全等與相似模型-一線三等角（K字）模型（解析版）-2024年中考數(shù)學常見幾何模型

全等與超假模型—一線三等角（K字）模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜

合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多,難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法,熟練掌握基本解題

模型，再遇到該類問題就信心更足了.本專題就一線三等角模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

模型1.一線三等角（K型圖）模型

【模型解讀】在某條直線上有三個角相等，利用平角為180°與三角形內(nèi)角和為180°,證得兩個三角形全等。

【常見模型及證法】

同側(cè)型一線三等角：

異側(cè)型一線三等角:

銳角一線三等角鈍角一線三等角

條件：ZFAC=/ABD=AGED+任意一邊相等

證明思路：ZA=ZB,ZC=ABED+任一邊相等nABED=4ACE

血（2021.山東日照.中考真題）如圖,在矩形48cp中，4B=8cm,A。=12cm,點P從點B出發(fā)，以2cm/s

的速度沿5。邊向點。運動，到達點。停止，同時，點Q從點。出發(fā)，以vcm/s的速度沿CD邊向點。運

動，到達點。停止，規(guī)定其中一個動點停止運動時，另一個動點也隨之停止運動.當級為時，

△4BP與△PCQ全等.

【分析】可分兩種情況:①^ABP=^PCQ得到BP=CQ,AB=PC,②^ABP=\QCP^到BA=CQ,

P8=P。，然后分別計算出力的值，進而得到o的值.

【詳解】解：①當BP=CQ,AB=P。時，AABP會APCQ,

AB=8cm,/.PC=8cm,BP=12—8=4（cm）,/.2t=4,解得:t=2,

CQ—BP—4cm,，ux2=4,解得:o=2;

②當a4=CQ,PB=P。時，AABP與AQC?,???PB=PC,?,?6P=PC=6cm,??.21=6,解得：3=3,

*.*CQ=AB=8cm,x3=8,解得：0,

o

綜上所述，當”=2或1■時，"BP與APQC全等，故答案為：2或普.

OO

【點睛】主要考查了全等三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì).

刷2（2022.黑龍江.九年級期末）（1）如圖（1），已知:在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過點A,

直線直線m,垂足分別為點。、區(qū)證明：DE=BD+CE.

（2）如圖（2）,將（1）中的條件改為:在△ABC中，AB=力。，。、A、E三點都在直線m上,并且有NBDA

=/AEC=/BAC=a，其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給

出證明；若不成立,請說明理由.（3）拓展與應用：如圖（3）,。、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點

（。、A、E三點互不重合），點F為/BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接

BD、CE,若ABDA=ZAEC=ABAC,試判斷4DEF的形狀.

【答案】（1）見解析（2）成立，證明見解析（3）ADEF為等邊三角形，證明見解析

【分析】（1）因為DE=ZX4+故由全等三角形的判定AAS證AADB星ACEA,得出DA=EC,AE

=BD,從而證得DE=BD+CE;（2）成立，仍然通過證明△ADB星△CE4,得出BD=AB,AD=CE,所

以DE=DA+AE=EC+BD;

（3）由△ADB空△CEL4得=/LDBA=/CAE,由aABF和△ACF均等邊三角形，得乙4BF=

ACAF=60°,FB=FA,所以ADBA+NABF=NCAE+2CAF,即ADBF=ZFAE，所以^DBF空

AEAF，所以FD=FE,ABFD=/AFE,再根據(jù)ADFE=ZDFA+NAFE=NDFA+ABFD=60°得到

△DEF是等邊三角形.

【詳解】解：（1）證明：直線m,CE_L直線m,/.ABDA=ACEA=90°.

?/ZBAC=90°,/./BAD+/CAE=90°.?/zLBAD+AABD=9Q°,：.2cAE=NABD.

又AB=AC,...△ADB空△C￡L4（＞L4S）.：.AE=BD,AD=CE.：.DE=AE+AD=BD+CE-,

（2）成立.證明如下：?.?/BD4=/BAC=a,

/DBA+ABAD=ABAD+ACAE=180°—a././DBA=ZCAE.

?/ABDA=ZAEC=a,AB=AC,：./\ADBn^CEA（AAS）.

：.AE=BD,AD=CE.：.DE=AE+AD=BD+CE-,

（3）ADEF為等邊三角形.理由如下：由（2）知，AADB第△CE/,BD=AB,/DBA=4CAE,

■：A4BF和△力CF均為等邊三角形，NABF=ACAF=60°.

