2024年新高考數(shù)學(xué)模擬試題9（含詳細(xì)解析）

2024年新高考數(shù)學(xué)模擬試題9

學(xué)校：.姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.某單位有職工500人，其中男性職工有320人，為了解所有職工的身體健康情況，按性別采用分層抽樣的方法

抽取100人進(jìn)行調(diào)查，則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多（）

A.28B.30C.32D.36

22

2.已知橢圓C:=+當(dāng)=l（。>6>0）的上頂點為尸，左焦點為F,直線尸尸與C的另一個交點為Q,若1網(wǎng)1=3|。用,

ab

貝!JC的離心率6=（）

B.fV2

AC1D.

-12

s.

3.設(shè)S“是等比數(shù)列｛4｝的前〃項和,若S3=4,。4+%+。6=8,貝中）

36

3

A.2BD.

-?0I7

4.設(shè)機(jī)、”是兩條不同的直線，a、夕是兩個不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

①若根//&,〃///?,且相〃幾，貝！Ja///?；②若?n//cr,〃///7,且機(jī)_L〃，則

③若機(jī)J_a,nL/3,且加〃幾，則。//夕;④若mVa,n工（3,且機(jī)_L〃，則a_L4：

A.①②③B.①③④C.②④D.③④

5.某中學(xué)教師節(jié)活動分上午和下午兩場,且上午和下午的活動均為A,B,C,D,E這5個項目.現(xiàn)安排甲、乙、

丙、丁四位教師參加教師節(jié)活動，每位教師上午、下午各參加一個項目，每場活動中的每個項目只能有一位老師參

加，且每位教師上午和下午參加的項目不同.已知丁必須參加上午的項目區(qū)甲、乙、丙不能參加上午的項目A和下

午的項目應(yīng)其余項目上午和下午都需要有人參加，則不同的安排方法種數(shù)為（）

A.20B.40C.66D.80

6.如圖，已知正方形A3CD的邊長為4,若動點尸在以A5為直徑的半圓上（正方形A5CD內(nèi)部，含邊界），貝1］尸。尸。

的取值范圍為（）

C.（0,4）D.[0,4]

則（）

A.c>b>aB.a>b>cC.a>c>bD.oa>b

8.已知點P為拋物線V=4x上一動點，4（1,0）,8（3,0）,則/AP3的最大值為（）

n_71

A.—D.—

6-72

二、多選題

9.已知函數(shù)/（x）=2sin?x+°）（。>0,9《0,2兀））的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）

c2兀

B.(p=—

3

77rJT

c.“X）的一條對稱軸為gD./(x)在區(qū)間-71,--上單調(diào)遞增

10.設(shè)4、Z2為不相等的兩個復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）

A.若Z]+Z2>0,則Z2=Z1

B.若乎2=0,則Z]=。或Z2=0

C.若㈤二㈤,則z；=z；

D.若|z-zj=|z-z?|,則z在復(fù)平面對應(yīng)的點在一條直線上

11.已知定義域為R的函數(shù)y=/（x）滿足/（2024—x）=〃x—2022）,且函數(shù)y="2x-l）是奇函數(shù)，〃0）=乎，

則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)y=/（x）的一個周期是8

2030[2

B.

k=l乙

C.函數(shù)y=〃x-3）是偶函數(shù)

_2030

D.若/⑴=百,則力-2）*/（403）=石（2一22必）

k=\

三、填空題

12.已知集合河=?€22尤一3<2},則M的非空子集的個數(shù)是.

13.如圖，正方形A3Q）和正方形ABEF的邊長都是1,且它們所在的平面所成的二面角。-的大小是60。,

則直線AC和3尸夾角的余弦值為.若M,N分別是AC,3尸上的動點，且AM=BN,則MN的最小值

是.

14.f(x^xhix+x2-mx+e2~x>0,則實數(shù)加最大值為.

試卷第2頁，共6頁

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=2d一依2+i2x+b在天=2處取得極小值5.

⑴求實數(shù)m6的值；

(2)當(dāng)xe[0,3]時，求函數(shù)/(力的最小值.

