甘肅省2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

甘肅省2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)四模試卷

注意事項:

1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。

1.十]的二項展開式中,一的系數(shù)是()

A.70B.-70C.28D.-28

2

2.雙曲線爐-匕=1的漸近線方程為()

2

A.y=±—xB.>=±XC.y=±V2xD.y=±yf3x

2

3.設(shè)加、〃是兩條不同的直線,£是兩個不同的平面,則相,力的一個充分條件是()

A.且mucB.miln旦n工(3C.a工。昱mllaD.根J_〃且〃///

4.某個命題與自然數(shù)〃有關(guān),且已證得“假設(shè)〃=左(keN*)時該命題成立,則〃=%+1時該命題也成立”.現(xiàn)已知當(dāng)

〃=7時,該命題不成立,那么()

A.當(dāng)〃=8時,該命題不成立B.當(dāng)〃=8時,該命題成立

C.當(dāng)〃=6時,該命題不成立D.當(dāng)〃=6時,該命題成立

5.某校8位學(xué)生的本次月考成績恰好都比上一次的月考成績高出50分,則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績各自組成

樣本,則這兩個樣本不變的數(shù)字特征是()

A.方差B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.平均數(shù)

3

6.已知c是第二象限的角,tan(〃+a)=--,貝!Jsin2<z=()

4

12122424

A.——B.---C.—D.---

25252525

7.拋物線*'一金用喑,:那的焦點為少,準(zhǔn)線為/,4,3是拋物線上的兩個動點,且滿足NA網(wǎng)=r-,設(shè)線段A3

\MN\

的中點M在/上的投影為N,則的最大值是()

AB

A.且B.BC.也D.73

432

8.設(shè)S“為等差數(shù)列{q,}的前〃項和,若。3=-3,S[=-7,則S”的最小值為()

A.-12B.-15C.-16D.-18

9.已知圓V+y2—6x—7=0與拋物線丁2=2/(〃>0)的準(zhǔn)線相切,則。的值為()

1

A.1B.2C.-D.4

2

10.一個封閉的棱長為2的正方體容器,當(dāng)水平放置時,如圖,水面的高度正好為棱長的一半.若將該正方體繞下底

面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),則容器里水面的最大高度為()

A.1B.V2C.6D.272

11.已知函數(shù)/(x)=te2x+?—2)e'—x(?>0),若函數(shù)在xeR上有唯一零點,貝"的值為()

A.1B.1■或oC.1或0

D.2或0

2

12.已知復(fù)數(shù)z滿足工=1+"則忖的值為()

Z

A.-B.0C.—D.2

22

二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。

13.在矩形ABC。中,BC=4,〃為的中點,將A5河和△DCM分別沿AM,DM翻折,使點3與C重合

于點P.若ZAPD=150°,則三棱錐M-PAD的外接球的表面積為.

14.已知點P是直線/上的一點,將直線/繞點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)角&所得直線方程是尤-y-2=0,

TT

若將它繼續(xù)旋轉(zhuǎn)一-。角,所得直線方程是2%+y-1=0,則直線/的方程是.

2

15.已知變量-,滿足約束條件,貝!I-_的最小值為___________.

1L(---<0--I?一

|二一二二£'3

Q二-二H-6

7

16.的展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

7

三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知aeR,函數(shù)/(x)=ae"—x—l,g(x)=x-ln(x+l)(e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)).

(I)討論函數(shù)/(九)極值點的個數(shù);

(II)若。=1,且命題“Vxe[O,y),/(%)之依⑴”是假命題,求實數(shù)上的取值范圍.

18.(12分)已知在二二二二中,角二?二二的對邊分別為二二匚且學(xué)?警,

(1)求二的值;

⑵若-二一二求,一的取值范圍.

19.(12分)已知函數(shù)〃x)=|4x—1|—卜+2|.

