2024屆高三年級下冊開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)試卷（新高考專用）（解析版）

2024屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考01（新高考專用）

數(shù)學(xué)

一、單項選擇題

1.若全集U=R,A^{x\x<l},B={x|x>l},則（）

A.AaBB.心A=5C.D.A_B=R

【答案】C

【解析】A={x\x<l},B={x\x>i},^A={x\x>i},

則Ac3=0,A錯誤，Bc^A,B錯誤，C正確，AuB={x|x<l或x>l},D錯誤.

故選：C.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第四象限，則復(fù)數(shù)2?。+獷°°對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】由復(fù)數(shù)z-（l+if°對應(yīng)的點在第四象限，

則設(shè)Z=Q+歷（Q>0,Z?V。），

由（1+i）100=[（l+i）2]5°=（2i）5°=250i50=250i2=-250

得z-（1+i）10°=-250（a+歷）=-25Oa-25Obi,

由一25%<0,-25°6>0,

得復(fù)數(shù)z-O+if0對應(yīng)的點在第二象限.

故選：B.

3.記S“是等差數(shù)列{4}的前"項和，則”{%}是遞增數(shù)列”是是遞增數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】若{%}是遞增數(shù)列，則公差d>0,所以

n(n-i\d

S叫十0(n-l)ddd,

力二______________2=a+-------=—〃+「I-----

nn12212

S〃+iS

故n所以為遞增數(shù)列,

n+\n

若j為遞增數(shù)列，則s”叫+—2—dd,則*號一、=二>0,

InJ—=-------------------=—n+a-—n+1n2

nn2x2

故d>0,所以｛%｝是遞增數(shù)列，

故"｛%｝是遞增數(shù)列”是“9I是遞增數(shù)列”的充要條件,

故選：C

4.函數(shù)/■(x)=log?(尤2-4)在(ya)上單調(diào)遞減，則實數(shù)。取值范圍是()

A.(-oo,-2]B.[2,+<?)C.(-<?,0]D.[。,+8)

【答案】A

【解析】〃x)的定義域是(f,-2)1(2,+8),

令y=log2f，其在定義域上單調(diào)遞增，

r=x2-4,在(-8,-2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，ae(-co,-2].

故選：A.

5.北京時間2023年2月10日。時16分，經(jīng)過約7小時的出艙活動，神舟十五號航天員

費俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動全部既定任務(wù)，出艙活動取得圓滿成

功.載人飛船進(jìn)入太空需要搭載運載火箭，火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪聲，用聲壓級來度

量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級4=20xlg,，其中大于0的常數(shù)力是聽覺下限閾值，〃是實

際聲壓.聲壓級的單位為分貝(dB),聲壓的單位為帕(Pa).若人正常說話的聲壓約為

0.02Pa,且火箭發(fā)射時的聲壓級比人正常說話時的聲壓級約大100dB,則火箭發(fā)射時的聲

壓約為()

A.2PaB.20PaC.200PaD.2000Pa

【答案】D

【解析】令人正常說話時的聲壓級為火箭發(fā)射時的聲壓級為4/則=100,

而人正常說話的聲壓R=0.02Pa,火箭發(fā)射時的聲壓為P2,

于是4,=20x1g嘰，工以=20x1g或，兩式相減得20(lgp2-lg0.02)=100,

PoPo

解得％=2000Pa,

所以火箭發(fā)射時的聲壓約為2000Pa.

故選：D

6.己知a為銳角，若5詁［2￡+改券)=號1,則cosa=()

Ay/3—1Ry/3—I0^3+1nA/^+1

8484

【答案】D

【解析】由誘導(dǎo)公式可得sin12a+a|型)=-cos2a=號^,

由倍角公式有cos2a=2cos2ar-1=--——,

4

所以cos2"2+小_(石+1),由a為銳角，貝h°sa=?L

cos*8-164

故選：D

22

7.如圖，已知雙曲線C:二-2=l(a,b>0)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過6的直線與C

ab

分別在第一、二象限交于A，B兩點，△A28內(nèi)切圓半徑為r,^\BFl\=r=a,則C的離心

率為()

<FJoTF2x

AMR26

?----------LJ.---------

2345

【答案】D

【解析】設(shè)|AB|=X,內(nèi)切圓圓心為/,內(nèi)切圓在時,AB，A5上的切點分別為U,V,W,

則忸磯=\BW\\AV\=\AW\\F^\=\Fy\,

由忸耳|=。及雙曲線的定義可知，

\BF2\=3a,\AF2\=x-a,\F2U\=\F,V\=^(\BF2\+\AF2\-\AB\)=a=r,

故四邊形/"V是正方形，

得伍，叫,于是忸閶2+|隹『=1ABi2,

故爐=9a2+(x-a)2,所以％=5。，

3

于是cosN打36=cos(7i-ZABF2)=在八工中，

由余弦定理可得閨耳「=忸葉+忸工「一2忸團(tuán).忸用＜05/48鳥=個°2,

從而4c2=袋］，所以e=￡=逐.

