押廣東廣州卷第24-25題（二次函數(shù)、特殊四邊形中動點問題）（原卷版）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學

押廣東廣州卷第24-25題押題方向一：二次函數(shù)3年廣東廣州卷真題考點命題趨勢2023年廣東廣州卷第24題反比例函數(shù)和二次函數(shù)綜合從近年廣東廣州中考來看，二次函數(shù)經(jīng)常會與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、幾何圖形結(jié)合一起來考查，依據(jù)幾何圖形的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)最值解決問題，綜合難度較大；預計2024年廣東廣州卷還將繼續(xù)重視對二次函數(shù)與其他函數(shù)和幾何圖形的綜合考查。2022年廣東廣州卷第24題一次函數(shù)和二次函數(shù)2021年廣東廣州卷第24題二次函數(shù)1．（2023·廣東廣州·中考真題）已知點在函數(shù)的圖象上．（1）若，求的值；（2）拋物線與軸交于兩點，在的左邊），與軸交于點，記拋物線的頂點為．①為何值時，點到達最高處；②設(shè)的外接圓圓心為，與軸的另一個交點為，當時，是否存在四邊形為平行四邊形？若存在，求此時頂點的坐標；若不存在，請說明理由．2．（2022·廣東廣州·中考真題）已知直線：經(jīng)過點（0，7）和點（1，6）．(1)求直線的解析式；(2)若點P（，）在直線上，以P為頂點的拋物線G過點（0，-3），且開口向下①求的取值范圍；②設(shè)拋物線G與直線的另一個交點為Q，當點Q向左平移1個單長度后得到的點Q'也在G上時，求G在≤≤的圖象的最高點的坐標．3．（2021·廣東廣州·中考真題）已知拋物線（1）當時，請判斷點（2，4）是否在該拋物線上；（2）該拋物線的頂點隨著m的變化而移動，當頂點移動到最高處時，求該拋物線的頂點坐標；（3）已知點、，若該拋物線與線段EF只有一個交點，求該拋物線頂點橫坐標的取值范圍．1.二次函數(shù)（含參）最值討論技巧：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)（下面以a＞0為例進行討論）。圖1圖2圖3圖4圖51）如圖1，當x的取值為全體實數(shù)時：當時，y取最小值，最小值ymin=，無最大值。2）如圖2，當時：當時，y取最小值，最小值為ymin=ax22+bx2+c；當時，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。3）如圖3，當且時：當時，y取最小值，最小值為ymin=；當時，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。4）如圖4，當且時：當時，y取最小值，最小值為ymin=；當時，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。5）如圖4，當時：當時，y取最小值，最小值為ymin=ax12+bx1+c；當時，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。1．已知拋物線經(jīng)過點．(1)用含的式子表示；(2)當時，設(shè)該拋物線與軸交于點，（點在點的左側(cè)），與軸交于點，的外接圓與軸交于另一點（點與點不重合），求點的坐標；(3)若點，，在該拋物線上，且當時，總有，求的取值范圍．2．已知直線經(jīng)過點．(1)用含有的式子表示；(2)若直線與，軸分別交于，兩點，面積為，求的取值范圍；(3)過點的拋物線與軸交點為，記拋物線的頂點為，該拋物線是否存在點使四邊形為平行四邊形？若存在，求此時頂點的坐標；若不存在，請說明理由．3．已知拋物線的圖象過點．(1)求b與a的關(guān)系式；(2)當時，若該拋物線的頂點到x軸的距離是1，求a的值；(3)將拋物線進行平移，若平移后的拋物線仍過點，點A的對應(yīng)點為點，當時，求平移后的拋物線頂點縱坐標的最大值．4．已知拋物線：的對稱軸是直線，與軸交于A、兩點（A在左側(cè)），與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)若點在線段上，且，求的值；(3)拋物線向右平移個單位（），平移后A、的對應(yīng)點分別是、，點在軸的負半軸上，且以點、、為頂點的三角形與相似．點是平移后的拋物線上的一點，若四邊形是平行四邊形，求的值．5．已知拋物線，直線，其中，．(1)求證：直線l與拋物線C至少有一個交點；(2)若拋物線C與x軸交于，兩點，其中，且，求當時，拋物線C存在兩個橫坐標為整數(shù)的頂點；(3)若在直線l下方的拋物線C上至少存在兩個橫坐標為整數(shù)的點，求k的取值范圍．6．已知二次函數(shù)圖象與x軸交于點A和點，與y軸交于點．(1)求點A的坐標；(2)若點D是直線上方的拋物線上的一點，過點D作軸交射線于點E，過點D作于點F，求的最大值及此時點D坐標；(3)在（2）的條件下，若點P，Q為x軸下方的拋物線上的兩個動點，并且這兩個點滿足，試求點D到直線的最大距離．7．在平面直角坐標系中，已知拋物線（是常數(shù)），頂點為．(1)用含的式子表示拋物線的對稱軸；(2)已知點，當點不在軸上時，點關(guān)于軸的對稱點為點，分別過點、作軸的垂線，垂足分別為、，連接，得到矩形．①當時，點到邊所在直線的距離等于點到軸的距離，求的值；②當時，拋物線的一部分經(jīng)過矩形的內(nèi)部，這部分拋物線上的點的縱坐標隨著的增大而減小，求的取值范圍．8．如圖所示，拋物線與直線交于，兩點，點為線段上一動點，過點作軸的垂線交拋物線于點．．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當點C運動到何處時，線段的長度有最大值；(3)點E為直線上一動點，在（2）的條件下，當有最小值時，點E的坐標為______（直接寫出答案）．9．綜合應(yīng)用如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)直線與拋物線在第二象限交于點，若動點在上運動，線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點首次落在軸上時記為點，在點運動過程中，判斷的大小是否發(fā)生變化？并說明理由．(3)在（）的條件下，連接，記的外接圓的最小面積為，記的外接圓的最大面積為，試求的值（結(jié)果保留）．10．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（其中），交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸負半軸于點C．(1)求點A的坐標；(2)如圖1，若在x軸上方的拋物線上存在一點D，使得，當時，求點D的坐標；(3)如圖2，平面上一點，過點E作任意一條直線交拋物線于P、Q兩點，連接、，分別交y軸于M、N兩點，則與的積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．押題方向二：特殊平行四邊形的動點問題3年廣東廣州卷真題考點命題趨勢2023年廣東廣州卷第25題正方形與三角形綜合從近年廣東廣州中考來看，特殊的平行四邊形中動點問題在近三年的中考中以解答壓軸題的形式考查，綜合難度比較大；預計2024年廣東廣州卷還將繼續(xù)重視對特殊的平行四邊形中動點問題的考查。2022年廣東廣州卷第25題菱形中的動點問題2021年廣東廣州卷第25題菱形中的動點問題1．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，在正方形中，是邊上一動點（不與點，重合）．邊關(guān)于對稱的線段為，連接．（1）若，求證：是等邊三角形；（2）延長，交射線于點．①能否為等腰三角形？如果能，求此時的度數(shù)；如果不能，請說明理由；②若，求面積的最大值，并求此時的長．2．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合），點F在邊AD上，且BE=DF，①當CE丄AB時，求四邊形ABEF的面積；②當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+CF的值是否也最??？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請說明理由．3．（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，，點E為邊AB上一個動點，延長BA到點F，使，且CF、DE相交于點G（1）當點E運動到AB中點時，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；（2）當時，求AE的長；（3）當點E從點A開始向右運動到點B時，求點G運動路徑的長度．1.幾何變換中的翻折（折疊、對稱)問題是歷年中考的熱點問題，試題立意新穎，變幻巧妙，主要考查學生的識圖能力及靈活運用數(shù)學知識解決問題的能力。2.在幾何最值問題，幾何背景下的最值是考生感覺較難的，往往沒有思路。常見的有：(1)幾何圖形中在特殊位置下的最值；(2)比較難的線段的最值問題，其依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等；③借助于圓的知識；④二次函數(shù)的最值法解決。3常見最值模型：1）將軍飲馬模型；2）胡不歸模型；3）阿氏圓模型；4）瓜豆模型（動態(tài)軌跡問題）；5）費馬點模型等。1．如圖，在矩形和矩形中，，，,．矩形繞著點A旋轉(zhuǎn)，連接，，，．