(1)解不等式/(尤)>2;

⑵記函數(shù)y=/(x)+5|x+2|的最小值為左,正實數(shù)。、b滿足。+6匕=£求證:但

9Vab

20.(12分)一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣,每次正面向上得2分,反面向上得1分.

(1)設(shè)拋擲4次的得分為X,求變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(2)當(dāng)游戲得分為〃(〃eN*)時,游戲停止,記得〃分的概率和為Q〃,Qi=g.

①求。2;

②當(dāng)〃eN*時,記4=Q+I+;Q",4,=Q+J—2,證明:數(shù)列{4}為常數(shù)列,數(shù)列{立}為等比數(shù)列.

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=51111如一共0〉0)的圖象向左平移5后與函數(shù)8(%)=<:05(2%+9)[網(wǎng)<3圖象

重合.

(1)求。和9的值;

(2)若函數(shù)Mx)=/[x+5+g、-求//(力的單調(diào)遞增區(qū)間及圖象的對稱軸方程.

22.(10分)已知a>0,b>0,函數(shù)/(%)=|2*+4+上一百的最小值為;.

(1)求證:<2+2Z?=1;

(2)若+恒成立,求實數(shù)/的最大值.

參考答案

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

試題分析:由題意得,二項展開式的通項為配1=。"?(_十)「=(_1)/083,令8_|「=2nr=4,所以/的

系數(shù)是(-DP;=70,故選A.

考點:二項式定理的應(yīng)用.

2、C

【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可寫出漸近線方程.

【詳解】

2

雙曲線Y-匕=1,

2

二雙曲線的漸近線方程為y=士也x,

故選:C

【點睛】

本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于容易題.

3、B

【解析】

由機(jī)//“且"」萬可得修,,,故選B.

4、C

【解析】

寫出命題“假設(shè)〃=左伏wN*)時該命題成立,則八=k+1時該命題也成立”的逆否命題,結(jié)合原命題與逆否命題的真

假性一致進(jìn)行判斷.

【詳解】

由逆否命題可知,命題“假設(shè)〃=左儀CN*)時該命題成立,則〃=左+1時該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)

"=左+1(左eN*)時該命題不成立,則當(dāng)〃=左時該命題也不成立”,

由于當(dāng)九=7時,該命題不成立,則當(dāng)〃=6時,該命題也不成立,故選:C.

【點睛】

本題考查逆否命題與原命題等價性的應(yīng)用,解題時要寫出原命題的逆否命題,結(jié)合逆否命題的等價性進(jìn)行判斷,考查

邏輯推理能力,屬于中等題.

5、A

【解析】

通過方差公式分析可知方差沒有改變,中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.

【詳解】

由題可知,中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.

本次和上次的月考成績相比,成績和平均數(shù)都增加了50,所以(七-Ip沒有改變,

1__

根據(jù)方差公式S2=-[(%1-%)2+,+(4-X)2]可知方差不變.

8

故選:A

【點睛】

本題主要考查樣本的數(shù)字特征,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

6、D

【解析】

利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cos2。,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.

【詳解】

3

因為tan(?+。)=——,

4

?-口八八-sin。3

由誘導(dǎo)公式可得,tan。=-----=—,

cosa4

3

即sina=——cosa,

4

因為sin2a+cos2a=1,

--,o16

所以cos。=石,

由二倍角的正弦公式可得,

3,

sin2a=2sintzcostz=——cos-a,

2

….c31624

所以sm2a=——x—=-----.

22525

故選:D

【點睛】

本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運(yùn)算求解能力和知識的綜合運(yùn)用能力;屬于中

7、B

【解析】

試題分析:設(shè)A,3在直線/上的投影分別是小耳,又M是A5中點,所以

,沖|,=15缶,1,+網(wǎng),),,則\MN\胃1IA^I在+IBBJ枷\AF\+\B尸F(xiàn)\中

|AB|2=|AF|2+\BFf-2|AF||BF|COS^=|AF|2+|BF|2+\AF\\BF\=(|AF|+|BF|)2-|AF||BF|>(|AF|+|BF|)2

2

-\AF\+\BF\93.,+,忸「吁(I所AFI+IB以FI)即45|AF|^+|B"F|十2也所\M以N\"造6’故選以

考點:拋物線的性質(zhì).