5a5

8.設(shè)。=ln2,6=L09,c=e°3,貝ij()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】a=ln2<Ine=1<b,c=e03>e°=1>a,

令〃x)=e，一Y-i,則r(x)=e“-2x,

令g(x)=e*-2x,貝lJg'(x)=e*-2,

當(dāng)x?e,ln2)時,g'(x)<0J'(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(ln2,—)時，g'(x)>0,_f(x)單調(diào)遞增，

所以「(x)2尸(ln2)=2(l-ln2)>0,

所以〃x)在R上單調(diào)遞增，

所以〃0.3)>〃0)=0,即e°3>1.09,所以c>6.

綜上，a<b<c.

故選：A.

二、多項選擇題

9.袋子中有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取5

次，每次取一個球.記錄每次取到的數(shù)字，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)這5個數(shù)字的平均數(shù)為2,方差小

于1,則()

A.可能取到數(shù)字4B.中位數(shù)可能是2

C.極差可能是4D.眾數(shù)可能是2

【答案】BD

【解析】設(shè)這5個數(shù)字為士,々,毛,%七，

對于A：若取到數(shù)字4,不妨設(shè)為占=4,

貝I]4+"+；+*+*=2,可得%+斗+X4+%=6,

可知這4個數(shù)中至少有2個1,不妨設(shè)為尤2=鼻=1,

則這5個數(shù)字的方差$2=：-2)2+(%-2)2+仿-2)2+(匕-2)2+伍-2)2]

■[(4-2)2+(1一2)2+(1一2)]=1>1,

不合題意，故A錯誤；

對于C：因為這5個數(shù)字的平均數(shù)為2,這5個數(shù)字至少有1個1,不妨設(shè)為西=1,

若極差是4,這最大數(shù)為5,不妨設(shè)為％=5,

貝IJ這5個數(shù)字的平均數(shù)%=^(再+%2+x3+%4+/)=《(1+5+%3+%4+毛)=2,

則冗3+乙+/=4,可知這3個數(shù)有2個1,1個2,

此時這5個數(shù)字的方差s?=1[(1-2)2+(5-2)2+(1-2)2+(1-2)2+(2-2)2]=y>l,

不合題意，故C錯誤；

對于BD：例如2,2,2,2,2,可知這5個數(shù)字的平均數(shù)為2,方差為0,符合題意,

且中位數(shù)是2,眾數(shù)是2,故BD正確;

故選：BD.

10.英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點.如圖，在橫坐標(biāo)為4的點處作

的切線，切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為巧；用巧代替耳重復(fù)上面的過程得到鼻；一直

下去，得到數(shù)列｛%｝,叫作牛頓數(shù)列.若函數(shù)〃尤）=d-x-6,a“=ln三土|且％=1,%>3,

%一J

數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S“，則下列說法正確的是（）

數(shù)列｛〃“｝是等比數(shù)列2023

C.D.S2023=2-l

【答案】ACD

【解析】尸（x）=2x-l,所以在點處的切線方程為:

y-"Gy，%),

X；一七-6=4+6

令y=o,得加,故A正確.

2^-1-2x?-l

■+6.、2

產(chǎn)+

X!1±L+2=2X!L-1_J^+2],故11+2=2111^^

a2a

即n+l=n，

當(dāng)+1一3X；+631無，一3)%-3xn-3

2x?-l

所以數(shù)列｛4｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故B錯誤，C正確,

所以邑.os="j')=22023-bD正確.

故選ACD.