/DBA+NABF=ACAE+ACAF.：.NDBF=NFAE.

BF=AF,；.ADBF星AEAF(SAS).：.DF=EF,ABFD=AAFE.

ZDFE=ADFA+NAFE=ADFA+ZBFD=60°.ADEF為等邊三角形.

【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三

角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定.

吼3（2022.廣東.汕頭市潮陽區(qū)一模）（1）模型建立，如圖1,等腰直角三角形48。中，乙4cB=90°,CB=

G4,直線ED經(jīng)過點。，過A作AD_LED于。，過3作BE_L即于E.求證："EC篤△CD4；

（2）模型應用:①已知直線AB與？/軸交于A點，與立軸交于B點，sinZABO=,OB=4,將線段AB繞

點B逆時針旋轉(zhuǎn)90度,得到線段BC,過點A,。作直線,求直線AC的解析式；

②如圖3,矩形ABC。，。為坐標原點，B的坐標為（8,6）,A,。分別在坐標軸上，P是線段BC上動點，

已知點。在第一象限，且是直線^=20；-5上的一點，若△力PD是以。為直角頂點的等腰直角三角形，請

求出所有符合條件的點。的坐標.

【詳解】(1)解：由題意可得，ZACB=/ADC=ZBEC=90°,

：.ZEBC+ZBCE=4BCE+AACD=90°，,NEBC=AACD,

(AEBC=ZACD

在△BEC和△CDA中,/.ACDA(AAS),

[BC=AC

(2)解:①如圖，過點。作CD±x軸于點。，在TttZYABO中sin乙4BO=g,OB=4,

5

設(shè)AO=3m,AB=5m，:.OB=4m=4,m=1,/.AO=3,

同(1)可證得ACDB空△/CL4,??.CD=BO=4,60=40=3,.?.00=4+3=7,.??。(一7,4),

???A(O,3),設(shè)直線AC解析式為y=fcr+3，把。點坐標代入可得-7k+3=4,解得七=一],

直線AC解析式為沙=一/劣+3;

②設(shè)。坐標為Q,2x-5),?M

當。在AB的下方時，過。作。石_L9軸于E,交于F,

同（1）可證得△ADE法4DPF,OF=AE1=6—（2二-5）=11—2必，DE=，，，11-2c+工=8,二c=

3,"（3,1）,

當。在的上方時，如圖，過。作。E_L9軸于E,交8。的延長線于巴

同（1）^ii.^/\ADE^/\DPF,：.DF^AE^（2x-5）-6^2x-ll,DE^x,：.2rr—11+,=8,

.?.，=?,AD（f,f）,綜上述D（3,1）或

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法一次函數(shù)的解析式、正弦的定義、勾股定理、等

腰三角形的判定和性質(zhì)及方程思想，作輔助線構(gòu)造模型是解本題的關(guān)鍵.

刷4（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，4B=AC=2,/B=40°,點。在線段8。上運動（點D不

與點B、。重合），連接AD,作2ADE=40°,DE交線段AC于點E.

（1）當ABDA=115°時，NEDC=°,NAED=°；

（2）線段OC的長度為何值時,AABD空ADCE，請說明理由；

（3）在點。的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求/BDA的度數(shù);若不可以，請

說明理由.

【答案】⑴25。,65°;（2）2,理由見詳解；（3）可以，110°或80°.

【分析】（1）利用鄰補角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解題；（2）當。。=2時，利用NDEC+NEDC=140°,

乙4。8+/即。=140°,求出乙再利用AB=ZX7=2,即可得出4ABD咨/\DCE.

⑶當NBDA的度數(shù)為110°或80°時，ZYADE的形狀是等腰三角形.

【詳解】解：（I）；/B=40°,ZADB=115°,/.ABAD=180°-ZB-AADB=180°-115°-40°=25°,

?：ABAC,：./C=/B=40°,^EDC=180°-^ADB-AADE=25°,

4DEC=180°-AEDC-/C=115°,/.AAED=180°—4DEC=180°-115°=65°;

(2)當。。=2時，△AB。篤ADCE,理由：?.?/C=40°,/.ADEC+AEDC^140°,

又：=40°,ZADB+4EDC=140°,/.NADB=4DEC,

(AADB=ADEC

又AB=DC=2,在△ABD和ADCE中，^ABD/XDCE^AAS);

[AB^DC

(3)當ABDA的度數(shù)為110°或80°時，ZXADE的形狀是等腰三角形，?M

ABDA=110°時，二70°,/C=40°,/.乙DAC=70°,/./XADE的形狀是等腰三角形；

?/當ABDA的度數(shù)為80°時，J.2ADC=100°,

???/C=40°,AADAC=40°,/.△ADE的形狀是等腰三角形.

