺動數(shù)列．2．已知數(shù)列，，，…，，則0.96是該數(shù)列的()A．第20項 B．第22項C．第24項 D．第26項【答案】C【解析】由＝0.96，解得n＝24.3．在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A．11B．12C．13D．14【答案】C【解析】觀察數(shù)列可知，后一項是前兩項的和，故x＝5＋8＝13.4．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝log(n＋1)(n＋2)，則它的前30項之積是()A. B．5C．6 D．【答案】B【解析】a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5.5．已知遞減數(shù)列{an}中，an＝kn(k為常數(shù))，則實數(shù)k的取值范圍是()A．R B．(0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，0]【答案】C【解析】an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.6．數(shù)列{an}中，an＝－n2＋11n，則此數(shù)列最大項是()A．第4項 B．第6項C．第5項 D．第5項和第6項【答案】D【解析】an＝－n2＋11n＝－＋，∵n∈N＋，∴當n＝5或n＝6時，an取最大值．故選D.7．我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構造數(shù)列1，，，，…，.①第二步：將數(shù)列①的各項乘n，得到數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an.則n≥2時，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝()A．n2 B．(n－1)2C．n(n－1) D．n(n＋1)【答案】C【解析】由題意得ak＝.k≥2時，ak－1ak＝.∴n≥2時，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n2＝n2＝n(n－1)．故選C.8．由1,3,5，…，2n－1，…構成數(shù)列{an}，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，當n≥2時，bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，則b6的值是()A．9 B．17C．33 D．65【答案】C【解析】∵bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，∴b2＝aeq\a\vs4\al(b1)＝a2＝3，b3＝aeq\a\vs4\al(b2)＝a3＝5，b4＝aeq\a\vs4\al(b3)＝a5＝9，b5＝aeq\a\vs4\al(b4)＝a9＝17，b6＝aeq\a\vs4\al(b5)＝a17＝33.二、多選題9．(多選)一個無窮數(shù)列{an}的前三項是1,2,3，下列可以作為其通項公式的是()A．a(chǎn)n＝nB．a(chǎn)n＝n3－6n2－12n－6C．a(chǎn)n＝n2－n＋1D．a(chǎn)n＝【答案】AD【解析】對于A，若an＝n，則a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合題意；對于B，若an＝n3－6n2－12n＋6，則a1＝－11，不符合題意；對于C，若an＝n2－n＋1，當n＝3時，a3＝4≠3，不符合題意；對于D，若an＝，則a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合題意．故選A、D.10．(多選)數(shù)列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱為“兔子數(shù)列”．該數(shù)列從第三項開始，每項等于其前相鄰兩項之和．記數(shù)列{Fn}的前n項和為Sn，則下列結論正確的是()A．S5＝F7－1 B．S5＝S6－1C．S2019＝F2021－1 D．S2019＝F2020－1【答案】AC【解析】根據(jù)題意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2019＝F2021－1.故選A、C.11．已知數(shù)列的前4項為2，0，2，0，則該數(shù)列的通項公式可能為（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】因為數(shù)列的前4項為2，0，2，0，選項A：不符合題設；選項B：，符合題設；選項C：，不符合題設；選項D：，符合題設.故選：BD.12．“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……”大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．大衍數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，從第一項起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．記大衍數(shù)列為，其前n項和為，則（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】根據(jù)數(shù)列前項依次是，則奇數(shù)項為：，，，，，，偶數(shù)項為：，，，，，，所以通項公式為，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，由，所以，故C正確；對于D，，故D正確.故選：BCD三、填空題13．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝19－2n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為________．【答案】9【解析】由an＝19－2n>0，得n<.∵n∈N*，∴n≤9.14．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝，則an·an＋1·an＋2＝________.【答案】【解析】an·an＋1·an＋2＝··＝.15.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，則a1＋a3的值為________．【答案】-1【解析】∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，則a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.16.如圖(1)是第七屆國際數(shù)學教育大會(簡稱ICME-7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖(2)的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖(2)中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長度構成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的通項公式為an＝________.【答案】【解析】因為OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.四、解答題17．已知數(shù)列的前項和，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前多少項和最大．【解析】（1）當時，；當時，；所以：；（2）因為；所以前16項的和最大．18．在數(shù)列中，.（1）-107是不是該數(shù)列中的某一項？若是，其為第幾項？（2）求數(shù)列中的最大項.【解析】（1）令，解得或（舍去）.所以（2），由于，所以最大項為19．數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1+2anan+1-an=0.（1）寫出數(shù)列的前5項；（2）由（1）寫出數(shù)列{an}的一個通項公式；（3）實數(shù)是否為這個數(shù)列中的一項？若是,應為第幾項？【答案】(1)見解析（2）（3）50【解析】（1）由已知可得，，，，.（2）由（1）可得數(shù)列的每一項的分子均為1，分母分別為1，3，5，7，9，…，所以它的一個通項公式為.（3）令，解得，故是這個數(shù)列的第項. 20．已知數(shù)列.(1)求這個數(shù)列的第10項；(2)是不是該數(shù)列中的項，為什么？(3)求證：數(shù)列中的各項都在區(qū)間(0,1)內；(4)在區(qū)間內有無數(shù)列中的項？若有，是第幾項？若沒有，說明理由．【解析】(1)設an＝f(n)＝＝＝.令n＝10，得第10項a10＝f(10)＝.(2)令＝，得9n＝300.此方程無正整數(shù)解，所以不是該數(shù)列中的項．(3)證明：∵an＝＝1－，且n∈N*，∴0<1－<1，∴0<an<1.∴數(shù)列中的各項都在區(qū)間(0,1)內．(4)令<an＝<，∴∴∴當且僅當n＝2時，上式成立，故在區(qū)間內有數(shù)列中的項，且只有一項為a2＝.21．已知函數(shù)f(x)＝x－.數(shù)列{an}滿足f(an)＝－2n，且an>0.求數(shù)列{a