16.一枚質(zhì)地均勻的小正四面體，其中兩個面標(biāo)有數(shù)字1,兩個面標(biāo)有數(shù)字2.現(xiàn)將此正四面體任意拋擲〃次，落于

水平的桌面，記，次底面的數(shù)字之和為X”.

⑴當(dāng)〃=2時，記y為X?被3整除的余數(shù)，求y的分布列與期望；

⑵求x“能被3整除的概率2.

17.如圖，四棱錐P—TWCD中，AD//BC,BC1CD,BC=2CD=2AD=26,平面A3CDJ■平面PAC.

試卷第4頁，共6頁

2222

18.已知。>6>0,我們稱雙曲線C:與-==1與橢圓r:斗+與=1互為“伴隨曲線”，點A為雙曲線C和橢圓「的

a2b2a2b-

下頂點.

⑴若3為橢圓，的上頂點，直線y=t(O<f<a)與「交于尸，Q兩點，證明：直線AP,8Q的交點在雙曲線C上；

(2)過橢圓「的一個焦點且與長軸垂直的弦長為友，雙曲線C的一條漸近線方程為y=若尸為雙曲線C的上

3

焦點，直線/經(jīng)過b且與雙曲線C上支交于N兩點，記△MON的面積為S,/MON=0(。為坐標(biāo)原點)，AMN

的面積為3豆+6.

(i)求雙曲線C的方程；

(ii)證明：2Scos8=17sin。.

19.給定正整數(shù)NN3,已知項數(shù)為優(yōu)且無重復(fù)項的數(shù)對序列A：(不，X),(W，%)，…，(/,%,)滿足如下三個性質(zhì)：①

與ye{1,2,…,N},且％/y(i=1,2,…,機(jī))；②打=y(i=1,2,…,旦-1)；③(p,q)與(％p)不同時在數(shù)對序列A中.

(1)當(dāng)N=3,加=3時，寫出所有滿足芭=1的數(shù)對序列A；

(2)當(dāng)N=6時，證明：m<13；

(3)當(dāng)N為奇數(shù)時，記機(jī)的最大值為T(N),求T(N).

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.A

【分析】根據(jù)抽樣比即可求解.

【詳解】由題意可知抽取到的男性職工人數(shù)為320x1^=64,女性職工人數(shù)為100-64=36,

則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多64-36=28.

故選：A

2.D

【分析】根據(jù)給定條件求出。的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求解.

【詳解】由題意可得尸（02）得

14

由于1"1=3|。用，所以為=—§》,勺=_丁，

由于。在橢圓上，所以1―3°）_

「211

化簡可得鼻=^ne2=L,

a222

【分析】S3,$6-53,$9-$6成等比數(shù)列，得到方程，求出跖=28,得到答案.

【詳解】由題意得56-星=8,56=5+8=4+8=12,

因為邑,熊-S3,跖-其成等比數(shù)列，故⑸—§3）2=邑（星-錄）,

即82=4（w一12）,解得Sg=28,

S9_28_7

故X--=--二一

S6123,

故選：B

4.D

【分析】對于①②可舉出反例；對于③，先得到進(jìn)而證明出a”?；對于④，根據(jù)

題意得到直線外〃之間的夾角即為平面a,夕之間的夾角，得到答案.

【詳解】對于①，如圖1,滿足m〃a,〃//,Amlin,但夕,月不平行，①錯誤;

圖1

對于②，如圖2,滿足〃〃/cr,////?,且加_L〃，則a,〃不垂直，②錯誤;

答案第1頁，共12頁

圖2

對于③，因為m_l_a,且〃z〃"，所以〃_La,

又,故&//〃，③正確；

圖3

對于④，因為機(jī)，a,所以直線列〃之間的夾角即為平面d尸之間的夾角，

又加_1_"，故平面名尸之間的夾角為直角，則。④正確.

故選：D

5.C

【分析】先求上午的安排方法種數(shù)，再求下午的安排方法種數(shù)，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理運(yùn)算

求解.

