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文檔簡介
甘肅省2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)四模試卷
注意事項:
1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。
2.答題時請按要求用筆。
3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。
4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。
5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1.十]的二項展開式中,一的系數(shù)是()
A.70B.-70C.28D.-28
2
2.雙曲線爐-匕=1的漸近線方程為()
2
A.y=±—xB.>=±XC.y=±V2xD.y=±yf3x
2
3.設(shè)加、〃是兩條不同的直線,£是兩個不同的平面,則相,力的一個充分條件是()
A.且mucB.miln旦n工(3C.a工。昱mllaD.根J_〃且〃///
4.某個命題與自然數(shù)〃有關(guān),且已證得“假設(shè)〃=左(keN*)時該命題成立,則〃=%+1時該命題也成立”.現(xiàn)已知當(dāng)
〃=7時,該命題不成立,那么()
A.當(dāng)〃=8時,該命題不成立B.當(dāng)〃=8時,該命題成立
C.當(dāng)〃=6時,該命題不成立D.當(dāng)〃=6時,該命題成立
5.某校8位學(xué)生的本次月考成績恰好都比上一次的月考成績高出50分,則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績各自組成
樣本,則這兩個樣本不變的數(shù)字特征是()
A.方差B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.平均數(shù)
3
6.已知c是第二象限的角,tan(〃+a)=--,貝!Jsin2<z=()
4
12122424
A.——B.---C.—D.---
25252525
7.拋物線*'一金用喑,:那的焦點為少,準(zhǔn)線為/,4,3是拋物線上的兩個動點,且滿足NA網(wǎng)=r-,設(shè)線段A3
\MN\
的中點M在/上的投影為N,則的最大值是()
AB
A.且B.BC.也D.73
432
8.設(shè)S“為等差數(shù)列{q,}的前〃項和,若。3=-3,S[=-7,則S”的最小值為()
A.-12B.-15C.-16D.-18
9.已知圓V+y2—6x—7=0與拋物線丁2=2/(〃>0)的準(zhǔn)線相切,則。的值為()
1
A.1B.2C.-D.4
2
10.一個封閉的棱長為2的正方體容器,當(dāng)水平放置時,如圖,水面的高度正好為棱長的一半.若將該正方體繞下底
面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),則容器里水面的最大高度為()
A.1B.V2C.6D.272
11.已知函數(shù)/(x)=te2x+?—2)e'—x(?>0),若函數(shù)在xeR上有唯一零點,貝"的值為()
A.1B.1■或oC.1或0
D.2或0
2
12.已知復(fù)數(shù)z滿足工=1+"則忖的值為()
Z
A.-B.0C.—D.2
22
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.在矩形ABC。中,BC=4,〃為的中點,將A5河和△DCM分別沿AM,DM翻折,使點3與C重合
于點P.若ZAPD=150°,則三棱錐M-PAD的外接球的表面積為.
14.已知點P是直線/上的一點,將直線/繞點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)角&所得直線方程是尤-y-2=0,
TT
若將它繼續(xù)旋轉(zhuǎn)一-。角,所得直線方程是2%+y-1=0,則直線/的方程是.
2
15.已知變量-,滿足約束條件,貝!I-_的最小值為___________.
1L(---<0--I?一
|二一二二£'3
Q二-二H-6
7
16.的展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為(用數(shù)字作答).
7
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(12分)已知aeR,函數(shù)/(x)=ae"—x—l,g(x)=x-ln(x+l)(e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)).
(I)討論函數(shù)/(九)極值點的個數(shù);
(II)若。=1,且命題“Vxe[O,y),/(%)之依⑴”是假命題,求實數(shù)上的取值范圍.
18.(12分)已知在二二二二中,角二?二二的對邊分別為二二匚且學(xué)?警,
(1)求二的值;
⑵若-二一二求,一的取值范圍.
19.(12分)已知函數(shù)〃x)=|4x—1|—卜+2|.