11.如圖，在棱長為1的正方體A3CO-A耳GA中，尸為棱CG上的動點（點尸不與點

C,。重合），過點尸作平面a分別與棱BC,CO交于M,N兩點，若CP=CM=CN,則

B.存在點P,使得AG〃平面a

C.存在點P,使得點4到平面a的距離為g

D.用過點P,M,的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形

【答案】ACD

【解析】連接8G,BD,OG，A2,2P，

因為CM=CN,CB=CD,所以---=——,所以MN//BD

CBCD

又MNU平面CiBD,3￡>u平面C]BD,所以MN〃平面C】BO

同理可證MPI/BC,,MP//平面C.BD

又MPcMN=M,MN、"Pu平面。，所以平面〃平面a,

易證4C,平面所以4cl,平面a,A正確

又AQc平面C0O=G，所以AG與平面a相交，不存在點P,使得〃平面。，B不

正確.

因為|AC|=71+1+1=瓜點C到平面QBD的距離為半

所以點4到平面a的距離的取值范圍為

又2叵<2<6，所以存在點尸，使得點4到平面a的距離為：，C正確.

333

因為g//BG，所以AR//MP,所以用過點尸，M,Q的平面去截正方體得到的截面是四

邊形ARPM

又ADJIMP,且ARwMP,所以截面為梯形，D正確

故選：ACD

12.已知/(x)是定義在R上的函數(shù)，且不恒為0,/(x+2)為奇函數(shù)，/(2x+l)為偶函

數(shù)，尸(x)為〃為的導(dǎo)函數(shù),則()

A.〃0)=。

B./(3)=0

C.y=/'(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱

2023

D.E/(0=°

i=l

【答案】ABD

【解析】F(x+2)為奇函數(shù)，則“X)的圖象關(guān)于(2,0)對稱.

又廣(2x+1)為偶函數(shù)，則/(弓的圖象關(guān)于直線x=1對稱,

所以f(x)=f(2-x)可得

/(2-x)=-/(4-%)=>/(%)=-/(x+2)=>/(x)=/(x+4),

則〃力的周期為4,

對A,/(x)=/(2-x),令x=0得〃0)=〃2)=0,故A選項正確；

對B,又/(l+x)=/(l-x)n_f(l+x)=-_f(l-x),則尸(x)的圖象關(guān)于(1,0)對稱，則

,'⑴=0，

/(x)=—/?(4-力二/(同=/'(4一可，令x=l,則/”)=(⑶=0,故B正確；

對C,因為1(x)=1f(4-x),則y=f'(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，故C錯誤；

又0=7?⑵=/（0）=/（4）=〃6）=,所以y（2"）=0,〃eN*,

由以上可知，/（2）=/（4）=0,/（1）+/（3）=0,,

2023

函數(shù)“X）的周期為4,則Z"）=506（/⑴+/⑵+"3）+。（4））一/（4）=0,故D正確.

Z=1

故選：ABD.

第n卷（非選擇題）

三、填空題

2

13.己知（依-2）（x+—月的展開式中的常數(shù)項為240,貝.

X

【答案】3

5

【解析】（x+-）的展開式的通項加=€：）5-（2），=2匕/2?=0,1,2,3,4,5）,

尤X

令5-2丁=一1得r=3,令5-2丁=0,無解，

2

所以（依-2）（%+—）5的展開式中的常數(shù)項為〃.23C；=80〃=240,所以a=3.

x

故答案為：3

14.若。為坐標(biāo)原點，過點尸（1,1）的直線/與函數(shù)二的圖象交于AB兩點，則

2—2

（OA+OB^OP=.

【答案】4

42X+12X+'-4

【解析】因為了（2-x）+/（x）=-Z----1------=------1-----

22-X-22'-22-2x2A-22%-2

所以P（l,l）是函數(shù)圖象的對稱中心，則尸為線段A3的中點,

可得04+03=20尸=（2,2）,貝!|（0A+08>0P=2+2=4.

故答案為：4.

15.設(shè)函數(shù)/（尤）=瘋：05的+5111的，且函數(shù)g（x）=[〃切--4在xe[0,5可恰好有5個零

點，則正實數(shù)。的取值范圍是

【…答案…】k「5w31）

【解析】/（x）=^cosox+sinox=2sin[ox+,

令g（無）=[/（X）T-4=0,得/（元）=土2,

因為函數(shù)g(x)=[〃尤)[-4在xe[0,5可恰好有5個零點,

所以函數(shù)/(x)=2sin[0x+m]在[0,5兀]上恰有5條對稱軸.