【點睛】本題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等

知識點的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強，但難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

題5（2022?浙江杭州?一模）老師在上課時，在黑板上寫了一道題：

“如圖，ABCD是正方形，點E在BC上，DF，AE于F,請問圖中是否存在一組全等三角形?”

小杰同學經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn)：/\ADF^AEAB.

理由如下：因為ABCD是正方形（已知）所以=90°且AD=和AD//BC

又因為（已知）即/DPA=90°（垂直的意義）

所以ADFA=（等量代換）

5LAD//BC所以/1=/2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

（ADFA=ZB

在△ADF和△EAB中（/1=/2所以△ADF空AEABG4AS）

[AD=AB

小胖卻說這題是錯誤的,這兩個三角形根本不全等.

你知道小杰的錯誤原因是什么嗎？我們再添加一條線段，就能找到與△AD尸全等的三角形，請能說出此

線段的做法嗎？并說明理由.

【答案】小杰錯誤的原因是AD和AB不是對應邊，在證明兩個三角形全等時，誤以為對應邊了；線段為作

B8_LAE于點玄,證明見詳解；

【分析】根據(jù)小杰的證明方法，可以發(fā)現(xiàn)，在證明兩個三角形全等時，出現(xiàn)了問題，然后說出出錯的原因即

可，然后添加合適的輔助線段，說明與△ADF全等的三角形成立的理由即可解答本題；

【詳解】小杰錯誤的原因是AD和AB不是對應邊，在證明兩個三角形全等時，誤以為對應邊了，作

于X,則ZXADF篤^BAH;

?.?四邊形ABCD是正方形，.?.AD=BA,乙DAB=90°,二+/FAD=90°,

■：DF±AE,BH±AE,：./DE4=/AHB=90°,

AAHAB+AHBA=90°，,AFAD=ZHBA,

（ADFA=2AHB

在△ADF和"AH中//FAD=AHBA：./\ADF篤/\BAH（AAS）;

[AD^BA

DC

【點睛】本題考查正方形性質(zhì)、全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合思想解答;

網(wǎng)］6（2022?山東?九年級課時練習）（1）課本習題回放："如圖①,ZACB=90°,AC^BC,AD±CE,BE1.

CE,垂足分別為O,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm.求BE的長”，請直接寫出此題答案：BE的長為

⑵探索證明：如圖②，點B,。在的邊AM、4V上，=點在內(nèi)部的射線AD

上,且ABED=NCFD=ABAC.求證：^ABE空bCAF.

（3）拓展應用：如圖③，在AABC中，AB=AC,AB>BC.點D在邊BC上，CD=2BD，點E、F在線段

AD上，ABED=ACFD=ABAC.若AABC的面積為15，則AACF與ABDE的面積之和為.

（直接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程）

【答案】⑴0.8cm;⑵見解析(3)5

【分析】(1)利用力4s定理證明△CEB篤△AD。,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；

(2)由條件可得ZBEA=NAFC,Z4=乙4BE,根據(jù)AAS可證明4ABEW4CAF;

(3)先證明△4BEn△G4F,得到AAC歹與ABDE的面積之和為△48。的面積，再根據(jù)CD=2BD故可

求解.

【詳解】解：(1)；BE_LCE,AD_LCE,/.AE=AADC=9Q°,：./EBC+NBCE=90°.

(AE=AADC

NBCE+/4CD=90°,J.NEBC=ADCA.在△CEB和△ADC中，(NEBC=ADCA

[BC=AC

：./\CEBn△ADC(AAS),：.BE=DC,CE=AD=2.5cm.

DC—CE—DE,DE=1.7cm,DC—2.5—1.7=0.8cm,/.BE=0.8cm故答案為：0.8cm;

(2)證明：???Z1=Z2,/./.BEA=/AFC.