(1)解不等式/(尤)>2;
⑵記函數(shù)y=/(x)+5|x+2|的最小值為左,正實數(shù)。、b滿足。+6匕=£求證:但
9Vab
20.(12分)一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣,每次正面向上得2分,反面向上得1分.
(1)設(shè)拋擲4次的得分為X,求變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(2)當(dāng)游戲得分為〃(〃eN*)時,游戲停止,記得〃分的概率和為Q〃,Qi=g.
①求。2;
②當(dāng)〃eN*時,記4=Q+I+;Q",4,=Q+J—2,證明:數(shù)列{4}為常數(shù)列,數(shù)列{立}為等比數(shù)列.
21.(12分)已知函數(shù)/(%)=51111如一共0〉0)的圖象向左平移5后與函數(shù)8(%)=<:05(2%+9)[網(wǎng)<3圖象
重合.
(1)求。和9的值;
(2)若函數(shù)Mx)=/[x+5+g、-求//(力的單調(diào)遞增區(qū)間及圖象的對稱軸方程.
22.(10分)已知a>0,b>0,函數(shù)/(%)=|2*+4+上一百的最小值為;.
(1)求證:<2+2Z?=1;
(2)若+恒成立,求實數(shù)/的最大值.
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1、A
【解析】
試題分析:由題意得,二項展開式的通項為配1=。"?(_十)「=(_1)/083,令8_|「=2nr=4,所以/的
系數(shù)是(-DP;=70,故選A.
考點:二項式定理的應(yīng)用.
2、C
【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可寫出漸近線方程.
【詳解】
2
雙曲線Y-匕=1,
2
二雙曲線的漸近線方程為y=士也x,
故選:C
【點睛】
本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于容易題.
3、B
【解析】
由機(jī)//“且"」萬可得修,,,故選B.
4、C
【解析】
寫出命題“假設(shè)〃=左伏wN*)時該命題成立,則八=k+1時該命題也成立”的逆否命題,結(jié)合原命題與逆否命題的真
假性一致進(jìn)行判斷.
【詳解】
由逆否命題可知,命題“假設(shè)〃=左儀CN*)時該命題成立,則〃=左+1時該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)
"=左+1(左eN*)時該命題不成立,則當(dāng)〃=左時該命題也不成立”,
由于當(dāng)九=7時,該命題不成立,則當(dāng)〃=6時,該命題也不成立,故選:C.
【點睛】
本題考查逆否命題與原命題等價性的應(yīng)用,解題時要寫出原命題的逆否命題,結(jié)合逆否命題的等價性進(jìn)行判斷,考查
邏輯推理能力,屬于中等題.
5、A
【解析】
通過方差公式分析可知方差沒有改變,中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.
【詳解】
由題可知,中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.
本次和上次的月考成績相比,成績和平均數(shù)都增加了50,所以(七-Ip沒有改變,
1__
根據(jù)方差公式S2=-[(%1-%)2+,+(4-X)2]可知方差不變.
8
故選:A
【點睛】
本題主要考查樣本的數(shù)字特征,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.
6、D
【解析】
利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cos2。,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.
【詳解】
3
因為tan(?+。)=——,
4
?-口八八-sin。3
由誘導(dǎo)公式可得,tan。=-----=—,
cosa4
3
即sina=——cosa,
4
因為sin2a+cos2a=1,
--,o16
所以cos。=石,
由二倍角的正弦公式可得,
3,
sin2a=2sintzcostz=——cos-a,
2
….c31624
所以sm2a=——x—=-----.
22525
故選:D
【點睛】
本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運(yùn)算求解能力和知識的綜合運(yùn)用能力;屬于中
7、B
【解析】
試題分析:設(shè)A,3在直線/上的投影分別是小耳,又M是A5中點,所以
,沖|,=15缶,1,+網(wǎng),),,則\MN\胃1IA^I在+IBBJ枷\AF\+\B尸F(xiàn)\中
|AB|2=|AF|2+\BFf-2|AF||BF|COS^=|AF|2+|BF|2+\AF\\BF\=(|AF|+|BF|)2-|AF||BF|>(|AF|+|BF|)2
2
-\AF\+\BF\93.,+,忸「吁(I所AFI+IB以FI)即45|AF|^+|B"F|十2也所\M以N\"造6’故選以
考點:拋物線的性質(zhì).