(1)求證：；(2)當?shù)拈L度最大時，①求的長度；②在內(nèi)是否存在一點P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由．2．如圖，在四邊形中，點，分別在邊，上．連接，，，．(1)【實踐探究】如圖①，四邊形是正方形．（ⅰ）若，，求的余弦值；（ⅱ）若，求證：是的中點；(2)【拓展】如圖②，四邊形是直角梯形，，，，，，求的長．3．【問題情境】（1）如圖1，四邊形是正方形，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，若，則的長度是_________；【類比探究】（2）如圖2，四邊形是矩形，，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；【拓展提升】（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，求的最小值．

4．如圖①，正方形中，，點是邊上的動點，點是邊上的動點，且，連接．

(1)如圖①，作，交于點，連接，求證；四邊形是平行四邊形；(2)如圖②，延長．、相交于點，試求的度數(shù)；(3)如圖（3），連接，記，試求的最小值．5．平行四邊形中，點E在邊上，連，點F在線段上，連，連．(1)如圖1，已知，點E為中點，．若，求的長度；(2)如圖2，已知，將射線沿翻折交于H，過點C作交于點G．若，求證：；(3)如圖3，已知，若，直接寫出的最小值．6．（1）如圖1，已知正方形的邊長為4．點M和N分別從點B、C同時出發(fā)，以相同的速度沿、方向向終點C和D運動．連接和，交于點P．

①猜想與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．②求運動過程中，線段掃過的面積．（2）如圖2，已知菱形的對角線為，．點M和N分別從點B、C同時出發(fā)，以相同的速度沿、向終點C和A運動．連接和，交于點P．求周長的最大值．

7．【讀一讀】一般地，學習幾何要從作圖開始，再觀察圖形，根據(jù)圖形的某一類共同特征對圖形進行分類（即給一類圖形下定義——定義概念便于歸類、交流與表達），然后繼續(xù)研究圖形的其它特征、判定方法以及圖形的組合、圖形之間的關(guān)系、圖形的計算等問題．課本里對三角形、四邊形的研究即遵循著上面的思路．【算一算】當然，在學習幾何的不同階段，可能研究的是幾何的部分問題．比如有下面的問題，請你研究．如圖，在中，，點M、N分別為邊、的中點，連接．(1)如圖1，若，，先將繞點順時針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，當點A、E、F在同一直線上時，與相交于點，連接、．①填空：______（填度數(shù)），是______三角形（填類別）；②求的長．(2)如圖2，若，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、．當旋轉(zhuǎn)角滿足，點C、E、F在同一直線上時，利用所提供的圖2和備用圖探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．8．“