???/l=/ABE+/3,Z3+Z4=ZBAC,Al=ABAC,

：.ZBAC=AABE+Z3,/.Z4=/ABE.

???ZAEB=/AFC,/ABE=Z4：AB=AC：./XABE空/XCAF(AAS).

ff???

A

（3）VABED=ACFD=ABAC：.NABE+ZBAE=AFAC+2BAE=AFAC+AACF

AABE=ZCAF,/BAE=ZACF又AB=ACAABE豈ACAF,：.S^ABE=S^CAF

：.XACF與ABDE的面積之和等于XABE與ABDE的面積之和，即為&ABD的面積，

?/CD=2BD,△ABO與△ACD的高相同則S^D=卷S△曲=5

故AACF與ABDE的面積之和為5故答案為：5.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)

定理是解題的關(guān)鍵.

回工（2023?貴州遵義?八年級統(tǒng)考期末）過正方形ABCD（四邊都相等，四個角都是直角）的頂點A作一條直

線MN.

（1）當上W不與正方形任何一邊相交時，過點B作BE_LMN于點E,過點。作DF_LMN于點F如圖⑴，

請寫出EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）若改變直線上W的位置，使上W與CD邊相交如圖⑵，其它條件不變，EF,BE,DF的關(guān)系會發(fā)生變

化，請直接寫出EF,BE,。尸的數(shù)量關(guān)系，不必證明；

（3）若繼續(xù)改變直線MN的位置，使與邊相交如圖（3）,其它條件不變，EF,BE,OF的關(guān)系又會

發(fā)生變化,請直接寫出EF,BE,DF的數(shù)量關(guān)系,不必證明.

圖（1）圖（2）圖。）

【答案】（1）EF=BE+DF,證明見解析；（2）￡尸=跳；一。尸；⑶EF=DF—BE

【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可證NBAE=/ADF,再證AABEwADAF,根據(jù)全等三角形的對應邊

相等進行代換即可；（2）根據(jù)同角的余角相等可證/ADF,再證AABEwADAF,根據(jù)全等三角

形的對應邊相等進行代換即可；⑶根據(jù)同角的余角相等可證NBAE=ZADF,再證&ABE會ADAF,根

據(jù)全等三角形的對應邊相等進行代換即可.

【詳解】（1）EF=BE+DF,證明：?M

?/四邊形ABCD是正方形AB=DA,/LEAD=90°：.ABAE+ZDAF=90°

入；BE工MN,DF工MN："BEA=ZDFA=90°ADAF+AADF=90°ABAE=AADF

(ABEA=ZDFA

在^ABE和XDAF中(ABAE=NADF'ABE^DAF{AAS')

[AB=DA

：.AF=BE,AE=DF：.EF=AF+AE=BE+DF

(2)EF=BE—DF,理由是：?.?四邊形ABCD是正方形：.AB=DA,ZBAD=90°/.ZBAE+ADAF=

90°

火?；BE_LMN,DF_LMN："BEA=NDFA=9Q°ADAF+AADF=90°：.ABAE=ZADF

(ABEA=ADFA

在^ABE和^DAF中{ABAE=ZADF^ABE=^DAF<<AAS)：.AF=BE,AE=DF：.EF=AF-

[AB^DA

AE=BE—DF

包^^二^^一跳^理由是：:四邊形在^⑺是正方形：.AB^DA,ABAD^90°：.ABAE+ADAF^

90°

叉；BE_LMN,DF1_MN：.NBEA=ZDFA=90°ZDAF+AADF=90°/BAE=ZADF

(ZBEA=ADFA

在AABE和ADAF中(ABAE=4ADFAABE會AJDAF(AAS)AAF=BE,AE=DFEF=AE—

[AB=DA

AF=DF—BE

【點睛】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握三角形的判定方法及能利用同角的余角相等證明

乙BAE=/4DF是關(guān)鍵.

模型2.一線三等角模型（相似模型）

【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對

角相等”，再利用平角為180°,三角形的內(nèi)角和為180°,就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到

兩個三角形相似.

1）一線三等角模型（同側(cè)型）

（銳角型）（直角型）（鈍角型）

如圖，/1=/2=/3,結(jié)論：△力CE?ABED.

2）一線三等角模型（異例型）

霜:如圖，/］=/2=/3,結(jié)論：△ADE?△BEC.