【名師點晴】

在直線與拋物線的位置關(guān)系問題中,涉及到拋物線上的點到焦點的距離,焦點弦長,拋物線上的點到準(zhǔn)線(或與準(zhǔn)線

平行的直線)的距離時,常常考慮用拋物線的定義進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化.象本題弦A6的中點M到準(zhǔn)線的距離首先等于

A,3兩點到準(zhǔn)線距離之和的一半,然后轉(zhuǎn)化為A,3兩點到焦點P的距離,從而與弦長IA國之間可通過余弦定理建立

關(guān)系.

8、C

【解析】

根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項公式,判斷出“最小時的值,由此求得的最小值.

{4}snSn

【詳解】

a.+2d=-39

依題意「”,解得%=—7,1=2,所以?!?2〃—9.由?!?2〃一9<°解得“<7,所以前九項和中,前

/?1+21J=-72

4項的和最小,且S4=4q+6d=—28+12=—16.

故選:C

【點睛】

本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前“項和公式的基本量計算,考查等差數(shù)列前幾項和最值的求法,屬于基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】

因為圓好+'2-6x-7=0與拋物線丁=2勿(2>0)的準(zhǔn)線相切,則圓心為(3,0),半徑為4,根據(jù)相切可知,圓心

到直線的距離等于半徑,可知。的值為2,選B.

【詳解】

請在此輸入詳解!

10、B

【解析】

根據(jù)已知可知水面的最大高度為正方體面對角線長的一半,由此得到結(jié)論.

【詳解】

正方體的面對角線長為2&,又水的體積是正方體體積的一半,

且正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),

所以容器里水面的最大高度為面對角線長的一半,

即最大水面高度為0,故選B.

【點睛】

本題考查了正方體的幾何特征,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng),〉0時,只需/(—In/)=o,Bpinz--+l=o,令g⑺=ln/二+l,利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間,

tt

即可求出參數(shù)f的值,當(dāng)/=0時,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理可判斷;

【詳解】

解:V/(x)=te2x+a-2)ex-x(z>0),

f\x)=2te2x+(/-2)e*—1="e,—)(2e'+1),.?.當(dāng).>0時,由f\x)=0得x=—Inf,

則f(x)在(—,—In。上單調(diào)遞減,在(-In/,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增,

所以/'(—In/)是極小值,.?.只需/(—In/)=0,

即ln"1+l=0.令g⑺=ln/二+l,則g'⑺=1+±>0,.?.函數(shù)g⑺在(0,+s)上單

tttt

調(diào)遞增.???g(l)=0,.?"=1;

當(dāng)/=0時,f(x)^-2ex-x,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,=—2e—1<0,/(-2)=2-2e-2>0,函數(shù)/\x)

在R上有且只有一個零點,的值是1或0.

故選:C

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題,零點存在性定理的應(yīng)用,屬于中檔題.

12、C

【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算整理已知求得復(fù)數(shù)z,進(jìn)而求得其模.

【詳解】

因為(=i+f=占=呂=1?’所以目=「:+,£)=與

故選:C

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與求復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。

13、68TT.

【解析】

計算△4DP外接圓的半徑廠,并假設(shè)外接球的半徑為R,可得球心在過外接圓圓心且垂直圓面的垂線上,然后根據(jù)

9上面上4。,尺2=(?)+廠2即可得解.

【詳解】

由題意可知,MPLPA,MPVPD,PDryPA^P,

所以可得?ML面R4D,

設(shè)AADP外接圓的半徑為r,

AD4

由正弦定理可得=2r,即-------二2r,廠=4,

sinZAPDsin150°

設(shè)三棱錐〃-外接球的半徑R,

因為外接球的球心為過底面圓心垂直于底面的直線與中截面的交點,

則在2=(^^)+r2=1+16=17,

所以外接球的表面積為S=4萬尺2=68萬.