當(dāng)04元45兀時,—<coxH—W5。兀H—,

333

人兀/兀兀、

^cox+—=t\—<t<5a)7i+—\,

16.如圖，在直三棱柱ABC-A,耳。中，BA±BC,AB=AAl^4,BC=4y/3,若尸為空間一

動點，且忸4|=屈，則滿足條件的所有點P圍成的幾何體的體積為；若動

點尸在側(cè)面的￡。內(nèi)運動，且怛4|=屈，則線段成長的最小值為

【解析】由伊耳|=屈可得點P的軌跡為以耳為圓心，以屈為半徑的球面,

所以圍成的球的體積為3兀(舊了="警，

過8作BELAC,

由區(qū)4,3cAB=A41=4,3C=46，則由等面積法可得

ABBC

BE=,I百=26

AC"+(4⑹?

由于在直三棱柱ABC-44G中，AA，平面ABC,BEu平面ABC,故AALBE,

由于44門4。=4,44,4。(=平面相4。，故平面441GC,

由于EPu平面A41GC,故3EJ_￡P(guān),

所以BP=lEB。+EP。=J12+E產(chǎn),

由于用到平面A41c0的距離和點B到平面441cC的距離相等，均為BE=2日

又戶用=9，所以點P的軌跡為以均為圓心，以打為半徑的球與側(cè)面明GC的截面

圓，該截面圓的半徑為r=4哂一BE?=1,圓心為b，且滿足EF//AA,,

因此點EP的最小距離為4-r=3,

故B『《12+E*=71^=%，

故答案為：必叵，V21

3

四、解答題

(\1)

17.已知數(shù)列｛風(fēng)｝滿足q=1,且點一,一在直線>=尤+2上

Vanan+\7

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵數(shù)列｛%%+J前〃項和為1,求能使北<3--12對〃eN*恒成立的冽(〃"Z)的最小

值.

fl1>11c

解：⑴由點|一,一在直線>=尤+2上得-------=2,

a

“n+lJ0用凡

所以數(shù)列［上］是以首項為，=1,公差為2的等差數(shù)列，

=—+2（?-l）=2n-l,即%=」_

q2〃一1

11O______

⑵an+lan-（2〃一1）（2〃+1）2{2n-l2n+lJ

++外￡一*]

1

H--------

2〃一1

要使7；<3加-12對〃N*恒成立,

175

3m-12>-,即根之上，

26

又meZ,所以加的最小值為5.

18.在DABC中，角所對的邊分別為。力,。，已知2QCOS_B-ZXX)SC=3OS3.

⑴求的大小；

(2)若a=2,c=3,直線尸。分別交AB,5C于尸，。兩點，且PQ把J1BC的面積分成相等的兩

部分，求|PQ|的最小值.

解：(1)方法一：由已知2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC,

即2sinAcosB二sin（3+C）=sin（兀-A）sinA,

sinAw0,z.cosB=—,

2

TT

又，Be（0,7i）,.\B=—.

士汪一7c口1a2+b2-c2a2+c2-b2

萬法一：PCOSC+ccosB=b-----------------Fc---------------=a

lablac

2acosB=a,

jjr

即cosB=—,BG（0,7i）,.\B.

（2）SA4Br=-ABBCsinB=-x2x3x—=—,

AABC2222

SAPBQ=^PB-BQsinB=乎，：.PBBQ=?>.

在VBP。中,

PQ2=PB2+QB2-2PB-QBCOSB=PB2+QB2-PBQB>2PB-QB-PBQB=PBQB=3,

當(dāng)且僅當(dāng)PB=QB=6時上式等號成立，的最小值為G

19.2023年H月，世界首屆人工智能峰會在英國舉行，我國因為在該領(lǐng)域取得的巨大成

就受邀進(jìn)行大會發(fā)言.為了研究不同性別的學(xué)生對人工智能的了解情況，我市某著名高中進(jìn)

行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男、女生各50人作為樣本.設(shè)事件4=“了解人工智能"，B=

-34

“學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計尸(AlB)=-,P(B\A)=~.