3）一線三等角模型（變異型）

①N除中點型:條件:如圖1，若。為48的中點,結(jié)論:△ACE?ABED?岫CD.

②一線三直角變異型1：條件:如圖2,NABD=AAFE=ABDE=90°.結(jié)論：4ABC?/\BDE?ABFC?

/\AFB.

③一線三直角變異型2:條件:如圖3,NABD=/ACE=4BDE=90°.結(jié)婚：&ABM?A2VDE?4NCM.

血］1（2023?山東東營?統(tǒng)考中考真題）如圖，ZVIBC為等邊三角形，點D,E分別在邊BC,AB上，/ADE=

60°,若8。=4_0。，。￡=2.4,則40的長為（）

HADC

A.1.8B.2.4C.3D.3.2

【答案】。

［分析］證明△4D。?ADE8,根據(jù)題意得出=-上8。,進而即可求解.

【詳解】解：△ABC為等邊三角形，.?.乙8=/。=60°,

?/NADB=NADE+ABDE=AC+ADAC,/ADE=60°,

A4BDE=ADAC,：./XADC?ADEB/.架=4s

Dh/JDL)

.._._4.AD_AC_BC_5

-BRDn—4DnCr…BRnD[BCr…例—可—小一工

5

?.?OE=2.4；.AD=/xDE=3,故選：C.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì),，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是

解題的關(guān)鍵.?M

回2（2023?黑龍江牡丹江?統(tǒng)考中考真題）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學活動課上，某位同學進行了如下操

作:第一步：將矩形紙片的一端,利用圖①的方法折出一個正方形ABEF,然后把紙片展平：

第二步:將圖①中的矩形紙片折疊，使點。恰好落在點F處,得到折痕如圖②.

根據(jù)以上的操作，若AB=8,4。=12,則線段的長是（）

【答案】。

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得：AB=AF=BE=8,FD=夙7=4,FN=CN,設(shè)DN=x，則CN=FN=8-

力，利用勾股定理求出DN,FN,再證明AMFII?AFND,得MF=MC,求解即可.

【詳解】解:如圖，過點M作AD,交AD于點

?/ZDFN+ZDNF=90°ZMFH+ZDFN=90°ZMFH=ZDNF

//D=/AfflD=90°

,:ND=NMHD=90°在/\MFH和/\FND中，(NMFH=NDNF:AMFH?4FND

\^FMH=ADFN

.MF_MH_FH.._,.MF_FH_8_

??而「轉(zhuǎn)一訪“nFp-4JW-8..萬廠方廠「2

設(shè)ON=c,則CN=FN=8-x,

：.FN2=DN2+DF2,^-.(8—為2="+42,解得：r=3,

:.DN=3,CN=FN=5,==：.MF^10,：.MC^MF^1Q,

???AD=BC=12.1■=3。一優(yōu)=12-10=2,故選：C.

【點睛】本題考查折疊問題及矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)并能

熟練運用勾股定理方程思想是解題的關(guān)鍵.

吼3（2022.河南新鄉(xiāng).九年級期中）某學習小組在探究三角形相似時,發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形.

（1）如圖1,在△ABC中，/氏4。=90°,碧=心,直線，經(jīng)過點4,30,直線1,CE上直線Z,垂足分別為

D、E.求證：挈=%.

AE

（2）組員小劉想,如果三個角都不是直角，那么結(jié)論是否仍然成立呢？如圖2,將（1）中的條件做以下修改：

在△ABC中，需=卜，D、A、E三點都在直線I上,并且有ABDA=/AEC==&,其中a為任意

AC/

銳角或鈍角.請問⑴中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請你給出證明;若不成立,請說明理由.

⑶數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題:如圖3,在AABC中,沿

△48。的邊AB.AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，第=至=白，4H■是邊上的高,延長HA

交EG于點I.①求證：/是EG的中點.②直接寫出線段與A1之間的數(shù)量關(guān)系:.

【答案】（1）見解析（2）結(jié)論還成立，證明見解析（3）①見解析②AI

【分析】（1）由條件可證明△ABD?△CAB,可得嚅=需=k;

AH/

⑵由條件可知ABAD+ZCAE=180°-a,且/DBA+/BAD=180°一々，可得/DBA=NCAE，結(jié)合條

件可證明AABD?△0!￡,同⑴可得出結(jié)論;（3）①過點G作GM〃AE交⑷■的延長線于點河，連接

EM,證明△48。?△GAM,再得到四邊形AGME是平行四邊形，故可求解;②由①得到再

根據(jù)四邊形AGAiE是平行四邊形得到BC=AT,故可求解.