【詳解】因為丁必須參加上午的項目E,甲、乙、丙不能參加上午的項目A,所以上午甲、

乙、丙參加8,C,。這3個項目，

共有A；種不同的安排方法.

又因為甲、乙、丙、丁四人下午參加的項目為4B,C,D,分2類：

①丁參加項目4共有2種不同的安排方法；

②丁參加2,C,D這3個項目中的1個，從甲、乙、丙中選1人參加項目A,剩下兩人參

加剩下的2個項目，

共有C；xC；x1種不同安排方法；

綜上所述：共有A；（2+C；xC；x1）=66種不同的安排方法.

故選：C.

6.B

【分析】根據(jù)已知條件及極化恒等式，結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】取CO的中點E,連接尸E,如圖所示，

答案第2頁，共12頁

所以PE的取值范圍是--AE

又由尸C?尸D=(PE+ED)(PE+EC)=PE=PE2-4，

4

所以尸。尸。e[0,16].

故選：B.

7.B

【分析】作出單位圓，由面積大小關(guān)系得至Utan。>osina,從而得到再利用作差

法，二倍角公式得到6-c=2(：-sin?1〉。，從而得到答案.

【詳解】設(shè)=作出單位圓，與x軸交于A點，則4(1,0),

過點A作AC垂直于冗軸，交射線。3于點C,連接A5,過點3作BD_L1軸于點。，

由三角函數(shù)定義可知AC=tana,BD=sinafAB=a

設(shè)扇形。LB的面積為Si,則SOAC>S鉆0,即gtana>；i>；sin。，

故tana>a>sina,

所以tan；>；,即一2->|,

又cos—>0,故3sin—>cos—,a>b,

DA1\x

17

---2sin2—=2

31818

因為sin一<一,所以。-c=2——sin2->0,故"c,

綜上，a>b>c,

故選：B

【點睛】方法點睛：利用三角函數(shù)線，可以比較有關(guān)于三角函數(shù)的式子的大小，本題關(guān)鍵點，

設(shè)=得到tan(z>a>sina,從而得到大小關(guān)系.

8.B

【分析】先討論x=l和x=3兩種情況，解出NAPB；進(jìn)而討論xwl且xw3時，利用直線的

到角公式結(jié)合基本不等式即可求得.

【詳解】根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)尸(x,y)(y>0),

0jr

若X=l,則p(l,2),1PAi=2,\AB\=2,所以tanZAPB=5=ln/APB=“

若x=3,則尸(3,2石)，|PB|=2不，IAB|=2,所以tanZAP5=3=^nZAP8=&；

26一3

答案第3頁，共12頁

若X41且XH3,此時y#2且yw2班,

y____)L

kpA=^~^,kpB=^-所以tanZAPB=%-31=__——

22

x—1x-31+^____2Lx-4x+3+y

x~3x-l

tan/APB=2y_2________2_______<_2

因為y2=4所以t-14-I33-I,111"13111

-7T/+37T/+--/+-+-+-44—/-------

1616y16yyyy16yyy

則0</APB<f,當(dāng)且僅當(dāng)￡3=lny=2時取，，=，，,

416y

71

而yw2,所以0<NAP5<：.

4

綜上：/APB的最大值為:.

4

故選：B.

tan/APB=2y_2_______________

【點睛】本題核心的地方在“一1巾42一」、廣43一」?fàn)t"這一步,

1616y16yyy

2y_2

首先分式“1”41J1”3.3”的處理,上下同除以y(一次)；其次在用基本不等式時,

1616"y

---------------1

“1、,3414141”這一步的拆分，三個式子一定要相同(一)，否則不能取得

16'yyy'

9.BD

【分析】通過函數(shù)的圖象求出函數(shù)的解析式，按照正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷各選項即可.