【名師點晴】
在直線與拋物線的位置關(guān)系問題中,涉及到拋物線上的點到焦點的距離,焦點弦長,拋物線上的點到準(zhǔn)線(或與準(zhǔn)線
平行的直線)的距離時,常常考慮用拋物線的定義進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化.象本題弦A6的中點M到準(zhǔn)線的距離首先等于
A,3兩點到準(zhǔn)線距離之和的一半,然后轉(zhuǎn)化為A,3兩點到焦點P的距離,從而與弦長IA國之間可通過余弦定理建立
關(guān)系.
8、C
【解析】
根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項公式,判斷出“最小時的值,由此求得的最小值.
{4}snSn
【詳解】
a.+2d=-39
依題意「”,解得%=—7,1=2,所以?!?2〃—9.由?!?2〃一9<°解得“<7,所以前九項和中,前
/?1+21J=-72
4項的和最小,且S4=4q+6d=—28+12=—16.
故選:C
【點睛】
本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前“項和公式的基本量計算,考查等差數(shù)列前幾項和最值的求法,屬于基礎(chǔ)題.
9、B
【解析】
因為圓好+'2-6x-7=0與拋物線丁=2勿(2>0)的準(zhǔn)線相切,則圓心為(3,0),半徑為4,根據(jù)相切可知,圓心
到直線的距離等于半徑,可知。的值為2,選B.
【詳解】
請在此輸入詳解!
10、B
【解析】
根據(jù)已知可知水面的最大高度為正方體面對角線長的一半,由此得到結(jié)論.
【詳解】
正方體的面對角線長為2&,又水的體積是正方體體積的一半,
且正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),
所以容器里水面的最大高度為面對角線長的一半,
即最大水面高度為0,故選B.
【點睛】
本題考查了正方體的幾何特征,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.
11、C
【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng),〉0時,只需/(—In/)=o,Bpinz--+l=o,令g⑺=ln/二+l,利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間,
tt
即可求出參數(shù)f的值,當(dāng)/=0時,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理可判斷;
【詳解】
解:V/(x)=te2x+a-2)ex-x(z>0),
f\x)=2te2x+(/-2)e*—1="e,—)(2e'+1),.?.當(dāng).>0時,由f\x)=0得x=—Inf,
則f(x)在(—,—In。上單調(diào)遞減,在(-In/,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增,
所以/'(—In/)是極小值,.?.只需/(—In/)=0,
即ln"1+l=0.令g⑺=ln/二+l,則g'⑺=1+±>0,.?.函數(shù)g⑺在(0,+s)上單
tttt
調(diào)遞增.???g(l)=0,.?"=1;
當(dāng)/=0時,f(x)^-2ex-x,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,=—2e—1<0,/(-2)=2-2e-2>0,函數(shù)/\x)
在R上有且只有一個零點,的值是1或0.
故選:C
【點睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題,零點存在性定理的應(yīng)用,屬于中檔題.
12、C
【解析】
由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算整理已知求得復(fù)數(shù)z,進(jìn)而求得其模.
【詳解】
因為(=i+f=占=呂=1?’所以目=「:+,£)=與
故選:C
【點睛】
本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與求復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13、68TT.
【解析】
計算△4DP外接圓的半徑廠,并假設(shè)外接球的半徑為R,可得球心在過外接圓圓心且垂直圓面的垂線上,然后根據(jù)
9上面上4。,尺2=(?)+廠2即可得解.
【詳解】
由題意可知,MPLPA,MPVPD,PDryPA^P,
所以可得?ML面R4D,
設(shè)AADP外接圓的半徑為r,
AD4
由正弦定理可得=2r,即-------二2r,廠=4,
sinZAPDsin150°
設(shè)三棱錐〃-外接球的半徑R,
因為外接球的球心為過底面圓心垂直于底面的直線與中截面的交點,
則在2=(^^)+r2=1+16=17,
所以外接球的表面積為S=4萬尺2=68萬.