【詳解】（1）如圖1,直線/,CE_L直線Z,ABDA=ACEA=90°,

■：ABAC=90°,/.ABAD+NCAE=90°：ABAD+/ABD=90°，二ACAE=/ABD□

?//ABD=Z.CAE,ABDA=ACEA,：./\ADB?ACEA,/.里=倏=k；

AEAC

（2）成立，證明如下：如圖2,

???ABDA=ABAC=0,.?./DBA+ABAD=ABAD+ZCAE=180°一。，:./DBA=/CAE,

NABD=4CAE,ABDA=ACEA：./XADB?ACEA,/.用=笑=M

AEAC

⑶①過點G作GM〃AE交4Z的延長線于點M,連接EM

?.?四邊形AGFC是矩形，/.AGAC=90°

又AH_LBC：.NAHC=90°Z5+/CAH=Z4+ZCAH=90°Z5=Z4

?/NBDE=NAHB=90°Z2+NBAH=Z1+ZBAH=90°/.Z2=Z1

又GM//AE：.Z3=Z2AZ3=Z1AAABC?4GMA

.AC_BC_ABAB_AC_1.AC_BC_AB_AB_1.?

====GM=A4E

??雷廠西又.廿運=2-~GAAMGMAE^-

又1/GM//AE四邊形AGAiE是平行四邊形/.EI=IG故/為EG的中點；

②由①知BCACAB_AB^：.BC=^AM

AMAGGM-AE

四邊形AGME是平行四邊形/.AI=IM：.A/=^-AM：.BC=AI

線段BC與4Z'之間的數(shù)量關(guān)系為BC=4/故答案為：BC=AT.

【點睛】此題考查相似三角形的判斷與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到相似三角形，列出比例式求解.

刷4（2023?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題）問題提出：如圖（1）,E是菱形ABCD邊BC上一點，△AEF是等腰三角

形，AE=EF,AAEF=ZABC=a（a>90°）,AF交CD于點G,探究NGCF與a的數(shù)量關(guān)系.

問題探究：（1）先將問題特殊化，如圖（2）,當a=90°時,直接寫出AGCF的大?。?/p>

（2）再探究一般情形，如圖（1）,求NGCF與a的數(shù)量關(guān)系.

問題拓展：（3）將圖（1）特殊化，如圖（3）,當a=120°時，若黑=J,求萼的值.

CGr20/5

【答案】⑴45。⑵4GCF=-90。⑶等=與

【分析】（1）延長BC過點F作EH_LBC,證明/\ABE空ABHF即可得出結(jié)論.（2）在AB上截取AN,使

AN=EC,連接NE,證明A4NE空△SCF,通過邊和角的關(guān)系即可證明.（3）過點A作CD的垂線交CD

的延長線于點P,設(shè)菱形的邊長為3小，由⑵知，/GCF=,a-90°=90°,通過相似求出CF=^-m,

即可解出.

【詳解】（1）延長BC過點F作

/BAE+NAEB=90°,NFEH+ZAEB=90°,/.NBAE=AFEH,

（ZABE=ZEHF

在岫BA和4FHE中14BAE=ZFEH：.4ABE畛岫HF,：.AB=EH,BE=FH,：.BC=EH,

[AE=EF

：.BE=CH=FH,：.4GCF=2FCH=45°.故答案為：45°.

⑵解:在AB上截取AN，使AN=EC,連接NE.

?：AABC+ABAE+/AEB=/AEF+ZFEC+180°,4ABe=NAEF,：.ZEAN=AFEC.

?：AE=EF,；./\ANEZ/\ECF.：.ZANE=NECF.

?/AB=BC,：.BN=BE?：AEBN=a，二ZBNE=90°—呆

ZGCF=AECF-ABCD=/LANE-ABCD=(90°+*a)-(180°—a)=ya-90°.

(3)解：過點人作CD的垂線交CD的延長線于點P,設(shè)菱形的邊長為3m,

?/=春".DG=m,CG=2m.在Rt/\ADP中，?：NADC=ZABC=120°,

GGr2

??.AADP=60°,PD=-|-m,AF=1-V3m.丁。=120°,由⑵知，AGCF=-90°=90°.