故答案為:68".

【點睛】

本題考查三棱錐的外接球的應(yīng)用,屬于中檔題.

14、x-2y-3=0

【解析】

求出點P坐標(biāo),由于直線2x+y-1=0與直線/垂直,得出直線/的斜率為工,再由點斜式寫出直線/的方程.

2

【詳解】

2%+丁一1=0_

x-y-2=0nHD

77

由于直線2x+y-l=0可看成直線I先繞點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)角?,再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)生-。角得到,則直線2x+y-l=0

2

與直線/垂直,即直線/的斜率為工

2

所以直線/的方程為y+l=;(x—l),即x—2y—3=0

故答案為:x-2y-3=0

【點睛】

本題主要考查了求直線的方程,涉及了求直線的交點以及直線與直線的位置關(guān)系,屬于中檔題.

15、-5

【解析】

畫出-滿足的可行域,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)-一經(jīng)過點-時,-最小,求解即可。

【詳解】

畫出一,滿足的可行域,由I解得「,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點時,取得最小值為

WZ----6

【點睛】

本題考查的是線性規(guī)劃問題,解決線性規(guī)劃問題的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合思想。需要注意的是:一,

準(zhǔn)確無誤地作出可行域;二,畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時,要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較,避免

出錯;三,一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得。

16、5670

【解析】

根據(jù)二項式展開的通項,可得二項式系數(shù)的最大項,可求得其系數(shù).

【詳解】

二項展開式一共有9項,所以由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知二項式系數(shù)最大的項為第5項,系數(shù)為3,=5670.

故答案為:5670

【點睛】

本題考查了二項式定理展開式的應(yīng)用,由通項公式求二項式系數(shù),屬于中檔題.

三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)當(dāng)aWO時,/(X)沒有極值點,當(dāng)。>0時,/(九)有一個極小值點.⑵(L+?)

【解析】

試題分析:⑴f'(x)=ae'-l,分aWO,a>0討論,當(dāng)aWO時,對VxeR,f'(x)=ae'-1<0,當(dāng)a>0時

“x)=0,解得x=—Ina,f(x)在—Ina)上是減函數(shù),在(—Ina,+“)上是增函數(shù)。所以,當(dāng)aWO時,f(x)沒

有極值點,當(dāng)a>0時,f(x)有一個極小值點.⑵原命題為假命題,則逆否命題為真命題。即不等式f(x)<kg(x)

在區(qū)間[0,+“)內(nèi)有解。設(shè)F(x)=f(x)-kg(x)=ex+kln(x+l)-(k+l)x-l,所以F<x)=eX+上

ik

-(k+1),設(shè)h(x)=ex+—^-(k+1),則h'(x)=ex-——7,且h'(x)是增函數(shù),所以h'(x)2h'(0)=l—k。

所以分kKl和k>l討論。

試題解析:(I)因為f(x)=aex—x—1,所以f〈x)=aex—l,

當(dāng)aWO時,對VxeR,f,(x)=aex-l<0,

所以f(x)在是減函數(shù),此時函數(shù)不存在極值,

所以函數(shù)f(x)沒有極值點;

當(dāng)a>0時,f'(x)=aex—1,令f'(x)=O,解得x=—Ina,

若xe(—Ina),則f'(x)<0,所以f(x)在(―a,—Ina)上是減函數(shù),

若xe(—lna,+”),貝!]f'(x)>0,所以f(x)在(—Ina,+。)上是增函數(shù),

當(dāng)x=—lna時,“*)取得極小值為£(一屆)=11?1,

函數(shù)f(x)有且僅有一個極小值點x=-Ina,

所以當(dāng)aWO時,f(x)沒有極值點,當(dāng)a>0時,f(x)有一個極小值點.