故答案為:68".
【點睛】
本題考查三棱錐的外接球的應(yīng)用,屬于中檔題.
14、x-2y-3=0
【解析】
求出點P坐標(biāo),由于直線2x+y-1=0與直線/垂直,得出直線/的斜率為工,再由點斜式寫出直線/的方程.
2
【詳解】
2%+丁一1=0_
x-y-2=0nHD
77
由于直線2x+y-l=0可看成直線I先繞點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)角?,再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)生-。角得到,則直線2x+y-l=0
2
與直線/垂直,即直線/的斜率為工
2
所以直線/的方程為y+l=;(x—l),即x—2y—3=0
故答案為:x-2y-3=0
【點睛】
本題主要考查了求直線的方程,涉及了求直線的交點以及直線與直線的位置關(guān)系,屬于中檔題.
15、-5
【解析】
畫出-滿足的可行域,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)-一經(jīng)過點-時,-最小,求解即可。
【詳解】
畫出一,滿足的可行域,由I解得「,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點時,取得最小值為
WZ----6
【點睛】
本題考查的是線性規(guī)劃問題,解決線性規(guī)劃問題的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合思想。需要注意的是:一,
準(zhǔn)確無誤地作出可行域;二,畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時,要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較,避免
出錯;三,一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得。
16、5670
【解析】
根據(jù)二項式展開的通項,可得二項式系數(shù)的最大項,可求得其系數(shù).
【詳解】
二項展開式一共有9項,所以由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知二項式系數(shù)最大的項為第5項,系數(shù)為3,=5670.
故答案為:5670
【點睛】
本題考查了二項式定理展開式的應(yīng)用,由通項公式求二項式系數(shù),屬于中檔題.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17、(1)當(dāng)aWO時,/(X)沒有極值點,當(dāng)。>0時,/(九)有一個極小值點.⑵(L+?)
【解析】
試題分析:⑴f'(x)=ae'-l,分aWO,a>0討論,當(dāng)aWO時,對VxeR,f'(x)=ae'-1<0,當(dāng)a>0時
“x)=0,解得x=—Ina,f(x)在—Ina)上是減函數(shù),在(—Ina,+“)上是增函數(shù)。所以,當(dāng)aWO時,f(x)沒
有極值點,當(dāng)a>0時,f(x)有一個極小值點.⑵原命題為假命題,則逆否命題為真命題。即不等式f(x)<kg(x)
在區(qū)間[0,+“)內(nèi)有解。設(shè)F(x)=f(x)-kg(x)=ex+kln(x+l)-(k+l)x-l,所以F<x)=eX+上
ik
-(k+1),設(shè)h(x)=ex+—^-(k+1),則h'(x)=ex-——7,且h'(x)是增函數(shù),所以h'(x)2h'(0)=l—k。
所以分kKl和k>l討論。
試題解析:(I)因為f(x)=aex—x—1,所以f〈x)=aex—l,
當(dāng)aWO時,對VxeR,f,(x)=aex-l<0,
所以f(x)在是減函數(shù),此時函數(shù)不存在極值,
所以函數(shù)f(x)沒有極值點;
當(dāng)a>0時,f'(x)=aex—1,令f'(x)=O,解得x=—Ina,
若xe(—Ina),則f'(x)<0,所以f(x)在(―a,—Ina)上是減函數(shù),
若xe(—lna,+”),貝!]f'(x)>0,所以f(x)在(—Ina,+。)上是增函數(shù),
當(dāng)x=—lna時,“*)取得極小值為£(一屆)=11?1,
函數(shù)f(x)有且僅有一個極小值點x=-Ina,
所以當(dāng)aWO時,f(x)沒有極值點,當(dāng)a>0時,f(x)有一個極小值點.