Ap6人尺

?/AAGP=AFGC,：.^APG-AFCG.??.慈=興,.?.Z=4~,：.CF=^-m,

CFCGCF2m5

在AB上截取AN,使AN=EC,連摟NE,作BO_LNE于點O.

由⑵知，/\ANE^^ECF,：,NE=CF「：AB=BC,：.BN=BE,OE=EF=JEN=華小.

乙0

BE_2

??ZBC=12。。，："BNE=』BEN=3S：c°s3"器,=觸,./.CE=/.

5~CE~1

【點睛】此題考查菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相

似.

吼g（2023.湖北荊州.統(tǒng)考中考真題）如圖1,點P是線段上與點4點B不重合的任意一點，在的同

側(cè)分別以A,P,B為頂點作/I=/2=/3,其中/I與/3的一邊分別是射線和射線R4,Z2的兩邊

不在直線AB上，我們規(guī)定這三個角互為等聯(lián)角,點P為等聯(lián)點，線段為等聯(lián)線.

（1）如圖2,在5X3個方格的紙上，小正方形的頂點為格點、邊長均為1,AB為端點在格點的已知線段.

請用三種不同連接格點的方法，作出以線段為等聯(lián)線、某格點P為等聯(lián)點的等聯(lián)角，并標出等聯(lián)角，保

留作圖痕跡；（2）如圖3,在RtZXAPC中，乙4=90°,AO4P,延長AP至點b使AB=AC,作乙4的等

聯(lián)角4CPD和APBD.將△APC沿PC折疊，使點A落在點”處,得到^MPC,再延長PM交BD的延

長線于E,連接CE并延長交PD的延長線于F,連接BF.①確定APCF的形狀，并說明理由；

②若AP：PB=1:2,BF=2機求等聯(lián)線AB和線段PE的長（用含k的式子表示）.

圖2圖3

【答案】⑴見解析⑵①等腰直角三角形，見解析;②713=3%;?！?；=電

【分析】（1）根據(jù)新定義，畫出等聯(lián)角；

（2）①△PCF是等腰直角三角形，過點。作CN_LBE交BE的延長線于N.由折疊得AC=CM,

4cMp=4CME=乙4=90°,Z1=/2,證明四邊形ABNC為正方形，進而證明Rt^CMERt/\CNE,

得出/PCR=45°即可求解;②過點?作FQ_LBE于Q,FR_LPB交PB的延長線于R,則4?=乙4=

90°.證明AAPC咨ARFP，得出4P==尸A,在Rt/^BRF中，B&+F&=BF?,BF=，^；,進而證明

四邊形BRFQ為正方形,則BQ=QF=k,由FQ〃C7V,得出△ABF?△NEC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得

出帖="根據(jù)抬=。兇+皿后即可求解.

【詳解】（1）解:如圖所示（方法不唯一）

由折疊得ZCMP=ACME=ZA=90°,Z1=Z2

VAC=AB,ZA=ZPBD=AN=90°,四邊形ABAC為正方形：.CN=AC=CM

又?：CE=CE,：.Rt^CME篤R心CNE(HL)/3=/4,而/I+/2+/3+/4=90°,ACPF=90°

APCF=Z2+Z3=ZCFP=45°^PCF是等腰直角三角形.

②過點F作FQ_LBE于Q,FK_LPB交PB的延長線于五，則ZR=AA=90°.

?：Zl+Z5=Z5+Z6=90°,.\Z1=Z6,

由AFCF是等腰直角三角形知：PC=PF,AAPC空ARFP(AAS),

：.AP=FR,4。=?五，而4。=>18,.?.>1。=訪=的，

在Rt/\BRF中，BB：+FB?=BF2,BF=V2k,

AP=BR=FR=k,：.PB=2AP=2k,：.AB=AP+PB=BN=3k,

由BR=FR,AQBR=ZR=/LFQB=90°,

二.四邊形BRFQ為正方形，BQ=QF=k,

由FQ_LBN,CN±BN得:FQ//CN,：.4QEF?△NEC,

:.黑=然:，而QE=BN-NE-BQ=3k-NE-k=2k-NE,

即2k~^E=M=W，解得:NE=

N尸/o/vO/

由①知：PAf=AP=A;,ME=A?=PE=PM+ME=A;+決=%

【點睛】本題考查了幾何新定義，正方形的性質(zhì)與判定，折疊問題，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形

的性質(zhì)與判定，勾股定理，理解新定義，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

畫色（2022.山西晉中.一模）閱讀材料：

我們知道:一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩個頂點分別向該直線作垂線，即可得三垂

直模型”如圖①,在4ABC中，ZACB=90°,AC=BC,分別過A、B向經(jīng)過點。直線作垂線,垂足分別

為。、E,我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：△ADC空△CEB.