【詳解】由五點法對應(yīng)得2sine=^，夕解得夕=g,故A錯誤，B正確；

27r

同理可得2IT。+?=兀，解得。=1,

所以函數(shù)，(x)=sin]x+g)

J-TJ-yr-TJ"

函數(shù)/(x)的對稱軸為：=G+E,Z￡Z,解得％=—二+E,左￡Z,

326

故X=?77r不是函數(shù)/(力的一條對稱軸，故C錯誤；

0

函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為一]+2E4X+與4a+2E,獲Z,

77r7T7兀71

m--+2kji<x<--+2kji,kGZ令x=0,則一個單調(diào)遞增區(qū)間為

66f~6,~6

所以函數(shù)〃x)在區(qū)間-兀，-5上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：BD.

10.BD

【分析】利用特殊值法可判斷AC選項；設(shè)4=。+歷，z2=c+di,根據(jù)模長運(yùn)算和復(fù)數(shù)乘

法運(yùn)算可判斷B選項；設(shè)2=4+歷，4=%+/，z2=a2+b2i(a,b,al,bl,a2,b2GR),根據(jù)模

長運(yùn)算和復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算可判斷D選項.

【詳解】對于A,令4=l+i,z2=-i,貝”|+Z2=1>O,此時A錯誤；

答案第4頁，共12頁

對于B,設(shè)4=〃+歷，z2=c+dx(a,b,c,deR),則qz?=(ac_Z?d)+(dzZ+6c)i=O,

ac—bd=Oac=bd

所以,,即77,則a2cd=-b1cd;

ad+be=0ad=—be

若C=d=o,則42cd=_/cd成立，此時Z2=°;

若c=0,dwO,由=知/?=()；由9=一6。知：a=Of止匕時4=。；

同理可知：當(dāng)cwO,d=O時，Z]=O；

若cwO,dWO,由a2cd=一/〃得：a2=-b1,則。=b=O,此時4=0；

綜上所述：若2仔2=0,則馬=?；騔2=。，B正確；

對于C,令馬=1,z2=i,則閡=閆=1,此時z；wz；,C錯誤；

對于D,設(shè)2=。+厲，Z[=4+-i,Z2=%+勾(〃,"％，4，%也￡R)，

貝Iz-Z]=(a-cz1)+(Z7-ZJ1)i,z-z2=(a-cz2)+(i>-Z?2)i,

由|z-zj=|z-z2|,可得J(a_qj2+(__/?]J=Q(a-aj+(b-bj,

jpjf以2"(q—6t2)+2Z?(6]—Z?,)+a；—q-+Z?2—b；=0,

又4-%、b「2不全為零,

所以2(q—%”+23-a)》+國一M+,一斤=0表示一條直線，

即z在復(fù)平面對應(yīng)的點在一條直線上，故D正確.

故選：BD.

11.ACD

【分析】本題要從前兩個抽象表達(dá)式入手，判斷函數(shù)的軸對稱和中心對稱兩個特征，從而得

出函數(shù)的周期性，接著通過賦值代入求出一個周期內(nèi)的函數(shù)值或者項的特征，可相繼判斷

B,D兩項，利用偶函數(shù)的定義可判斷C項.

【詳解】由〃2024-力=/(》-2022)可知函數(shù)〉=〃”的圖象關(guān)于直線彳=1對稱.

因為函數(shù)y=/(2x-1)是奇函數(shù)，所以函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(-1,0)對稱，