(II)命題“Vxe[0,+a),f(x/kg(x)”是假命題,貝?。軹xe[0,+8),f(x)<kg(x)”是真命題,即不等式
“乂)<1^伍)在區(qū)間[0,+。)內(nèi)有解.
若a=l,則設(shè)F(x)=f(x)—kg(x)=ex+kln(x+l)-(k+l)x-l,
kV
所以F'(x)=ex+--(k+1),設(shè)h(x)=e*+諭-(k+1),
k
則h〈x)=ex—且h'(x)是增函數(shù),所以h'(x"h'(O)=l-k
當(dāng)kVl時,hf(x)>0,所以h(x)在[0,+功上是增函數(shù),
h(x)>h(O)=O,BPF(X)>0,所以F(x)在[0,+句上是增函數(shù),
所以F(x)>F(0)=0,即f(x)2kg(x)在xG[0,+“)上恒成立.
k
當(dāng)k>l時,因為h'(x)=eX-G^在[o,+⑹是增函數(shù),
因為h'(O)=l—k<0,hf(k-l)=e"i—1>0,
k
所以h'(x)在(0,k—1)上存在唯一零點x0,
,,
當(dāng)xe[O,x())時,h(x)<h(xo)=O,11,)在[0出0)上單調(diào)遞減,
從而h(x)Wh(O)=O,即F'(x)WO,所以F(x)在[0,x0)上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)xe(O,Xo)時,F(xiàn)(x)<F(O)=O,即f(x)<kg(x).
所以不等式f(x)<kg(x)在區(qū)間[0,+巧內(nèi)有解
綜上所述,實數(shù)k的取值范圍為(1,+").
18、⑴二=(2)二-二二"
【解析】試題分析:(1)本問考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求的值,所以可以考慮到根據(jù)余弦定理將---
分別用邊表示,再根據(jù)正弦定理可以將三轉(zhuǎn)化為N于是可以求出的值;(2)首先根據(jù):.-夫:一—一求出角的
tfnC.
值,根據(jù)第(1)問得到的一值,可以運(yùn)用正弦定理求出外接圓半徑-,于是可以將轉(zhuǎn)化為:「!,一:?:廠I,
又因為角二的值已經(jīng)得到,所以將二7:1二-二二三□二轉(zhuǎn)化為關(guān)于二的正弦型函數(shù)表達(dá)式,這樣就可求出取值范圍;另外
本問也可以在求出角的值后,應(yīng)用余弦定理及重要不等式-「2-一一,求出?一的最大值,當(dāng)然,此時還要注
意到三角形兩邊之和大于第三邊這一條件.
試題解析:(1)由「■二=」:一,
應(yīng)用余弦定理,可得
化簡得二=u則二=二
(2)cc:Z—?、三:a二=二
:coS二+9疝二=」即+Z)=J
二口+:=:所以口.號
法一..Z==
SOL.
則二+二=smZ+.smZi
二31,二-sin':--二;
=-s:nZ*—cc>3
=%3smZi*7
又:0<口〈草[4<匚,十二0行
法二
因為二=-由余弦定理二,=二;+二;一二匚CCS二
得.=;二,二,?■
又因為一,當(dāng)且僅當(dāng)二:二時"=”成立.
所以-二二二二,一二二二三二一二■一=「I
?4?
二一二三#又由三邊關(guān)系定理可知二-二〉二=二
綜上二-二
考點:1.正、余弦定理;2.正弦型函數(shù)求值域;3.重要不等式的應(yīng)用.
19、(1)^-co,--(2)見解析.
【解析】
(1)分xW-2、-2<x<:、xN;三種情況解不等式/(x)>2,綜合可得出原不等式的的解集;
(2)利用絕對值三角不等式可求得函數(shù)y=/(x)+5|x+2|的最小值為左=9,進(jìn)而可得出。+66=1,再將代數(shù)式
9+工與。+6人相乘,利用基本不等式求得9+工的最小值,進(jìn)而可證得結(jié)論成立.
abab
【詳解】
(1)當(dāng)xW—2時,由/(x)>2,得1—4x+x+2>2,即1—3x>0,解得x<;,此時xW—2;
i33
當(dāng)—2<%<w時,由/(x)>2,得1—4x—%—2>2,即5%+3<0,解得x<—不,此時—2<x<—];
當(dāng)X':時,由/(%)>2,得4x—1—X—2>2,即3x—5>0,解得x〉g,此時尤〉;.