（1）探究問題:如果其他條件不變，如圖②,可得到結(jié)論；△ADC?△CEB.請你說明理由.

（2）學以致用：如圖③,在平面直角坐標系中，直線y=/力與直線CD交于點M（2,l）,且兩直線夾角為a,

且tana=-1,請你求出直線CD的解析式.⑶拓展應用:如圖④,在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,

點E為BC邊上一個動點，連接AE,將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°,點A落在點P處，當點P在矩形

488外部時,連接_?。,尸0.若人。。。為直角三角形時,請你探究并直接寫出BE的長.

【答案】（1）理由見解析；（2加=—+與；（3）BE長為3或

【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到乙BCE=/DAC,然后利用4A定理判定三角形相似；

（2）過點O作ON_L0Al交直線CD于點、N,分別過M、N作Affi；_L2軸，N?_Lc軸，由⑴得/\NFO?

△OEM，從而得到騫=尊=柴;，然后結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出NF=3,OF=

OEMEMO

得，從而確定N點坐標，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

⑶分兩種情形討論:①如圖1中，當/PDC=90°時.②如圖2中，當/DPC=90°時，作PF_LB。于F,

PH_LCD于H,設(shè)BE=：I：.分別求解即可.

【詳解】解：（1）VZACB=90°,AZACD+ZBCE=90°

又?//ADC=90°/.AACD+NDAC=90°NBCE=ADAC

?：AADC=ZBEC=90°.A/\ADC?△CEB

（2）如圖，過點。作ON_LOM交直線CD于點N,

分別過“、N作ME_Lc軸，NF_Lc軸

If

由⑴得ZWE。?△OEM.?.釜=送=器

???M坐標（2,1）：.OE=2,ME=1

?”0=9??,普:年解得:NF=3,OF=**（一*3）

設(shè)直線CD表達式為？/=far+6,代入必2,1）,N（—1,3）

得［、3,解得I；］/，二直線CD表達式為V=-、+-y

（3）解:①如圖1中，當4PDC=90°時，

?.?AADC^90°,/.AADC+4PDC=180°,/.4、D、P共線,

■：EA=EP,ZAEP=90°,ANEAP=45°,VABAD=90°,

ABAE=45°,VZB=90°NBAE=NBEA=45°,，BE=AB=3.

②如圖2中，當/。？。=90°時，作爪_1反7于凡刊？_1。0于8,設(shè)跳；=3；,

?.?AAEB+/PEF=90°,AAEB+/BAE=90°,二NBAE=NPEF,

14BAE=NPEF

在AABE和AEFP中，｛=/F=90°/.△ABE空/XEFP,

［AE^EP

EF—AB—3,PF—HC—BE—x,CF—3—（5—x）—x—2,

?：ADPH+4cpH=90°,ACPH+4PCH=90°,

ZDPH=APCH,?：2DHP=NPHC,

：.4PHDs4CHP,：.PH?=DH,CH,：.8一2丫=或3—x）,

???工=笑"或心產(chǎn)（舍棄），???比=y，

綜上所述，當APDC是直角三角形時，BE的值為3或立產(chǎn).

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題

的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題,屬于中考常考題型.

回工（2023?江蘇南京??？既＃┠硵?shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如

下探究：

圖4

【觀察與猜想】⑴如圖1,在正方形ABCD中，E,F分別是AB,AD上的兩點，連接DE,CF,若DE1_

CF,則券的值為；⑵如圖2,在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,H是AD上的一點，連接

您，80,若您，口。,則蜜_的值為；

JDD

【類比探究】（3）如圖3,在四邊形ABCD中，乙4=/B=90°,H為AB上一點，連接DE,過。作DE的垂

線交砒）的延長線于G,交入。的延長線于F,求證：DE-AB=CF-AD；

【拓展延伸】⑷如圖4,在Rt/XABD中，/歷1。=90°,AO=15,將/X