(根據(jù)y=〃2x-l)是奇函數(shù)，得〃—2x-l)=—〃2x-l),即“r—1)=一〃％-1)得到)因

此函數(shù)y=〃x)的一個周期為8,

(若函數(shù)"X)的圖象既關(guān)于直線x=a對稱，又關(guān)于點修,0)對稱，則函數(shù)“X)的周期為

4嶺|),故選項A正確；

對于選項B：由函數(shù)y=〃x)的圖象關(guān)于點(-1,0)對稱，得

/(-1)=0,/(1)+/(-3)=/(1)+/(5)=0,/(2)+/(-4)=/(2)+/(4)=0,

/(-2)+/(0)=/(6)+/(8)=0,又/(T)=〃3)"(-1)=〃7),所以〃3)=/(7)=0,故

力8/(%)=0，

k=l

2030[7

因此㈤"⑴+〃2)++〃6)=〃6)=-〃8)=-〃0)=-*,因此選項B錯誤；

攵=12

對于選項C：/(—X—3)=/(x+5)=/(x-3),故函數(shù)y=/(x-3)是偶函數(shù)，故選項C正確；

對于選項D：令g(x)=/(4x-3),則g(x+2)=f(4(x+2)-3)=/(4x+5)=/(4x-3)=g(x),

因此函數(shù)y=g(x)的一個周期是2,

因/(1)=若，所以g(l)=/(l)=君，又/⑴+〃5)=0,故g(2)=/(5)=-/(l)=-右，

所以當(dāng)x為奇數(shù)時g(x)=若，當(dāng)x為偶數(shù)時g(x)=-石，

2023202320232023

所以Z(-2)%"4"3)=Z(-2yg⑹=Z(-2>(--屋2人

k=lk=lk=lk=\

答案第5頁，共12頁

=-V3（2+22+23++22。23）=_6.2（：；）=石（2-2皿）故選項D正確.

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：本題考查了抽象函數(shù)圖像的對稱性和周期性,屬于難度較大知識點.關(guān)于

函數(shù)的對稱性和周期性主要有以下結(jié)論.

設(shè)函數(shù)/（%）,%eR,a>O,〃w人.

（1）若/（x+，）=/（x—，），則函數(shù)/（司的周期為2〃；

（2）若=-/（力，則函數(shù)/（力的周期為2〃；

則函數(shù)“X）的周期為2a；

(3)右”）“X），

若/(x+a)=-

(4)右’1()則函數(shù)〃x）的周期為2a；

（5）f［x+a）=f（x+b）,則函數(shù)/（x）的周期為-耳;

（6）若函數(shù)/（%）的圖象關(guān)于直線x=。與x=b對稱，則函數(shù)“X）的周期為2性-4；

（7）若函數(shù)/（x）的圖象既關(guān)于點（a,0）對稱，又關(guān)于點修⑼對稱，則函數(shù)的周期為

2\b-a\；

（8）若函數(shù)/（x）的圖象既關(guān)于直線x=a對稱，又關(guān)于點色,0）對稱，則函數(shù)/⑺的周期

為4b-同；

（9）若函數(shù)/（%）是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則函數(shù)/（x）的周期為2a；

（10）若函數(shù)/（x）是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則函數(shù)/（x）的周期為4a.

12.7

【分析】求出集合M中元素個數(shù)，再利用子集個數(shù)公式求解.

［詳解［M={xeN|2^-3<2}=j^eN^<|j={0,l,2},

集合M中有3個元素，

則M的非空子集的個數(shù)是23-1=7.

故答案為：7._

13.-/0.25；,且J君

455

【分析】利用已知條件結(jié)合向量法即可求解；利用二面角的定義證得ZDA尸就是二面角

-尸的平面角，即為60。，再利用空間向量將MN的長轉(zhuǎn)化為的模求解，利用空

間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積、一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)運(yùn)算即可得解.

【詳解】連接MB,如下圖，

由題意，AM=BN,AC=BF,正方形A3CD中，ADJ.AB,

正方形ABEF中AF_LAB,A^u平面ABEF,ADu平面A3CD,平面平面

ABCD^AB,

/ZMF就是二面角。一AB—F的平面角，則/ZMF=60。，

??響量AD與向量入戶夾角為60。，且?。酱╛1鉆，

答案第6頁，共12頁

?AC=AB+BC,BF=BE+EF)\AC\=\BF\=42,

AC-BF=(AB+BC).(BE+EF)=AB-BE+AB-EF+BC?BE+BC?EF=-g,

I

,91

,?cos<AC,BF>=-^=——'