(II)命題“Vxe[0,+a),f(x/kg(x)”是假命題,貝?。軹xe[0,+8),f(x)<kg(x)”是真命題,即不等式

“乂)<1^伍)在區(qū)間[0,+。)內(nèi)有解.

若a=l,則設(shè)F(x)=f(x)—kg(x)=ex+kln(x+l)-(k+l)x-l,

kV

所以F'(x)=ex+--(k+1),設(shè)h(x)=e*+諭-(k+1),

k

則h〈x)=ex—且h'(x)是增函數(shù),所以h'(x"h'(O)=l-k

當(dāng)kVl時,hf(x)>0,所以h(x)在[0,+功上是增函數(shù),

h(x)>h(O)=O,BPF(X)>0,所以F(x)在[0,+句上是增函數(shù),

所以F(x)>F(0)=0,即f(x)2kg(x)在xG[0,+“)上恒成立.

k

當(dāng)k>l時,因為h'(x)=eX-G^在[o,+⑹是增函數(shù),

因為h'(O)=l—k<0,hf(k-l)=e"i—1>0,

k

所以h'(x)在(0,k—1)上存在唯一零點x0,

,,

當(dāng)xe[O,x())時,h(x)<h(xo)=O,11,)在[0出0)上單調(diào)遞減,

從而h(x)Wh(O)=O,即F'(x)WO,所以F(x)在[0,x0)上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)xe(O,Xo)時,F(xiàn)(x)<F(O)=O,即f(x)<kg(x).

所以不等式f(x)<kg(x)在區(qū)間[0,+巧內(nèi)有解

綜上所述,實數(shù)k的取值范圍為(1,+").

18、⑴二=(2)二-二二"

【解析】試題分析:(1)本問考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求的值,所以可以考慮到根據(jù)余弦定理將---

分別用邊表示,再根據(jù)正弦定理可以將三轉(zhuǎn)化為N于是可以求出的值;(2)首先根據(jù):.-夫:一—一求出角的

tfnC.

值,根據(jù)第(1)問得到的一值,可以運(yùn)用正弦定理求出外接圓半徑-,于是可以將轉(zhuǎn)化為:「!,一:?:廠I,

又因為角二的值已經(jīng)得到,所以將二7:1二-二二三□二轉(zhuǎn)化為關(guān)于二的正弦型函數(shù)表達(dá)式,這樣就可求出取值范圍;另外

本問也可以在求出角的值后,應(yīng)用余弦定理及重要不等式-「2-一一,求出?一的最大值,當(dāng)然,此時還要注

意到三角形兩邊之和大于第三邊這一條件.

試題解析:(1)由「■二=」:一,

應(yīng)用余弦定理,可得

化簡得二=u則二=二

(2)cc:Z—?、三:a二=二

:coS二+9疝二=」即+Z)=J

二口+:=:所以口.號

法一..Z==

SOL.

則二+二=smZ+.smZi

二31,二-sin':--二;

=-s:nZ*—cc>3

=%3smZi*7

又:0<口〈草[4<匚,十二0行

法二

因為二=-由余弦定理二,=二;+二;一二匚CCS二

得.=;二,二,?■

又因為一,當(dāng)且僅當(dāng)二:二時"=”成立.

所以-二二二二,一二二二三二一二■一=「I

?4?

二一二三#又由三邊關(guān)系定理可知二-二〉二=二

綜上二-二

考點:1.正、余弦定理;2.正弦型函數(shù)求值域;3.重要不等式的應(yīng)用.

19、(1)^-co,--(2)見解析.

【解析】

(1)分xW-2、-2<x<:、xN;三種情況解不等式/(x)>2,綜合可得出原不等式的的解集;

(2)利用絕對值三角不等式可求得函數(shù)y=/(x)+5|x+2|的最小值為左=9,進(jìn)而可得出。+66=1,再將代數(shù)式

9+工與。+6人相乘,利用基本不等式求得9+工的最小值,進(jìn)而可證得結(jié)論成立.

abab

【詳解】

(1)當(dāng)xW—2時,由/(x)>2,得1—4x+x+2>2,即1—3x>0,解得x<;,此時xW—2;

i33

當(dāng)—2<%<w時,由/(x)>2,得1—4x—%—2>2,即5%+3<0,解得x<—不,此時—2<x<—];

當(dāng)X':時,由/(%)>2,得4x—1—X—2>2,即3x—5>0,解得x〉g,此時尤〉;.

