《高等數(shù)學(xué)下冊(cè) 第2版》-蔣國(guó)強(qiáng) 習(xí)題及答案 第8章習(xí)題答案

PAGEPAGE40習(xí)題解答習(xí)題8.1已知，試求，和．解，2．設(shè)，求．解設(shè)，則，，所以，從而．3．求下列各函數(shù)的定義域：（1）；解要使表達(dá)式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?）；解要使表達(dá)式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?）（）；解要使表達(dá)式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?）．解要使表達(dá)式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域?yàn)?．求下列函數(shù)極限：（1）；解由連續(xù)性，原式＝＝．（2）；解由連續(xù)性，原式＝＝．（3）；解原式＝＝＝＝（4）．解原式＝．5．證明下列極限不存在：（1）；（2）．證（1）因?yàn)楫?dāng)沿直線趨于時(shí)，，它是隨的值的不同而改變的，所以極限不存在．（2）因?yàn)楫?dāng)沿直線趨于時(shí)，，當(dāng)沿直線趨于時(shí)，，由于，所以極限不存在．習(xí)題8.21．求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：（1）；解；。（2）；解，，；（3）；解，；（4）；解，；（5）；解，；（6）；解，，；（7）．解，，。2．計(jì)算下列各題：（1）設(shè)，求和；解＝，＝，將點(diǎn)（1，2）代入上面結(jié)果，得，（2）設(shè)，求；解取對(duì)數(shù)得,上式兩邊對(duì)y求導(dǎo)得，所以，將點(diǎn)（1，1）代入上面結(jié)果，得。（3）設(shè)，求；解∵，∴＝（4）設(shè)，求及．解，，∴．3．設(shè)，證明：．證明：，，。4．設(shè)，其中可導(dǎo)，證明：．解即。5．曲線在點(diǎn)（，1，）處的切線對(duì)軸的傾角是多少？解設(shè)該切線與軸的傾角為，∴由偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，從而．6．求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，，．（1）；解，，，，（2）；解，，，，．（3）；解，，，，。（4）．解，，，。7．設(shè)，求，，．解，，，從而，，．8．設(shè)，試證：．證明：，，，由對(duì)稱性得，，∴。原式得證。習(xí)題8.31．求下列函數(shù)的全微分：（1）；解因?yàn)?，，所以。?）；解因?yàn)?，，所以?）；解因?yàn)?，，所以。?）；解因?yàn)?，，所以。?）；解因?yàn)?，，，所?．（6）．解因?yàn)?，，，所?．2．計(jì)算下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的全微分：（1），；（2），．解（1），，=（2），，=+3．求函數(shù)當(dāng)?shù)娜⒎趾腿隽浚猓?，全增量?4．計(jì)算下列近似值：（1）；（2）．解取，令，，，，于是，，．原式＝．（2）取，令，，，，于是，，．原式＝．*5．設(shè)有邊長(zhǎng)為m與m的矩形，當(dāng)邊增加5cm而邊減少10cm，求此矩形對(duì)角線增量的近似值．解設(shè)矩形對(duì)角線長(zhǎng)為z，則有．把，，代入，得．即此矩形對(duì)角線增量的近似值約為-5cm．習(xí)題8.41．設(shè)，而，求全導(dǎo)數(shù)．解．2．設(shè)，而，求全導(dǎo)數(shù)．解．3．設(shè)，而，求全導(dǎo)數(shù)．解．4．設(shè)，而，求和．解；．5．設(shè)，而，求和．解；．6．設(shè)，求和．解令則，；．7．求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)：（1）；解（1），．（2）；解，，．（3）；解，．（4）．解，，．9．設(shè)，其中可導(dǎo)，求．解令，，則可看成由，復(fù)合而成，所以，，從而．10．設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，證明：．解令，則，，所以．11．求下列函數(shù)的，，（其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）：（1）；（2）．解（1）由得，所以，，注意：在上述恒等變形中，因?yàn)榫哂卸A連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以有。（2）由得，所以，，。注意：在上述恒等變形中，因?yàn)榫哂卸A連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以有。12．設(shè)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求．解由得，所以注意：在上述恒等變形中，因?yàn)榫哂卸A連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以有。習(xí)題8.5設(shè)，求．解令，則，所以，2．設(shè)，求．解令，即，，所以，3．求下列方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和：（1）；（2）．解（1）令，則，，，所以，.（2）令，即，，，所以，.4．設(shè)，求．解令，則，，，所以，，所以。5．設(shè)，求全微分．解令，則，，，所以，，因此。6．設(shè)，證明：．解令，則，，，所以。7．設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明由方程所確定的函數(shù)滿足．解令，則，，，所以8．設(shè)函數(shù)由方程確定，求、．解令，則，，，所以，,注意到z是x、y的函數(shù)，將再對(duì)x求偏導(dǎo)，得.注意到z是x、y的函數(shù)，將再對(duì)y求偏導(dǎo)，得9．設(shè)函數(shù)由方程確定，求．解令，則，，，所以，,將x=0,y=0代入得z=2，點(diǎn)（0，0，2）處，注意到z是x、y的函數(shù)，將再對(duì)y求偏導(dǎo)，得將x=0,y=0，z=2及代入得。習(xí)題8.61．求下列空間曲線在指定點(diǎn)處的切線方程和法平面方程（1）曲線，點(diǎn)；（2）曲線，對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)．