綜上所述,不等式4])>2的解集為g,+8];
(2)y=/(x)+5|x+2|=|4x-l|+4|x+2|=|4x-l|+|4x+8|>|4x-l-(4x+8)|=9,
當(dāng)且僅當(dāng)(4%—1)(4%+8)<0時取等號,所以攵=9,a+6b=l.
g、i61(61Y「36ba/、一。136ba..
所以—i—=—I—(a+6/?)=6H----1F6212+2J----=24,
ab\ab)ab\ab
當(dāng)且僅當(dāng)呦=q,即。=L,匕='時等號成立,所以£+4》24.
ab212ab
所以19+422卡,即'匡亙22瓜
V<7bVab
【點睛】
本題考查含絕對值不等式的求解,同時也考查了利用基本不等式證明不等式成立,涉及絕對值三角不等式的應(yīng)用,考
查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.
3
20、(1)分布列見解析,數(shù)學(xué)期望為6;(2)①一;②證明見解析
4
【解析】
(1)變量X的所有可能取值為4,5,6,7,8,分別求出對應(yīng)的概率,進(jìn)而可求出變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上,分別求出兩種情況的概率,進(jìn)而可求得。2;②得〃分分兩
種情況,第一種為得〃-2分后拋擲一次正面向上,第二種為得n-1分后拋擲一次反面向上,可知當(dāng)〃23且〃eN*時,
1T+:2-2,結(jié)合4=2用+:Q.,可推出4+1=&+2+:2,+1=&+1+;2,=4,從而可證明數(shù)列{A}
為常數(shù)列;結(jié)合&=Q,,+「2,可推出g,M=2+2—Q“M=—g(Q“+「&)=—。耳,進(jìn)而可證明數(shù)列{4}為等比
數(shù)列.
【詳解】
(1)變量X的所有可能取值為4,5,6,7,8.
每次拋擲一次硬幣,正面向上的概率為反面向上的概率也為
22
則p(x=4)=d)4=々,p(x=5)=C;xd)4=!,p(x=6)=C:x(:)4=],
2162428
P(X=7)=竊x(與=1p(y=8)=C;x(1)4=々.
24216
所以變量X的分布列為:
X45678
1£3£1
P
1648416
故變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=4XL+5XL+6X3+7><L+8XL=6.
1648416
(2)①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上,概率的和為2=g+(g)2=;.
②得九分分兩種情況,第一種為得〃-2分后拋擲一次正面向上,第二種為得〃-1分后拋擲一次反面向上,
故且“cN*時,有Q“=gQ?.i+gQ?.2,
則“eN*時,Q"+2=300+1+;Q”,
+
所以4+i=Q+2+52+1=jQ“+i+—Qll^Qll+i=Qn+\+3Q0=4,
故數(shù)列{4}為常數(shù)列;
+B
又5.+1=Q〃+2_&+1=;Q〃+1+_Q“+1=-^Qn+l^Qn=~~r(Qn+i-Qn)=--n'
乙乙乙乙乙乙
311
B^Q2-Q1=---=-,所以數(shù)列{g,}為等比數(shù)列.
【點睛】
本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,考查常數(shù)列及等比數(shù)列的證明,考查學(xué)生的計算求解能力與推理論證
能力,屬于中檔題.
71k7l71
21>(1)。=2,(p=—;(2)kn--,kn+—左eZ,X--------1-----9keZ.
3-1212212
【解析】
(1)直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果.
(2)首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù),進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.
【詳解】
(1)由題意得<9=2,
/[x+f=sin^2x+^^=cos^2x
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