綜上所述,不等式4])>2的解集為g,+8];

(2)y=/(x)+5|x+2|=|4x-l|+4|x+2|=|4x-l|+|4x+8|>|4x-l-(4x+8)|=9,

當(dāng)且僅當(dāng)(4%—1)(4%+8)<0時取等號,所以攵=9,a+6b=l.

g、i61(61Y「36ba/、一。136ba..

所以—i—=—I—(a+6/?)=6H----1F6212+2J----=24,

ab\ab)ab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)呦=q,即。=L,匕='時等號成立,所以£+4》24.

ab212ab

所以19+422卡,即'匡亙22瓜

V<7bVab

【點睛】

本題考查含絕對值不等式的求解,同時也考查了利用基本不等式證明不等式成立,涉及絕對值三角不等式的應(yīng)用,考

查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.

3

20、(1)分布列見解析,數(shù)學(xué)期望為6;(2)①一;②證明見解析

4

【解析】

(1)變量X的所有可能取值為4,5,6,7,8,分別求出對應(yīng)的概率,進(jìn)而可求出變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上,分別求出兩種情況的概率,進(jìn)而可求得。2;②得〃分分兩

種情況,第一種為得〃-2分后拋擲一次正面向上,第二種為得n-1分后拋擲一次反面向上,可知當(dāng)〃23且〃eN*時,

1T+:2-2,結(jié)合4=2用+:Q.,可推出4+1=&+2+:2,+1=&+1+;2,=4,從而可證明數(shù)列{A}

為常數(shù)列;結(jié)合&=Q,,+「2,可推出g,M=2+2—Q“M=—g(Q“+「&)=—。耳,進(jìn)而可證明數(shù)列{4}為等比

數(shù)列.

【詳解】

(1)變量X的所有可能取值為4,5,6,7,8.

每次拋擲一次硬幣,正面向上的概率為反面向上的概率也為

22

則p(x=4)=d)4=々,p(x=5)=C;xd)4=!,p(x=6)=C:x(:)4=],

2162428

P(X=7)=竊x(與=1p(y=8)=C;x(1)4=々.

24216

所以變量X的分布列為:

X45678

1£3£1

P

1648416

故變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=4XL+5XL+6X3+7><L+8XL=6.

1648416

(2)①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上,概率的和為2=g+(g)2=;.

②得九分分兩種情況,第一種為得〃-2分后拋擲一次正面向上,第二種為得〃-1分后拋擲一次反面向上,

故且“cN*時,有Q“=gQ?.i+gQ?.2,

則“eN*時,Q"+2=300+1+;Q”,

+

所以4+i=Q+2+52+1=jQ“+i+—Qll^Qll+i=Qn+\+3Q0=4,

故數(shù)列{4}為常數(shù)列;

+B

又5.+1=Q〃+2_&+1=;Q〃+1+_Q“+1=-^Qn+l^Qn=~~r(Qn+i-Qn)=--n'

乙乙乙乙乙乙

311

B^Q2-Q1=---=-,所以數(shù)列{g,}為等比數(shù)列.

【點睛】

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,考查常數(shù)列及等比數(shù)列的證明,考查學(xué)生的計算求解能力與推理論證

能力,屬于中檔題.

71k7l71

21>(1)。=2,(p=—;(2)kn--,kn+—左eZ,X--------1-----9keZ.

3-1212212

【解析】

(1)直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果.

(2)首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù),進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】

(1)由題意得<9=2,

/[x+f=sin^2x+^^=cos^2x

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