押廣東廣州卷第24-25題（二次函數(shù)、特殊四邊形中動(dòng)點(diǎn)問題）（原卷版）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)

押廣東廣州卷第24-25題押題方向一：二次函數(shù)3年廣東廣州卷真題考點(diǎn)命題趨勢2023年廣東廣州卷第24題反比例函數(shù)和二次函數(shù)綜合從近年廣東廣州中考來看，二次函數(shù)經(jīng)常會(huì)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、幾何圖形結(jié)合一起來考查，依據(jù)幾何圖形的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)最值解決問題，綜合難度較大；預(yù)計(jì)2024年廣東廣州卷還將繼續(xù)重視對(duì)二次函數(shù)與其他函數(shù)和幾何圖形的綜合考查。2022年廣東廣州卷第24題一次函數(shù)和二次函數(shù)2021年廣東廣州卷第24題二次函數(shù)1．（2023·廣東廣州·中考真題）已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．（1）若，求的值；（2）拋物線與軸交于兩點(diǎn)，在的左邊），與軸交于點(diǎn)，記拋物線的頂點(diǎn)為．①為何值時(shí)，點(diǎn)到達(dá)最高處；②設(shè)的外接圓圓心為，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，是否存在四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2022·廣東廣州·中考真題）已知直線：經(jīng)過點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6）．(1)求直線的解析式；(2)若點(diǎn)P（，）在直線上，以P為頂點(diǎn)的拋物線G過點(diǎn)（0，-3），且開口向下①求的取值范圍；②設(shè)拋物線G與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)Q向左平移1個(gè)單長度后得到的點(diǎn)Q'也在G上時(shí)，求G在≤≤的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2021·廣東廣州·中考真題）已知拋物線（1）當(dāng)時(shí)，請判斷點(diǎn)（2，4）是否在該拋物線上；（2）該拋物線的頂點(diǎn)隨著m的變化而移動(dòng)，當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到最高處時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)、，若該拋物線與線段EF只有一個(gè)交點(diǎn)，求該拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．1.二次函數(shù)（含參）最值討論技巧：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)（下面以a＞0為例進(jìn)行討論）。圖1圖2圖3圖4圖51）如圖1，當(dāng)x的取值為全體實(shí)數(shù)時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值ymin=，無最大值。2）如圖2，當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為ymin=ax22+bx2+c；當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。3）如圖3，當(dāng)且時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為ymin=；當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。4）如圖4，當(dāng)且時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為ymin=；當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。5）如圖4，當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為ymin=ax12+bx1+c；當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。1．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．(1)用含的式子表示；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)該拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，的外接圓與軸交于另一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)，，在該拋物線上，且當(dāng)時(shí)，總有，求的取值范圍．2．已知直線經(jīng)過點(diǎn)．(1)用含有的式子表示；(2)若直線與，軸分別交于，兩點(diǎn)，面積為，求的取值范圍；(3)過點(diǎn)的拋物線與軸交點(diǎn)為，記拋物線的頂點(diǎn)為，該拋物線是否存在點(diǎn)使四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．已知拋物線的圖象過點(diǎn)．(1)求b與a的關(guān)系式；(2)當(dāng)時(shí)，若該拋物線的頂點(diǎn)到x軸的距離是1，求a的值；(3)將拋物線進(jìn)行平移，若平移后的拋物線仍過點(diǎn)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求平移后的拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值．4．已知拋物線：的對(duì)稱軸是直線，與軸交于A、兩點(diǎn)（A在左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)在線段上，且，求的值；(3)拋物線向右平移個(gè)單位（），平移后A、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是、，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似．點(diǎn)是平移后的拋物線上的一點(diǎn)，若四邊形是平行四邊形，求的值．5．已知拋物線，直線，其中，．(1)求證：直線l與拋物線C至少有一個(gè)交點(diǎn)；(2)若拋物線C與x軸交于，兩點(diǎn)，其中，且，求當(dāng)時(shí)，拋物線C存在兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的頂點(diǎn)；(3)若在直線l下方的拋物線C上至少存在兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，求k的取值范圍．6．已知二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)D是直線上方的拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸交射線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)P，Q為x軸下方的拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且這兩個(gè)點(diǎn)滿足，試求點(diǎn)D到直線的最大距離．7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（是常數(shù)），頂點(diǎn)為．(1)用含的式子表示拋物線的對(duì)稱軸；(2)已知點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，分別過點(diǎn)、作軸的垂線，垂足分別為、，連接，得到矩形．①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到邊所在直線的距離等于點(diǎn)到軸的距離，求的值；②當(dāng)時(shí)，拋物線的一部分經(jīng)過矩形的內(nèi)部，這部分拋物線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨著的增大而減小，求的取值范圍．8．如圖所示，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)．．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，線段的長度有最大值；(3)點(diǎn)E為直線上一動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，當(dāng)有最小值時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為______（直接寫出答案）．9．綜合應(yīng)用如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)直線與拋物線在第二象限交于點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)首次落在軸上時(shí)記為點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，判斷的大小是否發(fā)生變化？并說明理由．(3)在（）的條件下，連接，記的外接圓的最小面積為，記的外接圓的最大面積為，試求的值（結(jié)果保留）．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（其中），交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)如圖1，若在x軸上方的拋物線上存在一點(diǎn)D，使得，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖2，平面上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作任意一條直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，連接、，分別交y軸于M、N兩點(diǎn)，則與的積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．押題方向二：特殊平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題3年廣東廣州卷真題考點(diǎn)命題趨勢2023年廣東廣州卷第25題正方形與三角形綜合從近年廣東廣州中考來看，特殊的平行四邊形中動(dòng)點(diǎn)問題在近三年的中考中以解答壓軸題的形式考查，綜合難度比較大；預(yù)計(jì)2024年廣東廣州卷還將繼續(xù)重視對(duì)特殊的平行四邊形中動(dòng)點(diǎn)問題的考查。2022年廣東廣州卷第25題菱形中的動(dòng)點(diǎn)問題2021年廣東廣州卷第25題菱形中的動(dòng)點(diǎn)問題1．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，在正方形中，是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）．邊關(guān)于對(duì)稱的線段為，連接．（1）若，求證：是等邊三角形；（2）延長，交射線于點(diǎn)．①能否為等腰三角形？如果能，求此時(shí)的度數(shù)；如果不能，請說明理由；②若，求面積的最大值，并求此時(shí)的長．2．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=DF，①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請說明理由．3．（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，，點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)F，使，且CF、DE相交于點(diǎn)G（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，求AE的長；（3）當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長度．1.幾何變換中的翻折（折疊、對(duì)稱)問題是歷年中考的熱點(diǎn)問題，試題立意新穎，變幻巧妙，主要考查學(xué)生的識(shí)圖能力及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。2.在幾何最值問題，幾何背景下的最值是考生感覺較難的，往往沒有思路。常見的有：(1)幾何圖形中在特殊位置下的最值；(2)比較難的線段的最值問題，其依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等；③借助于圓的知識(shí)；④二次函數(shù)的最值法解決。3常見最值模型：1）將軍飲馬模型；2）胡不歸模型；3）阿氏圓模型；4）瓜豆模型（動(dòng)態(tài)軌跡問題）；5）費(fèi)馬點(diǎn)模型等。1．如圖，在矩形和矩形中，，，,．矩形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接，，，．