24

直線AC和BF夾角的余弦值為:；

4

②設(shè)AM=XAC,BN=28尸,；le[0,1],貝。MC=(1-%)AC,

且由題意I40=1481=|AF|=1,

MN=MB+BN=MC+CB+BN=(1->L)AC+CB+ABF

=(1-A)(AD+AB)+CB++BE)=-AAD+(1-2A)AB+A,AF,

222-2?■，

MN"=ArAD+(1-2A)2AB:+2rAF'-22(1-2A)ADAB+22(1-2A)AB-AF-2A2AD-AF

2222

=A+(1-22)2+2+0+0-22COS60°=5A-4/l+l,

2

令以㈤=53-44+1,Ae[0,l],力(X)圖象開口向上，且對稱軸為2=二，

.,.當(dāng)2=|■時，/?(4)取得最小值6(㈤111ta=〃。)=(,又MN?=\MNf,

即MN的最小值是(.

故答案為：：；手.

45

14.3

【分析】二次求導(dǎo)，結(jié)合隱零點得到方程與不等式，變形后得到(％+1乂廣&-%)20,從而

2-A

e0>x0,lnxa<2-x0,代入%=In%+2%+l-e21，得到優(yōu)的最大值.

【詳解】f{x)=x\nx+j3-mx+e2~x>0,定義域為xe(0,+℃),

則/'(x)=lnx+2x+l—加一e2f,

=lnx+2x+l-m-e2-x,

貝lj/(x)=B+2+e2-x>0,h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

且Xf0時，力⑺一―8,當(dāng)Xf+co時，/2(X)->+00

.?.現(xiàn)?0,+。),使得從工0)旬,即f(xo)=O.

當(dāng)無￡(0,不)時/,(x)<0,當(dāng)]￡(%0，+00)時>0,

故/(%)在工￡(。，%)上單調(diào)遞減，在X￡(%,+8)上單調(diào)遞增,

所以“Hmin=〃%o)=/lnxo+君一如o+e2fNO②，

由/'(%)=0得ln%o+2xo+l—m—e2一%=0①，

2-Ab2-Ab

即加=ln%o+2%o+l-e2一而,代入②得，xolnxo+x1-(inX0+2X0+1-e)X0+e>0,

整理得(/+1)(，'

,x0+l>0,

2

：.e^>x0,

/.Inx0<2-x0,

m=Inx0+2x0+1-<2-xQ+2x0+1—x0=3,

故加的最大值為3.

故答案為：3

【點睛】隱零點的處理思路：

答案第7頁，共12頁

第一步：用零點存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉

零點存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點的個數(shù)；

第二步：虛設(shè)零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與

簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.

15.⑴a=9,b=l

（2）1

【分析】（1）由題意得到/'（2）=0,7?⑵=4+6=5,求出a=9,b=l,檢驗后得到答案;

（2）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到極值和最值情況，得到答案.

【詳解】（1）/（（x）=6x2-2ax+12,

因為〃尤）在x=2處取極小值5,所以/'（2）=24-4a+12=0,得4=9,

止匕時/'（x）=6/—18x+12x=6（x—

所以/（x）在（1,2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）上單調(diào)遞增

所以/（尤）在x=2時取極小值，符合題意

所以a=9,/（尤）=2x~—9尤2+12x+b.

又〃2）=4+b=5,所以6=1.

（2）/（x）=2x34-9X2+12x+l,所以尸（x）=6（x-l）（x-2）

列表如下：

X0(0,1)1（1，2）2（2,3）3

+0—0+

1/極大值6極小值5/10

由于1<5,故xe[0,3]時,/（^=/（0）=1.

3

16.（1）分布列見解析，期望為=

4

n-1

⑵只=，；x

【分析】（1）先確定y的可能值，再分別求概率列表求期望.

（2）先得到遞推關(guān)系-再構(gòu)造等比數(shù)列求解.

【詳解】（1）由題可知，正四面體與桌面接觸的數(shù)字為1和2的概率均為

y的取值可能為o,1,2.

答案第8頁，共12頁

￡y=0x-+lx-+2x-=-.