解（1）因?yàn)辄c(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)，而，，，故點(diǎn)處曲線切線的方向向量為，所求切線方程為；法平面方程為，即．（2）參數(shù)對(duì)應(yīng)曲線上的切點(diǎn)為，而，，，故點(diǎn)處曲線切線的方向向量為，所求切線方程為；法平面方程為，即．2．求曲線上的點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線平行于平面．解設(shè)所求的切點(diǎn)為P，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，則，，，故點(diǎn)P處切線的方向向量為，平面的法向量為，由切線平行于平面得T；即，故所求的切點(diǎn)為。3．求下列曲面在指定點(diǎn)處的切平面方程和法線方程：（1），點(diǎn)；（2），點(diǎn)．解（1）令，則，故曲面在點(diǎn)處的切平面的法向量為，切平面方程為，即；法線方程為．（2）令，得，故曲面在點(diǎn)處的切平面的法向量為，切平面方程為，即；法線方程為．4．在曲面上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切平面平行于平面．解令，設(shè)切點(diǎn)為，則切點(diǎn)處切平面的法向量為，由題意得，解上述方程組得，，，因此所求點(diǎn)為．5．求曲面上平行于平面的切平面方程．解令，設(shè)切點(diǎn)為，則切點(diǎn)處切平面的法向量為，由題意得，解上述方程組得，因此所求切平面為，即，亦即，所求切平面為。6．在曲面上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)處的法線垂直于平面．解令，設(shè)所求點(diǎn)為，則該點(diǎn)處切平面的法向量為，由題意得，解上述方程組得，，，因此所求點(diǎn)為．7．證明：曲面上任一點(diǎn)處的切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之積為常數(shù)．證由題意知，令，則點(diǎn)處切平面的法向量為，所求切平面為，即，此平面在三條坐標(biāo)軸上的截距分別為截距之積習(xí)題8-71．求函數(shù)的極值．解解方程組得駐點(diǎn)為，．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)椋?，所以函?shù)在該點(diǎn)有極大值．2．求函數(shù)的極值．解解方程組得駐點(diǎn)為，（）．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)?，，所以函?shù)在該點(diǎn)有極大值．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)?，所以不是極值．3．求函數(shù)的極值．解解方程組得駐點(diǎn)為．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)?，，所以函?shù)在該點(diǎn)有極小值．4．求函數(shù)（）的極值．解解方程組得駐點(diǎn)為，（）．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)?，，所以函?shù)在該點(diǎn)有極大值．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)?，所以不是極值．5．求函數(shù)在約束條件下的極大值．解作拉格朗日函數(shù)，令，解之得：∴極大值．6．在平面上求一點(diǎn)，使它到及三直線的距離平方之和為最小．解設(shè)所求點(diǎn)為,距離平方之和為，則，即，令得，由實(shí)際意義知，所求點(diǎn)為。7．要造一個(gè)容積為常數(shù)的長(zhǎng)方體無蓋水池，問如何安排水池的尺寸時(shí)，才能使它的表面積最小．解設(shè)箱子的長(zhǎng)、寬分別為，容量為，則箱子的高為．箱子的表面積為這是x、y的二元函數(shù)．令解上述方程組，得根據(jù)題意可知，表面積A的最小值一定存在，現(xiàn)在只有唯一駐點(diǎn)，因此當(dāng)長(zhǎng)、寬均為，高為時(shí)，表面積A最?。?．求內(nèi)接于半徑為的半圓且有最大面積的矩形．解設(shè)矩形的長(zhǎng)為、高為，則．問題歸結(jié)為求面積在條件下的極值．作拉格朗日函數(shù)，，令，解之得：．由題意可知的最大值一定存在，所以最大值只能在唯一的駐點(diǎn)取得，因此當(dāng)矩形兩邊分別為時(shí)，可得最大面積的矩形．總習(xí)題81.選擇題（1）=（）．A．B．C．D．解原式=,∴選D.（2）函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處（）．A．連續(xù)但不存在偏導(dǎo)數(shù)B．存在偏導(dǎo)數(shù)但不連續(xù)C．既不連續(xù)又不存在偏導(dǎo)數(shù)D．既連續(xù)又存在偏導(dǎo)數(shù)解因?yàn)楫?dāng)沿直線趨于時(shí)，，它是隨的值的不同而改變的，所以極限不存在，從而在（0，0）處不連續(xù)。又=，=，∴選B.（3）函數(shù)滿足，且，則（）．A．B．C．D．解，，又，∴,故有，所以，∴選B.（4），是函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的（）．A．必要條件，但非充分條件B．充分條件，但非必要條件C．充分必要條件D．既非充分條件，又非必要條件解由多元函數(shù)極值的必要條件知，，只是函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的必要條件，但非充分條件，∴選A。.2.填空題（1）設(shè)函數(shù)，則．解因?yàn)?，，所以。?）設(shè)函數(shù)，則．解，∴。（3）空間曲線上點(diǎn)處的切線方程為．解曲線即為，而，，，故點(diǎn)處曲線切線的方向向量為，所求切線方程為；（4）若函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，則常數(shù)．解由題意得3.設(shè)求．解當(dāng)（x,y）=(0,0)時(shí)，=，當(dāng)（x,y）≠(0,0)時(shí)，,4.設(shè)，其中可微，求．解，．5.設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求．解，