(1)求證：；(2)當(dāng)?shù)拈L度最大時(shí)，①求的長度；②在內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由．2．如圖，在四邊形中，點(diǎn)，分別在邊，上．連接，，，．(1)【實(shí)踐探究】如圖①，四邊形是正方形．（ⅰ）若，，求的余弦值；（ⅱ）若，求證：是的中點(diǎn)；(2)【拓展】如圖②，四邊形是直角梯形，，，，，，求的長．3．【問題情境】（1）如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，若，則的長度是_________；【類比探究】（2）如圖2，四邊形是矩形，，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；【拓展提升】（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，求的最小值．

4．如圖①，正方形中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接．

(1)如圖①，作，交于點(diǎn)，連接，求證；四邊形是平行四邊形；(2)如圖②，延長．、相交于點(diǎn)，試求的度數(shù)；(3)如圖（3），連接，記，試求的最小值．5．平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，連，點(diǎn)F在線段上，連，連．(1)如圖1，已知，點(diǎn)E為中點(diǎn)，．若，求的長度；(2)如圖2，已知，將射線沿翻折交于H，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)G．若，求證：；(3)如圖3，已知，若，直接寫出的最小值．6．（1）如圖1，已知正方形的邊長為4．點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿、方向向終點(diǎn)C和D運(yùn)動(dòng)．連接和，交于點(diǎn)P．

①猜想與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．②求運(yùn)動(dòng)過程中，線段掃過的面積．（2）如圖2，已知菱形的對(duì)角線為，．點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿、向終點(diǎn)C和A運(yùn)動(dòng)．連接和，交于點(diǎn)P．求周長的最大值．

7．【讀一讀】一般地，學(xué)習(xí)幾何要從作圖開始，再觀察圖形，根據(jù)圖形的某一類共同特征對(duì)圖形進(jìn)行分類（即給一類圖形下定義——定義概念便于歸類、交流與表達(dá)），然后繼續(xù)研究圖形的其它特征、判定方法以及圖形的組合、圖形之間的關(guān)系、圖形的計(jì)算等問題．課本里對(duì)三角形、四邊形的研究即遵循著上面的思路．【算一算】當(dāng)然，在學(xué)習(xí)幾何的不同階段，可能研究的是幾何的部分問題．比如有下面的問題，請你研究．如圖，在中，，點(diǎn)M、N分別為邊、的中點(diǎn)，連接．(1)如圖1，若，，先將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，當(dāng)點(diǎn)A、E、F在同一直線上時(shí)，與相交于點(diǎn)，連接、．①填空：______（填度數(shù)），是______三角形（填類別）；②求的長．(2)如圖2，若，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足，點(diǎn)C、E、F在同一直線上時(shí)，利用所提供的圖2和備用圖探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．8．“