2444

(2)由題可知［=0,當(dāng)時，n-1次底面的數(shù)字之和能被3整除的概率為

所以匕［。-匕一3則-J，

所以數(shù)列，匕-；，是以-g為首項，為公比的等比數(shù)列，

則弓1二一夫「「'即匕

17.⑴證明見解析；

【分析】(1)利用直角梯形的性質(zhì)計算證得ABIAC,再利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直

的性質(zhì)推理即得.

(2)取AC的中點E,連接尸E,利用面面垂直的性質(zhì)結(jié)合等體積法求出體積._

【詳解】(1)在四棱錐尸—ABCD中，AD//BC,BCLCD,BC=2CD=2AD=2^2,

四邊形ABCD是直角梯形，ZADC=90,AC=-JcD2+AD2=2>

AB=yjCD2+(BC-AD)2=2,

于是AC2+AB2=8=8C?,即AB人AC,而平面AfiCDI平面PAC,

平面ABCDc平面B4C=AC,4?u平面ABC。，則ABI平面PAC,又尸Cu平面PAC,

所以PCJ_AB.

(2)取AC的中點E,連接PE,由尸A=PC=@AC=如，得PELAC,

2

PE=VPA2-A￡2=2>

由平面ABCD1平面PAC,平面ABCDc平面PAC=AC,PEu平面PAC,得PE_L平面

ABCD,

由M是出的中點，得點M到平面ABCD的距離』=gPE=l,又5.0=：4小4^=2,

12

VVSd

顯然SPBM=SABM，所以三棱錐C-P3M的體積匕一PBM=C-ABM=M-ABC=^ABC'=--

2

⑵(i)^-x2=l；(ii)證明見解析.

3

【分析】(1)聯(lián)立y=r與橢圓方程，求得點尸，。的坐標(biāo)，以及直線API。的方程，從而求

得4尸,8。的交點坐標(biāo)，即可驗證其滿足雙曲線方程，從而證明；

(2)(i)根據(jù)通徑長度以及漸近線方程求得。力,c,則雙曲線方程得解；

(ii)設(shè)直線跖V方程為丫=履+2,聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合三角形AAW的

面積，求得旌再利用三角形面積公式和韋達(dá)定理，表達(dá)出S,即可證明.

【詳解】(1)證明：依題意可知40,-。)，8(0,。)，

答案第9頁，共12頁

y=t,by/a2-t2；'bda2一『（

聯(lián)立V2尤2不妨取P-Q

-——2I-----2-=1,aa

[ab177

—a—t

y=——/x-a_

則直線AP的方程為.b^/7二^，①

a

ci-t

y=r-x+a_

直線BQ的方程為64r不，②

x=-fr-^2

BQ的交點坐標(biāo)為-b°t'

聯(lián)立①②可得即直線AP,

成立，所以直線相，BQ的交點在雙曲線C上.

=1

(2)(i)對?。号c+二=1,令y=c,故可得尤2=62卜-5］=4，x=±—；

a2b2(a-a

因為過橢圓「的一個焦點且與長軸垂直的弦長為獨(dú)，所以”=￥.③

3a3

因為雙曲線C的一條漸近線方程為>=氐，所以，=6.④

b

聯(lián)立③④，解得人=1,a=6,所以雙曲線。的方程為匕-爐=1.

3

(ii)證明:由⑴得點尸(0,2),A(0,-石).

設(shè)直線/的斜率為左,N(%2，%)，

2

則直線/的方程>=履+2,與雙曲線］-尤2=1聯(lián)立并消去y得小2-3)尤2+4日+1=0,

—4左1

貝1JA=12產(chǎn)+12>0,所以尤1+9=丁^，再％=”~^<。，貝1］公<3,

k—3k—3

故,一/I=，(但+々)2-4儀=之可卜J、.

X|AF|=2+>/3,所以S.N=1|人方||石一回=1義(2+")，6"=36+6,

，23—k

整理得：^E+1=A/3，3獷-19^+26=0,解得左2=2或％2=孕(舍去).

3-k13

因為S=；|OM||ON|sin6,

答案第10頁，共12頁

匚…S1|QM||ON|sine

所以——二---------------^-\O