(1)根據(jù)已知條件，填寫下列2x2列聯(lián)表，是否有99%把握推斷該校學(xué)生對人工智能的了解

情況與性別有關(guān)？

了解人工智能不了解人工智能合計

男生

女生

合計

(2)①現(xiàn)從所抽取的女生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機(jī)選取3人贈

送科普材料，求選取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；

②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人科普材料，記其中了解人

工智能的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.

n^ad-bcy

參考公式：/=常用的小概率值和對應(yīng)的臨界值如下表:

(o+6)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

-34

解:⑴因為尸(Al3)=丁尸⑵A)=亍,

所以了解人工智能的女生為50X|=30,了解人工智能人數(shù)為六=7。

5

則了解人工智能的男生有70-30=40人，

結(jié)合男生和女生各有50人，填寫2x2列聯(lián)表為:

了解人工智能不了解人工智能合計

男生401050

女生302050

合計7030100

則作100(40X20-10X30)2100

p4.762<6.635,

50x50x30x7021

故沒有99%把握推斷該校學(xué)生對人工智能的了解情況與性別有關(guān).

⑵①由題意可知，所抽取的20名女市民中，了解人工智能的有20x^=12人,

20

不了解人工智能的有20x==8人，

所以，選取的3人中至少有2人了解人工智能的概率為2二華了口=瞿；

%285

②由2x2列聯(lián)表可知，抽到了解人工智能的學(xué)生的頻率為7臺0=57,

將頻率視為概率，所以，從我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能學(xué)生的概

7

率為歷，

，7、77391

由題意可知，20,—I,所以，E(X)=20x—=14,D(X)=20x—x—=y.

20.如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE^AD,_ABC

是底面的內(nèi)接正三角形，且。0=6,尸是線段。。上一點.

(1)若R4_L平面PBC,求PO；

(2)當(dāng)尸。為何值時，直線燈與平面PBC所成角的正弦值最大？

M：(1)AE—AD,OA——AE,所以DO=JAD?-OA?=6,解得AZ)=AE=,

由于三角形ABC是等邊三角形，圓。是其外接圓，4E是圓。的直徑,

所以AE垂直平分BC,0A=OB=OC=2y/3,

A5r

在三角形A3C中，由正弦定理得F=4,3,4'=6,則.=40=36=6,

sm—

3

由于平面P5C,所以PALPC,

由于R4=7OA2+OP2=yjoC'+OP1=PC，

所以三角形PAC是等腰直角三角形，所以尸A=PC=6x1=3后，

2

所以P0=43間一（2回=底.

（2）由（1）得AE_LBC,設(shè)AEBC=F,CF=BF=3,OF=^（2>/3）2-32=A/3，

結(jié)合圓錐的幾何性質(zhì)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

網(wǎng)3,60）,q一3,"0）,網(wǎng)0,2后0）,

設(shè)尸（0,01）,0v/<6,

則EP=（0,-2日）,刖=（3,百,T）,配=（-6,0,0）,

設(shè)平面PBC的法向量為〃=（x,y,z）,

則］i1x+島"。，故可設(shè)「回⑹，

n?BC=-6x=0'）

設(shè)直線EP與平面PBC所成角為巴

ri-EP

則sine=

|H|-|EP|j3+?.J12+”

由于產(chǎn)+1+1522小』.當(dāng)+15=27,當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)=當(dāng),f="時等號成立,

所以sinSvg=L

V273

即當(dāng)尸0="時，直線EP與平面尸3c所成角的正弦值最大.

21.已知圓/：0-2）2+寸=4,點"（-2,0）,P是圓M上的動點，線段PN的中垂線與直

線交于點Q,點。的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

出4（-1。），4（1。），點及尸（不在曲線C上）是直線X=2上關(guān)于無軸對稱的兩點，直線

AE、4尸與曲線C分別交于點A、2（不與41、4重合），證明：直線AB過定點.

⑴解：連接QV,則|QN|=|尸。，

^QN\-\QM^QP\-\QM^=\PM\=2<4=\MN\,

所以曲線C是以M、N為焦點的雙曲線,

222a=2

設(shè)C的方程為2-2=1（。力＞0）,則＜

a2+b2=2

a=l

解得

b=5

2

所以曲線C的方程為

⑵證明：^AB:x=my+t,A（冷為卜網(wǎng)孫丫?），

直線44：＞=37（尤+1），令x=2得力=叢7,

直線48：y=」、（xT）,令x=2得力■=」、，

x2-1x2-1

因為E、E關(guān)于x軸對稱，所以%+%=°，

3%

所以

再+1

因為才一j=1,所以&+1）（占一1）=所以②，

將②代入①得個=一乙

所以一%%=9（期十/一1）（陽2+?1），

所以(9m2+1)弘為+9〃z(r_1)(%+%)+9(f_1)2=0,

x=my+1

由＜

x2

3m2—1w0]

29人(c22c，解